1、2020 年高考数学模拟试卷（理科） （年高考数学模拟试卷（理科） （6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知 a 是实数，z 是纯虚数，则 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 2已知集合 Ax|x2+x20，集合 ，则 AB（ ） A Bx|x1 Cx|0x1 Dx|2x0 3“lnxlny”是“（ ） x（ ） y”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，在数学上，斐 波拉契数列an定义如下： a1a21， anan1+an2（n3， nN） ， 随着
2、n 的增大， 越来 越逼近黄金分割 0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以 an+1、an为长和宽的长 方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为 200 平方厘米，则该长方 形的长大约是（ ） A20 厘米 B19 厘米 C18 厘米 D17 厘米 5设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 ，则 等于（ ） A B C D 6函数 f（x）exx22x 的图象大致为（ ） A B C D 7已知函数 f（x）|sinx|（x0），方程 f（x）kx 恰有三个根，记最大的根为 ，则 （ ） A2 B C1 D2 8为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入
3、人心某市将垃 圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 9 位同学组 成四个宣传小组， 其中可回收物宣传小组有3位同学， 其余三个宣传小组各有2位同学 现 从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率 为（ ） A B C D 9设抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B，点 A 在第一象限， 且|AF|BF| ，则 （ ） A B2 C3 D4 10某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球 的表面积为（ ） A16 B12 C9 D8 11已知函数 f
4、（x）满足 x2f（x）+2xf（x）1+lnx，f（e） ，当 x0 时，下列说法正 确的是（ ） f（x）只有一个零点； f（x）有两个零点； f（x）有一个极小值点； f（x）有一个极大值点 A B C D 12已知梯形 ABCD 满足 ABCD，BAD45，以 A，D 为焦点的双曲线经过 B，C 两点若 CD7AB，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13在三角形 ABC 中，| |5， 8，则 14若（3 ） n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 15在数列an，bn中，an+12（an+bn）+
5、2 ，bn+12（an+bn2 ， a1b11，设数列cn满足 cn ，则数列cn的前 10 项和 S10 16四面体 PABC 中，PA ，PBPCABAC2，BC2 ，动点 Q 在ABC 的 内部 （含边界） ， 设PAQ， 二面角 PBCA 的平面角的大小为 ， APQ 和BCQ 的面积分别为 S1和 S2，且满足 ，则 S2的最大值为 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，2ccosA2ba （）求角 C； （）如图，若点 D 在边 AC 上，ADDB，DEAB，
6、E 为垂足，且 DE ，求 BD 的 长 18如图，在矩形 ABCD 中，将ACD 沿对角线 AC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平 面 ABP平面 ABC （）求证：APPB； （）若直线 PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ，求二面角 PACB 的余弦值 19已知圆 O：x2+y23，直线 PA 与圆 O 相切于点 A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB| 2|PA| （）求点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点（1，0）且与 x 轴不重合的直线与轨迹 E 相交于 P，Q 两点，在 x 轴上是否 存在定点 D，使得 x 轴是PDQ 的角平分线，若存在，求出 D 点坐标，
7、若不存在，说明 理由 20 某工厂的一台某型号机器有 2 种工作状态： 正常状态和故障状态 若机器处于故障状态， 则停机检修为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状 态下生产的 1000 个产品的质量指标值，得出如图 1 所示频率分布直方图由统计结果可 以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布 N（，2），其中 近似为这 1000 个产 品的质量指标值的平均数 ，2近似为这 1000 个产品的质量指标值的方差 s2（同一组中 的数据用该组区间中点值为代表） 若产品的质量指标值全部在 （3， +3） 之内， 就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态 （1）下面是
8、检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取 10 件测得的质量指标值： 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？ （2）若机器出现故障，有 2 种检修方案可供选择： 方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为 700 元； 方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为 200 元； 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型 号机器近 100 单常规检修在第 i（i1，2，7）天检修的单数，得到如图 2 所示柱状 图，将第 i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益
9、200 元， 故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 附： ， ， 21已知函数 f（x）（x1）2alnx（a0） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2（x1x2），且关于 x 的方程 f（x）b（bR）恰 有三个实数根 x3，x4，x5（x3x4x5），求证：2（x2x1）x5x3 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满 分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
10、标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 （）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； （）直线 l 上的点 P（m，0）为曲线 C 内的点，且直线 l 与曲线 C 交于 A，B，且|PA| |PB|2，求 m 的值 选修 4-5：不等式选讲 23若对于实数 x，y 有|12x|4，|3y+1|3 （）求 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 ，证明： 参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的请将正确的答案填涂在答题卡上） 1已知 a 是实数，z 是纯虚数，则 z 的虚部为（ ） A1 B1
11、 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a，进一步求 得 z 得答案 解：z 是纯虚数， ，即 a1， zi 则 z 的虚部为1 故选：B 2已知集合 Ax|x2+x20，集合 ，则 AB（ ） A Bx|x1 Cx|0x1 Dx|2x0 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：因为集合 Ax|x2+x20x|2x1， 集合 x|x0 或 x1， 所以 ABx|2x0， 故选：D 3“lnxlny”是“（ ） x（ ） y”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 lnxlny，结合对
12、数式与指数式的性质可得（ ） x（ ） y，反之，举例说明 不成立，再由充分必要条件的判断得答案 解：由 lnxlny，得 xy0，此时 ， 反之，由 成立，可以取 x1，y2，不能推出 lnxlny， “lnxlny”是“（ ） x（ ） y”的充分不必要条件 故选：A 4斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，在数学上，斐 波拉契数列an定义如下： a1a21， anan1+an2（n3， nN） ， 随着 n 的增大， 越来 越逼近黄金分割 0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以 an+1、an为长和宽的长 方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的
13、面积约为 200 平方厘米，则该长方 形的长大约是（ ） A20 厘米 B19 厘米 C18 厘米 D17 厘米 【分析】因为由已知有 0.618，又 an an+1200，得 0.618an+1 2200，进 而解得 an+1 解：由已知有 0.618， 得：an0.618an+1， 由 an an+1200， 得 0.618an+12200， 即 an+12323.62， 由于 172289，182324， 所以 an+118（厘米）， 故选：C 5设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 ，则 等于（ ） A B C D 【分析】设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由 得到首项与公
14、差的关系，再把 S3，S6用含有 d 的代数式表示，则答案可求 解：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 由 ，得 3（2a1+d）4a1+6d，即 ， 故选：C 6函数 f（x）exx22x 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】 通过图象， 判断函数 yex与函数 yx2+2x 的图象交点个数， 进而求得函数 f （x） 的零点个数，结合选项即可得解 解：作出函数 yex与函数 yx2+2x 的图象如下图所示， 由图象可知，函数 yex与函数 yx2+2x 的图象有 3 个交点，则函数 f（x）exx22x 有 3 个零点， 观察选项可知，只有选项 B 符合题意 故选：B 7已
15、知函数 f（x）|sinx|（x0），方程 f（x）kx 恰有三个根，记最大的根为 ，则 （ ） A2 B C1 D2 【分析】依题意，函数 f（x）在 x 处的切线为 ykx，且 ， ，利用导数的几 何意义可得 ，再化简所求式子即可得解 解：如图，要使方程 f（x）kx 恰有三个根，且最大的根为 ，则函数 f（x）在 x 处 的切线为 ykx， 显然 ， ，而 ， ， ， ， ， 2k 2+2 （k）22（cos2+sin2）2 故选：D 8为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃 圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 9 位同学
16、组 成四个宣传小组， 其中可回收物宣传小组有3位同学， 其余三个宣传小组各有2位同学 现 从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率 为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n 126，每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数： m 120，由此能求出每个宣传小组至少选派 1 人的概率 解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾 某班按此四类由 9 位同学组成四个宣传小组， 其中可回收物宣传小组有 3 位同学，其余三个宣传小组各有 2 位同学 现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动， 基本事件总数 n
17、 126， 每个宣传小组至少选派 1 人包含的基本事件个数： m 120， 则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为 P 故选：D 9设抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，B，点 A 在第一象限， 且|AF|BF| ，则 （ ） A B2 C3 D4 【分析】过 A，B 分别作准线的垂线，再过 B 作 AA的垂线，由抛物线的性质及三角形相 似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值 解：设|BF|m，则由|AF|BF| 可得|AF| m，由抛物线的方程可得：F（1，0）， 过 A，B 分别作准线的垂线交于 A，B，过 B 作 AA的垂线交
18、AA，OF 分别于 C，D 点， 则BFDBAC，所以 ，即 ，解得：m ， 所以 2， 故选：B 10某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球 的表面积为（ ） A16 B12 C9 D8 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求 出球的表面积 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 所以该三棱锥体的外接球的球心为 O，外接球的半径为 OAr， 则： ，解得 故 S 故选：C 11已知函数 f（x）满足 x2f（x）+2xf（x）1+lnx，f（e） ，当
19、 x0 时，下列说法正 确的是（ ） f（x）只有一个零点； f（x）有两个零点； f（x）有一个极小值点； f（x）有一个极大值点 A B C D 【分析】 令 g （x） x2f （x） ， 则 g （x） 1+lnx， 所以 g （x） xlnx+C， 即 ， 由 f （e） ，解得 C0，所以 ，求导得 ，利用导数可求出函数 f （x）的单调区间，进而得 f（x）在 xe 处取得极大值 f（e） ，而这也是最大值，从 而可对和作出判断；又 f（1）0，且当 xe 时，f（x）0 恒成立，所以 f（x） 只有一个零点为 x1，从而可对和作出判断 解：令 g（x）x2f（x），则 g（x）
20、x2f（x）+2xf（x）1+lnx，g（x）x lnx+C， 即 x2f（x）x lnx+C， ， f（e） ，C0， ， ， 当 0xe 时，f（x）0，f（x）单调递增；当 xe 时，f（x）0，f（x）单调递减， f（x）在 xe 处取得极大值 f（e） ，而这也是最大值，即错误，正确； 又f（1）0，且当 xe 时，f（x）0 恒成立， f（x）只有一个零点为 x1，即正确，错误 正确的有， 故选：B 12已知梯形 ABCD 满足 ABCD，BAD45，以 A，D 为焦点的双曲线经过 B，C 两点若 CD7AB，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】先画出大致图象，结合双
21、曲线的定义以及余弦定理求得 a，c 之间的关系即可得 到结论 解：如图：连接 AC，BD；设双曲线的焦距 AD2c；实轴长为 2a；则 BDABAC AD2a； 设 ABm， 则 CD7m， BD2a+m， AC2a+7m， 依题意， BAD45， ADC135， 在ABD 中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2m2+4c22 ； 在ACD 中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）249m2+4c2+14 ； 整理得： （c 2a2）m（ a+c）； （c 2a2）7m（ ac）； 两式相结合得： a+c7（ ac）6 a8c； 双曲线的离心率为 e ； 故选：A 二、填空题（本大题共 4
22、小题，每小题 5 分，共 20 分） 13在三角形 ABC 中，| |5， 8，则 17 【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可 解：在三角形 ABC 中，| |5， 8， 可得 25 8， 则 17 故答案为：17 14若（3 ） n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 540 【分析】依据各项系数之和为 2n，列出方程求出 n，利用二项展开式的通项公式求出常 数项 解：若 的展开式中各项系数之和为 2n64， 解得 n6， 则展开式的常数项为 540， 故答案为：540 15在数列an，bn中，an+12（an+bn）+2 ，bn+12（an+bn2 ， a1b11，设数
23、列cn满足 cn ，则数列cn的前 10 项和 S10 【分析】首先求出 和 ，进一步求出数 列cn的通项公式，最后求出数列的和 解：数列an，bn中，an+12（an+bn）+2 ， bn+12（an+bn）2 ， 所以+得：an+1+bn+14（an+bn），整理得 （常数）， 所以数列an+bn是以 a1+b12 为首项，4 为公比的等比数列 所以 得： ， 所以 （常数），故数列anbn是以 a1b11 为首项，8 为公比的等比数列， 所以 ， 由于数列cn满足 cn 22 n， 所以 ， 故答案为： 16四面体 PABC 中，PA ，PBPCABAC2，BC2 ，动点 Q 在ABC
24、的 内部 （含边界） ， 设PAQ， 二面角 PBCA 的平面角的大小为 ， APQ 和BCQ 的面积分别为 S1和 S2，且满足 ，则 S2的最大值为 42 【分析】取 BC 的中点 M，由题意可得 AMPMPA ，所以 PMA60，作 QHBC 于M， 所以 sin， 而 BC2PA2 ， 可得 AQQH，即 Q 为三角形 ABC 内的一条抛物线，当 Q 在 AB 或 AC 上时，S2最大， 求出 S2的最大值 解：取 BC 的中点 M，连接 AM，PM， 因为 PBPCABAC 可得 AMBC，PMBC，且 PA ，PBPCABAC2， BC2 ， 所以 AMPMPA ， 所以 PMA6
25、0， 作 QHBC 于 M，所以 sin， 而 BC2PA2 ， 所以可得 AQQH， 所以 Q 的轨迹是ABC 内的一条抛物线，当 Q 在 AB 或 AC 上时，S2最大， 此时 AQQH2（ 1），S242 故答案为：42 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，2ccosA2ba （）求角 C； （）如图，若点 D 在边 AC 上，ADDB，DEAB，E 为垂足，且 DE ，求 BD 的 长 【分析】（I）由正弦定理结合和差角公式进行化简可求 cosC，进而可求 C；
26、 （II）由已知结合正弦定理可求 AB，然后结合勾股定理即可求解 解：（I）2ccosA2ba 由正弦定理可得，2sinCcosA2sinBsinA， 所以 2sinCcosA2sin（A+C）sinA2sinAcosC+2sinCcosAsinA， 因为 sinA0， 故 cosC ，C（0，）， 故 C ； （II）设 BDADx， 在ABC 中，由正弦定理可得， ， 所以 AB ， 在 RtADE 中，由勾股定理可得， ， 解可得 xBD 18如图，在矩形 ABCD 中，将ACD 沿对角线 AC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平 面 ABP平面 ABC （）求证：APPB； （）
27、若直线 PC 与平面 ABP 所成角的正弦值为 ，求二面角 PACB 的余弦值 【分析】 （）由四边形 ABCD 是矩形，得 ABBC，推导出 BC平面 ABP，BCAP， 从而 APPC，进而 AP平面 PBC，由此能证明 APPB （）过 P 作 POAB 于点 O，则 PO平面 ABC，以 OB 所在直线为 x 轴，过 O 作 y 轴平行于 BC，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 PACB 的余弦值 解：（）证明：由四边形 ABCD 是矩形，得 ABBC， 根据平面 ABP平面 ABC，平面 ABP平面 ABCAB， 得 BC平面 ABP，则 BCAP， 又
28、APPC，根据 BCPCC，是 AP平面 PBC， PB平面 PBC，APPB （）解：过 P 作 POAB 于点 O，平面 ABP平面 ABC， PO平面 ABC，以 OB 所在直线为 x 轴，过 O 作 y 轴平行于 BC， OP 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（）知 CB平面 ABP，CPB 是直线 PC 与平面 ABP 所成角， 即 sinCPB ， 在PBC 中，sinCBP ， 设 CB3，则 CP4，PB ， PO平面 ABC，可取平面 ABC 的一个法向量 （0，0，1）， 由（）知，APPB，在直角三角形 APB 中，POAB，AP3，AB4，PB ， AO ，
29、BO ，PO ，P（0，0， ），A（ ，0，0），C（ ，3，0）， （4，3，0）， （ ， ， ）， 设平面 PAC 的法向量 （x，y，z）， 则由 ，取 x3，则 n（3，4， ）， 则 cos ， ， 二面角 PACB 的平面角是锐角，二面角 PACB 的余弦值为 19已知圆 O：x2+y23，直线 PA 与圆 O 相切于点 A，直线 PB 垂直 y 轴于点 B，且|PB| 2|PA| （）求点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点（1，0）且与 x 轴不重合的直线与轨迹 E 相交于 P，Q 两点，在 x 轴上是否 存在定点 D，使得 x 轴是PDQ 的角平分线，若存在，求出 D 点
30、坐标，若不存在，说明 理由 【分析】（）设 P（x，y），则|PA|2x2+y23，|PB|2x2，代入|PB|2|PA|即可得到 点 P 的轨迹 E 的方程； （）设直线 l 的方程为：xmy+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 ， ，代入 kPD+kQD0，化简整理得 ，解得：x04，所以存在定点 D（4，0），使得 x 轴是 PDQ 的角平分线 解：（）设 P（x，y），则|PA|2|PO|23x2+y23，|PB|2x2， 由|PB|2|PA|得：x24（x2+y23）， 化简得 ， 点 P 的轨迹 E 的方程为： ； （）设直线 l 的方程为：xmy+1，P（x1，y1），Q（x2
31、，y2）， 联立方程 ，整理得：（4+3m2）y2+6my90， ， ， 假设存在定点 D（x0，0），使得 x 轴是PDQ 的角平分线，则 kPD+kQD0， ， ， ， ， 即 ， 解得：x04， 所以存在定点 D（4，0），使得 x 轴是PDQ 的角平分线 20 某工厂的一台某型号机器有 2 种工作状态： 正常状态和故障状态 若机器处于故障状态， 则停机检修为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状 态下生产的 1000 个产品的质量指标值，得出如图 1 所示频率分布直方图由统计结果可 以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布 N（，2），其中 近似为这 1000
32、个产 品的质量指标值的平均数 ，2近似为这 1000 个产品的质量指标值的方差 s2（同一组中 的数据用该组区间中点值为代表） 若产品的质量指标值全部在 （3， +3） 之内， 就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态 （1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取 10 件测得的质量指标值： 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？ （2）若机器出现故障，有 2 种检修方案可供选择： 方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为 700 元； 方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为 200 元；
33、 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型 号机器近 100 单常规检修在第 i（i1，2，7）天检修的单数，得到如图 2 所示柱状 图，将第 i 天常规检修单数的频率代替概率已知该机器正常工作一天可收益 200 元， 故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 附： ， ， 【分析】（1）由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数 70 和方差 s2188， 所以 70， ， 从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为 （28.87， 111.13），由于抽取产品质量指标值出现了 113，不在（28.87，111.13）之内，故
34、机器处 于故障状态； （2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为 700+200900 元；方案二：设损 失收益为 X 元，则 X 的可能取值为 200，400，600，800，1000，1200，1400，然后由图 2 可得出每个 X 的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失 收益之和为 200+732932 元，由于 900932，故若机器出现故障，该选择加急检修方 案 解：（1）由图 1 可估计 1000 个产品的质量指标值的平均数 和方差 s2分别为 400.04+500.08+600.24+700.30+800.20+900.10+1000.0470， s
35、2（30） 20.04+（20）20.08+ （10）20.24+020.30+1020.20+2020.10+302 0.04188， 70， ， 328.87，+3111.13， 产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13）， 又抽取产品质量指标值出现了 113，不在（28.87，111.13）之内， 故可判断该机器处于故障状态 （2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为 700+200900 元； 方案二： 设损失收益为 X 元， 则 X 的可能取值为 200， 400， 600， 800， 1000， 1200， 1400， X 的分布列为： X 200 400
36、600 800 1000 1200 1400 P 0.07 0.18 0.25 0.20 0.15 0.12 0.03 数学期望 E（X）2000.07+4000.18+6000.25+8000.20+10000.15+1200 0.12+14000.03732 元， 故工厂需要支付检修费和损失收益之和为 200+732932 元， 900932，当机器出现故障时，选择加急检修更为适合 21已知函数 f（x）（x1）2alnx（a0） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2（x1x2），且关于 x 的方程 f（x）b（bR）恰 有三个实数根 x3，x4，x5（
37、x3x4x5），求证：2（x2x1）x5x3 【分析】（）求导得 f（x） ，令 f（x）0，即 2x22xa0， 4+8a，分两种情况0，0，讨论 f（x）单调性 （）证明：由题意得 a0，画出草图，知 0x3x1x4x2x5，0x1x21， 要证： 2 （x2x1） x5x3， 即证： 2 （x2x1） （x5+x4） （x3+x4） ； 只需证： ， 先证： x3+x42x1 法一：即证 x42x1x3，由（1）f（x）单调递减，只需证 f（x4）f（2x1x3），即证： f（x3）f（2x1x3），令 g（x）f（x）f（2x1x），0xx1，求导数，分析单调 性，最值得 g（x）g（
38、x1）0，故 f（x）f（2x1x），在（0，x1）恒成立，f（x3） f（2x1x3）得证，同理可以证明：x3+x42x2，综上，2（x2x1）x5x3，得证 法二： 由题可得 ， 即 ， 由式得 ，先证 ，令 h（t）lnt ， （t1） ， 先求导得 h （t） 在 （1， +） 上单调递增， 从而 h （t） h （1） 0， 取 t 1， 故 ，即x4+x31 2x1，同理可得 ，即 x5+x41 2x2，综上，2（x2x1）x5 x3，得证 解：（）由题意得 f（x）2（x1） ， 令 f（x）0，即 2x22xa0，4+8a， 当 a 时，0，f（x）0，函数 f（x）在（0，+
39、）上单调递增， 当 a0 时，0， 2x22xa0 的两根为 x1 ，x2 且 0x1 x2， 当 x（0， ），（ ，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（ ， ）时，f（x）0，f（x）单调递减， 综上，当 a 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a0 时，当 x（0， ），（ ，+）时，f（x）单调递增， 当 x（ ， ）时，f（x）单调递减， （）证明：由题意得 a0，0x3x1x4x2x5，0x1x21， 要证：2（x2x1）x5x3， 即证：2（x2x1）（x5+x4）（x3+x4）； 只需证： 先证：x3+x42x1 法一：即证 x42x1x3， 又由（1）
40、知 f（x）在（x1，x2）上单调递减， 只需证 f（x4）f（2x1x3）， 而 f（x4）f（x3），即证：f（x3）f（2x1x3）， 令 g（x）f（x）f（2x1x），0xx1， g（x）f（x）+f（2x1x）2x2 2（2x1x）2 ， 4（x11） 又 2（x11） 0，即 x11 ，那么， g（x） ，而 0xx 1，且 ， 则 g（x）0，故 g（x）在（0，x1）单调递增，则 g（x）g（x1）0， 故 f（x）f（2x1x），在（0，x1）恒成立， 又 0x3x1，则 f（x3）f（2x1x3）得证， 同理可以证明：x3+x42x2， 综上，2（x2x1）x5x3，得证
41、 法二：由方程 f（x）b 恰有三个实数根 x3，x4，x5（x3x4x5）， 可得 ，即 ， 由式得 ， 先证 ， 令 h（t）lnt ，（t1）， h（t） 0， 所以 h（t）在（1，+）上单调递增，从而 h（t）h（1）0，取 t 1， 则有 ，故 ， 从而（x4+x3）22（x4+x3）2a，即（x4+x31）22a+1， 即 x4+x31 2x1， 同理可得 ，即 x5+x41 2x2， 综上，2（x2x1）x5x3，得证 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
42、程为 2 （）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； （）直线 l 上的点 P（m，0）为曲线 C 内的点，且直线 l 与曲线 C 交于 A，B，且|PA| |PB|2，求 m 的值 【分析】（）把曲线 C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲 线 C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程； （）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线 C 的直角坐标方程，得到关于 t 的一元 二次方程，由根与系数的关系结合参数 t 的几何意义求解 m 值 【解答】（）曲线 C 的极坐标方程为 2 ， 2+2sin24， 即 x2+2y24，得 曲线 C 的直角
43、坐标方程为 直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t， 可得直线 l 的普通方程为 ； （）设直线 l 的参数方程为 ，代入椭圆方程， 得 再设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 又点 P（m，0）为曲线 C 内的点，m24，即2m2 由|PA| |PB|t1t2| 2，解得 m 选修 4-5：不等式选讲 23若对于实数 x，y 有|12x|4，|3y+1|3 （）求 的最大值 M； （）在（）的条件下，若正实数 a，b 满足 ，证明： 【分析】（）由 ，利用绝对值的不等式放缩即 可求得最大值； （）由（）知， ，得 ，求解 ab 的最小值，即可证 明 【解答】（）解： ， 当 或 时等号成立， 的最大值 M 为 3 （）证明：由（）知， ， ，得
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