1、2020 年山东省德州市德城区中考数学一模试卷年山东省德州市德城区中考数学一模试卷 一、选择题 1中国人最早使用负数，下列各数中是负数的是（ ） A|1| B（1） C（）0 D（1）2 2下列运算正确的是（ ） A2aa2 Ba6a2a3 C（a2）3a6 D（a）1a+1 3 一个几何体的主视图和左视图都是正方形， 俯视图是一个圆， 那么这个几何体是 （ ） A长方体 B正方体 C圆锥 D圆柱 42019 年政府工作报告中指出，5 年来我国有约 8001 万农业转移人口成为城镇居民用科 学记数法表示数据 8001 万，其结果是（ ） A80.01106 B0.8001108 C8.0011
2、07 D8.001108 5在ABC 中，已知A、B 都是锐角，|sinA|+（1tanB）20，那么C 的度数为 （ ） A75 B90 C105 D120 6不等式组所有整数解的和为（ ） A1 B1 C0 D2 7下列命题为假命题的是（ ） A若 ab，则 a2019b2019 B若 ab，则 C若 ab，则 a2ab D若 ab，则 a2cb2c 8已知函数 yaxb 与 y的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标 系中的图象可能是（ ） A B C D 9如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和
3、为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设 人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是（ ） Ax2+9x80 Bx29x80 Cx29x+80 D2x29x+80 10如图，四边形 ABCD 内接于O，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC若ABC105，BAC25，则E 的度数为（ ） A45 B50 C55 D60 11已知点 A 是双曲线 y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，随着点 A 的运动，点 C 的位 置也不断变化，但点 C
4、 始终在双曲线 y（x0）上运动，则 k 的值是（ ） A3 B C3 D 12如图，在ABC 中，ABAC10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），ADE B，DE 交 AC 于点 E，且 cos下列给出的结论中，正确的有（ ） ADEACD； 当 BD6 时，ABD 与DCE 全等； DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 12.5； 0CE6.4 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24 分） 13关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数 a 的范围为 14如图，在半径 AC 为 2，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直
5、径作半圆，交弦 AB 于点 D，连接 CD，则图中阴影部分的面积是 15如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，4），点 B 的坐标是（6，2），在 y 轴和 x 轴上分别有两点 P、Q，则 A，B，P，Q 四点组成的四边形的最小周长为 16某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为 45的 传送带 AB，调整为坡度 i1：的新传送带 AC（如图所示）已知原传送带 AB 的长 是 4米那么新传送带 AC 的长是 米 17对于 X、Y 定义一种新运算“*”：X*YaX+bY，其中 a、b 为常数，等式右边是通常 的加法和乘法的运算已知：3*515，4*728，那
6、么 2*3 18在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐 标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 2 个正方形 A1B1C1C，延长 C1B1交 x 轴于 点 A2，作第 3 个正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 2020 个正方形的面 积为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19先化简，然后从 1，0，1 中选取一个你认为合适的数作为 x 的值代入求值 20中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了 一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参
7、赛学生的成绩均不低于 50 分 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况， 随机抽取了其中 200 名学生的成绩 （成 绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50x60 10 0.05 60x70 20 0.10 70x80 30 b 80x90 a 0.30 90x100 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ，b ； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名 学生中成绩“优”等约有
8、多少人？ 21已知：如图，在ABC 中，ADBC 求作：在 AD 上求作点 E，使得点 E 到 AB 的距离 EF 等于 DE （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （1）作图的依据是 ； （2）在作图的基础上，若ABC45，ABAC，DE1，求 CD 的长 22“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱， 各种品牌的山地自行车相继投放市场 顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额
9、将比去年 6 月份销售总额 增加 25% （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 23已知：如图，在ABC 中，ABAC，点 P 是底边 BC 上一点且满足 PAPB，O 是 PAB 的外接圆，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D （1）求证：PD 是O 的
10、切线； （2）若 BC8，tanABC，求O 的半径 24如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点， （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）若AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：APBEPC； （3）若矩形 ABCD 的边 AB6，BC4，求CPF 的面积 25已知，在以 O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为 A （1，4），且经过点 B （2，3），与 x 轴分别交于 C、D 两点 （1）求直线 OB 以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图
11、 1，点 M 是抛物线上的一个动点，且在直线 OB 的下方，过点 M 作 x 轴的平行 线与直线 OB 交于点 N，求 MN 的最大值； （3）如图 2，过点 A 的直线交 x 轴于点 E，且 AEy 轴，点 P 是抛物线上 A、D 之间的 一个动点，直线 PC、PD 与 AE 分别交于 F、G 两点当点 P 运动时，EF+EG 是否为定 值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，共 48 分） 1中国人最早使用负数，下列各数中是负数的是（ ） A|1| B（1） C（）0 D（1）2 【分析】直接利用去括号法则以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别
12、化简得出答案 解：A、|1|1，故此选项正确； B、（1）1，故此选项正错误； C、（）0，故此选项正错误； D、（1）21，故此选项正错误； 故选：A 2下列运算正确的是（ ） A2aa2 Ba6a2a3 C（a2）3a6 D（a）1a+1 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的除法运算法则逐一判断 即可 解：A.2a 与a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Ba6a2a4，故本选项不合题意； C（a2）3a6，故本选项符合题意； D（a）1a1，故本选项不合题意 故选：C 3 一个几何体的主视图和左视图都是正方形， 俯视图是一个圆， 那么这个几何体是 （ ）
13、A长方体 B正方体 C圆锥 D圆柱 【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，可判断该几何 体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案 解：几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形， 故该几何体是一个柱体， 又俯视图是一个圆， 故该几何体是一个圆柱 故选：D 42019 年政府工作报告中指出，5 年来我国有约 8001 万农业转移人口成为城镇居民用科 学记数法表示数据 8001 万，其结果是（ ） A80.01106 B0.8001108 C8.001107 D8.001108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为
14、整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于等于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 解：8001 万8.001107 故选：C 5在ABC 中，已知A、B 都是锐角，|sinA|+（1tanB）20，那么C 的度数为 （ ） A75 B90 C105 D120 【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出 sinA，tanB1，进而得出 A30，B45，即可得出答案 解：|sinA|+（1tanB）20， |sinA|0，（1tanB）20， sinA，tanB1， A30，B45， C
15、的度数为：1803045105 故选：C 6不等式组所有整数解的和为（ ） A1 B1 C0 D2 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解即可 解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是1x2， 不等式组的整数解是1，0，1， 不等式组的所有整数解的和是1+0+10， 故选：C 7下列命题为假命题的是（ ） A若 ab，则 a2019b2019 B若 ab，则 C若 ab，则 a2ab D若 ab，则 a2cb2c 【分析】根据等式的性质、不等式的性质进行判断即可 解：A、若 ab，则 a2019b2019，是真命题； B、若 ab，则，是真命
16、题； C、若 ab，当 a0 时，则 a2ab；a0 时，a2ab，是假命题； D、若 ab，则 a2cb2c，是真命题； 故选：C 8已知函数 yaxb 与 y的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx+c 在平面直角坐标 系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限， 即可得出 a0、 b0、 c0， 由此即可得出：二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴 x0，与 y 轴的 交点在 y 轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论 解：观察函数图象可知：a0，b0，c0， 二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴 x
17、 0，与 y 轴的交点在 y 轴正 半轴 故选：A 9如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设 人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是（ ） Ax2+9x80 Bx29x80 Cx29x+80 D2x29x+80 【分析】设人行道的宽度为 x 米，根据矩形绿地的面积之和为 60 米 2，列出一元二次方 程 解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， （183x）（62x）60， 化简整理得，x29x+80 故选：C 10如图，四边形 ABCD 内接于O
18、，F 是上一点，且，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC若ABC105，BAC25，则E 的度数为（ ） A45 B50 C55 D60 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出ADC 的度数，再由圆周角定理得出DCE 的 度数，根据三角形外角的性质即可得出结论 解：四边形 ABCD 内接于O，ABC105， ADC180ABC18010575 ，BAC25， DCEBAC25， EADCDCE752550 故选：B 11已知点 A 是双曲线 y在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于 点 B，以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限内，随着点
19、A 的运动，点 C 的位 置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y（x0）上运动，则 k 的值是（ ） A3 B C3 D 【分析】 根据反比例函数的性质得出 OAOB， 连接 OC， 过点 A 作 AEy 轴， 垂足为 E， 过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F，根据等边三角形的性质和解直角三角形即可得到结论 解：双曲线 y的图象关于原点对称， 点 A 与点 B 关于原点对称， OAOB， 连接 OC，如图所示， ABC 是等边三角形，OAOB， OCABBAC60， tanOAC， OCOA， 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，过点 C 作 CFy 轴，垂足为 F， AEOE，CFOF
20、，OCOA， AEOOFC，AOE90FOCOCF， OFCAEO，相似比， 面积比3， 点 A 在第一象限，设点 A 坐标为（a，b）， 点 A 在双曲线 y上， SAEO ab ， SOFCFC OF ， 设点 C 坐标为（x，y）， 点 C 在双曲线 y上， kxy， 点 C 在第四象限， FCx，OFy FC OFx （y）xy3， 故选：C 12如图，在ABC 中，ABAC10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），ADE B，DE 交 AC 于点 E，且 cos下列给出的结论中，正确的有（ ） ADEACD； 当 BD6 时，ABD 与DCE 全等； DCE 为直角三
21、角形时，BD 为 8 或 12.5； 0CE6.4 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明 由 BD6，则 DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即 可证得 分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得 依据相似三角形对应边成比例即可求得 解：ABAC， BC， 又ADEB ADEC， ADEACD； 故正确， 作 AGBC 于 G， ABAC10，ADEB，cos， BGABcosB， BC2BG2ABcosB21016， BD6， DC10， ABDC， 在ABD 与DCE 中， ， ABDDCE（ASA） 故正确， 当AE
22、D90时，由可知：ADEACD， ADCAED， AED90， ADC90， 即 ADBC， ABAC， BDCD， ADEB 且 cos，AB10， BD8 当CDE90时，易CDEBAD， CDE90， BAD90， B 且 cosAB10， cosB， BD12.5 故正确 易证得CDEBAD，由可知 BC16， 设 BDy，CEx， ， ， 整理得：y216y+646410x， 即（y8）26410x， 0x6.4 故正确 正确的有 故选：D 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24 分） 13关于 x 的方程 ax2x+10 有实根，则实数 a 的范围为 a 【分析】由于关于 x 的
23、方程 ax2x+10 有实数根，所以分两种情况：（1）当 a0 时， 方程为一元二次方程， 那么它的判别式的值是一个非负数， 由此即可求出 a 的取值范围； （2）当 a0 时，方程为x+10，此时一定有解 解：（1）当 a0 时，方程为x+10，此时一定有解； （2）当 a0 时，方程 ax2x+10 为一元二次方程， b24ac14a0， a 所以根据两种情况得 a 的取值范围是 a 故答案为：a 14如图，在半径 AC 为 2，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直径作半圆，交弦 AB 于点 D，连接 CD，则图中阴影部分的面积是 1 【分析】已知 BC 为直径，则CDB90，在等腰直角
24、三角形 ABC 中，CD 垂直平分 AB，CDDB，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形 ACB 的面积与ADC 的面积之差 解：在 RtACB 中，AB2， BC 是半圆的直径， CDB90， 在等腰 RtACB 中，CD 垂直平分 AB，CDBD， D 为半圆的中点， S阴影部分S扇形ACBSADC22（）21 故答案为 1 15如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，4），点 B 的坐标是（6，2），在 y 轴和x轴上分别有两点P、 Q， 则A， B， P， Q四点组成的四边形的最小周长为 10+2 【分析】作点 A 关于 y 轴的对称点 C，点 B 关于 x 轴的对称
25、点 D，连接 CD 交 y 轴于 P， 交 x 轴于 Q，则此时，四边形 APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB+CD，根据 两点间的距离公式即可得到结论 解：作点 A 关于 y 轴的对称点 C，点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD 交 y 轴于 P，交 x 轴于 Q， 则此时，四边形 APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB+CD， 点 A 的坐标是（2，4），点 B 的坐标是（6，2）， C（2，4），D（6，2）， AB2，CD10， 四边形 APQB 的最小周长10+2， 故答案为：10+2 16某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为 4
26、5的 传送带 AB，调整为坡度 i1：的新传送带 AC（如图所示）已知原传送带 AB 的长 是 4米那么新传送带 AC 的长是 8 米 【分析】根据题意首先得出 AD，BD 的长，再利用坡角的定义得出 DC 的长，再结合勾 股定理得出答案 解：过点 A 作 ADCB 延长线于点 D， ABD45， ADBD， AB4， ADBDABsin4544， 坡度 i1：， ， 则 DC4， 故 AC8（m） 故答案为：8 17对于 X、Y 定义一种新运算“*”：X*YaX+bY，其中 a、b 为常数，等式右边是通常 的加法和乘法的运算已知：3*515，4*728，那么 2*3 2 【分析】 本题是一种
27、新定义运算题目 首先要根据运算的新规律， 得出 3a+5b154a+7b 28，（）即可得出答案 解：X*YaX+bY，3*515，4*728， 3a+5b15 4a+7b28 ， a+2b13 ， 2a+3b2， 而 2*32a+3b2 18在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐 标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第 2 个正方形 A1B1C1C，延长 C1B1交 x 轴于 点 A2，作第 3 个正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 2020 个正方形的面 积为 5（ ）4038 【分析】根据相似三角形的判定
28、原理，得出AA1BA1A2B1，继而得知BAA1 B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方 形的面积，从中找出规律 解：设正方形的面积分别为 S1，S2，Sn， 根据题意，得：ADBCC1A2C2B2， BAA1B1A1A2B2A2x（同位角相等） ABA1A1B1A2A2B2x90， BAA1B1A1A2， 在直角ADO 中，根据勾股定理，得：AD，tanADO， tanBAA1tanADO， BA1AB ， CA1+ ， 同理，得：C1A2（+）（1+ ） 由正方形的面积公式，得：S1（）2， S2（）2（1+）2， S3（）2（1+）45（）4，
29、 由此，可得 Sn（）2（1+）2（n1）5（ ）2n 2 第 2020 个正方形的面积为 5（）4038， 故答案为：5（ ）4038 三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分） 19先化简，然后从 1，0，1 中选取一个你认为合适的数作为 x 的值代入求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，把 x0 代入计算即可求出值 解：原式， 当 x0 时，原式1 20中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了 一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 5
30、0 分 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况， 随机抽取了其中 200 名学生的成绩 （成 绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50x60 10 0.05 60x70 20 0.10 70x80 30 b 80x90 a 0.30 90x100 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a 60 ，b 0.15 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段； （4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名 学生中成绩“优”等
31、约有多少人？ 【分析】（1）根据第一组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以 第四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值； （2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图； （3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据 （或中间两数据的平均数）即为中位数； （4）利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可 解：（1）样本容量是：100.05200， a2000.3060，b302000.15； （2）补全频数分布直方图，如下： （3）一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第
32、 101 个数据都落在 第四个分数段， 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段； （4）30000.401200（人） 即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人 故答案为 60，0.15；80x90；1200 21已知：如图，在ABC 中，ADBC 求作：在 AD 上求作点 E，使得点 E 到 AB 的距离 EF 等于 DE （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （1）作图的依据是 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 ； （2）在作图的基础上，若ABC45，ABAC，DE1，求 CD 的长 【分析】（1）作ABC 的角平分线交 AD 于
33、 E，过点 E 作 EFAB 于 F，线段 EF 即为 所求 （2）证明AEF 是等腰直角三角形，求出 AE 即可解决问题 解：（1）如图线段 EF 即为所求 作图的依据是：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 （2）BE 平分边长，EDBC，EFAB， EDEF1， ADBC，ABC45， AFEF1， AE， ADAE+DE+1 22“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱， 各种品牌的山地自行车相继投放市场 顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车
34、每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总额 增加 25% （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A、B 两种型号车的进货和销售价格如表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 【分析】（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆
35、（x+400）元，列出方程即可解决 问题 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元，先求 出 m 的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题 解：（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元， 根据题意得， 解之得 x1600， 经检验，x1600 是方程的解 答：今年 A 型车每辆 2000 元 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元， 根据题意得 50m2m 解之得 m， 50m0， m50， 16m50 y（20001100）m+（24001400）（50m）10
36、0m+50000， y 随 m 的增大而减小， 当 m17 时，可以获得最大利润 答：进货方案是 A 型车 17 辆，B 型车 33 辆 23已知：如图，在ABC 中，ABAC，点 P 是底边 BC 上一点且满足 PAPB，O 是 PAB 的外接圆，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若 BC8，tanABC，求O 的半径 【分析】（1）先根据圆的性质得：，由垂径定理可得：OPAB，根据平行线可 得：OPPD，所以 PD 是O 的切线； （2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，设O 的半径为 r，根据勾股定理列方程可 得 r 的值 【解答】（1
37、）证明：如图 1，连接 OP， PAPB， ， OPAB， PDAB， OPPD， PD 是O 的切线； （2）如图 2，过 A 作 AHBC 于 H，连接 OA，OP，OP 交 AB 于 E， ABAC， BHBC4， RtABH 中，tanABC， AH2，AB 2， BE，PE， 设O 的半径为 r，则 OAr，OEr， 由勾股定理得：， r ， 答：O 的半径是 24如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点， （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2
38、）若AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：APBEPC； （3）若矩形 ABCD 的边 AB6，BC4，求CPF 的面积 【分析】（1）由折叠的性质得到 BEPE，EC 与 PB 垂直，根据 E 为 AB 中点，得到 AE EBPE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到 APB 为 90，进而得到 AF 与 EC 平行，再由 AE 与 FC 平行，利用两对边平行的四边 形为平行四边形即可得证； （2）根据三角形 AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质 及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 APEB，利 用
39、AAS 即可得证； （3）过 P 作 PMCD，在直角三角形 EBC 中，利用勾股定理求出 EC 的长，利用面积 法求出 BQ 的长，根据 BP2BQ 求出 BP 的长，在直角三角形 ABP 中，利用勾股定理求 出 AP 的长，根据 AFAP 求出 PF 的长，由 PM 与 AD 平行，得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相似，由相似得比例求出 PM 的长，再由 FCAE3，求出三角形 CPF 面积即可 【解答】（1）证明：由折叠得到 BEPE，ECPB， E 为 AB 的中点， AEEBPE， APBP， AFEC， AEFC， 四边形 AECF 为平行四边形； （2）AEP 为等边三角形
40、， BAPAEP60，APAEEPEB， PECBEC， PECBEC60， BAP+ABP90，ABP+BEQ90， BAPBEQ， 在ABP 和EBC 中， ， ABPEBC（AAS）， EBCEPC， ABPEPC； （3）过 P 作 PMDC，交 DC 于点 M， 在 RtEBC 中，EB3，BC4， 根据勾股定理得：EC5， SEBCEB BC EC BQ， BQ， 由折叠得：BP2BQ， 在 RtABP 中，AB6，BP， 根据勾股定理得：AP， 四边形 AECF 为平行四边形， AFEC5，FCAE3， PF5， PMAD， ，即， 解得：PM， 则 SPFCFC PM 3 25
41、已知，在以 O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为 A （1，4），且经过点 B （2，3），与 x 轴分别交于 C、D 两点 （1）求直线 OB 以及该抛物线相应的函数表达式； （2）如图 1，点 M 是抛物线上的一个动点，且在直线 OB 的下方，过点 M 作 x 轴的平行 线与直线 OB 交于点 N，求 MN 的最大值； （3）如图 2，过点 A 的直线交 x 轴于点 E，且 AEy 轴，点 P 是抛物线上 A、D 之间的 一个动点，直线 PC、PD 与 AE 分别交于 F、G 两点当点 P 运动时，EF+EG 是否为定 值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】（1）由 B
42、点坐标利用待定系数法可求直线 OB 解析式，利用顶点式可求得抛物 线解析式； （2）设 M（t，t2+2t3），MNs，则可表示出 N 点坐标，由 MN 的纵坐标相等可得到 关于 s 和 t 的关系式，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）设 P（t，t2+2t3），则可表示出 PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性质可用 t 分别表示出 EF 和 EG 的长，则可求得其定值 解： （1）设直线 OB 解析式为 ykx，由题意可得32k，解得 k， 直线 OB 解析式为 yx， 抛物线顶点坐标为（1，4）， 可设抛物线解析式为 ya（x+1）24， 抛物线经过 B（2，3）， 3a4，解
43、得 a1， 抛物线为 yx2+2x3； （2）设 M（t，t2+2t3），MNs，则 N 的横坐标为 ts，纵坐标为 ， MNx 轴， t2 +2t3，得 s ， 当 t时，MN 有最大值，最大值为； （3）EF+EG8 理由如下： 如图 2，过点 P 作 PQy 轴交 x 轴于 Q， 在 yx2+2x3 中，令 y0 可得 0x2+2x3，解得 x3 或 x1， C（3，0），D（1，0）， 设 P（t，t2+2t3），则 PQt22t+3，CQt+3，DQ1t， PQEF， CEFCQP， ， EF PQ（t22t+3）， 同理EGDQPD 得， EG PQ， EF+EG（t22t+3）+2（t22t+3）（+） 2（t22t+3）（）2（t22t+3）（）8， 当点 P 运动时，EF+EG 为定值 8
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