1、2020 年太原市高考数学三模试卷(理科)年太原市高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题). 1 已知集合 Ax|x23x+20, Bx|x+1a, 若 ABR, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A2,+) B(,2 C1,+) D(,1 2若复数 z 满足 z(12i) i,则复平面内 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 ab1,c0,则( ) A Bcacb Cacbc Dloga(bc)logb(ac) 4已知 sincos ,(0,),则 tan 的值是( ) A1 B C D1 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问
2、题,松长三尺,竹长一尺, 松日自半, 竹日自倍, 松竹何日而长等, 如图是源于其思想的一个程序框图, 若输入的 a, b 分别为 3,1,则输出的 n 等于( ) A5 B4 C3 D2 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1a38,且 S313,则 a2( ) A3 B3 C D3 或 7平面向量 , 共线的充要条件是( ) A B , 两向量中至少有一个为零向量 CR, D存在不全为零的实数 1,2,1 2 8根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行 调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A B C D
3、9把函数 f(x)sin2x 的图象向右平移 个单位后,得到函数 yg(x)的图象则 g(x) 的解析式是( ) A B C D 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增,若实数 a 满 足 f(log2a)+f( )2f(1),则 a 的取值范围是( ) A , B1,2 C , D(0,2 11已知抛物线 C:x28y,过点 M(x0,y0)作直线 MA、MB 与抛物线 C 分别切于点 A、 B,且以 AB 为直径的圆过点 M,则 y0的值为( ) A1 B2 C4 D不能确定 12 点M在曲线G: y3lnx上, 过M作x轴垂线l, 设l与曲线y 交于点
4、N, 若 , 且 P 点的纵坐标始终为 0,则称 M 点为曲线 G 上的“水平黄金点”则曲线 G 上的“水平 黄金点”的个数为( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知函数 f(x) , , 则 14ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若ABC 的面积为 ,则 A 15 设 F1, F2分别是双曲线 , 的左、 右焦点, 若双曲线上存在点 P, 使F1PF260,且|PF1|2|PF2|,则双曲线的离心率为 16正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是棱 DD1的中点,F 是侧面 CDD1C1上的动点,且 B1F
5、平面 A1BE,记 B1与 F 的轨迹构成的平面为 F,使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 , 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的各个侧面中,与 所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 (写出所有正确的命题序号) 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17已知an是公差为 1 的等差数列,数列bn满足 b11,b2 ,anbn+1+bn+1n
6、bn (1)求数列bn的通项公式; (2)设 cn ,求数列cn的前 n 项和 Sn 18 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法, 为了了解居民对垃圾分类的知晓 率和参与率, 引导居民积极行动, 科学地进行垃圾分类, 某小区随机抽取年龄在区间25, 85上的 50 人进行调研,统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表: 年龄 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 75,85) 频数 5 10 10 15 5 5 了解 4 5 8 12 2 1 (1)填写下面 2x2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为以 65 岁为分界点居
7、民对了解垃圾分类的有关知识有差异; 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a c 不了解 b d 合计 (2)若对年龄在45,55),25,35)的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研,记 选中的 4 人中不了解垃圾分类的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考公式和数据 K2 ,其中 na+b+c+d P(K2k0 ) 0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,已知四边形 AA1
8、C1C 为矩形,AA16,ABAC4, BACBAA160,A1AC 的角平分线 AD 交 CC1于 D ()求证:平面 BAD平面 AA1C1C; ()求二面角 AB1C1A1的余弦值 20已知椭圆 C: (ab0)的焦距为 2,且过点 , (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形,若坐标原点 O 为BMN 的重心,求点 O 到 直线 MN 距离的最小值 21已知函数 f(x)xlnxax2(aR) (1)讨论函数的极值点个数; (2)若 g(x)f(x)x 有两个极值点 x1,x2,试判断 x1+x2与 x1 x2的大小关系并证 明 (二)选考题:共 10 分
9、请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参 数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,直线 l 过点 M(0,2),倾斜角为 (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|+|x2a| (1)若 a1,解不等式 f(x)4; (2) 对任意的实数 m, 若总存在实数 x, 使得 m22
10、m+4f (x) , 求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1 已知集合 Ax|x23x+20, Bx|x+1a, 若 ABR, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A2,+) B(,2 C1,+) D(,1 【分析】求出集合 A,B,由 ABR,能求出实数 a 的取值范围 解:集合 Ax|x23x+20x|x1 或 x2, Bx|x+1ax|xa1,ABR, a11,解得 a2, 实数 a 的取值范围是(,2 故选:B 2若复数 z 满足 z(12i) i,则复平面内 对应的点位于(
11、 ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出 解:z(12i) i2+i, 2i 在复平面内所对应的点(2,1)位于第四象限 故选:D 3已知 ab1,c0,则( ) A Bcacb Cacbc Dloga(bc)logb(ac) 【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果 解:由于 ab1,所以 0 ,c0,故 ,选项 A 错误 当 c2,a3,b2 时,cacb,故选项 B 错误 由于 ab1,c0,故 acbc,选项 C 正确 由于 ab1,c0,所以 acbc,故 loga(bc)logb(ac),故错误 故
12、选:C 4已知 sincos ,(0,),则 tan 的值是( ) A1 B C D1 【分析】由条件可得 12sincos2,求得 sin21,可得 2 的值,从而求得 tan 的值 解:已知 , , ,12sincos2,即 sin21, 故 2 , ,tan1 故选:A 5宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题,松长三尺,竹长一尺, 松日自半, 竹日自倍, 松竹何日而长等, 如图是源于其思想的一个程序框图, 若输入的 a, b 分别为 3,1,则输出的 n 等于( ) A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算 a,b 的值并输出
13、变量 n 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 解:模拟程序的运行,可得 a3,b1 n1 a ,b2 不满足条件 ab,执行循环体,n2,a ,b4 不满足条件 ab,执行循环体,n3,a ,b8 不满足条件 ab,执行循环体,n4,a ,b16 此时,满足条件 ab,退出循环,输出 n 的值为 4 故选:B 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1a38,且 S313,则 a2( ) A3 B3 C D3 或 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比,然后再结合等比 数列的通项公式即可求解 解:设公比为 q,易知 q1 由 得 ,
14、解得 或 , 当 时,a2a1q3; 当 时, 所以 a2 3 或 , 故选:D 7平面向量 , 共线的充要条件是( ) A B , 两向量中至少有一个为零向量 CR, D存在不全为零的实数 1,2,1 2 【分析】写出共线向量基本定理,找四个选项中的等价命题得结论 解:由共线向量基本定理可知,若平面向量 , 共线, 则存在不为零的实数 ,使 ( ), 即 , 其等价命题为存在不全为零的实数 1,2,1 2 故选:D 8根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行 调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A B C D 【分析
15、】每个县区至少派一位专家,基本事件总数 n 36,甲,乙两位专家派遣 至同一县区包含的基本事件个数 m 6,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同 一县区的概率 解:我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研, 每个县区至少派一位专家, 基本事件总数 n 36, 甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 m 6, 甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为 p 故选:A 9把函数 f(x)sin2x 的图象向右平移 个单位后,得到函数 yg(x)的图象则 g(x) 的解析式是( ) A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin(x+)的图象变换规律,得出结论 解:把函数 f(x)sin2
16、x cos2x 的图象向右平移 个单位后, 得到函数 yg(x) cos(2x )的图象, 故选:C 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增,若实数 a 满 足 f(log2a)+f( )2f(1),则 a 的取值范围是( ) A , B1,2 C , D(0,2 【分析】由偶函数的性质将 f(log2a)+f( )2f(1)化为:f(log2a)f(1), 再由 f(x)的单调性列出不等式,根据对数函数的性质求出 a 的取值范围 解:因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f( )f(log2a)f(log2a), 则 f(log2a)+f(
17、)2f(1)为:f(log2a)f(1), 因为函数 f(x)在区间0,+)上单调递增, 所以|log2a|1,解得 a2, 则 a 的取值范围是 ,2, 故选:A 11已知抛物线 C:x28y,过点 M(x0,y0)作直线 MA、MB 与抛物线 C 分别切于点 A、 B,且以 AB 为直径的圆过点 M,则 y0的值为( ) A1 B2 C4 D不能确定 【分析】设出 AB 的坐标,利用函数的导数,结合直线经过 M,转化求解 y0的值 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,由 x28y,可得 y ,所以 kMA ,kMB , 因为过点 M(x0,y0)作直线 MA、MB 与抛物
18、线 C 分别切于点 A、B,且以 AB 为直径的 圆过点 M, 所以,kMA kMB 1,可得 x1x216,直线 MA 的方程为:yy1 (x x1),x1x4(y+y1), 同理直线 MB 的方程为:yy2 (xx2),x2x4(y+y2), x2x1,可得 y 2,即 y02, 故选:B 12 点M在曲线G: y3lnx上, 过M作x轴垂线l, 设l与曲线y 交于点N, 若 , 且 P 点的纵坐标始终为 0,则称 M 点为曲线 G 上的“水平黄金点”则曲线 G 上的“水平 黄金点”的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【分析】设 M(x1,3lnx1),可得直线 l 的方程,联立曲线
19、y ,可得 N 的坐标,再由 向量的加法运算可得 P 的坐标,再由 P 的纵坐标始终为 0,考虑方程的解的个数,设出 函数,求得导数和单调性、极值和最值,判断最值的符号,即可得到所求个数 解:设 M(x1,3lnx1),则直线 l:xx1,由 可得 y ,即 N(x1, ), (2x 1,3lnx1 )( ,lnx1 ), 又 P 的纵坐标始终为 0,即 lnx1 0, 可令 f(x)lnx (x0),导数为 f(x) ,由 f(x)0,可 得 x , 则当 0x 时,f(x)0,f(x)递减;x 时,f(x)0,f(x)递增 可得 f(x)在 x 处取得极小值,且为最小值 f( )ln 11
20、ln3, 由 1ln30,则 f(x)在(0,+)有两个零点,即方程 lnx1 0 有两个不等实根, 所以曲线 G 上的“水平黄金点”的个数为 2, 故选:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13已知函数 f(x) , , 则 8 【分析】依题意得 f( )3,从而 f(f( )f(3),由此能求出结果 解:函数 f(x) , , 则 f( )log 3; f(3)3 218 故答案为:8 14ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若ABC 的面积为 ,则 A 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 解:由余弦定理可得 a2b
21、2c22bccosA, ABC 的面积为 , 又因为 SABC , 所以 tanA , 由 A(0,)可得 A 故答案为: 15 设 F1, F2分别是双曲线 , 的左、 右焦点, 若双曲线上存在点 P, 使F1PF260,且|PF1|2|PF2|,则双曲线的离心率为 【分析】根据点 P 为双曲线上一点,F1PF260,且|PF1|2|PF2|,推出 P 的位置, 然后求解双曲线的离心率 解: F1, F2分别是双曲线 , 的左、 右焦点, 若双曲线上存在点 P, 使F1PF260,且|PF1|2|PF2|, 可知:PF2F1F2, |PF2| ,tanF1PF2 ,即 2ac (c2a2),
22、 可得 e22e 0,e1, e 故答案为: 16正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是棱 DD1的中点,F 是侧面 CDD1C1上的动点,且 B1F 平面 A1BE,记 B1与 F 的轨迹构成的平面为 F,使得 B1FCD1 直线 B1F 与直线 BC 所成角的正切值的取值范围是 , 与平面 CDD1C1所成锐二面角的正切值为 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的各个侧面中,与 所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 (写出所有正确的命题序号) 【分析】分别取 CC1和 C1D1的中点为 M,N,连接 MN、MB1、NB1,然后利用面面平行 的判定定理证明平面 MNB1平
23、面 A1BE,从而确定平面 MNB1就是平面 当 F 为线段 MN 的中点时,可证明; 利用平移的思想,将直线 B1F 与直线 BC 所成角转化为 B1F 与 B1C1所成的角,由于 B1C1平面 MNC1,所以 tanFB1C1即为所求,进而求解即可; 平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所求,也就是求出 tanB1QC1即可; 由正方体的对称性和二面角的含义即可判断 解:如图所示, 设正方体的棱长为 2,分别取 CC1和 C1D1的中点为 M,N,连接 MN、MB1、NB1,则 MNA1B,MB1EA1, MN、MB1平面 MNB1,A1B、EA1平面 A1BE,且 MNM
24、B1M,A1BEA1A1, 平面 MNB1平面 A1BE, 当 F 在 MN 上运动时,始终有 B1F平面 A1BE,即平面 MNB1就是平面 对于,当 F 为线段 MN 的中点时,MB1NB1,B1FMN,MNCD1,B1F CD1,即正确; 对于,BCB1C1,直线 B1F 与直线 B1C1所成的角即为所求, B1C1平面 MNC1,C1F平面 MNC1,B1C1C1F, 直线 B1F 与直线 B1C1所成的角为FB1C1,且 tanFB1C1 , 而 FC1的取值范围为 , ,B1C12,所以 tanFB1C1 , ,即正确; 对于,平面 MNB1与平面 CDD1C1所成的锐二面角即为所
25、求, 取 MN 的中点 Q,因为 B1C1平面 MNC1,所以B1QC1就是所求角, 而 tanB1QC1 ,即正确; 对于,由对称性可知,与 所成的锐二面角相等的面有平面 BCC1B1,平面 ADD1A1, 平面 A1B1C1D1,平面 ABCD,即正确 故答案为: 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共 60 分. 17已知an是公差为 1 的等差数列,数列bn满足 b11,b2 ,anbn+1+bn+1nbn (1)求数列bn的通项公式; (2)设
26、cn ,求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】(1)先由题设条件求得 a1,再求 an,进而论证数列nbn是常数列,最后求得 bn; (2)先由(1)求得 cn,再由错位相减法求 Sn 解: (1) 由已知得: a1b2+b2b1, a11 又an是公差为 1 的等差数列, ann anbn+1+bn+1nbn, (n+1)bn+1nbn,所以数列nbn是常数列,nbnb11,bn ; (2)由(1)得:cn n ( ) n, Sn 1 2( ) 2+3( ) 3+n ( ) n, 又 S n1( ) 2+2( ) 3+3( ) 4+n ( ) n+1, 由可得: S n ( ) 2+( )
27、 3+( ) nn ( ) n+1 n ( ) n+1 1(n+2) ( ) n+1, Sn2(n+2) ( ) n 18 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法, 为了了解居民对垃圾分类的知晓 率和参与率, 引导居民积极行动, 科学地进行垃圾分类, 某小区随机抽取年龄在区间25, 85上的 50 人进行调研,统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表: 年龄 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75) 75,85) 频数 5 10 10 15 5 5 了解 4 5 8 12 2 1 (1)填写下面 2x2 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的
28、前提下认为以 65 岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异; 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a c 不了解 b d 合计 (2)若对年龄在45,55),25,35)的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研,记 选中的 4 人中不了解垃圾分类的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考公式和数据 K2 ,其中 na+b+c+d P(K2k0 ) 0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】(1)根据题意填写列
29、联表,计算观测值,对照临界值得出结论; (2)由题意知随机变量 X 的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望 值 解:(1)根据题意填写 2x2 列联表, 年龄低于 65 岁的人数 年龄不低于 65 岁的人 数 合计 了解 a29 c3 32 不了解 b11 d7 18 合计 40 10 50 计算 K2 6.2726.635, 所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下, 认为以 65 岁为分界点居民对了解垃圾分 类的有关知识有差异; (2)由题意知,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3; 计算 P(X0) , P(X1) , P(X2) , P(X3) ; 所以随
30、机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 所以 X 的数学期望为 E(X)0 1 2 3 19如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,已知四边形 AA1C1C 为矩形,AA16,ABAC4, BACBAA160,A1AC 的角平分线 AD 交 CC1于 D ()求证:平面 BAD平面 AA1C1C; ()求二面角 AB1C1A1的余弦值 【分析】()过点 D 作 DEAC 交 AA1于 E,连接 CE,BE,设 ADCEO,连接 BO,推导出 DEAE,四边形 AEDC 为正方形,CEAD,推导出BACBAE,从而 BCBE,CEBO,从而 CE平面 BAD,由此能证明平面 BAD平面
31、AA1C1C () 推导出 BOAD, BOCE, 从而 BO平面 AA1C1C, 建立空间直角坐标系 Oxyz, 利用向量法能求出二面角 AB1C1A1的余弦值 解:()如图,过点 D 作 DEAC 交 AA1于 E,连接 CE,BE, 设 ADCEO,连接 BO,ACAA1,DEAE, 又 AD 为A1AC 的角平分线,四边形 AEDC 为正方形,CEAD, 又ACAE,BACBAE,BABA,BACBAE,BCBE, 又O 为 CE 的中点,CEBO, 又AD,BO平面 BAD,ADBOO,CE平面 BAD 又CE平面 AA1C1C,平面 BAD平面 AA1C1C ()在ABC 中,AB
32、AC4,BAC60,BC4, 在 RtBOC 中, , , 又 AB4, ,BO2+AO2AB2,BOAD, 又 BOCE,ADCEO,AD,CE平面 AA1C1C,BO平面 AA1C1C, 故建立如图空间直角坐标系 Oxyz, 则 A(2,2,0),A1(2,4,0),C1(2,4,0), , , , , , , , , , , , , 设平面 AB1C1的一个法向量为 , , , 则 , , 令 x1 6,得 , , , 设平面 A1B1C1的一个法向量为 , , , 则 , ,令 ,得 , , , , ,故二面角 AB1C1A1的余弦值为 20已知椭圆 C: (ab0)的焦距为 2,且过
33、点 , (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形,若坐标原点 O 为BMN 的重心,求点 O 到 直线 MN 距离的最小值 【分析】(1)由题意焦距的值可得 c 的值,再由过点的坐标,及 a,b,c 之间的关系求 出 a,b 的值,进而求出椭圆的方程; (2)分 B 的纵坐标为 0 和不为 0 两种情况讨论,设 B 的坐标,由 O 是三角形的重心可 得 MN 的中点的坐标,设 M,N 的坐标,代入椭圆方程两式相减可得直线 MN 的斜率, 求出直线 MN 的方程,求出 O 到直线 MN 的距离的表达式,再由 B 的纵坐标的范围求出 d 的取值范围,进而求出 d 的最
34、小值 解:(1)由题意可得: ,解得:a24,b23, 所以椭圆的方程为: 1; (2)设 B(m,n),记线段 MN 中点 D, 因为 O 为BMN 的重心,所以 2 ,则点 D 的坐标为:( , ), 若 n0,则|m|2,此时直线 MN 与 x 轴垂直, 故原点 O 到直线 MN 的距离为 ,即为 1, 若 n0,此时直线 MN 的斜率存在, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2m,y1+y2n, 又 1, 1, 两式相减 0, 可得:kMN , 故直线 MN 的方程为:y (x ) ,即 6mx+8ny+3m 2+4n20, 则点 O 到直线 MN 的距离 d , 将
35、 1,代入得 d , 因为 0n23,所以 dmin , 又 1, 故原点 O 到直线 MN 的距离的最小值为 21已知函数 f(x)xlnxax2(a一、选择题) (1)讨论函数的极值点个数; (2)若 g(x)f(x)x 有两个极值点 x1,x2,试判断 x1+x2与 x1 x2的大小关系并证 明 【分析】(1)先求出 f(x)lnx+x 2axlnx2ax+1(x0),令 f(x)0,得 2a ,记 Q(x) ,则函数 f(x)的极值点个数转化为函数 Q(x)与 y2a 的交点个数,再利用导数得到 Q(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+) 上是减函 数,且 Q(x)maxQ(1)1,
36、对 a 分情况讨论,即可得到函数 f(x)的极值点个数情 况; (2)g(x)xlnxax2x,g(x)lnx2ax(x0),令 g(x)0,则 lnx2ax 0,所以 2a ,记 h(x) ,利用导数得到 h(x)在(0,e )上是增函数,在(e, +)上是减函数,h(x)maxh(e) ,当 xe 时,f(x)0,所以当 02a 即 1a 时 g(x) 有 2 个极值点 x1,x2,从而得到 ,所以 ln(x1+x2)ln (x1x2),即 x1+x2x1x2 解:(1)f(x)lnx+x 2axlnx2ax+1(x0), 令 f(x)0,得 2a ,记 Q(x) ,则 Q(x) , 令
37、Q(x)0,得 0x1;令 Q(x)0,得 x1, Q(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+) 上是减函数,且 Q(x)maxQ(1) 1, 当 2a1,即 a 时,f(x)0 无解,f(x) 无极值点, 当 2a1,即 a 时,f(x)0 有一解,2a ,即 lnx2ax+10,f(x)0 恒 成立,f(x)无极值点, 当 02a1,即 0a 时,f(x)0 有两解,f(x)有 2 个极值点, 当 2a0,即 a0 时,f(x)0 有一解,f(x)有一个极值点, 综上所述:当 a 时,f(x)无极值点;0a 时,f(x)有 2 个极值点;当 a0 时, f(x)有 1 个极点; (2)g(
38、x)xlnxax2x,g(x)lnx2ax(x0), 令 g(x)0,则 lnx2ax0,2a , 记 h(x) ,则 h(x) , 由 h(x)0 得 0xe,由 h(x)0,得 xe, h(x)在(0,e )上是增函数,在(e,+)上是减函数,h(x)maxh(e) , 当 xe 时,f(x)0, 当 02a 即 1a 时 g(x) 有 2 个极值点 x1,x2, 由 得,ln(x1x2)lnx1+lnx22a(x1+x2), , 不妨设 x1x2,则 1x1ex2,x1+x2x2e, 又 h(x)在(e,+) 上是减函数, 2a , ln(x1+x2)ln(x1x2), x1+x2x1x
39、2 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参 数方程 22已知曲线 C 的极坐标方程是 6cos0,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,直线 l 过点 M(0,2),倾斜角为 (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 的值 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解:
40、 (1)曲线 C 的极坐标方程是 6cos0,转换为直角坐标方程为 (x3) 2+y29 直线 l 过点 M(0,2), 倾斜角为 整理得参数方程为 (t 为参数) (2) 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 , 整理得 , 所以: ,t1t24, 所以求 选修 4-5:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+1|+|x2a| (1)若 a1,解不等式 f(x)4; (2) 对任意的实数 m, 若总存在实数 x, 使得 m22m+4f (x) , 求实数 a 的取值范围 【分析】(1)将 a1 代入 f(x)中,再利用零点分段法解不等式 f(x)4 即可; (2)根据条件可知,m22m+4 的取值范围是 f(x)值域的子集,然后求出 f(x)的值 域和 m22m+4 的取值范围,再求出 a 的范围 解:(1)当 a1 时,f(x)|x+1|+|x2| , , , f(x)4, 或 或 , 或1x2 或 , , 不等式的解集为x| (2)对任意的实数 m,若总存在实数 x,使得 m22m+4f(x), m22m+4 的取值范围是 f(x)值域的子集 f(x)|x+1|+|x2a|2a+1|,f(x)的值域为|2a+1|,+), 又 m22m+4(m1)2+33,|2a+1|3, 2a1, 实数 a 的取值范围为2,1