1、北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项） 1. 复数 1 i i z + =在复平面内对应的点位于（ ）. A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合|0 ,Ay yABA=则集合B不可能 是（ ）. A0,|=xxyy B0,lg|=xxyy C 1 |,R 2 x y yx = D 3. 若实数,0a b ，ab，则（ ）. Alglgab B 11 ab C 22 ab D 33 ab 4. 从圆 22 2210xxyy+ =外一点
2、()3,2P向圆作两条切线， 则两切线夹角的余弦值为 （ ）. A 3 5 B 4 5 C 1 2 D 4 3 5. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经 验公式为：弧田面积() 2 1 + 2 S =弦 矢 矢弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指 圆弧所对的弦长， “矢”等于“半径长”与“圆心到弦的距离”之差，按照上述经验公式计 算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为 2 3 ，半径等于4米的弧田按 照上述方法计算出弧田的面积相比实际的弧田面积小大约（ ）. A1平方米 B2平方米 C3平方米 D4平方米 6. 已知双曲线() 22 22
3、10,0 xy ab ab =的两条渐近线与抛物线() 2 20ypx p=的准线分 别交于,A B两点，O为原点， 若双曲线的离心率为2， AOB面积为3， 则p =（ ） . A1 B 3 2 C2 D3 2 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）. A 1 3 B 2 3 C1 D 4 3 8. 已知平面向量1a =，()0,2ab+=，则ab的最大值为（ ）. A2 B3 C4 D5 9. 已知四棱柱 1111 ABCDABC D， 1 AA 平面ABCD，则“平面 1 ACB 平面 11 DBB D” 是“四棱柱 1111 ABCDABC D为正方体”的（ ）. A
4、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 42 1xy+=，下列命题错误错误的个数是（ ）. 曲线C关于()0,0中心对称 直线0,0,xyyx=都是曲线C的对称轴 曲线C恰好经过4个整点（横纵坐标都是整数的点） 曲线C是封闭图形，且围成的面积(),4S A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. () 5 12x的展开式中 3 x的系数为 . 12. 数列 n a满足 1 4a =， 1 2 nn aa + =，Nn ，若 2 log nn ba=，则数列 n b的前10项和 等于 .
5、13. 使命题“,0, 222 xyx y x y + +”为假命题的一组, x y的值为 . 14. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且3ABAD=，2BD =，4BC =， 则sinC =_；ABC面积为 . 3 15. 已知函数( )(R) 1 | x f xx x = + 时，则下列结论正确的是 . R,()( )0xfxf x +=等式恒成立； (0,1),|( )|mf xm =使得方程有两个不等实数根； 121212 ,R( )()x xxxf xf x=,使得； (1,),( )( )R.kg xf xkx +=使得函数在 上有三个零点 三三、解答解答题题（共 6 小题，共
6、 85 分） 16. （本小题满分 14 分） 如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADCBAD = . F为PA中点， 2PD=， 1 1. 2 ABADCD= 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点 N . （）求证：AC/ 平面DEF； （）求二面角ABCP的大小； （）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与 平面BCP所成角的大小为 6 ？ 若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由. 17. （本小题满分 14 分） 已知： 函数( ) 1 64 f xcosxsinx =+ ，且 1 5 2 4 , ； 向量() 11 32 24 msinx,cosx ,ncosx,
7、 = ，且 1 5 2 4 , ，( )f xm n=； 请在上述二个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知_，且函数( )fx的图象关于直线 5 6 x=对称. （）求函数( )fx在0,上的单调递增区间 （）当0x,时，若( ) 1 1 4 4 f x, ，求x的取值范围 N F D C A B EP 4 18. （本小题满分 14 分） 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进 行回访，调查结果如下表： 汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车
8、的回访客户中，满意人数与总人数的比值. 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该 型号汽车的满意率相等. （）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为，求 的分布列和期望； （）用“ 1 1=”,“ 2 1=”,“ 3 1=”,“ 4 1=”,“ 5 1=”分别表示， ，型号汽车让客户满意，“ 1 0=”,“ 2 0=”,“ 3 0=”,“ 4 0=”,“ 5 0=” 分别表示，型号汽车让客户不满意.写出方差 12345 ,DDDDD的 大小关系. 19 （本小题满分
9、 15 分） 已知函数 2 ( )2ln4f xxmxx=+ （）当5m=时，求 ( )f x的单调区间 （）设直线l是曲线( )yf x=的切线，若l的斜率存在最小值2，求m的值，并求取得 最小斜率时切线l的方程 （）已知 ( )f x分别在 1 x，() 212 xxx处取得极值，求证：()() 12 2fxfx+ 5 20. （本小题满分 14 分） 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 12 ,F F，点D 在椭 圆C上， 12 DFF的周长为6 （）求椭圆C的方程； （）已知直线l经过点(2,1)A，与椭圆C交于不同的两点,
10、M N，若AM， 1 2 OA， AN（O为坐标原点）成等比数列，判断直线l的斜率是否为定值？若是，请求出 该定值；若不是，请说明理由 21. （本小题满分 14 分） 设n为给定的大于2的正整数，集合1,2,Sn=，已知数列 n A： 1 x， 2 x， n x满足条件： 当1in 时， i xS； 当1 ijn 时， ij xx . 如果对于1 ijn ，有 ij xx ，则称(), ij x x为数列 n A的一个逆序对.记数列 n A的 所有逆序对的个数为() n T A. （）若() 4 1T A=，写出所有可能的数列 4 A； （）若()2 n T A=，求数列 n A的个数； （
11、）对于满足条件的一切数列 n A，求所有() n T A的算术平均值. 6 北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项） 1. 复数 1 i i z + =在复平面内对应的点位于（ ）. A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合|0 ,Ay yABA=则集合B不可能 是（ ）. A0,|=xxyy B0,lg|=xxyy C 1 |,R 2 x y yx = D 3. 若实数,0a b ，ab，则（ ）. Alglgab B 11 ab C
12、 22 ab D 33 ab 4. 从圆 22 2210xxyy+ =外一点()3,2P向圆作两条切线， 则两切线夹角的余弦值为 （ ）. A 3 5 B 4 5 C 1 2 D 4 3 5. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经 验公式为：弧田面积() 2 1 + 2 S =弦 矢 矢弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指 圆弧所对的弦长， “矢”等于“半径长”与“圆心到弦的距离”之差，按照上述经验公式计 算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为 2 3 ，半径等于4米的弧田按 照上述方法计算出弧田的面积相比实际的弧田面积小大约（ ）. A1平
13、方米 B2平方米 C3平方米 D4平方米 6. 已知双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab =的两条渐近线与抛物线() 2 20ypx p=的准线分 别交于,A B两点，O为原点， 若双曲线的离心率为2， AOB面积为3， 则p =（ ） . A1 B 3 2 C2 D3 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）. A 1 3 B 2 3 C1 D 4 3 8. 已知平面向量1a =，()0,2ab+=，则ab的最大值为（ ）. A2 B3 C4 D5 9. 已知四棱柱 1111 ABCDABC D， 1 AA 平面ABCD，则“平面 1 ACB 平面 11 DBB
14、 D” 是“四棱柱 1111 ABCDABC D为正方体”的（ ）. A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 42 1xy+=，下列命题错误错误的个数是（ ）. 曲线C关于()0,0中心对称 直线0,0,xyyx=都是曲线C的对称轴 曲线C恰好经过4个整点（横纵坐标都是整数的点） 曲线C是封闭图形，且围成的面积(),4S A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. () 5 12x的展开式中 3 x的系数为 . 12. 数列 n a满足 1 4a =， 1 2 nn aa + =，Nn
15、 ，若 2 log nn ba=，则数列 n b的前10项和 等于 . 13. 使命题“,0, 222 xyx y x y + +”为假命题的一组, x y的值为 . 14. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且3ABAD=，2BD =，4BC =， 则sinC =_；ABC面积为 . 2 15. 已知函数( )(R) 1 | x f xx x = + 时，则下列结论正确的是 . R,()( )0xfxf x +=等式恒成立； (0,1),|( )|mf xm =使得方程有两个不等实数根； 121212 ,R( )()x xxxf xf x=,使得； (1,),( )( )R.kg xf x
16、kx +=使得函数在 上有三个零点 三三、解答解答题题（共 6 小题，共 85 分） 16. （本小题满分 14 分） 如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADCBAD = . F为PA中点， 2PD=， 1 1. 2 ABADCD= 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点 N . （）求证：AC/ 平面DEF； （）求二面角ABCP的大小； （）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与 平面BCP所成角的大小为 6 ？ 若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由. 17. （本小题满分 14 分） 已知： 函数( ) 1 64 f xcosxsinx =+ ，且 1 5 2 4
17、, ； 向量() 11 32 24 msinx,cosx ,ncosx, = ，且 1 5 2 4 , ，( )f xm n=； 请在上述二个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知_，且函数( )fx的图象关于直线 5 6 x=对称. （）求函数( )fx在0,上的单调递增区间 （）当0x,时，若( ) 1 1 4 4 f x, ，求x的取值范围 N F D C A B EP 3 18. （本小题满分 14 分） 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进 行回访，调查结果如下表： 汽车型号 回访客户（人数） 250 100 200 700 350
18、满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值. 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该 型号汽车的满意率相等. （）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （）从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为，求 的分布列和期望； （）用“ 1 1=”,“ 2 1=”,“ 3 1=”,“ 4 1=”,“ 5 1=”分别表示， ，型号汽车让客户满意，“ 1 0=”,“ 2 0=”,“ 3 0=”,“ 4 0=”,“ 5 0=” 分别表示，型号汽车让客户不满
19、意.写出方差 12345 ,DDDDD的 大小关系. 19 （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( )2ln4f xxmxx=+ （）当5m=时，求 ( )f x的单调区间 （）设直线l是曲线( )yf x=的切线，若l的斜率存在最小值2，求m的值，并求取得 最小斜率时切线l的方程 （）已知 ( )f x分别在 1 x，() 212 xxx处取得极值，求证：()() 12 2fxfx+ 4 20. （本小题满分 14 分） 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 12 ,F F，点D 在椭 圆C上， 12 DFF的周长为6 （）求椭
20、圆C的方程； （）已知直线l经过点(2,1)A，与椭圆C交于不同的两点,M N，若AM， 1 2 OA， AN（O为坐标原点）成等比数列，判断直线l的斜率是否为定值？若是，请求出 该定值；若不是，请说明理由 21. （本小题满分 14 分） 设n为给定的大于2的正整数，集合1,2,Sn=，已知数列 n A： 1 x， 2 x， n x满足条件： 当1in 时， i xS； 当1 ijn 时， ij xx . 如果对于1 ijn ，有 ij xx ，则称(), ij x x为数列 n A的一个逆序对.记数列 n A的 所有逆序对的个数为() n T A. （）若() 4 1T A=，写出所有可能
21、的数列 4 A； （）若()2 n T A=，求数列 n A的个数； （）对于满足条件的一切数列 n A，求所有() n T A的算术平均值. 5 北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学参考答案参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 D B D A A 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 C D C B B 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 1 11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 15 5 80 65 1 1 , 2 2 （不唯一） 6 6 ； 4 52 3 + 三、解答题（共 6 小
22、题，共 85 分） 16. （本小题满分 14 分） 解：()连接,FN在PAC中，,F N分别为,PA PC中点，所以/ /,FNAC 因为,FNDEF ACDEF平面平面 所以/ /DEFAC平面 4 分 ()如图以D为原点，分别以,DA DC DP所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 .Dxyz 5 分 则(0,0,2), (1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),( 1,1,0).PBCPBBC= 所以 设平面PBC的法向量为( , , ),mx y z=则 ( , , ) (1,1,2)0, ( , , ) ( 1,1,0)0 m PBx y z m BCx y z
23、= = = 即 20, 0 xyz xy += + = 解得, 2 xx zx = = N P F D C A B E z y x 6 令1x =，得 1 1, 2 x y z = = = 所以(1,1,2).m = 7 分 因为平(0,0,1),ABCn =面的法向量 所以 2 cos, 2 n m n m nm = ， 由图可知二面角ABCP为锐二面角， 所以二面角ABCP的大小为. 4 9 分 () 设存在点 Q 满足条件. 由 12 ( ,0,),(0,2, 2). 22 FE 设(01)FQFE=， 整理得 12(1) (,2 ,) 22 Q + ， 12(1) (,21,), 22
24、 BQ + = 11 分 因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为 6 ， 所以 2 |51|1 sin|cos,| | 62 2 19107 BQ m BQ m BQm = + ， 13 分 则 2 1,01=由知1=，即Q点与 E 点重合. 故在线段EF上存在一点Q，且 19 | |. 2 FQEF= 14 17. 解：方案一：选条件 因为() = ( 6) + 1 4 = ( 6 6) + 1 4， = 3 2 1 2cos 2 +1 4 = 3 4 2 1 42， = 1 2( 3 2 2 1 22) = 1 2sin(2 6)； 方案二：选条件 因为 = (3,2)， = (1 2,
25、1 4)， 所以() = 3 2 1 4 2 = 1 2sin(2 6) 函数()的图象关于直线 5 6 x=对称， 7 () 5 2 662 kkZ =+ 32 55 k=+ 5 2 4 1 , ，=1( ) 1 2 26 f xsinx = . (I)求函数( )f x在0,上的单调递增区间 由 2 + 2 2 6 2 + 2, ， 得 6 + 3 + , ， 令 = 0，得0 1 3，令 = 1，得 5 6 ， 所以函数()在0,上的单调递增区间为0, 3， 5 6 , ()当0x,时，若( ) 1 1 4 4 f x, ，求x的取值范围 ( ) 1 1 4 4 f x, 111 2 4
26、264 sinx 1 2 sin(2 6) 1 2 6 + 2 2 6 1 6 + 2， 57 222 66 - 6 kxk + 6 + ，或 2 23 kxk + 当 = 0时，0 6，满足 0,， 当 = 0时， 2 23 x ，满足 0,， 综上所述 x 的范围为 2 0 62 3 , . 18. 【答案】【答案】(1) 111 320 (2)见解析；(3) 13245 DDDDD= 【解析】【解析】 【分析】 （1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率； 8 （2）由题求出满意的人数为的分布列，继而求出期望; （3）根据公式直接得出结果，然后作比较. 【详解】 （1
27、）由题意知，样本中的回访客户的总数是250 100200 700 3501600+=， 满意的客户人数250 0.5 100 0.3 200 0.6 700 0.3 350 0.2555+=， 故所求概率为 555111 1600320 = （2）0,1,2=. 设事件A为“从 I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”， 事件B为“从 V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件. 根据题意，( )P A估计为 0.5，( )P B估计为 0.2 . 则()()( )()( )()0110.5 0.80.4PP ABP AP B=; ()()()()( )( )()( )()(
28、 )111PP ABABP ABP ABP AP BP AP B=+=+=+ 0.5 0.8 0.5 0.20.5=+=; ()()( ) ( )20.5 0.20.1PP ABP A P B= . 的分布列为 0 1 2 P 0.4 0.5 0.1 的期望( )0 0.4 1 0.52 0.10.7E=+ + = （3）由题，I 型号的平均数为 0.5,所以 1 D= 22 0.5 (1 0.5)0.5 (00.5)0.25+= 同理 2 D= 22 0.3 (1 0.3)0.7 (0 0.3)0.21+= 同理 3 D=0.24； 4 D=0.21； 5 D=0.16 所以 13245 D
29、DDDD= 9 19. （1）由题意得：( )fx的定义域为()0,+， 当5m=时，( ) 2 52ln4f xxxx=+， ( ) () 2 1 22 22522 25 xx xx fxx xxx + = += ， 当 1 0, 2 x 和()2,+时，( )0fx ；当 1 ,2 2 x 时，( )0fx ， ( )f x的单调递增区间为 1 0, 2 ，()2,+；单调递减区间为 1 ,2 2 . （2）0x，所以 ( ) 22 2 224fxxmmm x x x =+=（当且仅当 2 2x x =， 即1x =时取等号） ， 切线l的斜率存在最小值2，42m =，解得：6m=， (
30、)1 6141f+= =，即切点为()1, 1，从而切线方程210xy+ = （3） ( ) 2 222 2 xmx fxxm xx + =+=， ( )fx分别在 1 x，() 212 xxx处取得极值， 1 x，() 212 xxx是方程 2 22 0 xmx x + =，即 2 220xmx+= 的两个不等正根 则 2 160m = ，解得： 2 16m ，且 12 0 2 m xx+=， 12 1=x x ()()()() 22 12121212 82lnf xf xxxm xxx x+=+ + ()()() 2 12121212 282lnxxx xm xxx x=+ 2 2 2 1
31、82ln16 224 mmm m = += + ， 2 16m ， 2 62 4 m +， 即不等式()() 12 2fxfx+成立 10 20. 【答案】【答案】 （1） 22 1 43 xy +=（2）直线l的斜率为定值，该定值为 1 2 . 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据题意，列出关于, ,a b c的方程组，求得, ,a b c的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线l的方程为()21yk x=+，设() 11 ,M x y，() 22 ,N xy，联立方程组，利用 根与系数的关系，求得 () 2 1212 22 82116168 , 3434 kkkk xxx x kk
32、+= + ，再由 2 1 | 4 AMANOA=，求得 k 的值，即可得到结论 【详解】 （1）由题意，得 222 1 2 226 abc c a ac =+ = += ，解得 2 3 1 a b c = = = ，故椭圆C的方程为 22 1 43 xy += （2）由题意，可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为()21yk x=+，设 () 11 ,M x y，() 22 ,N xy 联立方程，得 () 22 1 43 21 xy yk x += =+ ， 消去y，整理得()() 222 34821161680kxkkxkk+=， 由根与系数的关系，得 () 2 1212 22 821161
33、68 , 3434 kkkk xxx x kk += + ， 由()96210k =+，得 1 2 k ， 因为 1 , 2 AMOAAN成等比数列，所以 2 1 | 4 AMANOA=， 所以 5 4 AM AN=，即()() ()() 1212 5 2211 4 xxyy+=， 即()() 2 1212 5 241 4 x xxxk+= ， 所以 () () 2 2 22 821161685 241 34344 kkkk k kk += + ， 11 整理得 2 2 445 344 k k + = + ，所以 2 1 4 k =，因为 1 2 k ，所以 1 2 k =， 故直线l的斜率为
34、定值，该定值为 1 2 21.（1）因为() 4 1T A=，故 1234 ,x xx x只有一个逆序对，则不同的 4 A分别为： 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4. （2）因为() 4 2T A=，故数列 n A： 1 x， 2 x， n x有两种情况： 2 对逆序数由 3 个元素提供， 121212 , iiiiiiin xxx xxxxxxx + ， 这样的 n A共有 ()() 3 12 6 n n nn C =个. 2 对逆序数由 4 个元素提供，即 121212iiijjjn xxxxxxxxx + . 这样的 n A共有 ()()() 4 123 2 12 n n
35、nnn C =. 综上，满足()2 n T A=的数列 n A的个数为 () () 2 12 12 n nn . （3）对任意的 n A： 1 x， 2 x， n x，其逆序对的个数为() n T A， 我们引进一个定义：1 ijn ，有i j xx ，则称(), ij x x为数列 n A的一个顺序对， 则 n A中的顺序对个数为 () () 1 2 n n n T A . 考虑 n A： 1 x， 2 x， n x与 n B： n x， 1n x ，1 x， n A中的逆序对的个数为 n B中顺序对的个数， n A中顺序对的个数为 n B中逆序对个数， 把所有的 n A按如上形式两两分类，则可得所有的 n A中，逆序对的总数和顺序对的总数相 等，它们的和为 ()1 ! 2 n n n ，故逆序对的个数为 ()1 ! 4 n n n ，算术平均值为 ()1 4 n n . 12
浙公网安备33030202001339号