1、2020 年北京市燕山区中考数学二模试卷年北京市燕山区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 12020 年 5 月 5 日 18 时，长征五号 B 运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进 入实质阶段长征五号 B 运载火箭运载能力超过 22000 千克，是目前我国近地轨道运载 能力最大的火箭将 22000 用科学记数法表示应为（ ） A2.2104 B2.2105 C22103 D0.22105 2如图，用三角板作ABC 的边 AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A B C D 3下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A
2、B C D 4如图是某几何体的展开图，则该几何体是（ ） A四棱锥 B三棱锥 C四棱柱 D长方体 5如图，在数轴上，实数 a，b 的对应点分别为点 A，B，则 ab（ ） A1.5 B1 C1 D4 62019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会在浙江乌镇举行，会议发布了 15 项“世界 互联网领先科技成果” ，其中有 5 项成果属于芯片领域小飞同学要从这 15 项“世界互 联网领先科技成果” 中任选 1 项进行了解， 则他恰好选中芯片领域成果的概率为 （ ） A B C D 7若 a2+4a5，则代数式 2a（a+2）（a+1） （a1）的值为（ ） A1 B2 C4 D6 8 “
3、实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性 能的重要指标某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程” ，收集了 使用该型号电动汽车 1 年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过 40 岁和年龄在 40 岁以上将客户分为 A，B 两组，从 A，B 组各抽取 10 位客户的电动汽车的“实际平均续 航里程”数据整理成图，其中“”表示 A 组的客户， “*”表示 B 组的客 户 下列推断不正确的是（ ） AA 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于 B 组 BA 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于 B 组 CA 组客户的电动汽车的
4、“实际平均续航里程”的平均值低于 B 组 D这 20 位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在 B 组 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9函数 y中，自变量 x 的取值范围是 10分解因式：x34x 11如图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： 12用一个 a 的值说明命题“若 a21，则 a1”是假命题，这个值可以是 a 13 如图， 1， 2， 3 均是五边形 ABCDE 的外角， AEBC， 则1+2+3 14如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的A 与 BC 交于点 F，则 tanDEF 15
5、 算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位 其中有一个“绳索量竿” 问题： “一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长 几尺” 译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杆，绳索比杆子长 5 尺；如果将绳索对折后 再去量竿，就比竿子短 5 尺，问绳索长几尺？注：一托5 尺 设绳索长 x 尺，竿子长 y 尺，依题意，可列方程组为 16四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD， DA 的中点有下列四个推断： 对于任意四边形 ABCD，四边形 MNPQ 都是平行四边形； 若四边形 ABCD 是平行四边形，则
6、 MP 与 NQ 交于点 O； 若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 MNPQ 也是矩形； 若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 也一定是正方形 所有正确推断的序号是 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 17计算：32+2tan60+（3）0 18 解 不 等 式 2 （ x+1 ） 1 ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 19如图，ABC 中，ABAC，CDAB 于点 D，BAC 的平分线 AE 交 BC 于点 E （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）求证：BCDCAE 20已知关于 x 的方程 mx2（2m+1）x+20（
7、m0） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 21如图，RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点，O 为 BC 中点，连结 DO 并延长到 点 E，使 OEOD，连接 BE，CE （1）求证：四边形 DCEB 为菱形； （2）若 AC6，DCB30，求四边形 DCEB 的面积 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ymx+3 与 x 轴交于点 C，与反比例函数 y （k0）的图象交于点 A（1，4）和点 B （1）求 m，k 的值及点 C 的坐标； （2）若点 P 是 x 轴上一点，且 SABP5，直
8、接写出点 P 的坐标 23如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 切线 CD 交 BA 的延长线于点 D，过点 O 作 OEAC 交切线 DC 于点 E，交 BC 于点 F （1）求证：BE； （2）若 AB10，cosB，求 EF 的长 24已知 y1，y2均是 x 的函数，如表是 y1，y2与 x 的几组对应值： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 3 3 3 3 3 2.5 1 1.5 5 y2 1.88 2.4 3.2 4 0 4 3.2 2.4 1.88 小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y1，y2与 x 之间的变化规律，分别 对函数 y1
9、，y2的图象与性质进行了探究 下面是小聪的探究过程，请补充完整： （1）如图，在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，并画出函数 y1，y2的图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题： 当 x3.5 时，对应的函数值 y1约为 ； 写出函数 y2的一条性质： ； 当 y1y2时，x 的取值范围是 25某学校八、九年级各有学生 200 人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快 乐运动，健康成长”的系列体育健身活动为了了解学生的运动状况，从八、九年级各 随机抽取 40 名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成
10、绩） 进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，70 79 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） a八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50x60，60x70，70 x80，80x90，90x100） b八年级学生成绩在 70x80 这一组的是： 70 71 73 73 73 74 76 77 78 79 c九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 79 76 84 40% 根据以上信息，回答下列问题： （1） 在此次测试中， 小腾的成绩是 74 分， 在年级排名是第 17 名， 由此可知
11、他是 年 级的学生（填“八” ，或“九” ） ； （2）根据上述信息，推断 年级学生运动状况更好，理由为 ； （至少从两 个不同的角度说明推断的合理性） （3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试， 预估九年级学生达到优秀的约有 人； 如果年级排名在前 70 名的学生可以被评选为“运动达人” ，预估八年级学生至少要达 到 分才可以入选 26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax（a0）与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的 左侧） （1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点 P（2，2） ，Q（2+2a，5a） ，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图
12、象，求 a 的取值范围 27已知菱形 ABCD 中，A60，点 E 为边 AD 上一个动点（不与点 A，D 重合） ，点 F 在边 DC 上，且 AEDF，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120得线段 DG，连接 GF， BF，EF （1）依题意补全图形； （2）求证：BEF 为等边三角形； （3）用等式表示线段 BG，GF，CF 的数量关系，并证明 28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G，给出如下定义：若图形 G 上存在两个点 A，B，使得PAB 是边长为 2 的等边三角形，则称点 P 是图形 G 的一个“和谐点” 已知直线 l：yx+n（n0）与 x 轴交于点 M，与
13、 y 轴交于点 N，O 的半径为 r （1） 若 n0， 在点 P1（2， 0） ， P2（0， 2） ， P3（4， 1） 中， 直线 l 的和谐点是 ； （2）若 r2，O 上恰好存在 2 个直线 l 的和谐点，求 n 的取值范围； （3）若 n3，线段 MN 上存在O 的和谐点，直接写出 r 的取值范围 2020 年北京市燕山区中考数学二模试卷年北京市燕山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 12020 年 5 月 5 日 18 时，长征五号 B 运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进 入实质阶段长征五号 B 运载火箭
14、运载能力超过 22000 千克，是目前我国近地轨道运载 能力最大的火箭将 22000 用科学记数法表示应为（ ） A2.2104 B2.2105 C22103 D0.22105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：22000 用科学记数法表示为：2.2104 故选：A 2如图，用三角板作ABC 的边 AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A B C D 【分析】根据高线的定义即可得出结论 【解答】解：A，C，D 都不是ABC 的
15、边 AB 上的高， 故选：B 3下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形 故选：D 4如图是某几何体的展开图，则该几何体是（ ） A四棱锥 B三棱锥 C四棱柱 D长方体 【分析】侧面为四个三角形，底面为长方形，故原几何体为四棱锥 【解答】解：观察图形可知，这个几何体是四棱锥 故选：A 5如图，在数轴上，实数 a，b 的对应点分别为点 A
16、，B，则 ab（ ） A1.5 B1 C1 D4 【分析】直接利用数轴得出 a，b 对应的值进而得出答案 【解答】解：如图所示：ab21 故选：C 62019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会在浙江乌镇举行，会议发布了 15 项“世界 互联网领先科技成果” ，其中有 5 项成果属于芯片领域小飞同学要从这 15 项“世界互 联网领先科技成果” 中任选 1 项进行了解， 则他恰好选中芯片领域成果的概率为 （ ） A B C D 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：他恰好选中芯片领域成果的概率为 故选：B 7若 a2+4a5，则代数式 2a（a+2）（a+1） （a1）
17、的值为（ ） A1 B2 C4 D6 【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结 果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：原式2a2+4aa2+1（a2+4a）+1， a2+4a5， 原式5+16 故选：D 8 “实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性 能的重要指标某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程” ，收集了 使用该型号电动汽车 1 年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过 40 岁和年龄在 40 岁以上将客户分为 A，B 两组，从 A，B 组各抽取 10 位客户的电动汽车的“实际平均续
18、航里程”数据整理成图，其中“”表示 A 组的客户， “*”表示 B 组的客 户 下列推断不正确的是（ ） AA 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于 B 组 BA 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于 B 组 CA 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于 B 组 D这 20 位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在 B 组 【分析】结合图象，依次判断，利用排除法可求解 【解答】解： 由图象可得：A 组的客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在 350 左右，B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在 450 左右，故 A 选项不合
19、题意； 由图象可得：A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比 B 组客户的电 动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即 A 组客户的电动汽车的“实际平均续 航里程”的方差比 B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小， 故 B 选项不合题意； 由图象可得：这 20 位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的从大到小排序，第 10 位，第 11 位都在 B 组，故选项 D 不合题意； 故选项 C 符合题意， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解 【解
20、答】解：依题意，得 x20， 解得：x2， 故答案为：x2 10分解因式：x34x x（x+2） （x2） 【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x34x， x（x24） ， x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 11 如图中的四边形均为矩形， 根据图形的面积关系， 写出一个正确的等式： 答案不唯一， 如：2a（a+b）2a2+2ab 【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案 【解答】解：答案不唯一，如：2a（a+b）2a2+2ab 故答案为：答案不唯一，如：2a（a+b）2a2+2ab 12用一个 a 的值说明命题“若 a
21、21，则 a1”是假命题，这个值可以是 a 2（答 案不唯一） 【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可 【解答】解：当 a2 时，a241，而21， 命题“若 a21，则 a1”是假命题， 故答案为：2（答案不唯一） 13 如图， 1， 2， 3 均是五边形 ABCDE 的外角， AEBC， 则1+2+3 180 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出A+B180，从而得到以点 A、点 B 为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于 180， 再根据多边形的外角和定理列式计算 即可得解 【解答】解：ABCD， A+B180， 4+5180， 根据多边形的外角和定理得，1+2+3+4+5360
22、， 1+2+3360180180 故答案为：180 14如图，边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，半径为 2 的A 与 BC 交于点 F，则 tanDEF 【分析】根据圆周角定理得出DBCEDF，进而得出 tanDEFtanDBC，求出答 案即可 【解答】解：如图所示：可得DBCEDF， 则 tanDEFtanDBC 故答案为： 15 算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位 其中有一个“绳索量竿” 问题： “一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长 几尺” 译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杆，绳索比杆子长 5 尺；如
23、果将绳索对折后 再去量竿，就比竿子短 5 尺，问绳索长几尺？注：一托5 尺 设绳索长 x 尺，竿子长 y 尺，依题意，可列方程组为 【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却 比竿子短一托” ，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组 【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺， 根据题意得： 故答案为： 16四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD， DA 的中点有下列四个推断： 对于任意四边形 ABCD，四边形 MNPQ 都是平行四边形； 若四边形 ABCD 是平行四边形，则 MP 与 N
24、Q 交于点 O； 若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 MNPQ 也是矩形； 若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 也一定是正方形 所有正确推断的序号是 【分析】由三角形中位线定理得出 MNAC，MNAC，PQAC，PQAC，MQ BD，则 MNPQ，MNPQ，得出正确； 由题意得出四边形 MNPQ 是平行四边形，四边形 ABNQ 是平行四边形，则 MP 与 NQ 互相平分，NQ 的中点就是 AC 的中点，则 MP 与 NQ 交于点 O，正确； 周长四边形 MNPQ 是菱形，不是矩形；不正确； 四边形 ABCD 中，若 ACBD，ACBD，则四边形 MNPQ 是正方形，不正确 【解
25、答】解：如图 1 所示： 点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点， MN 是ABC 的中位线， PQ 是ADC 的中位线， MQ 是ABD 的中位线， PN 是BCD 的中位线， MNAC，MNAC，PQAC，PQAC，MQBD， MNPQ，MNPQ， 四边形 MNPQ 是平行四边形，正确； 如图 2 所示： 若四边形 ABCD 是平行四边形，点 M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点， 则四边形 MNPQ 是平行四边形，四边形 ABNQ 是平行四边形， MP 与 NQ 互相平分， NQ 的中点就是 AC 的中点， 则 MP 与 NQ 交于点 O，正确；
26、 若四边形 ABCD 是矩形，则 ACBD， MNMQ， 四边形 MNPQ 是菱形，不是矩形；不正确； 四边形 ABCD 中，若 ACBD，ACBD， 则四边形 MNPQ 是正方形， 若四边形 MNPQ 是正方形，则四边形 ABCD 不一定是正方形， 不正确； 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 12 小题）小题） 17计算：32+2tan60+（3）0 【分析】根据平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简的计算法则进行计 算即可求得结果 【解答】解：32+2tan60+（3）0 8 18 解 不 等 式 2 （ x+1 ） 1 ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出
27、 来 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为 1 可得 【解答】解：去分母，得 x16（x+1）3， 去括号，得 x16x63， 移项合并同类项，得5x10， 系数化为 1，得 x2， 原不等式的解集为 x2 在数轴上表示如下： 19如图，ABC 中，ABAC，CDAB 于点 D，BAC 的平分线 AE 交 BC 于点 E （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）求证：BCDCAE 【分析】 （1）作BAC 的平分线 AE 交 BC 于点 E 即可 （2）根据等角的余角相等，即可得到BCDCAE 【解答】解： （1）补全的图形如下图
28、： （2）证明：ABAC， BACB 又AE 是BAC 的平分线， AEBC， ACB+CAE90 CDAB， B+BCD90， BCDCAE 20已知关于 x 的方程 mx2（2m+1）x+20（m0） （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根 【分析】 （1）先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可； （2）根据求根公式得出 x13，x2m，即可求出 m 的值和方程的根 【解答】解： （1）由题意，得（2m+1）24m2 （4m2+4m+1）8m 4m24m+1 （2m1）2 不论 m 为何实数， （2m1）20 恒
29、成立，即0 恒成立， 方程总有两个实数根 （2）此题答案不唯一 由求根公式，得， 原方程的根为 x12， 方程的两个根都是正整数， 取 m1， 此时方程的两根为 x12，x21 21如图，RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点，O 为 BC 中点，连结 DO 并延长到 点 E，使 OEOD，连接 BE，CE （1）求证：四边形 DCEB 为菱形； （2）若 AC6，DCB30，求四边形 DCEB 的面积 【分析】 （1）根据线段中点的定义得到 OCOB，根据平行四边形的判定定理得到四边 形 DCEB 是平行四边形根据直角三角形的性质得到 CDBD，于是得到结论； （2） 根据已知条件得
30、到ABCDCB30， 解直角三角形得到 AB12， BC 根 据三角形中位线定理得到 DOAC3，于是得到结论 【解答】 （1）证明：O 是 BC 边中点， OCOB， 又OEOD， 四边形 DCEB 是平行四边形 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点， CDBD， 四边形 DCEB 为菱形； （2）解：CDBD，DCB30， ABCDCB30， RtABC 中，ACB90，AC6，ABC30， AB12，BC D 为 AB 中点，O 是 BC 中点， DOAC3， S菱形DCEBBCDO 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ymx+3 与 x 轴交于点 C，与反比例函
31、数 y （k0）的图象交于点 A（1，4）和点 B （1）求 m，k 的值及点 C 的坐标； （2）若点 P 是 x 轴上一点，且 SABP5，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1） 先将点 A 坐标代入 ymx+3 中可求出 m1， 则一次函数解析式为 yx+3， 利用一次函数解析式可确定 C 点坐标；然后把 A 点坐标代入中可确定 k 的值； （2）设 P（t，0） ，先解方程组得 B（4，1） ，利用三角形面积公式得到 |t+3|4+|t+3|15，然后求出 t 可得到 P 点坐标 【解答】解： （1）将点 A（1，4）的坐标代入 ymx+3 中得 4m1+3，解得 m1； 一次函数解
32、析式为 yx+3， 当 y0，x+30，解得 x3， 点 C 的坐标为（3，0） 将点 A（1，4）的坐标代入中得 k144； （2）设 P（t，0） ， 解方程组得或， B（4，1） ， SABP5， |t+3|4+|t+3|15， 即|t+3|2， t1 或5， P（5，0）或 P（1，0） 23如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 切线 CD 交 BA 的延长线于点 D，过点 O 作 OEAC 交切线 DC 于点 E，交 BC 于点 F （1）求证：BE； （2）若 AB10，cosB，求 EF 的长 【分析】 （1）连接 OC，由切线的性质与圆周角定理易证OCBA
33、CD，由等腰三角形 的性质得出BOCB，由平行线的性质得出ACDE，即可得出结论； （2）先求出 BC8，OC5，AC6，证明ACBOCE，得出，求出 OE ，由三角形中位线定理得出 OFAC3，即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图所示： AB 为O 的直径， ACBACO+OCB90 DE 是O 的切线， OCDACO+ACD90， OCBACD， OB，OC 是O 的半径， OBOC， BOCB， OEAC， ACDE， BE； （2）解：在 RtACB 中，cosB，AB10， BC8， OCOAOB， OCAB105， AC6， ACBOCE90，BE， ACBOCE，
34、 ，即， OE， OFAC，O 为 AB 中点， OFAC3， EFOEOF3 24已知 y1，y2均是 x 的函数，如表是 y1，y2与 x 的几组对应值： x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y1 3 3 3 3 3 2.5 1 1.5 5 y2 1.88 2.4 3.2 4 0 4 3.2 2.4 1.88 小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y1，y2与 x 之间的变化规律，分别 对函数 y1，y2的图象与性质进行了探究 下面是小聪的探究过程，请补充完整： （1）如图，在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1） ， （x，y2） ，并画出
35、函数 y1，y2的图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题： 当 x3.5 时，对应的函数值 y1约为 3.13 ； 写出函数 y2的一条性质： 当 x1 时，y2有最小值4 ； 当 y1y2时，x 的取值范围是 2.22x0.45，或 x3.24 【分析】 （1）根据题意如图画出函数的图象即可； （2）根据函数图象上的信息即可得到结论 【解答】解： （1）函数 y1，y2的图象如图所示； （2）由图象知，当 x3.5 时，对应的函数值 y1约为 3.13； 性质：当 x1 时，y2有最小值4； 由图象知，当 y1y2时，x 的取值范围是：2.22x0.45，或 x3.24， 故答案为：3.
36、13；当 x1 时，y2有最小值4；2.22x0.45，或 x3.24 25某学校八、九年级各有学生 200 人，为了提高学生的身体素质，学校开展了主题为“快 乐运动，健康成长”的系列体育健身活动为了了解学生的运动状况，从八、九年级各 随机抽取 40 名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩） 进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，70 79 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不合格） a八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为五组：50x60，60x70，70 x80，80x90，90x100） b八年级学生成绩
37、在 70x80 这一组的是： 70 71 73 73 73 74 76 77 78 79 c九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 79 76 84 40% 根据以上信息，回答下列问题： （1） 在此次测试中， 小腾的成绩是 74 分， 在年级排名是第 17 名， 由此可知他是 八 年 级的学生（填“八” ，或“九” ） ； （2） 根据上述信息， 推断 九 年级学生运动状况更好， 理由为 九年级优秀率 40%， 八年级优秀率 30%，说明九年级体能测试优秀人数更多； 九年级中位数为 76，八年级为 72，说明九年级一半的同学测试成绩高于 76，而八年
38、 级一半同学的测试成绩仅高于 72 ； （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）假设八、九年级全体学生都参加了此次测试， 预估九年级学生达到优秀的约有 80 人； 如果年级排名在前 70 名的学生可以被评选为“运动达人” ，预估八年级学生至少要达 到 78 分才可以入选 【分析】 （1）求出八年级学生成绩的中位数，根据小腾的成绩和在年级的名次，确定是 哪个年级的； （2）从优秀率、中位数上分析可以得出九年级成绩较好，理由为；九年级的优秀率为 40%，可以求出九年级的优秀人数， 九年级中位数为 76，八年级为 72，说明九年级一半的同学测试成绩高于 76，而八年 级一半同学的测试成绩仅高
39、于 72 （3）年级排名在前 70 名的学生可以被评选为“运动达人” ，因此“运动达人”占 35%，进而得出抽样中获“运动达人”的有 4035%14 人，根据直方图和 70x80 中学生的成绩，得出最少为 78 分 【解答】解： （1）八年级学生成绩的中位数为72 分； 小腾的成绩是 74 分，在年级排名是第 17 名，可知其中位数应该不大于 74，因此他应该 在八年级， 故答案为：八； （2）九；理由：九年级优秀率 40%，八年级优秀率 30%，说明九年级体能测试优秀 人数更多； 九年级中位数为 76，八年级为 72，说明九年级一半的同学测试成绩高于 76，而八年 级一半同学的测试成绩仅高于
40、 72 （3）20040%80； 总体中“运动达人”占35%，可得样本中“运动达人”有 4035%14 人， 80x90 的有 9 人，而 90x100 的有 3 人，因此再从 70x80 成绩中，从大到小 找出第 2 个即可 故答案为：78 26在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax24ax（a0）与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的 左侧） （1）求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴； （2）已知点 P（2，2） ，Q（2+2a，5a） ，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图 象，求 a 的取值范围 【分析】 （1）令 y0，求出 x 的值，可求出 A，B 两点的坐标，由
41、对称性可得出抛物线 的对称轴方程； （2）当 a0 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q（2+2a，5a）位于点 P 的右侧，当 a0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q（2+2a，5a）位于点 P 的左侧，分别画出函数的图象，由图象可得出答案 【解答】解： （1）yax24axax（x4） ， y0 时，ax（x4）0， x0 或 x4， 抛物线与 x 轴交于点 A（0，0） ，B（4，0） 抛物线 yax24ax 的对称轴为直线： （2）yax24axa（x24x）a（x2）24a， 抛物线的顶点坐标为（2，4a） 令 y5a，得 ax24ax5a，a（x5） （
42、x+1）0， 解得 x1 或 x5， 当 y5a 时，抛物线上两点 M（1，5a） ，N（5，5a） 当 a0 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q（2+2a，5a）位于点 P 的右 侧， 如图 1，当点 N 位于点 Q 左侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点， 此时 2+2a5， 解得 当 a0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q（2+2a，5a）位于点 P 的左 侧， （）如图 2，当顶点位于点 P 下方时，抛物线与线段 PQ 有公共点， 此时4a2， 解得 （）如图 3，当顶点位于点 P 上方，点 M 位于点 Q 右侧时，抛物线与线段 PQ 有公共 点， 此时 2
43、+2a1， 解得 综上，a 的取值范围是或或 27已知菱形 ABCD 中，A60，点 E 为边 AD 上一个动点（不与点 A，D 重合） ，点 F 在边 DC 上，且 AEDF，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120得线段 DG，连接 GF， BF，EF （1）依题意补全图形； （2）求证：BEF 为等边三角形； （3）用等式表示线段 BG，GF，CF 的数量关系，并证明 【分析】 （1）根据题意补全图形即可； （2）易证ABD 为等边三角形，BDF60，由 SAS 证得ABEDBF，得出 BE BF，ABEDBF，则EBFEBD+DBFEBD+ABE60，即可得出结 论； （3）取 F
44、G 中点 H，连接 DH，由等腰三角形的性质得出DFGDGF30，DH GF，由三角函数得出 GFDG，易证BCD 为等边三角形，B、D、G 三点在同一条 直线上，求出 BGCF2DG，即可得出（BGCF）2GF 【解答】 （1）解：补全图形，如图 1 所示： （2）证明：四边形 ABCD 是菱形， ABAD， A60， ABD 为等边三角形，BDF60， ABDBDC60，ABBD， 在ABE 和DBF 中， ABEDBF（SAS） ， BEBF，ABEDBF， EBFEBD+DBFEBD+ABEABD60， BEF 为等边三角形； （3）解：BG、GF、CF 的数量关系为：（BGCF）2G
45、F，理由如下： 取 FG 中点 H，连接 DH，如图 2 所示： AEDFDG，FDG120， DFGDGF30，DHGF， GF2GH2DGcos302DGDG， 四边形 ABCD 是菱形，A60， BCD 为等边三角形， BDCD，BDC60， FDG120， BDC+FDG180，即 B、D、G 三点在同一条直线上， BGBD+DGCD+DGCF+DF+DGCF+2DG， BGCF2DG， （BGCF）2DG2GF 28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G，给出如下定义：若图形 G 上存在两个点 A，B，使得PAB 是边长为 2 的等边三角形，则称点 P 是图形 G 的一个“和谐点” 已知直线 l：yx+n（n0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，O 的半径为 r （1）若 n0，在点 P1（2，0） ，P2（0，2） ，P3（4，1）中，直线 l 的和谐点是 P1 和 P2 ； （2）若 r2，O 上恰好存在
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