1、2020 年高考（文科）数学（年高考（文科）数学（6 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|x2+5x60，Bx|2x2 且 xZ，则 AB（ ） A（2，1） B5，4，3，2，1，0 C1，0 D1，0，1 2已知（12i）z1+i，其中 i 是虚数单位，则|z|（ ） A B C D 3已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 4 已知向量 （2， 3） ， （3， t） ， 且 与 夹角不大于 ， 则 t 的取值范围为 （ ） A ， B ， C ， D ， 5九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人
2、苗，苗主责之粟四斗羊主曰：“我羊食 半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 4 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，牛、马、 羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A B C D 6以双曲线 ： ， 的一个焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切，则 E 的离心率等于（ ） A B C D 7某中学高一年级共有学生 2400 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 80 的样本，
3、若样本中共有男生 42 人，则该校高一年级共有女生（ ） A1260 B1230 C1200 D1140 8已知直线 a、b，平面 、，且 ab，a，则 b 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（x）的 图象，且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 （ ） A B C D 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn4an+m，且数列nan的前 6 项和等于 321， 则 m 的值等于（ ） A1 B2 C1 D2 11已知直线 l：kxyk0（kR）与抛物线 ： 相交于 A，B 两点
4、，O 为 坐标原点，则AOB 为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 12定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x），当 x0，2时，f（x）2x， 设函数 g（x）e|x2|（2x6），则 f（x）和 g（x）的图象所有交点横坐标之和等 于（ ） A8 B6 C4 D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高吃烧烤的人数日益减 少，烧烤店也日益减少某市对 2015 年到 2019 年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进 行了统计，具体统计数据如表： 年份 2015 2016
5、2017 2018 2019 年份代号（t） 1 2 3 4 5 盈利店铺的个 数（y） 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出 y 关于 t 的回归方程 ，估计该市 2020 年盈利烧烤店铺 的个数为 14若变量 x、y 满足约束条件 ，则函数 z2x+y 的最小值等于 15已知函数 ，且 ，则 a 16如图，在边长等于 2 正方形 ABCD 中，点 Q 是 BC 中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上移动 （M 不与 A， B 重合， N 不与 C， D 重合） ， 且 MNBC， 沿着 MN 将四边形 AMND 折起，使得面 AMND面 MNBC，则三棱锥 DM
6、NQ 体积的最大值为 ；当三棱 锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 （1）求角 C 的大小； （2）若 a+b7，ABC 的面积等于 ，求 c 边长 18已知四棱锥 PABCD 中，面 PAB面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，且 PAPB4， AB2，BC3，O 为 AB 的中点，点 E 在 AD 上，且 （1）证明：E
7、CPE； （2）在 PB 上是否存在一点 F，使 OF面 PEC，若存在，试确定点 F 的位置 19 近年来， 我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇， 但是电子商务行业由于缺乏监管， 服务质量有待提高某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电 商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如图茎叶图： （1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？ （2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电 商一个月（按 30 天计算）被评为优的天数各是多少 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，过椭圆内点 P（1，0）的直线 l 与椭圆
8、E 相交于 A，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线 l 过点 Q（0，b）时，PQC 的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）求证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 21已知函数 f（x）lnxx+a （1）求函数 f（x）的最大值； （2）若函数 f（x）存在两个零点 x1，x2（x1x2），证明：2lnx1+lnx20 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1
9、）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 截得弦的长 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x2| （1）若 f（x）4，求实数 x 的取值范围； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立，求实数 a 的值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1设集合 Ax|x2+5x60，Bx|2x2 且 xZ，则 AB（ ） A（2，1） B5，4，3，2，1，0 C1，0 D1，0，1 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算
10、即可 解：Ax|6x1，B1，0，1， AB1，0 故选：C 2已知（12i）z1+i，其中 i 是虚数单位，则|z|（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 解：由（12i）z1+i，得 z ， |z| 故选：A 3已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 【分析】可以得出 ， ， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：0log41log43log441， ， ， cab 故选：D 4 已知向量 （2， 3） ， （3， t） ， 且 与 夹角不大于 ， 则 t 的取值
11、范围为 （ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得 的坐标，进而由数量积计算公式可得 2+3（t3）3t70，解可得 t 的取值范围，即可得答案 解：根据题意，向量 （2，3）， （3，t），则 （1，t3）； 若 与 夹角不大于 ，则有 2+3（t3）3t70，解可得 t ， 即 t 的取值范围为 ，+）； 故选：B 5九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗羊主曰：“我羊食 半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 4 斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半”马
12、主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，牛、马、 羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A B C D 【分析】由题意可设，牛、马、羊的主人各应赔偿 a， ， ，然后结合已知可求 a， 进而可求 解：由题意可设，牛、马、羊的主人各应赔偿 a， ， ， 所以 4， 故 a 牛主人比羊主人多赔偿了 a 故选：B 6以双曲线 ： ， 的一个焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切，则 E 的离心率等于（ ） A B C D 【分析】求出渐近线方程，利用圆心到直线的距离，得到关系式，然后求解双曲线的离 心率即可 解：双曲线 ： ，
13、的一条渐近线方程：ay+bx0， 焦点 F（c，0）为圆心， 为半径的圆与 E 的渐近线相切， 可得： ， 即 c2b，可得 c24b24（c2a2）， 即 3c24a2， e 故选：D 7某中学高一年级共有学生 2400 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 80 的样本，若样本中共有男生 42 人，则该校高一年级共有女生（ ） A1260 B1230 C1200 D1140 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 解：高一年级共有学生 2400 人， 按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本， 样本中共有男生 42 人， 则高一年级的女生人数约为：240
14、0 1140 故选：D 8已知直线 a、b，平面 、，且 ab，a，则 b 是 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在 ab，a 的前提下，由 b 能推出 ，反之不成立，结合充分必要条 件的判定方法得答案 解：由 ab，a，可得 b，又 b，则 ； 反之，由 ab，a，可得 b，再由 ，可得 b 或 b 若 ab，a，则 b 是 的充分不必要条件 故选：A 9将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（x）的 图象，且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规
15、律，可得 g（x）的解析式，再 利用正弦函数的图象的对称性，求得 的值 解：将函数 的图象向右平移 个单位长度后， 得到函数 g（x）sin（ ）的图象， 且 g（x）的图象关于点（，0）对称，则 k，kZ， 则 ，此时，k1， 故选：D 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn4an+m，且数列nan的前 6 项和等于 321， 则 m 的值等于（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】先由题设条件得到：an2an1，再由 a1 求得 an，进而求得 nan，再由其前 6 项和等于 321 求得 m 的值 解：依题意得：当 n1 时，有 2S14a1+m，解得：a1 ； 当 n2
16、时，由 2Sn4an+m2Sn14an1+m， 两式相减可得：2an4an4an1， 即：an2an1， 故 ana1 2n1m 2n2，nanmn 2n2， 故数列nan的前 6 项和为 （12 1+222+323+626） 令 X121+222+323+626，则 2X122+223+627， 由可得：X21+22+23+26627 62 75272， 则 X642， 321 642 ， 解得：m2 故选：B 11已知直线 l：kxyk0（kR）与抛物线 ： 相交于 A，B 两点，O 为 坐标原点，则AOB 为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【分析】设 A（x1
17、，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，以及 点满足抛物线的方程，结合向量的数量积的坐标表示，判断AOB 为钝角，即可判断 AOB 的形状 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y122px1，y222px2， 联立直线 l：kxyk0（kR）与抛物线 ： ，可得（kxk） 22px， 即为 k2x2（2k2+2p）x+k20， 则（2k2+2p）24k44p2+8pk20，x1x21， 则（y1y2）24p2x1x24p2， 由于直线 l 恒过定点（1，0），且与抛物线有两个交点，可得 y1y20， 则 y1y22p， 则 x1x2+y1y212p， 由
18、p ，可得 12p0， 可得 0，即AOB 为钝角， 则AOB 为钝角三角形 故选：C 12定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（2+x）f（2x），当 x0，2时，f（x）2x， 设函数 g（x）e|x2|（2x6），则 f（x）和 g（x）的图象所有交点横坐标之和等 于（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】由已知可得 f（x）的图象关于直线 x2 对称，并求得函数是以 4 为周期的周期 函数，函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象也关于直线 x2 对称，作出图象，数形 结合得答案 解：由偶函数 f（x）满足 （2+x）f （2x）可得 f（x）的图象关于直线 x2 对称， 以 2+
19、x 替换 x，得 f（4+x）f（x）f（x），则函数 f（x）是以 4 为周期的周期函数 函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象也关于直线 x2 对称， 作出函数 yf（x）的图象与函数 g（x）e|x2|（2x6）的图象如图所示， 可知两个图象有四个交点，且两两关于直线 x2 对称， 则 f（x）与 g（x）的图象所有交点的横坐标之和为 8 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高吃烧烤的人数日益减 少，烧烤店也日益减少某市对 2015 年到 2019 年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进 行了统计，
20、具体统计数据如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号（t） 1 2 3 4 5 盈利店铺的个 数（y） 260 240 215 200 180 根据所给数据，得出 y 关于 t 的回归方程 ，估计该市 2020 年盈利烧烤店铺 的个数为 165 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入回归方程求得 ，然后在回归方程中取 t 6 求得 y 值即可 解： ， ， 样本点的中心坐标为（3，219），代入 ， 得 ，得 线性回归方程为 ， 取 t6，得 估计该市 2020 年盈利烧烤店铺的个数为 165 个 故答案为：165 14若变量 x、y 满足约束条件 ，则函数
21、 z2x+y 的最小值等于 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y 表示直线在 y 轴 上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 解：设变量 x、y 满足约束条件 ， 在坐标系中画出可行域ABO，A（2，2），B（1， ），O（0，0）， 由图可知，当 x1，y 时，则目标函数 z2x+y 在 y 轴上的截距最小，此时 z 也最 小，最小值为2 故答案为： 15已知函数 ，且 ，则 a 【分析】根据题意，求出 f（x）的解析式，分析可得 f（x）+f（x）2a，据此可得 2a1，解可得 a 的值，即可得答案 解：根据题意，函数 ，其定义域为 R， 则
22、f（x）lg（ x）+a， 则有 f（x）+f（x）lg（ x）+lg（ x）+2a2a， 则有 f（ln3）+f（ln ）f（ln3）+f（ln3）2a， 又由 ，则 2a1，解可得 a ； 故答案为： 16如图，在边长等于 2 正方形 ABCD 中，点 Q 是 BC 中点，点 M，N 分别在线段 AB，CD 上移动 （M 不与 A， B 重合， N 不与 C， D 重合） ， 且 MNBC， 沿着 MN 将四边形 AMND 折起，使得面 AMND面 MNBC，则三棱锥 DMNQ 体积的最大值为 1 ；当三棱锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积为 5 【分析】沿 MN 将DMN 折起，
23、当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 此时 VDMNQ MNMBt t 2 t，在利用二次函数的性质即可求出 VD MNQ 的最大值，当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是直三棱柱的一部分，也 是长方体的一部分，长方体的长宽高分别为： ， ，1；求出对应的外接球的半径 R， 从而求出三棱锥 DMNQ 的外接球的表面积 解：设 MBt，则 AMDN2t， 沿 MN 将DMN 折起，当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 此时 VDMNQ MNMBt t（2t） t 2 t， 当 t1 时，VDMNQ取最大值，最大值为 ， 此时 MB1，DN1，
24、 MQNQ ，MNQ 为等腰直角三角形， 当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是直三棱柱的一部分，也是长方体 的一部分， 长方体的长宽高分别为： ， ，1； 三棱锥 DMNQ 的外接球的半径 R ， 三棱锥 DMNQ 的外接球的表面积为 4R25， 故答案为： ； 4 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 （1）求角 C 的大小； （2）若 a+b7，ABC
25、 的面积等于 ，求 c 边长 【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得：a2+b2c2ab，进而可求 cosC 的值， 结合范围 C（0，），可求 C 的值 （2）由已知利用三角形的面积公式可求 ab12，结合已知由余弦定理即可求解 c 的值 解：（1） ， ac b，整理可得：a 2+b2c2ab， cosC ， C（0，）， C （2）C ，ABC 的面积等于 absinC ab， ab12， a+b7， 由余弦定理 c2a2+b2ab（a+b）23ab4931213，可得 c 18已知四棱锥 PABCD 中，面 PAB面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，且 PAPB4， AB2，BC
26、3，O 为 AB 的中点，点 E 在 AD 上，且 （1）证明：ECPE； （2）在 PB 上是否存在一点 F，使 OF面 PEC，若存在，试确定点 F 的位置 【分析】（1）连接 OE，可得 POCE，由 OE2+EC2OC2，得出 OEEC，证明 EC 平面 POE，即可证明 ECPE； （2） 存在点 F， 且在 PB 的三等分点， 靠近点 B 处， 利用作图和面面平行即可得出结论 【解答】解，（1）证明：如图 1 所示， 连接 OE，由平面 PAB平面 ABCD，PAPB，O 为 AB 的中点， 所以 POAB，所以 PO平面 ABCD，POCE 又四边形 ABCD 为矩形，BCAD3
27、，CDAB AD2， 所以 AE AD1， DE2， EC 2 ， OE ， OC ， 所以 OE2+EC2OC2，所以 OEEC 又 POCE，POOEO， 所以 EC平面 POE； 又 PE平面 POE，所以 ECPE （2）在平面 ABCD 内过点 O 作 OGEC，交 BC 于点 G， 在平面 PBC 中过点 G 作 GFCP，交 PB 与点 F， 连接 FO，则 FO平面 PEC，如图 2 所示； 过点 A 作 AHEC，交 BC 于点 H， 由作图知，AHOG， 所以点 G、H 是 BC 的三等分点， 所以 F 是 PB 的三等分点， 所以 BF BP ， 即存在点 F，且在 PB
28、 的三等分点，靠近点 B 处 19 近年来， 我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇， 但是电子商务行业由于缺乏监管， 服务质量有待提高某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电 商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如图茎叶图： （1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？ （2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电 商一个月（按 30 天计算）被评为优的天数各是多少 【分析】（1）本题考查的是数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，茎叶图中各组数据若 大部分集中在某条线上，表示该组数据越稳定，从而可判断； （2）
29、先求出 10 天中甲乙的销售额的平均值，然后再作出判断即可 【解答】解（1）根据茎叶图可知，甲的数据比较分散，而乙家销售的额比较集中，对这 种产品的销售更稳定， （2）甲的平均销售额 122， 故 10 天中甲的销售额超过平均值 122 的有 5 天，从而 30 天中约有 15 天被评为优， 乙的销售额平均值 （107+115+117+118+123+125+132+136+139+148）126， 10 天中乙的销售额超过平均值 122 的有 4 天，从而 30 天中约有 12 天被评为优， 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，过椭圆内点 P（1，0）的直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点
30、，C 为椭圆的左顶点，当直线 l 过点 Q（0，b）时，PQC 的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）求证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 【分析】（1）由题意可得 SPQC （a1） b ，所以 a2，又由椭圆的离心率可 得 c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出 b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得左顶点的坐标，由题意设直线 l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及 两根之积，进而求出数量积 的值，结果恒为 0，可得 ， 即ACB90 解：（1）由题意可得左顶点 C（a，0），所以 SPQC （a1） b ，所以 a2， 由 e ，可得 c ，所以 b2a2
31、c2 ， 所以椭圆 E 的方程为： 1； （2）证明：由（1）可得左顶点 C（2，0）， 由题意显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy1，设 A（x1，y1），B（x2， y2）， 直线与椭圆联立 ，整理可得：（3+m 2）y22my30， 则 y1+y2 ，y1y2 ， 因为 （x1+2，y1） （x2+2，y2）（my1+1，y1） （my2+1，y2）（1+m 2） y1y2+m（y1+y2）+1 10， 所以可得 ，即ACB90， 所以可证：当直线 l 不过 C 点时，ACB 为定值 90 21已知函数 f（x）lnxx+a （1）求函数 f（x）的最大值； （2）
32、若函数 f（x）存在两个零点 x1，x2（x1x2），证明：2lnx1+lnx20 【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）要证 2lnx1+lnx20 即证 x21，只要证明 1，即证 tln3t（t1）3，（t 1），令 g（x）tln3t（t1）3，根据函数的单调性证明即可 解：（1）f（x）的定义域是（0，+）， f（x） 1 ， 令 f（x）0，解得：x1， 令 f（x）0，解得：x1， 故 f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， 故 f（x）最大值f（x）极大值f（1）a1； （2）证明：由（1）得 f（1）a1，当 a1 时，f（x）
33、有 2 个零点 x1，x2（x1x2）， 则 x1（0，1），x2（1，+）， lnx1x1+alnx2x2+a0，得 x2x1lnx2lnx1ln ， 令 t ，则 t1，tx1x1lnt，x1 ， 2lnx1+lnx20ln（ x2）00 x21， x20 显然成立， 要证 2lnx1+lnx20 即证 x21， 只要证明 1，即证 tln3t（t1）3，（t1）， 令 g（x）tln3t（t1）3，g（1）0， g（t）ln3t+3ln2t3（t1）2，g（1）0， 令 h（t）g（t），则 h（t） （ln 2t+2lnt2t2+2t），h（1）0， 令 m（t）ln2t+2lnt2t
34、2+2t， 则 m（t） （lnt+12t 2+t），m（1）0， 令 n（t）lnt+12t2+t，n（t） 4t+1，t0 时，n（t）递减， 故 t1 时，n（t）n（1）20， 故 n（t）递减，n（t）n（1）0，即 m（t）0，（t1）， 故 m（t）递减，m（t）m（1）0， 故 h（t）0，h（t）在 t1 递减， h（t）h（1）0，即 g（t）0， g（t）在（1，+）递减，g（t）g（0）0， 故 tln3t（t1）3，（t1）， 综上，2lnx1+lnx20 一、选择题 22已知圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直
35、线 l 的极坐标方程为 （1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求直线 l 被圆 C 截得弦的长 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和勾股定理的应用求出结果 解：（1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为（x 3）2+（y+1）29 直线 l 的极坐标方程为 ， 根据 ，整理得 ，转换为直角坐标方程 x+y 10 （2）由（1）得：圆心（3，1）到直线 x+y10 的距离 d ， 则弦长 l2 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x2| （1
36、）若 f（x）4，求实数 x 的取值范围； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立，求实数 a 的值范围 【分析】（1）由题意可得|2x1|+|x2|4，由绝对值的意义以及零点分区间法，去绝 对值，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|2a1|f（x）min，意义绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得 f（x） 的最小值，再求绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）f（x）4，即|2x1|+|x2|4， 等价为 或 或 ， 解得 2x 或 x2 或 x ， 则原不等式的解集为x| x ； （2）对于任意实数 x，不等式 f（x）|2a1|恒成立， 即为|2a1|f（x）min， 而 f（x）|2x1|+|x2|x |+|x2|+|x |x x+2|+| |2 ， 当 x 时，f（x）取得最小值 ， 可得|2a1| ，即 2a1 ， 解得 a ， 则 a 的取值范围是（ ， ）
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