1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（三）北京卷高考数学押题仿真模拟（三） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合|02Pxx,且MP,则M可以是 （A）0,1 （B）1,3 （C）1,1 （D）0,5 2. 若 0 x是函数 2 1 ( )log
2、f xx x 的零点,则 （A） 0 10x （B） 0 01x （C） 0 12x （D） 0 24x 3. 若角的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 （A） sin() 2 （B） cos() 2 （C）sin() （D）cos() 4. 已知双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的右顶点和抛物线 2 8yx的焦点重合,则a的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5. 某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的所有棱长构成的集合为 （A）2, 4, 2 3, 6 （B）2, 4, 2 5, 4 3, 6 （C）2, 4, 2 5, 4 2, 6 （D）2, 4, 2
3、 5, 4 3 2 4 4 2 主视图 左视图 俯视图 2 6. 把函数2xy 的图象向左平移t个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为3 2xy , 则t的值为 （A） 3 log 2 （B） 2 log 3 （C）2 （D）3 7. 设 n a是公比为q的等比数列,且 1 1a ,则“1 n a 对任意 * nN成立”是“1q ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8. 记 22 1xy表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线22yx上一个动点.若区 域W上存在点Q,使得|OQPQ,则OP的最大值是 （A）1 （B）2 （C
4、）3 （D）2 9. 已知曲线 2sin()cos() 44 yxx与直线 1 2 y 相交,若在y轴右侧的交点自左向右依 次记为 123 ,P P P则 15 |PP等于 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 10. 已知函数( )yf x是定义在R上的偶函数,对任意xR都有(6)( )(3),f xf xf当 12 ,0,3,x x 且 12 xx时, 12 12 ( )() 0, f xf x xx 给出如下命题： (3)0;f 直线6x 是函数( )yf x的图象的一条对称轴; 函数( )yf x在 9, 6上为增函数; 函数( )yf x在 9,9上有四个零点. （A） （B） （
5、C） （D） 3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 已知i是虚数单位,若(1 i)(i)2a,aR,则a _. （12）在ABC!中,4a ,5b , 1 cos 8 C ,则c _, ABC S ! _. （13）已知数列 n a满足 1 1 nn aa nn ,且 5 15a ,则 8 a _. （ 14 ） 在 矩形ABCD中 ,2,1ABBC, 点E为BC的 中 点 , 点F在 线 段DC上. 若 AEAFAP,且点P在直线AC上,则| _.AF （15）已知集合 0 |01Axx.给定一个函数( )yf x,定义集
6、合 1 ( ), nn Ay yf x xA. 若 1nn AA 对任意的n N成立,则称函数( )yf x具有性质“P”. （）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是_; （）给出下列函数: 1 y x ; 2xy ; sin()1 2 yx ,其中具有性质“P”的函数的 序号是_.（写出所有正确答案的序号） 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知, ,a b c，分别为ABC内角, ,A B C， 的对边， 若ABC同时满足下列四个条件中的三个： 6 cos 3 B ； 2 cos22cos1 2 A A；6a
7、 ；2 2b. （）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （）在（）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 4 17. （本小题满分 14 分） 如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 2ACBCAB, 1 AB 平面ABC, 1 ACAC,D,E分 别是AC, 11 BC的中点. （）证明:/DE平面 11 AAB B; （）求DE与平面 11 BBC C所成角的正弦值. （18） （本小题满分 14 分） 据人民网报道,“美国国家航空航天局（NASA）发文称,相比 20 年前世界变得更绿 色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地
8、球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的 42%来 自于植树造林,下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据. （造林总面积为人工造林、 飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位:公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 29
9、7642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 5 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （）请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和 最小的地区; （）在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足 50% 的概率是多少？ （）从上表新封山育林面积超
10、过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化 林修复面积超过五万公顷的概率. 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( )e (1) x f xaxx . （）求曲线( )yf x在点( 2, ( 2)f处的切线的倾斜角; （）若函数( )f x的极大值大于1,求实数a的取值范围. 6 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为( 2,0)A ,两个焦点与短轴一个顶点构成等 腰直角三角形,过点(1,0)P且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M,N不同的两点. （）求椭圆C的方程; （）当AM与MN垂直时,求AM的长; （）若
11、过点P且平行于AM的直线交直线 5 2 x 于点Q,求证:直线NQ恒过定点. 21.（本小题满分 14 分） 无穷数列 n a满足: 1 a为正整数,且对任意正整数 1 , n n a 为前n项 12 , n a aa中等于 n a的项的个数. （）若 1 2,a 请写出数列 n a的前7项; （）求证:对于任意正整数,M必存在 *, kN使得; k aM （）求证:“ 1 1a ”是“存在 *, mN当nm时,恒有 2nn aa 成立” 的充要条件. 7 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（三）北京卷高考数学押题仿真模拟（三） 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必
12、将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合|02Pxx,且MP,则M可以是 （A）0,1 （B）1,3 （C）1,1 （D）0,5 2. 若 0 x是函数 2 1 ( )logf xx x 的零点,则 （A） 0 10x （B） 0 01x （C） 0 12x （D） 0 24x 3. 若角的终边在第二象限,则下列三角
13、函数值中大于零的是 （A） sin() 2 （B） cos() 2 （C）sin() （D）cos() 4. 已知双曲线 22 2 1(0) 3 xy a a 的右顶点和抛物线 2 8yx的焦点重合,则a的值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5. 某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的所有棱长构成的集合为 （A）2, 4, 2 3, 6 （B）2, 4, 2 5, 4 3, 6 （C）2, 4, 2 5, 4 2, 6 （D）2, 4, 2 5, 4 3 2 4 4 2 主视图 左视图 俯视图 8 6. 把函数2xy 的图象向左平移t个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为3 2x
14、y , 则t的值为 （A） 3 log 2 （B） 2 log 3 （C）2 （D）3 7. 设 n a是公比为q的等比数列,且 1 1a ,则“1 n a 对任意 * nN成立”是“1q ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8. 记 22 1xy表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线22yx上一个动点.若区 域W上存在点Q,使得|OQPQ,则OP的最大值是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 9. 已知曲线 2sin()cos() 44 yxx与直线 1 2 y 相交,若在y轴右侧的交点自左向右依 次记为 123 ,P
15、 P P则 15 |PP等于 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 10. 已知函数( )yf x是定义在R上的偶函数,对任意xR都有(6)( )(3),f xf xf当 12 ,0,3,x x 且 12 xx时, 12 12 ( )() 0, f xf x xx 给出如下命题： (3)0;f 直线6x 是函数( )yf x的图象的一条对称轴; 函数( )yf x在 9, 6上为增函数; 函数( )yf x在 9,9上有四个零点. （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 9 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 已知i是虚数单位,若(
16、1 i)(i)2a,aR,则a _. 答案：1 （12）在ABC!中,4a ,5b , 1 cos 8 C ,则c _, ABC S ! _. 答案： 15 7 6, 4 （13）已知数列 n a满足 1 1 nn aa nn ,且 5 15a ,则 8 a _. 答案：24 （ 14）在矩 形ABCD中 ,2,1ABBC,点E为BC的 中点 ,点F在 线段DC上. 若 AEAFAP,且点P在直线AC上,则| _.AF 答案：2 （15）已知集合 0 |01Axx.给定一个函数( )yf x,定义集合 1 ( ), nn Ay yf x xA. 若 1nn AA 对任意的n N成立,则称函数(
17、 )yf x具有性质“P”. （）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是_; （）给出下列函数: 1 y x ; 2xy ; sin()1 2 yx ,其中具有性质“P”的函数的 序号是_.（写出所有正确答案的序号） 答案：1yx（答案不唯一）, 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知, ,a b c，分别为ABC内角, ,A B C， 的对边， 若ABC同时满足下列四个条件中的三个： 6 cos 3 B ； 2 cos22cos1 2 A A；6a ；2 2b. 10 （）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （）在
18、（）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】 （1），或，； （2） 3. 【解】 （）由 2 cos22cos1 2 A A得， 2 2coscos10AA ， 解得 1 cos 2 A或cos1A（舍） ，所以 3 A ， 因为 61 cos 32 B ，且 0,B，所以 2 3 B，所以AB，矛盾. 所以ABC不能同时满足，. 故ABC满足，或，； （）若ABC满足， 因为 222 2cosbacacB，所以 2 6 8626 3 cc ，即 2 420cc . 解得62c . 所以ABC的面积 1 sin32 2 Sac
19、B. 若ABC满足，由正弦定理 sinsin ab AB ，即 62 2 sin3 2 B ，解得sin1B， 所以 2c ，所以ABC的面积 1 sin3 2 SbcA. 11 A C1A1 C B1 B D E y x z 17. （本小题满分 14 分） 如图,在三棱柱 111 ABCABC中, 1 2ACBCAB, 1 AB 平面ABC, 1 ACAC,D,E分 别是AC, 11 BC的中点. （）证明:/DE平面 11 AAB B; （）求DE与平面 11 BBC C所成角的正弦值. 解（）取 11 AB的中点M,连接MA、ME. 因为E、M分别是 11 BC、 11 AB的中点,
20、所以ME 11 AC,且ME 11 1 2 AC . 在三棱柱 111 ABCABC 中, 11 ADAC,且 11 1 2 ADAC , 所以MEAD,且ME=AD, 所以四边形ADEM是平行四边形, 所以DEAM. 又AM 平面 11 AAB B,DE 平面 11 AAB B, 所以 / /DE 平面 1 AABB. （）在三棱柱 111 ABCABC 中, 11 /BCBC, 因为 11 ACBC ,所以AC BC . 在平面 1 ACB内,过点C作 1 / /CzAB, 因为, 1 AB 平面ABC, 所以,Cz 平面ABC. 12 建立空间直角坐标系C-xyz,如图.则 (0,0,0
21、)C , (2,0,0)B , 1(0,2,2) B , 1( 2,2,2) C , (0,1,0)D , ( 1,2,2)E . ( 1,1,2)DE , (2,0,0)CB , 1 (0,2,2)CB . 设平面 11 BBC C的法向量为( , , )x y zn ,则 1 0 0 CB CB n n ,即 20 220 x yz , 得 0x ,令1y ,得1 z ,故(0,1, 1)n . 设直线 DE 与平面 11 BBC C所成的角为 , 则 sin cos, | | DE DE DE n n n 3 6 , 所以直线DE与平面 11 BBC C所成角的正弦值为 3 6 . （1
22、8） （本小题满分 14 分） 据人民网报道,“美国国家航空航天局（NASA）发文称,相比 20 年前世界变得更绿 色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的 42%来 自于植树造林,下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据. （造林总面积为人工造林、 飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位:公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 6565
23、3 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 13 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （）请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总
24、面积的比值最大和 最小的地区; （）在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足 50% 的概率是多少？ （）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化 林修复面积超过五万公顷的概率. 解:（）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省, 人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省 （）设在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为 事件A 在十个地区中,有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%, 则 3 ( ) 10 P A （）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事
25、件B 新封山育林面积超过十万公顷有4个地区:内蒙、河北、新疆、青海,分别设为 1234 ,a a a a,其中退化林修复面积超过五万公顷有 2 个地区:内蒙、河北即 12 ,a a 从4个地区中任取2个地区共有6种情况, 121314232434 ,a aa aa aa aa aa a 14 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况, 1213142324 ,a aa aa aa aa a 则 5 ( ) 6 P B 19. （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( )e (1) x f xaxx . （）求曲线( )yf x在点( 2, ( 2)f处的切线的倾斜角; （）若
26、函数( )f x的极大值大于1,求实数a的取值范围. 解:（）因为 2 ( )e (1) x f xaxx, 所以( )e (2)(1) x fxxax 所以( 2)0f, 所以切线的倾斜角为0 （）因为( )e (2)(1) x f xxax 当0a 时,令( )0fx ,得 1 2x 当x变化时,( ), ( )fxf x的变化情况如下表: x (, 2) 2 ( 2,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 由上表函数( )f x只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去 当0a 时,令( )0fx ,得 12 1 2,xx a 15 当0a 时, 当x变化时,( ), ( )fxf x的变
27、化情况如下表: x (, 2) 2 1 ( 2,) a 1 a 1 (,) a ( )fx 0 0 ( )f x 极小值 极大值 由上表函数( )f x的极大值 1 0 1 ()ee1 a f a ,满足题意 当 1 2 a 时, 2 1 ( )e (2)0 2 x fxx, 所以函数( )f x单调递增,没有极大值,舍去 当 1 2 a 时,当x变化时,( ), ( )fxf x的变化情况如下表: x (, 2) 2 1 ( 2,) a 1 a 1 (,) a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 由上表函数( )f x的极大值 2 ( 2)e (41)1fa , 解得 2 e1
28、 4 a 当 1 0 2 a时,当x变化时,( ), ( )fxf x的变化情况如下表: x 1 (,) a 1 a 1 (, 2) a 2 ( 2,) ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 16 由上表函数( )f x的极大值 1 1 ()e1 a f a ,不合题意 综上,a的取值范围是 2 e1 (,0)(,) 4 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为( 2,0)A ,两个焦点与短轴一个顶点构成等 腰直角三角形,过点(1,0)P且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M,N不同的两点. （）求椭圆C的方程; （）当AM与MN
29、垂直时,求AM的长; （）若过点P且平行于AM的直线交直线 5 2 x 于点Q,求证:直线NQ恒过定点. 解:（）因为( 2,0)A ,所以2a 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形, 所以bc 又 222 bca 所以2bc, 所以椭圆方程为 22 1 42 xy （）方法一方法一: 设(,) mm M xy 1 m MP m y k x ,= 2 m AM m y k x 1 AMMP kk 22 1 12 1 42 mm mm mm yy xx xy 17 0 2 m m x y , 2 0 m m x y （舍） 所以= 6AM 方法二方法二: 设(,) mm M xy, 因为
30、AM与MN垂直, 所以点M在以AP为直径的圆上, 又以AP为直径的圆的圆心为 1 (,0) 2 ,半径为 3 2 ,方程为 22 19 () 24 xy 22 22 19 () 24 1 42 mm mm xy xy , 0 2 m m x y , 2 0 m m x y （舍） 所以= 6AM 方法三方法三: 设直线AM的斜率为k,:(2) AM lyk x,其中0k 22 (2) 1 42 yk x xy 化简得 2222 (1 2)8840kxk xk 当0 时, 2 2 84 1 2 AM k xx k 得 2 2 24 1 2 M k x k , 2 4 21 M k y k 显然直
31、线,AM MN存在斜率且斜率不为 0. 因为AM与MN垂直, 18 所以 2 2 2 4 21 = 24 1 12 MP k k k k k 1 k 得 2 1 2 k , 2 2 k ,0 M x 所以 2 = 126 M AMkx （）直线NQ恒过定点(2,0) 设 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy, 由题意,设直线MN的方程为1xmy, 由 22 1, 240 xmy xy 得 22 (2)230mymy , 显然,0 ,则 12 2 2 2 m yy m , 12 2 3 2 y y m , 因为直线PQ与AM平行,所以 1 1 2 PQAM y kk x , 则PQ的
32、直线方程为 1 1 (1) 2 y yx x , 令 5 2 x ,则 1 1 11 3 3 2 22(3) y y y xmy ,即 1 1 53 ( ,) 2 2(3) y Q my 1 2 11221 12 2 3 2(3)263 5 (3)(23) 2 NQ y y mymy yyy k mymy x , 直线NQ的方程为 1221 22 2 1221 263 () 2639 my yyy yyxx m y ymymy 122112212 2 22 12211221 263(263 )(1) 26392639 my yyymy yyymy yxy m y ymymym y ymymy
33、12211221 22 12211221 2632153 26392639 my yyymy yyy x m y ymymym y ymymy 令0y ,得 1221 1221 2153 263 my yyy x my yyy 因为 1212 23()my yyy,故 2 2 18 2 9 y x y , 所以直线NQ恒过定点(2,0). 19 21.（本小题满分 14 分） 无穷数列 n a满足: 1 a为正整数,且对任意正整数 1 , n n a 为前n项 12 , n a aa中等于 n a的项的个数. （）若 1 2,a 请写出数列 n a的前7项; （）求证:对于任意正整数,M必存在
34、 *, kN使得; k aM （）求证:“ 1 1a ”是“存在 *, mN当nm时,恒有 2nn aa 成立” 的充要条件. 解:（）2,1,1,2,2,3,1 （）假设存在正整数M,使得对任意的 * kN, k aM. 由题意,1,2,3,., k aM 考虑数列 n a的前 2 1M 项: 2 123 1 , M a a aa 其中至少有1M 项的取值相同,不妨设 121M iii aaa 此时有: 1 1 1 M i aMM ,矛盾. 故对于任意的正整数M,必存在 * kN,使得 k aM. （）充分性: 当 1 1a 时,数列 n a为1,1,2,1,3,1,4,1,1,1, ,kk
35、 特别地, 21k ak , 2 1 k a 20 故对任意的 * nN （1）若n为偶数,则 2 1 nn aa （2）若n为奇数,则 2 31 22 nn nn aa 综上, 2nn aa 恒成立,特别地,取1m 有当nm时,恒有 2nn aa 成立 必要性: 方法一:假设存在 1 ak（1k ）,使得“存在 * mN,当nm时,恒有 2nn aa 成立” 则数列 n a的前 2 1k 项为 , 1,1,2,1,3,1,4,1,1,1, 2,2,3,2,4,2,1,2, 3,3,4,1,3, 2,2,1,2, 1,1, k kk kk kk kkkkk kkk k 后面的项顺次为 1,1,
36、1,2,1, 2,1,2,2,2, 3,1,3,2,3, kkkk kkkk kkkk 对任意的m,总存在nm,使得 n ak, 2 1 n a ,这与 2nn aa 矛盾,故若存在 * mN,当nm 时,恒有 2nn aa 成立,必有 1 1a 方法二:若存在 * mN,当nm时, 2nn aa 恒成立,记 12 max, m a aas. 由第（2）问的结论可知:存在 * kN,使得 k as（由 s 的定义知1km） 不妨设 k a是数列 n a中第一个 大于等于1s 的项,即 121 , k a aa 均小于等于 s. 21 则 1 1 k a .因为1km ,所以 11kk aa ,
37、即 1 1 k a 且 1k a 为正整数,所以 1 1 k a . 记1 k ats ,由数列 n a的定义可知,在 121 , k a aa 中恰有 t 项等于 1. 假设 1 1a ,则可设 12 1 t iii aaa,其中 12 11 t iiik, 考虑这 t 个 1 的前一项,即 12 111 , t iii aaa , 因为它们均为不超过 s 的正整数,且1ts,所以 12 111 , t iii aaa 中一定存在两项相等, 将其记为 a,则数列 n a中相邻两项恰好为( ,1)a的情况至少出现 2 次,但根据数列 n a的定义 可知:第二个 a 的后一项应该至少为 2,不能为 1,所以矛盾！ 故假设 1 1a 不成立,所以 1 1a ,即必要性得证！ 综上,“ 1 1a ”是“存在 * mN,当nm时,恒有 2nn aa 成立”的充要条件.
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