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    湖北省二校联考2020年6月高三联考数学试题(理科)含答案解析

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    湖北省二校联考2020年6月高三联考数学试题(理科)含答案解析

    1、2020 年高考数学模拟试卷(理科) (年高考数学模拟试卷(理科) (6 月份)月份) 一、选择题(共 12 小题). 1已知 a 是实数,z 是纯虚数,则 z 的虚部为( ) A1 B1 Ci Di 2已知集合 Ax|x2+x20,集合 ,则 AB( ) A Bx|x1 Cx|0x1 Dx|2x0 3“lnxlny”是“( ) x( ) y”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4斐波拉契数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,在数学上,斐 波拉契数列an定义如下: a1a21, anan1+an2(n3, nN) , 随着

    2、n 的增大, 越来 越逼近黄金分割 0.618,故此数列也称黄金分割数列,而以 an+1、an为长和宽的长 方形称为“最美长方形”,已知某“最美长方形”的面积约为 200 平方厘米,则该长方 形的长大约是( ) A20 厘米 B19 厘米 C18 厘米 D17 厘米 5设 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 ,则 等于( ) A B C D 6函数 f(x)exx22x 的图象大致为( ) A B C D 7已知函数 f(x)|sinx|(x0),方程 f(x)kx 恰有三个根,记最大的根为 ,则 ( ) A2 B C1 D2 8为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入

    3、人心某市将垃 圾分为四类:可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 9 位同学组 成四个宣传小组, 其中可回收物宣传小组有3位同学, 其余三个宣传小组各有2位同学 现 从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派 1 人的概率 为( ) A B C D 9设抛物线 y24x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,B,点 A 在第一象限, 且|AF|BF| ,则 ( ) A B2 C3 D4 10某几何体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形的边长为 1,则该几何体的外接球 的表面积为( ) A16 B12 C9 D8 11已知函数 f

    4、(x)满足 x2f(x)+2xf(x)1+lnx,f(e) ,当 x0 时,下列说法正 确的是( ) f(x)只有一个零点; f(x)有两个零点; f(x)有一个极小值点; f(x)有一个极大值点 A B C D 12已知梯形 ABCD 满足 ABCD,BAD45,以 A,D 为焦点的双曲线经过 B,C 两点若 CD7AB,则双曲线的离心率为( ) A B C D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13在三角形 ABC 中,| |5, 8,则 14若(3 ) n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为 15在数列an,bn中,an+12(an+bn)+

    5、2 ,bn+12(an+bn2 , a1b11,设数列cn满足 cn ,则数列cn的前 10 项和 S10 16四面体 PABC 中,PA ,PBPCABAC2,BC2 ,动点 Q 在ABC 的 内部 (含边界) , 设PAQ, 二面角 PBCA 的平面角的大小为 , APQ 和BCQ 的面积分别为 S1和 S2,且满足 ,则 S2的最大值为 三、解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2,2ccosA2ba ()求角 C; ()如图,若点 D 在边 AC 上,ADDB,DEAB,

    6、E 为垂足,且 DE ,求 BD 的 长 18如图,在矩形 ABCD 中,将ACD 沿对角线 AC 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且平 面 ABP平面 ABC ()求证:APPB; ()若直线 PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ,求二面角 PACB 的余弦值 19已知圆 O:x2+y23,直线 PA 与圆 O 相切于点 A,直线 PB 垂直 y 轴于点 B,且|PB| 2|PA| ()求点 P 的轨迹 E 的方程; ()过点(1,0)且与 x 轴不重合的直线与轨迹 E 相交于 P,Q 两点,在 x 轴上是否 存在定点 D,使得 x 轴是PDQ 的角平分线,若存在,求出 D 点坐标,

    7、若不存在,说明 理由 20 某工厂的一台某型号机器有 2 种工作状态: 正常状态和故障状态 若机器处于故障状态, 则停机检修为了检查机器工作状态是否正常,工厂随机统计了该机器以往正常工作状 态下生产的 1000 个产品的质量指标值,得出如图 1 所示频率分布直方图由统计结果可 以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布 N(,2),其中 近似为这 1000 个产 品的质量指标值的平均数 ,2近似为这 1000 个产品的质量指标值的方差 s2(同一组中 的数据用该组区间中点值为代表) 若产品的质量指标值全部在 (3, +3) 之内, 就认为机器处于正常状态,否则,认为机器处于故障状态 (1)下面是

    8、检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取 10 件测得的质量指标值: 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障? (2)若机器出现故障,有 2 种检修方案可供选择: 方案一:加急检修,检修公司会在当天排除故障,费用为 700 元; 方案二:常规检修,检修公司会在七天内的任意一天来排除故障,费用为 200 元; 现需决策在机器出现故障时,该工厂选择何种方案进行检修,为此搜集检修公司对该型 号机器近 100 单常规检修在第 i(i1,2,7)天检修的单数,得到如图 2 所示柱状 图,将第 i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益

    9、200 元, 故障机器检修当天不工作,若机器出现故障,该选择哪种检修方案? 附: , , 21已知函数 f(x)(x1)2alnx(a0) ()讨论 f(x)的单调性; ()若 f(x)存在两个极值点 x1,x2(x1x2),且关于 x 的方程 f(x)b(bR)恰 有三个实数根 x3,x4,x5(x3x4x5),求证:2(x2x1)x5x3 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分(本小题满 分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐

    10、标系,曲线 C 的极坐标方程为 2 ()求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程; ()直线 l 上的点 P(m,0)为曲线 C 内的点,且直线 l 与曲线 C 交于 A,B,且|PA| |PB|2,求 m 的值 选修 4-5:不等式选讲 23若对于实数 x,y 有|12x|4,|3y+1|3 ()求 的最大值 M; ()在()的条件下,若正实数 a,b 满足 ,证明: 参考答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的请将正确的答案填涂在答题卡上) 1已知 a 是实数,z 是纯虚数,则 z 的虚部为( ) A1 B1

    11、 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a,进一步求 得 z 得答案 解:z 是纯虚数, ,即 a1, zi 则 z 的虚部为1 故选:B 2已知集合 Ax|x2+x20,集合 ,则 AB( ) A Bx|x1 Cx|0x1 Dx|2x0 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:因为集合 Ax|x2+x20x|2x1, 集合 x|x0 或 x1, 所以 ABx|2x0, 故选:D 3“lnxlny”是“( ) x( ) y”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 lnxlny,结合对

    12、数式与指数式的性质可得( ) x( ) y,反之,举例说明 不成立,再由充分必要条件的判断得答案 解:由 lnxlny,得 xy0,此时 , 反之,由 成立,可以取 x1,y2,不能推出 lnxlny, “lnxlny”是“( ) x( ) y”的充分不必要条件 故选:A 4斐波拉契数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,在数学上,斐 波拉契数列an定义如下: a1a21, anan1+an2(n3, nN) , 随着 n 的增大, 越来 越逼近黄金分割 0.618,故此数列也称黄金分割数列,而以 an+1、an为长和宽的长 方形称为“最美长方形”,已知某“最美长方形”的

    13、面积约为 200 平方厘米,则该长方 形的长大约是( ) A20 厘米 B19 厘米 C18 厘米 D17 厘米 【分析】因为由已知有 0.618,又 an an+1200,得 0.618an+1 2200,进 而解得 an+1 解:由已知有 0.618, 得:an0.618an+1, 由 an an+1200, 得 0.618an+12200, 即 an+12323.62, 由于 172289,182324, 所以 an+118(厘米), 故选:C 5设 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 ,则 等于( ) A B C D 【分析】设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,由 得到首项与公

    14、差的关系,再把 S3,S6用含有 d 的代数式表示,则答案可求 解:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, 由 ,得 3(2a1+d)4a1+6d,即 , 故选:C 6函数 f(x)exx22x 的图象大致为( ) A B C D 【分析】 通过图象, 判断函数 yex与函数 yx2+2x 的图象交点个数, 进而求得函数 f (x) 的零点个数,结合选项即可得解 解:作出函数 yex与函数 yx2+2x 的图象如下图所示, 由图象可知,函数 yex与函数 yx2+2x 的图象有 3 个交点,则函数 f(x)exx22x 有 3 个零点, 观察选项可知,只有选项 B 符合题意 故选:B 7已

    15、知函数 f(x)|sinx|(x0),方程 f(x)kx 恰有三个根,记最大的根为 ,则 ( ) A2 B C1 D2 【分析】依题意,函数 f(x)在 x 处的切线为 ykx,且 , ,利用导数的几 何意义可得 ,再化简所求式子即可得解 解:如图,要使方程 f(x)kx 恰有三个根,且最大的根为 ,则函数 f(x)在 x 处 的切线为 ykx, 显然 , ,而 , , , , , 2k 2+2 (k)22(cos2+sin2)2 故选:D 8为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心某市将垃 圾分为四类:可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 9 位同学

    16、组 成四个宣传小组, 其中可回收物宣传小组有3位同学, 其余三个宣传小组各有2位同学 现 从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派 1 人的概率 为( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n 126,每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数: m 120,由此能求出每个宣传小组至少选派 1 人的概率 解:某市将垃圾分为四类:可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾 某班按此四类由 9 位同学组成四个宣传小组, 其中可回收物宣传小组有 3 位同学,其余三个宣传小组各有 2 位同学 现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动, 基本事件总数 n

    17、 126, 每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数: m 120, 则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为 P 故选:D 9设抛物线 y24x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,B,点 A 在第一象限, 且|AF|BF| ,则 ( ) A B2 C3 D4 【分析】过 A,B 分别作准线的垂线,再过 B 作 AA的垂线,由抛物线的性质及三角形相 似可得对应边成比例,求出|AF|,|BF|的值,进而求出比值 解:设|BF|m,则由|AF|BF| 可得|AF| m,由抛物线的方程可得:F(1,0), 过 A,B 分别作准线的垂线交于 A,B,过 B 作 AA的垂线交

    18、AA,OF 分别于 C,D 点, 则BFDBAC,所以 ,即 ,解得:m , 所以 2, 故选:B 10某几何体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形的边长为 1,则该几何体的外接球 的表面积为( ) A16 B12 C9 D8 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出三棱锥体的外接球的半径,进一步求 出球的表面积 解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为底面为等腰直角三角形,高为 2 的三棱锥体 如图所示: 所以该三棱锥体的外接球的球心为 O,外接球的半径为 OAr, 则: ,解得 故 S 故选:C 11已知函数 f(x)满足 x2f(x)+2xf(x)1+lnx,f(e) ,当

    19、 x0 时,下列说法正 确的是( ) f(x)只有一个零点; f(x)有两个零点; f(x)有一个极小值点; f(x)有一个极大值点 A B C D 【分析】 令 g (x) x2f (x) , 则 g (x) 1+lnx, 所以 g (x) xlnx+C, 即 , 由 f (e) ,解得 C0,所以 ,求导得 ,利用导数可求出函数 f (x)的单调区间,进而得 f(x)在 xe 处取得极大值 f(e) ,而这也是最大值,从 而可对和作出判断;又 f(1)0,且当 xe 时,f(x)0 恒成立,所以 f(x) 只有一个零点为 x1,从而可对和作出判断 解:令 g(x)x2f(x),则 g(x)

    20、x2f(x)+2xf(x)1+lnx,g(x)x lnx+C, 即 x2f(x)x lnx+C, , f(e) ,C0, , , 当 0xe 时,f(x)0,f(x)单调递增;当 xe 时,f(x)0,f(x)单调递减, f(x)在 xe 处取得极大值 f(e) ,而这也是最大值,即错误,正确; 又f(1)0,且当 xe 时,f(x)0 恒成立, f(x)只有一个零点为 x1,即正确,错误 正确的有, 故选:B 12已知梯形 ABCD 满足 ABCD,BAD45,以 A,D 为焦点的双曲线经过 B,C 两点若 CD7AB,则双曲线的离心率为( ) A B C D 【分析】先画出大致图象,结合双

    21、曲线的定义以及余弦定理求得 a,c 之间的关系即可得 到结论 解:如图:连接 AC,BD;设双曲线的焦距 AD2c;实轴长为 2a;则 BDABAC AD2a; 设 ABm, 则 CD7m, BD2a+m, AC2a+7m, 依题意, BAD45, ADC135, 在ABD 中,由余弦定理及题设可得:(2a+m)2m2+4c22 ; 在ACD 中,由余弦定理及题设可得:(2a+7m)249m2+4c2+14 ; 整理得: (c 2a2)m( a+c); (c 2a2)7m( ac); 两式相结合得: a+c7( ac)6 a8c; 双曲线的离心率为 e ; 故选:A 二、填空题(本大题共 4

    22、小题,每小题 5 分,共 20 分) 13在三角形 ABC 中,| |5, 8,则 17 【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可 解:在三角形 ABC 中,| |5, 8, 可得 25 8, 则 17 故答案为:17 14若(3 ) n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为 540 【分析】依据各项系数之和为 2n,列出方程求出 n,利用二项展开式的通项公式求出常 数项 解:若 的展开式中各项系数之和为 2n64, 解得 n6, 则展开式的常数项为 540, 故答案为:540 15在数列an,bn中,an+12(an+bn)+2 ,bn+12(an+bn2 , a1b11,设数

    23、列cn满足 cn ,则数列cn的前 10 项和 S10 【分析】首先求出 和 ,进一步求出数 列cn的通项公式,最后求出数列的和 解:数列an,bn中,an+12(an+bn)+2 , bn+12(an+bn)2 , 所以+得:an+1+bn+14(an+bn),整理得 (常数), 所以数列an+bn是以 a1+b12 为首项,4 为公比的等比数列 所以 得: , 所以 (常数),故数列anbn是以 a1b11 为首项,8 为公比的等比数列, 所以 , 由于数列cn满足 cn 22 n, 所以 , 故答案为: 16四面体 PABC 中,PA ,PBPCABAC2,BC2 ,动点 Q 在ABC

    24、的 内部 (含边界) , 设PAQ, 二面角 PBCA 的平面角的大小为 , APQ 和BCQ 的面积分别为 S1和 S2,且满足 ,则 S2的最大值为 42 【分析】取 BC 的中点 M,由题意可得 AMPMPA ,所以 PMA60,作 QHBC 于M, 所以 sin, 而 BC2PA2 , 可得 AQQH,即 Q 为三角形 ABC 内的一条抛物线,当 Q 在 AB 或 AC 上时,S2最大, 求出 S2的最大值 解:取 BC 的中点 M,连接 AM,PM, 因为 PBPCABAC 可得 AMBC,PMBC,且 PA ,PBPCABAC2, BC2 , 所以 AMPMPA , 所以 PMA6

    25、0, 作 QHBC 于 M,所以 sin, 而 BC2PA2 , 所以可得 AQQH, 所以 Q 的轨迹是ABC 内的一条抛物线,当 Q 在 AB 或 AC 上时,S2最大, 此时 AQQH2( 1),S242 故答案为:42 三、解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2,2ccosA2ba ()求角 C; ()如图,若点 D 在边 AC 上,ADDB,DEAB,E 为垂足,且 DE ,求 BD 的 长 【分析】(I)由正弦定理结合和差角公式进行化简可求 cosC,进而可求 C;

    26、 (II)由已知结合正弦定理可求 AB,然后结合勾股定理即可求解 解:(I)2ccosA2ba 由正弦定理可得,2sinCcosA2sinBsinA, 所以 2sinCcosA2sin(A+C)sinA2sinAcosC+2sinCcosAsinA, 因为 sinA0, 故 cosC ,C(0,), 故 C ; (II)设 BDADx, 在ABC 中,由正弦定理可得, , 所以 AB , 在 RtADE 中,由勾股定理可得, , 解可得 xBD 18如图,在矩形 ABCD 中,将ACD 沿对角线 AC 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且平 面 ABP平面 ABC ()求证:APPB; ()

    27、若直线 PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ,求二面角 PACB 的余弦值 【分析】 ()由四边形 ABCD 是矩形,得 ABBC,推导出 BC平面 ABP,BCAP, 从而 APPC,进而 AP平面 PBC,由此能证明 APPB ()过 P 作 POAB 于点 O,则 PO平面 ABC,以 OB 所在直线为 x 轴,过 O 作 y 轴平行于 BC,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 PACB 的余弦值 解:()证明:由四边形 ABCD 是矩形,得 ABBC, 根据平面 ABP平面 ABC,平面 ABP平面 ABCAB, 得 BC平面 ABP,则 BCAP, 又

    28、APPC,根据 BCPCC,是 AP平面 PBC, PB平面 PBC,APPB ()解:过 P 作 POAB 于点 O,平面 ABP平面 ABC, PO平面 ABC,以 OB 所在直线为 x 轴,过 O 作 y 轴平行于 BC, OP 为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 由()知 CB平面 ABP,CPB 是直线 PC 与平面 ABP 所成角, 即 sinCPB , 在PBC 中,sinCBP , 设 CB3,则 CP4,PB , PO平面 ABC,可取平面 ABC 的一个法向量 (0,0,1), 由()知,APPB,在直角三角形 APB 中,POAB,AP3,AB4,PB , AO ,

    29、BO ,PO ,P(0,0, ),A( ,0,0),C( ,3,0), (4,3,0), ( , , ), 设平面 PAC 的法向量 (x,y,z), 则由 ,取 x3,则 n(3,4, ), 则 cos , , 二面角 PACB 的平面角是锐角,二面角 PACB 的余弦值为 19已知圆 O:x2+y23,直线 PA 与圆 O 相切于点 A,直线 PB 垂直 y 轴于点 B,且|PB| 2|PA| ()求点 P 的轨迹 E 的方程; ()过点(1,0)且与 x 轴不重合的直线与轨迹 E 相交于 P,Q 两点,在 x 轴上是否 存在定点 D,使得 x 轴是PDQ 的角平分线,若存在,求出 D 点

    30、坐标,若不存在,说明 理由 【分析】()设 P(x,y),则|PA|2x2+y23,|PB|2x2,代入|PB|2|PA|即可得到 点 P 的轨迹 E 的方程; ()设直线 l 的方程为:xmy+1,与椭圆方程联立,利用韦达定理得到 , ,代入 kPD+kQD0,化简整理得 ,解得:x04,所以存在定点 D(4,0),使得 x 轴是 PDQ 的角平分线 解:()设 P(x,y),则|PA|2|PO|23x2+y23,|PB|2x2, 由|PB|2|PA|得:x24(x2+y23), 化简得 , 点 P 的轨迹 E 的方程为: ; ()设直线 l 的方程为:xmy+1,P(x1,y1),Q(x2

    31、,y2), 联立方程 ,整理得:(4+3m2)y2+6my90, , , 假设存在定点 D(x0,0),使得 x 轴是PDQ 的角平分线,则 kPD+kQD0, , , , , 即 , 解得:x04, 所以存在定点 D(4,0),使得 x 轴是PDQ 的角平分线 20 某工厂的一台某型号机器有 2 种工作状态: 正常状态和故障状态 若机器处于故障状态, 则停机检修为了检查机器工作状态是否正常,工厂随机统计了该机器以往正常工作状 态下生产的 1000 个产品的质量指标值,得出如图 1 所示频率分布直方图由统计结果可 以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布 N(,2),其中 近似为这 1000

    32、个产 品的质量指标值的平均数 ,2近似为这 1000 个产品的质量指标值的方差 s2(同一组中 的数据用该组区间中点值为代表) 若产品的质量指标值全部在 (3, +3) 之内, 就认为机器处于正常状态,否则,认为机器处于故障状态 (1)下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取 10 件测得的质量指标值: 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障? (2)若机器出现故障,有 2 种检修方案可供选择: 方案一:加急检修,检修公司会在当天排除故障,费用为 700 元; 方案二:常规检修,检修公司会在七天内的任意一天来排除故障,费用为 200 元;

    33、 现需决策在机器出现故障时,该工厂选择何种方案进行检修,为此搜集检修公司对该型 号机器近 100 单常规检修在第 i(i1,2,7)天检修的单数,得到如图 2 所示柱状 图,将第 i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益 200 元, 故障机器检修当天不工作,若机器出现故障,该选择哪种检修方案? 附: , , 【分析】(1)由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数 70 和方差 s2188, 所以 70, , 从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为 (28.87, 111.13),由于抽取产品质量指标值出现了 113,不在(28.87,111.13)之内,故

    34、机器处 于故障状态; (2)方案一:工厂需要支付检修费和损失收益之和为 700+200900 元;方案二:设损 失收益为 X 元,则 X 的可能取值为 200,400,600,800,1000,1200,1400,然后由图 2 可得出每个 X 的取值所对应的概率,求出数学期望,可得工厂需要支付检修费和损失 收益之和为 200+732932 元,由于 900932,故若机器出现故障,该选择加急检修方 案 解:(1)由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数 和方差 s2分别为 400.04+500.08+600.24+700.30+800.20+900.10+1000.0470, s

    35、2(30) 20.04+(20)20.08+ (10)20.24+020.30+1020.20+2020.10+302 0.04188, 70, , 328.87,+3111.13, 产品的质量指标值允许落在的范围为(28.87,111.13), 又抽取产品质量指标值出现了 113,不在(28.87,111.13)之内, 故可判断该机器处于故障状态 (2)方案一:工厂需要支付检修费和损失收益之和为 700+200900 元; 方案二: 设损失收益为 X 元, 则 X 的可能取值为 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, X 的分布列为: X 200 400

    36、600 800 1000 1200 1400 P 0.07 0.18 0.25 0.20 0.15 0.12 0.03 数学期望 E(X)2000.07+4000.18+6000.25+8000.20+10000.15+1200 0.12+14000.03732 元, 故工厂需要支付检修费和损失收益之和为 200+732932 元, 900932,当机器出现故障时,选择加急检修更为适合 21已知函数 f(x)(x1)2alnx(a0) ()讨论 f(x)的单调性; ()若 f(x)存在两个极值点 x1,x2(x1x2),且关于 x 的方程 f(x)b(bR)恰 有三个实数根 x3,x4,x5(

    37、x3x4x5),求证:2(x2x1)x5x3 【分析】()求导得 f(x) ,令 f(x)0,即 2x22xa0, 4+8a,分两种情况0,0,讨论 f(x)单调性 ()证明:由题意得 a0,画出草图,知 0x3x1x4x2x5,0x1x21, 要证: 2 (x2x1) x5x3, 即证: 2 (x2x1) (x5+x4) (x3+x4) ; 只需证: , 先证: x3+x42x1 法一:即证 x42x1x3,由(1)f(x)单调递减,只需证 f(x4)f(2x1x3),即证: f(x3)f(2x1x3),令 g(x)f(x)f(2x1x),0xx1,求导数,分析单调 性,最值得 g(x)g(

    38、x1)0,故 f(x)f(2x1x),在(0,x1)恒成立,f(x3) f(2x1x3)得证,同理可以证明:x3+x42x2,综上,2(x2x1)x5x3,得证 法二: 由题可得 , 即 , 由式得 ,先证 ,令 h(t)lnt , (t1) , 先求导得 h (t) 在 (1, +) 上单调递增, 从而 h (t) h (1) 0, 取 t 1, 故 ,即x4+x31 2x1,同理可得 ,即 x5+x41 2x2,综上,2(x2x1)x5 x3,得证 解:()由题意得 f(x)2(x1) , 令 f(x)0,即 2x22xa0,4+8a, 当 a 时,0,f(x)0,函数 f(x)在(0,+

    39、)上单调递增, 当 a0 时,0, 2x22xa0 的两根为 x1 ,x2 且 0x1 x2, 当 x(0, ),( ,+)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x( , )时,f(x)0,f(x)单调递减, 综上,当 a 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递增, 当 a0 时,当 x(0, ),( ,+)时,f(x)单调递增, 当 x( , )时,f(x)单调递减, ()证明:由题意得 a0,0x3x1x4x2x5,0x1x21, 要证:2(x2x1)x5x3, 即证:2(x2x1)(x5+x4)(x3+x4); 只需证: 先证:x3+x42x1 法一:即证 x42x1x3, 又由(1)

    40、知 f(x)在(x1,x2)上单调递减, 只需证 f(x4)f(2x1x3), 而 f(x4)f(x3),即证:f(x3)f(2x1x3), 令 g(x)f(x)f(2x1x),0xx1, g(x)f(x)+f(2x1x)2x2 2(2x1x)2 , 4(x11) 又 2(x11) 0,即 x11 ,那么, g(x) ,而 0xx 1,且 , 则 g(x)0,故 g(x)在(0,x1)单调递增,则 g(x)g(x1)0, 故 f(x)f(2x1x),在(0,x1)恒成立, 又 0x3x1,则 f(x3)f(2x1x3)得证, 同理可以证明:x3+x42x2, 综上,2(x2x1)x5x3,得证

    41、 法二:由方程 f(x)b 恰有三个实数根 x3,x4,x5(x3x4x5), 可得 ,即 , 由式得 , 先证 , 令 h(t)lnt ,(t1), h(t) 0, 所以 h(t)在(1,+)上单调递增,从而 h(t)h(1)0,取 t 1, 则有 ,故 , 从而(x4+x3)22(x4+x3)2a,即(x4+x31)22a+1, 即 x4+x31 2x1, 同理可得 ,即 x5+x41 2x2, 综上,2(x2x1)x5x3,得证 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方

    42、程为 2 ()求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程; ()直线 l 上的点 P(m,0)为曲线 C 内的点,且直线 l 与曲线 C 交于 A,B,且|PA| |PB|2,求 m 的值 【分析】()把曲线 C 的极坐标方程变形,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲 线 C 的直角坐标方程,直接把直线参数方程中的参数消去,可得直线的普通方程; ()化直线的参数方程为标准形式,代入曲线 C 的直角坐标方程,得到关于 t 的一元 二次方程,由根与系数的关系结合参数 t 的几何意义求解 m 值 【解答】()曲线 C 的极坐标方程为 2 , 2+2sin24, 即 x2+2y24,得 曲线 C 的直角

    43、坐标方程为 直线 l 的参数方程为 (t 为参数),消去参数 t, 可得直线 l 的普通方程为 ; ()设直线 l 的参数方程为 ,代入椭圆方程, 得 再设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 又点 P(m,0)为曲线 C 内的点,m24,即2m2 由|PA| |PB|t1t2| 2,解得 m 选修 4-5:不等式选讲 23若对于实数 x,y 有|12x|4,|3y+1|3 ()求 的最大值 M; ()在()的条件下,若正实数 a,b 满足 ,证明: 【分析】()由 ,利用绝对值的不等式放缩即 可求得最大值; ()由()知, ,得 ,求解 ab 的最小值,即可证 明 【解答】()解: , 当 或 时等号成立, 的最大值 M 为 3 ()证明:由()知, , ,得


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