1、2020 年广东省广州市增城区中考数学一模试卷年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下面各数中，比2 小的数是（ ） A1 B3 C0 D2 2如图是由 6 个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） A2m3+m33m6 B （mn2）2mn4 C2m4m28m2 Dm5m3m2 4如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 5据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30， 29，25，26，28，29
2、，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 29 6下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 7若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y（k0）的图象上则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y3y1 Dy1y3y2 8为了美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木共 200 棵进行绿化，其中甲种花木每棵 80 元，乙种花木每棵 100 元，若购买甲、乙两种花木共花费 17600 元，求学校购买甲、乙 两种花木各多少棵？设购买甲种花木 x
3、 棵、乙种花木 y 棵，根据题意列出的方程组正确 的是（ ） A B C D 9函数 yax2（a0）与 yax2（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 10如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角 三角形扔掉； 在余下纸片上依次重复以上操作， 当完成第 2020 次操作时， 余下纸片的面积为 （ ） A22019 B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11如图，PA、PB 是O 的切线，若APO25，则BPA 12分解因式：4x2y4xy+y 13函数 y
4、的自变量 x 的取值范围是 14元朝朱世杰的（算学启蒙）一书记载： “今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十 里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之 ”运用数学知识求得：良马行 日 追上驽马 15如图，AB 为O 的直径，AB4，C 为半圆 AB 的中点，P 为上一动点，延长 BP 至 点 Q，使 BPBQAB2若点 P 由 A 运动到 C，则点 Q 运动的路径长为 16如图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ、DP 交于点 O，并分别与边 CD、 BC 交于点 F、E，连接 AE，下列结论：AQDP；OA2OEOP；SAODS四边 形OECF；当 BP1 时，tanOA
5、E，其中正确结论的是 （请将正确结论 的序号填写在横线上） 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 18如图，ABAE，12，CD求证：ABCAED 19已知 A（） （1）化简 A； （2）已知 x24x+5，求 A 的值 20某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵， D唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了 抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有 1200 名
6、学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？ （4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从 这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的 两人恰好是甲和乙的概率 21某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片的单价少 9 元，已知 该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等 （1）求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯 片？ 22如图，一次函数 ykx+b
7、 与反比例函数 y的图象交于 A（1，4） ，B（4，n）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点 P 是 x 轴上的一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA+PB 最小 23如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上 （1）尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点 D；连接 OD，交 BC 于点 E（不写 作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑） ； （2）探究 OE 与 AC 的位置及数量关系，并证明你的结论 24已知二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一点 B， 抛物线的顶点为 D （1）求此二次函数解析
8、式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25如图，在 ABC 中，A90，AB3，AC4，点 M、Q 分别是边 AB、BC 上的动点 （点 M 不与 A、B 重合） ，且 MQBC，过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N，连接 NQ， 设 BQx （1）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，并说明理由； （2）当 BM2 时，求 x 的值； （3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值 参考答案与试
9、题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下面各数中，比2 小的数是（ ） A1 B3 C0 D2 【分析】 求出1、 2、3 的绝对值， 比较即可； 根据有理数的大小比较法则比较2、 0、2 即可 【解答】解：|1|1|2|2，|3|3， 123， 123， 202， 比2 小的数是3， 故选：B 2如图是由 6 个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层有 2 个正方形 故选：B 3下列运算正确
10、的是（ ） A2m3+m33m6 B （mn2）2mn4 C2m4m28m2 Dm5m3m2 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和单项式与单项式的乘法判断即 可 【解答】解：A、2m3+m33m3，选项错误，不符合题意； B、 （mn2）2m2n4，选项错误，不符合题意； C、2m4m28m3，选项错误，不符合题意； D、m5m3m2，选项正确，符合题意； 故选：D 4如图，ABCD，ADCD，150，则2 的度数是（ ） A55 B60 C65 D70 【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案 【解答】解：ADCD，150， CADACD65， ABCD， 2A
11、CD65 故选：C 5据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30， 29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A25 和 30 B25 和 29 C28 和 30 D28 和 29 【分析】根据中位数和众数的概念解答 【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30， 处于最中间是数是 28， 这组数据的中位数是 28， 在这组数据中，29 出现的次数最多， 这组数据的众数是 29， 故选：D 6下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心
12、对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 故选：A 7若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y（k0）的图象上则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y3y1 Dy1y3y2 【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内 点的坐标特点及函数的增减性解答 【解答】解：反比例函数 y（k0）中，k0，
13、 此函数图象在二、四象限， 10， 点 A（1，y1）在第二象限， y10， 320， B（2，y2） ，C（3，y3）两点在第四象限， y20，y30， 函数图象在第四象限内为增函数，32， y2y30 y1，y2，y3的大小关系为 y2y3y1或 y1y3y2 故选：D 8为了美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木共 200 棵进行绿化，其中甲种花木每棵 80 元，乙种花木每棵 100 元，若购买甲、乙两种花木共花费 17600 元，求学校购买甲、乙 两种花木各多少棵？设购买甲种花木 x 棵、乙种花木 y 棵，根据题意列出的方程组正确 的是（ ） A B C D 【分析】设购买甲种花木 x
14、棵、乙种花木 y 棵，根据总价单价数量结合购买两种树 苗共 200 棵，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：设购买甲种花木 x 棵、乙种花木 y 棵， 根据题意得： 故选：A 9函数 yax2（a0）与 yax2（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题意分情况进行分析：当 a0 时，抛物线开口向上，直线与 y 轴的负半轴 相交，经过第一、三、四象限，当 a0 时，抛物线开口向下，直线与 y 轴的负半轴相 交，经过第二、三、四象限，因此选择 A 【解答】解：在 yax2， b2， 一次函数图象与 y 轴的负半轴相交， 当 a0 时，
15、 二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， 当 a0 时， 二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选：A 10如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角 三角形扔掉； 在余下纸片上依次重复以上操作， 当完成第 2020 次操作时， 余下纸片的面积为 （ ） A22019 B C D 【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下 面积为原来面积的一半即可解答 【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后
16、沿折痕剪开， 第一次：余下面积 S1， 第二次：余下面积 S2， 第三次：余下面积 S3， 当完成第 2020 次操作时，余下纸片的面积为 S2020 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11如图，PA、PB 是O 的切线，若APO25，则BPA 50 【分析】根据切线长定理得到BPOAPO，结合图形计算，得到答案 【解答】解：PA、PB 是O 的切线， BPOAPO25， BPA50， 故答案为：50 12分解因式：4x2y4xy+y y（2x1）2 【分析】原式提取 y，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式y（4x24x+1）y（2x1）2 故答案为：y（2x1）
17、2 13函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x10， 解得 x1 故答案为 x1 14元朝朱世杰的（算学启蒙）一书记载： “今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十 里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之 ”运用数学知识求得：良马行 20 日追 上驽马 【分析】设良马行 x 日追上驽马，根据路程速度时间结合两马的路程相等，即可得 出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设良马行 x 日追上驽马，则此时驽马行了（x+12）日， 依题意，得：240x150（x+12） ， 解得：x20 故答案为：
18、20 15如图，AB 为O 的直径，AB4，C 为半圆 AB 的中点，P 为上一动点，延长 BP 至 点 Q，使 BPBQAB2若点 P 由 A 运动到 C，则点 Q 运动的路径长为 4 【分析】连接 AQ，AP首先证明ABPQBA，则APBQAB90，然后求得 点 P 与点 C 重合时，AQ 的长度即可 【解答】解：如图所示：连接 AQ，AP BPBQAB2， 又ABPQBA， ABPQBA， APBQAB90， QA 始终与 AB 垂直 当点 P 在 A 点时，Q 与 A 重合， 当点 P 在 C 点时，AQ2OC4，此时，Q 运动到最远处， 点 Q 运动路径长为 4 故答案为：4 16如
19、图，正方形 ABCD 的边长是 3，BPCQ，连接 AQ、DP 交于点 O，并分别与边 CD、 BC 交于点 F、E，连接 AE，下列结论：AQDP；OA2OEOP；SAODS四边 形OECF；当 BP1 时，tanOAE，其中正确结论的是 （请将正确结论 的序号填写在横线上） 【分析】由四边形 ABCD 是正方形，得到 ADBC，DABABC90，根据全等 三角形的性质得到PQ，根据余角的性质得到 AQDP；故正确；根据相似三角 形的性质得到 AO2ODOP，由 ODOE，得到 OA2OEOP；故错误；根据全等三 角形的性质得到 CFBE， DFCE， 于是得到 SADFSDFOSDCESD
20、OF， 即 SAOD S四边形OECF； 故错误； 根据相似三角形的性质得到 BE， 求得 QE， QO， OE，由三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADBC，DABABC90， BPCQ， APBQ， 在DAP 与ABQ 中， ， DAPABQ（SAS） ， PQ， Q+QAB90， P+QAB90， AOP90， AQDP，故正确； DOAAOP90，ADO+PADO+DAO90， DAOP， DAOAPO， ， AO2ODOP， AEAB， AEAD， ODOE， OA2OEOP；故错误； 在CQF 与BPE 中 ， CQFBPE（ASA） ， CFB
21、E， DFCE， 在ADF 与DCE 中， ， ADFDCE（SAS） ， SADFSDFOSDCESDOF， 即 SAODS四边形OECF；故错误； BP1，AB3， AP4， PBEPAD， ， BE， QE， QOEPAD， ， QO，OE， AO5QO， tanOAE，故正确， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 9 小题）小题） 17解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组 的解集 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x3， 则不等式组的解集是：1x3， 不等式组的解集在数轴上表示为： 18如图，
22、ABAE，12，CD求证：ABCAED 【分析】 据12 可得BACEAD， 再加上条件 ABAE， CD 可证明ABC AED 【解答】证明：12， 1+EAC2+EAC，即BACEAD 在ABC 和AED 中， ， ABCAED（AAS） 19已知 A（） （1）化简 A； （2）已知 x24x+5，求 A 的值 【分析】 （1）根据分式的减法和除法可以化简 A； （2）根据 x24x+5，然后代入化简后 A 的式子，即可得到 A 的值 【解答】解： （1）A（） ； （2）x24x+5， A 20某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A器乐，B舞蹈，C朗诵， D唱歌每名学生从中
23、选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了 抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 100 人； （2）补全条形统计图； （3）该校共有 1200 名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？ （4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从 这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的 两人恰好是甲和乙的概率 【分析】 （1）根据 A 项目的人数和所占的百分比求出总人数即可； （2）用总人数减去 A、C、D 项目的人数，求出 B 项目的人数，从而
24、补全统计图； （3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可； （4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的学生共有：3030%100（人） ； 故答案为：100； （2）喜欢 B 类项目的人数有：10030104020（人） ，补图如下： （3）选择“唱歌”的学生有：1200480（人） ； （4）根据题意画树形图： 共有 12 种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有 2 种情况， 则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是 21某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯
25、片的单价少 9 元，已知 该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等 （1）求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯 片？ 【分析】 （1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x9）元/条，根据数 量总价单价结合用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相 等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200a）条 B 型芯片，根
26、据总价单价数量，即 可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x9）元/条， 根据题意得：， 解得：x35， 经检验，x35 是原方程的解，且符合题意， x926 答：A 型芯片的单价为 26 元/条，B 型芯片的单价为 35 元/条 （2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200a）条 B 型芯片， 根据题意得：26a+35（200a）6280， 解得：a80 答：购买了 80 条 A 型芯片 22如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（1，4） ，B（4，n）两点 （1）求反比例函
27、数和一次函数的解析式； （2）点 P 是 x 轴上的一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA+PB 最小 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y中求出 m 得到反比例函数解析式为 y；再利用 反比例函数解析式确定 B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）作 B 点关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于 P，如图，则 B（4，1） ， 利用两点之间线段最短可判断此时 PA+PB 的值最小，再利用待定系数法其凷直线 AB 的解析式，然后求出它与 x 轴的交点坐标即可 【解答】解： （1）把 A（1，4）代入 y得 m144， 反比例函数解析式为 y； 把 B（4，
28、n）代入 y得 4n4，解得 n1，则 B（4，1） ， 把 A（1，4） ，B（4，1）代入 ykx+b 得，解得， 一次函数解析式为 yx+5； （2）作 B 点关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于 P，如图，则 B（4，1） PA+PBPA+PBAB， 此时 PA+PB 的值最小， 易得直线 AB的解析式为 yx+， 当 y0 时，x+0，解得 x， P（，0） 23如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上 （1）尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点 D；连接 OD，交 BC 于点 E（不写 作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑） ； （2）探究 OE
29、与 AC 的位置及数量关系，并证明你的结论 【分析】 （1）利用基本作图作 AD 平分BAC，然后连接 OD 得到点 E； （2）由 AD 平分BAC 得到BADBAC，由圆周角定理得到BADBOD， 则BODBAC，再证明 OE 为ABC 的中位线，从而得到 OEAC，OEAC 【解答】解： （1）如图所示； （2）OEAC，OEAC 理由如下： AD 平分BAC， BADBAC， BADBOD， BODBAC， OEAC， OAOB， OE 为ABC 的中位线， OEAC，OEAC 24已知二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一点 B， 抛
30、物线的顶点为 D （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入二次函数 yax2+bx3a 求得 a、b 的值即 可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段 BC、CD、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起 P 点横坐标 和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解 【解答】解：
31、（1）二次函数 yax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ， 根据题意，得， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 （2）由 yx2+2x+3（x1）2+4 得，D 点坐标为（1，4） ， 定义抛物线 yx2+2x+3令 y0，x2+2x+30，解得 x1 或 3， A（1，0） ，B（3，0） ， CD， BC3， BD2， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD 是直角三角形； （3）存在 yx2+2x+3 对称轴为直线 x1 若以 CD 为底边，则 P1DP1C， 设 P1点坐标为（x，y） ，根据勾股定理可得 P1
32、C2x2+（3y）2，P1D2（x1）2+（4 y）2， 因此 x2+（3y）2（x1）2+（4y）2， 即 y4x 又 P1点（x，y）在抛物线上， 4xx2+2x+3， 即 x23x+10， 解得 x1，x21，应舍去， x， y4x， 即点 P1坐标为（，） 若以 CD 为一腰， 点 P2在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知， 点 P2与点 C 关于直线 x1 对称， 此时点 P2坐标为（2，3） 符合条件的点 P 坐标为（，）或（2，3） 25如图，在 ABC 中，A90，AB3，AC4，点 M、Q 分别是边 AB、BC 上的动点 （点 M 不与 A、B 重合） ，且 MQBC，
33、过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N，连接 NQ， 设 BQx （1）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，并说明理由； （2）当 BM2 时，求 x 的值； （3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值 【分析】 （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； （2）证BMQBCA 得，据此知，解之可得 （3）根据勾股定理求出 BC，根据相似三角形的性质用 x 表示出 QM、BM，根据梯形面 积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可 【解答】解： （1）当 BQMN 时，四边形 BMNQ 为平行四边形， MNBC， AMNABC， ， 设 AM3a，则 MN5a， BQMN5a， MNBQ， NMQMQB90， AMN+BMQ90， 又B+BMQ90， BAMN， 又MQBA90， MBQNMA， ，即， 解得 a， BQ， MNBQ，BQMN， 四边形 BMNQ 为平行四边形； （2）BQMA90，BB， BMQBCA， ，即， 解得 x； （3）A90，AB3，AC4， BC5， QBMABC， ，即， 解得，QMx，BMx， MNBC， ，即， 解得，MN5x， 则四边形 BMNQ 的面积（5x+x）x（x）2+， 当 x时，四边形 BMNQ 的面积最大，最大值为
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