1、2020 高考数学模拟试卷（1） 南京师范大学 数学数学 I I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上 1.已知集合4 , 2,3 , 2BA，则 = . 2.设 i 是虚数单位，复数)R,(babiaz，若iz24 2 ，则ab= . 3.将 6 个数据 1,2,3,4,5,a 去掉最大的一个，剩下的 5 个数据的平均数为 1.8，则 a= . 4.右图是一个算法流程图，则输出的 S的值是 . (用数据作答) 5.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 . 6.函数)2lg(1)(xxf的定义域为
2、. 7.曲线)0)( 4 sin(2 xy的一个对称中心的坐标为)0 , 3(，则的最 小值为 . 8.设双曲线)0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点到左准线的距离与它到右准线的 距离的比为2:1，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别 为 21,d d，则 2 1 d d = . 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹
3、的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 一律无效。 4 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 k=0,S=1 k10 开始 结束 是 否 k=k+1 输出 S S=S+ （第 4 题图） x y O B A （第 14 题） C A N M B （第 13 题） 9.如右图， 一个圆柱的体积为4， 、 分别是上、 下底面直径， 且 ，则三棱锥 的体积为 . 10.已知 0,sin , 0, )( 3 xx xxx xf， 0,cos , 0,3
4、 )( 2 xxx xxx xg则不等式6)(xgf的解集为 . 11.直线baxy是曲线1xy的切线，则ba的最小值为 . 12.各项为正且公差不为 0 的等差数列 n a的第 1 项、第 2 项、第 6 项恰好是等比数列 n b 的连续三项 （顺序不变） ， 设 13221 111 nn n aaaaaa S， 若对于一切的 * Nn， 1 1 a Sn， 则 1 a的最小值为 . 13.在ABC中，AC=2BC=4，ACB为钝角，,M N是边AB上的两个 动点，且1MN ，若CM CN的最小值为 4 3 ，则ACBcos= . 14.设ba,是两个实数，ba 0，直线: l ykxm和圆
5、 22 1xy交于两点 A，B，若 对于任意的,bak，均存在正数m，使得OAB的面积均不小于 4 3 ，则ab2的最大 值为 . P A F E B D C 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD 平面ABCD，PAPD， PAPD，E，F分别为AD，PB的中点， （1）求证：平面PAB 平面PCD； （2）求证：EF平面PCD 16. 已知, 均为锐角，且 5 tantan. 43 （1）求cos2的值； （2）若 1 sin, 3 求tan的值.
6、 O B Q P A 17.一种机械装置的示意图如图所示， 所有构件都在同一平面内， 其中， O， A 是两个固定点， OA=2 米， 线段 AB 是一个滑槽 （宽度忽略不计） ， AB=1 米， 60OAB， 线段PQOQOP, 是三根可以任意伸缩的连接杆，OQOP ，QPO,按逆时针顺序排列，该装置通过连接 点 Q 在滑槽 AB 中来回运动，带动点 P 运动，在运动过程中，始终保持OQOP 4 1 ， （1）当点 Q 运动到 B 点时，求 OP 的长； （2）点 Q 在滑槽中来回运动时，求点 P 的运动轨迹的长度. 18. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆C:)0(
7、1 2 2 2 2 ba b y a x , 直 线 )0R,(:ktktkxyl. （1）若椭圆 C 的一条准线方程为4x，且焦距为 2，求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的左焦点为 F，上顶点为 A，直线l过点 F，且与 FA 垂直，交椭圆 C 于 M,N （M 在 x 轴上方） ，若FMNF2，求椭圆 C 的离心率； （3）在（1）的条件下，若椭圆 C 上存在相异两点 P,Q 关于直线 l 对称，求 2 t的取值范围 （用 k 表示）. 19.已知函数 f(x)(axa1) 1，g(x)1 2ax 2x1 2a，其中 aR. (1)当 a0 时，求函数 F(x)f(x)1 2(x1
8、) 2在 R 上的零点个数； (2)对任意的 x1，有 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围 20.若无穷数列 n a和无穷数列 n b满足：存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 Aba nn ，则称数列 n a与 n b具有关系)(AP. （1）设无穷数列 n a和 n b均是等差数列，且)N(2,2 * nnbna nn ，问:数列 n a 与 n b是否具有关系) 1 (P? 说明理由; （2）设无穷数列 n a是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列，1 1 nn ab， * Nn，证明:数 列 n a与 n b具有关系)(AP;并求 A 的最小值； （3） 设无穷数
9、列 n a是首项为 1， 公差为 d)R( d的等差数列， 无穷数列 n b是首项为 2， 公比为)N( * qq的等比数列，试求数列 n a与 n b具有关系)(AP的充要条件. 数学（附加题） 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共分，共 20 分分请在请在答题卡答题卡 指定区域内指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知二阶矩阵的逆矩阵1= 2 1 3 2 1 2 . （1）求矩阵； （2）设直线: = 4在矩阵对应的变换的
10、作用下得到直线，求，的方程. B选修 44：坐标系与参数方程 直线的参数方程为 = 8 = 2 （为参数） ，椭圆的参数方程为 = 22 = 22， （ 为参数） ，设为曲线上一动点，求到直线的距离的最小值. C选修 45：不等式选讲 已知：, ,a b cR 且231,abc 求证 222 1 . 14 abc 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 2 页， 均为非选择题 （第 2123 题） 。 本卷满分为 40 分， 考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0
11、.5 毫米签字笔填写 在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4. 如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答 应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 某中学有 4 位学生申请 A，B，C 三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所 大学，且申请其中任何一所大学是等可能的 （1）求恰有 2 人申请 A 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 X 的概率分布列与
12、数学期望 E(X) 23. 设整数3n， 集合 P=1,2,3,n，BA，是P的两个非空子集.记 n M为所有满足A 中的最大数小于B中的最小数的集合对),(BA的个数. (1)求 3 M；(2)求 n M. 2020 高考数学模拟试卷（1） 答案 一、一、填空题答案：填空题答案： 1. 2,3,4 2. 1 31 41024 51 9 6. 8,2) 7 4 8. 3 3 98 3 10|1 0，()在 R 上单调递增， 由于 F(0)1 e 1 20，F(1)10， 所以 F(x)在 R 上只有一个零点 (2)令 h(x)f(x)g(x)(axa1) 11 2ax 2x1 2a， 则对任意
13、的 x1，h(x)0 恒成立， 注意到 h(1)0， h(x)1+ (axa1) 1ax1(ax1) 1ax1(ax1)( 11) 因为 x1，所以110. 若 a0，当 x1 时，ax10，h(x)0， 所以 h(x)在1，)上单调递增， 当 x1 时，h(x)h(1)0，符合题意 若 a1，当 x1 时，ax10，h(x)0， 所以 h(x)在(1，)上单调递减， 当 x1 时，h(x)h(1)0，与 h(x)0 矛盾，不符合题意 当1a0 时， 由(1)知，F(x)11 2(x1) 2在 R 上单调递增，且只有一个零点，设该零点为 x0， 则 x0(0，1)， 当 x1 时，F(x)F(
14、1)F(x0)0， 即 x1 时，11 2(x1) 2， a11 2a(x1) 2， 则 h(x)(axa1) 11 2ax 2x1 2a (axa1) 11 2a(x1) 2(a1)xa(axa1) 1a1(a1)xa (ax2a1) 1(a1)xa， 当 ax2a10，即 x21 a1 时，(ax2a1) 10， 当1a0，x1 时，(a1)xa0， 所以 x21 a时，h(x)0，与 h(x)0 矛盾，不符合题意 故实数 a 的取值范围是0，) 20. 解： （1）因为)N(2,2 * nnbna nn ，若数列 n a与 n b是否具有关系) 1 (P,则对 任意的 * Nn，均有1
15、nn ba，即1)2(2 nn，亦即12 n，但4n时, 122n,所以数列 n a与 n b不具有关系) 1 (P, （2）证明:因为无穷数列 n a是首项为 1，公比为 3 1 的等比数列，所以 1 ) 3 1 ( n n a，因为 1 1 nn ab，所以1) 3 1 ( n n b，所以1) 3 1 () 3 1 ( 1 nn nn ba1 3 2 1 n ，所以数列 n a与 n b具有关系)(AP. 设 A 的最小值为 0 A， 0 Aba nn ，因为1 nn ba，所以1 0 A.若10 0 A，则当 0 3 1 2 log A n 时， 0 1 2 3 A n ， 则 0 3
16、 2 1A n ， 这与“对任意的 * Nn， 均有 0 Aba nn ” 矛盾，所以1 0 A，即 A 的最小值为 1. （3）因为数列 n a是首项为 1，公差为 d)R( d的等差数列，无穷数列 n b是首项为 2，公比为)N( * qq的等比数列，所以 nn nn q q qbbddndnaa 2 ,1) 1( 1 11 ， 设 0 2 ,1b q ad ，则 * N,nbqbadna n nn . 数列 n a与 n b具有关系)(AP，即存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 Aba nn . （I）当1, 0qd时，1121 nn ba,取 A=1,则Aba nn ,数列
17、n a与 n b 具有关系)(AP （II）当, 0d2q时，假设数列 n a与 n b具有关系)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， Aab nn ，即Abqn1， b A qn 1 ，所以 b A n q 1 log，这与“对任意的 * Nn，均有Aab nn ”矛盾，不合； （III）当1, 0qd时，假设数列 n a与 n b具有性质)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baba，所以，对任意的 * Nn， Aba nn ，即Aan 2，即Aadn
18、2，所以Aadn2， d Aa n 2 ，这与“对任意的 * Nn，均有Aba nn ”矛盾，不合； （IV）当2, 0qd时，假设数列 n a与 n b具有性质)(AP，则存在正常数 A，使得对 任意的 * Nn，均有Aba nn .因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， Aab nn ，所以AandAadnbqn，所以 b Aa n b d qn ，设 0, 0 b Aa b d ，则对任意的 * Nn， nqn.因为, nn q2所以,对任意 的 * Nn， n n 2, 下面先证明：存在1N，当Nn 时， 2 2n n . 即证0ln22lnnn. 设)0(ln)(xxx
19、xf，则 112 ( ) 2 2 x fx xx x ，所以)4 , 0(x时， 0)( x f，)(xf在区间)4 , 0(上递增，同理)(xf在区间), 4( 上递减，所以 024ln)4()( max fxf，所以xx ln. 因此，)22ln(2)2(lnln22lnxxxxxx，所以，当 2 ) 2ln 2 (x时， 0ln22lnxx ，设 N 2 ) 2ln 2 (，则当Nx 时，0ln22lnxx ，即当 Nn 时， 2 2n n ,又 n n 2,所以 nn2，即0 2 nn，解得 2 4 0 2 n，这与对任意的 * Nn， n n 2矛盾，不合. 综上所述，数列 n a与
20、 n b具有关系)(AP的充要条件为1, 0qd. 数学答案 21 【选做题】答案 【选做题】答案 A 解：（1）由1= 2 1 3 2 1 2 ，知其行列式为：2 ( 1 2) 1 3 2 = 1 2. 得 = 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 2 1 2 = 1 2 34. （2）设直线上一点(,)，则直线，上一点, ( ,)，在矩阵的作用变换 下， , , = 12 34 = + 2 3 + 4，所以 ,= + 2 ,= 3 + 4，所以 = , 2, = 3 2 , , 2 . = 4, , 2,= 4.即直线，的方程为2 4 = 0. B解：直线的直角坐标方程为 2 + 8
21、 = 0. 因为在曲线上，设(22,22)，所以到直线的距离 = |2242+8| 1 2+(2)2 = 2|222+4| 5 = 2 5 ( 2) 2 + 2. 故当 = 2时，最小值为45 5 ，此时(4,4). C证明：由柯西不等式，得 2 222222 1231231,abcabc 222 1 . 14 abc 当且仅当, 123 abc 即 111 , 632 abc 时取等号. 22 解： （1）记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A， P(A)C 4222 34 24 81 8 27 答：恰有 2 人申请 A 大学的概率为 8 27 （2）X 的所有可能值为 1，2，3 P(
22、X1) 3 34 1 27， P(X2)C 43A323A32 34 42 81 14 27， P(X3)C 42A33 34 36 81 4 9 X 的概率分布列为： X 1 2 3 P 1 27 14 27 4 9 所以 X 的数学期望 E(X)1 1 272 14 273 4 9 65 27 23. 解： （1）当3n时，3 , 2 , 1P，其非空子集为：1，2，3，21，31， 32，321 ，则所有满足题意的集合对),(BA为)2,1(，)3,1(，)3,2(， )32,1(，)3,21(，共 5 对，所以 3 5M . （2）设A中的最大数为k，其中11nk，整数3n，则A中必含元素k，另元素 1, 2 , 1k可在A中，故A的个数为： 11 1 1 1 0 1 2 kk kkk CCC，B中必不含元素 k, 2 , 1，另元素nkk, 2, 1可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为： 12 21 knkn knknkn CCC, 从而集合对),(BA的个数为 111 22) 12(2 knknk ， 所以， 1 1 1111 1 1 2 (22) (1) 2(2) 21 1 2 n n nknn n k Mnn .
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