1、2020 年贵州省遵义市中考数学试卷年贵州省遵义市中考数学试卷 一、选择题 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D3 2在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势今年“五一”假期，我市 为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众文 化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客 18.25 万人次，将 18.25 万用科学记数法表示 为（ ） A1.825105 B1.825106 C1.825107 D1.825108 3一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另 一三角板的斜边上，则1 的度数为（ ） A30 B45
2、C55 D60 4下列计算正确的是（ ） Ax2+xx3 B（3x）26x2 C8x42x24x2 D（x2y）（x+2y）x22y2 5某校 7 名学生在某次测量体温（单位：）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7， 36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ） A众数是 36.5 B中位数是 36.7 C平均数是 36.6 D方差是 0.4 6已知 x1，x2是方程 x23x20 的两根，则 x12+x22的值为（ ） A5 B10 C11 D13 7如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后 把纸板的四边沿虚线折
3、起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底 面积为 600cm2，设剪去小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（ ） A（302x）（40x）600 B（30x）（40x）600 C（30x）（402x）600 D（302x）（402x）600 8新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头骄傲 自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来当它一觉醒来，发现乌龟已 经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点用 S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路 程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A B C D 9如图，在菱形 ABCD 中，
4、AB5，AC6，过点 D 作 DEBA，交 BA 的延长线于点 E， 则线段 DE 的长为（ ） A B C4 D 10构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算 tan15时，如图在 RtACB 中， C90， ABC30， 延长 CB 使 BDAB， 连接 AD， 得D15， 所以 tan152 类比这种方法， 计算 tan22.5 的值为（ ） A+1 B 1 C D 11如图，ABO 的顶点 A 在函数 y（x0）的图象上，ABO90，过 AO 边的三 等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、Q若四边形 MNQP 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A
5、9 B12 C15 D18 12抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点（4，0） 和点（3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ） 4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根；b2+2b 4ac A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二.填空题（本小题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直 接答在答题卡的相应位置上） 13计算：的结果是 14如图，直线 ykx+b（k、b 是常数 k0）与直线 y2 交于点 A（4，2），则关于 x 的 不等式 kx+b2 的解集
6、为 15如图，对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，再把纸片展平E 是 AD 上一点，将ABE 沿 BE 折叠，使点 A 的对应点 A落在 MN 上若 CD5，则 BE 的长 是 16如图，O 是ABC 的外接圆，BAC45，ADBC 于点 D，延长 AD 交O 于点 E，若 BD4，CD1，则 DE 的长是 三、解答题（本题共有 8 小题，共 86 分.答题请用黑色量水笔或黑色签字笔书写在答题卡的 相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤） 17计算： （1）sin30（3.14）0+（） 2； （2）解方程； 18化简式子（x），从 0，1，2
7、中取一个合适的数作为 x 的值代入求值 19某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门如图为该测温门截面示意图，已知 测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有效测温区间 身高 1.6m 的小聪 做了如下实验：当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的 仰角为 18；在地面 M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰 角为 60求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度（额头到地面的距离以身高计， 计算精确到 0.1m，sin180.31，cos180.95，tan180.32） 20如图，AB 是O 的直径，点 C
8、 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1，BF2，求 BD 的长度 21 遵义市各校都在深入开展劳动教育， 某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间 （单 位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成 如下不完整的频数分布表和频数分布直方图 课外劳动时间频数分布表 劳动时间分组 频数 频率 0t20 2 0.1 20t40 4 m 40t60 6 0.3 60t80 a 0.25 80t100 3 0.
9、15 解答下列问题： （1）频数分布表中 a ，m ；将频数分布直方图补充完整； （2）若七年级共有学生 400 人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的人数； （3）已知课外劳动时间在 60ht80h 的男生人数为 2 人，其余为女生，现从该组中任 选 2 人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学 生为 1 男 1 女的概率 22为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价 和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为 25 元/个，乙种型号水杯进价为 45 元/个， 下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间
10、销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入售价销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共 80 个，这批水杯进货的预算成本不 超过 2600 元，且甲种型号水杯最多购进 55 个，在 80 个水杯全部售完的情况下设购进甲 种号水杯 a 个，利润为 w 元，写出 w 与 a 的函数关系式，并求出第三月的最大利润 23如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点（点 E 与点 A，C 不 重合），连接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点
11、 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD，AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G （1）求证：EFDE； （2）当 AF2 时，求 GE 的长 24如图，抛物线 yax2+x+c 经过点 A（1，0）和点 C （0，3）与 x 轴的另一交点为 点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MPy 轴，交抛物线于点 P （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）以 M 为圆心，MP 为半径作M，当M 与坐标轴相切时，求出M 的半径 参考答案 一、选择题（本题共 1
12、2 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑、涂满） 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D3 【分析】根据绝对值的概念可得3 的绝对值就是数轴上表示2 的点与原点的距离进 而得到答案 解：3 的绝对值是 3， 故选：A 2在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势今年“五一”假期，我市 为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众文 化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客 18.25 万人次，将 18.25 万用科学记数法表示 为（ ） A1.825105
13、 B1.825106 C1.825107 D1.825108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 解：18.25 万182500，用科学记数法表示为：1.825105 故选：A 3一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另 一三角板的斜边上，则1 的度数为（ ） A30 B45 C55 D60 【分析】根据平行线的性质即可得到结论 解：ABCD， 1D45， 故选：B 4下列计算正确的是（ ） Ax2+xx3 B（3x）
14、26x2 C8x42x24x2 D（x2y）（x+2y）x22y2 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 解：x2+x 不能合并，故选项 A 错误； （3x）29x2，故选项 B 错误； 8x42x24x2，故选项 C 正确； （x2y）（x+2y）x24y2，故选项 D 错误； 故选：C 5某校 7 名学生在某次测量体温（单位：）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7， 36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ） A众数是 36.5 B中位数是 36.7 C平均数是 36.6 D方差是 0.4 【分析】根据众数、中位数的概念求出
15、众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求 出平均数和方差 解：7 个数中 36.5 出现了三次，次数最多，即众数为 36.5，故 A 选项正确，符合题意； 将 7 个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第 4 个 数为 36.5，即中位数为 36.5，故 B 选项错误，不符合题意； （36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）36.5，故 C 选项错误，不符合题意； S2（36.336.5）2+（36.436.5）2+3（36.536.5）2+（36.636.5）2+（36.7 36.5）2，故 D 选项
16、错误，不符合题意； 故选：A 6已知 x1，x2是方程 x23x20 的两根，则 x12+x22的值为（ ） A5 B10 C11 D13 【分析】 利用根与系数的关系得到 x1+x23， x1x22， 再利用完全平方公式得到 x12+x22 （x1+x2）22x1x2，然后利用整体代入的方法计算 解：根据题意得 x1+x23，x1x22， 所以 x12+x22（x1+x2）22x1x2322（2）13 故选：D 7如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后 把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒若该无盖纸盒的底 面积为 600
17、cm2，设剪去小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（ ） A（302x）（40x）600 B（30x）（40x）600 C（30x）（402x）600 D（302x）（402x）600 【分析】设剪去小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（402x）cm，宽为（30 2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是 600cm2，即可得出关于 x 的一元二 次方程，此题得解 解：设剪去小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（402x）cm，宽为（302x） cm， 根据题意得：（402x）（302x）32 故选：D 8新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩
18、在后头骄傲 自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来当它一觉醒来，发现乌龟已 经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点用 S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路 程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A B C D 【分析】乌龟是匀速行走的，图象为线段兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组 成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同 解：A此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B此函数图象中，S2第 2 段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现 乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C此函数图象中，S1、S2同时到达
19、终点，符合题意； D此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意 故选：C 9如图，在菱形 ABCD 中，AB5，AC6，过点 D 作 DEBA，交 BA 的延长线于点 E， 则线段 DE 的长为（ ） A B C4 D 【分析】由在菱形 ABCD 中，AB5，AC6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得 OB 的长，继而可求得 BD 的长，然后由菱形的面积公式可求得线段 DE 的长 解：如图 四边形 ABCD 是菱形，AC6， ACBD，OAAC3，BD2OB， AB5， OB4， BD2OB8， S菱形ABCDAB DE AC BD， DE 故选：D 10构建几何图形解决代数问题
20、是“数形结合”思想的重要性，在计算 tan15时，如图在 RtACB 中， C90， ABC30， 延长 CB 使 BDAB， 连接 AD， 得D15， 所以 tan152 类比这种方法， 计算 tan22.5 的值为（ ） A+1 B 1 C D 【分析】在 RtACB 中，C90，ABC45，延长 CB 使 BDAB，连接 AD， 得D22.5，设 ACBC1，则 ABBD，根据 tan22.5计算即可 解：在 RtACB 中，C90，ABC45，延长 CB 使 BDAB，连接 AD，得 D22.5， 设 ACBC1，则 ABBD， tan22.51， 故选：B 11如图，ABO 的顶点
21、A 在函数 y（x0）的图象上，ABO90，过 AO 边的三 等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、Q若四边形 MNQP 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A9 B12 C15 D18 【分析】易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平 方可求出ANQ 的面积，进而可求出AOB 的面积，则 k 的值也可求出 解： NQMPOB， ANQAMPAOB， M、N 是 OA 的三等分点， ， ， 四边形 MNQP 的面积为 3， ， SANQ1， （）2， SAOB9， k2SAOB18， 故选：D 12抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x2抛物
22、线与 x 轴的一个交点在点（4，0） 和点（3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ） 4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根；b2+2b 4ac A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与 x 轴的交点及抛物线的对称性以及 由 x1 时 y0 可判断，由抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3），即可 判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为 3 得到3，即可判断 解：抛物线的对称轴为直线 x2， 4ab0，所以正确； 与 x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， 由抛物线的对称性知，另一个交
23、点在（1，0）和（0，0）之间， x1 时 y0，且 b4a， 即 ab+ca4a+c3a+c0， c3a，所以错误； 抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3）， 抛物线与直线 y2 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根，所以正确； 抛物线的顶点坐标为（2，3）， 3， b2+12a4ac， 4ab0， b4a， b2+3b4ac， a0， b4a0， b2+2b4ac，所以正确； 故选：C 二.填空题（本小题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直 接答在答题卡的相应位置上） 13计算：的结果是 【分析】首先化简，然
24、后根据实数的运算法则计算 解：2 故答案为： 14如图，直线 ykx+b（k、b 是常数 k0）与直线 y2 交于点 A（4，2），则关于 x 的 不等式 kx+b2 的解集为 x4 【分析】 结合函数图象， 写出直线 ykx+2 在直线 y2 下方所对应的自变量的范围即可 解：直线 ykx+b 与直线 y2 交于点 A（4，2）， x4 时，y2， 关于 x 的不等式 kx+b2 的解集为 x4 故答案为 x4 15如图，对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，再把纸片展平E 是 AD 上一点，将ABE 沿 BE 折叠，使点 A 的对应点 A落在 MN 上若 CD5
25、，则 BE 的长 是 【分析】在 RtABM 中，解直角三角形求出BAM30，再证明ABE30即可 解决问题 解：将矩形纸片 ABCD 对折一次，使边 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN， AB2BM，AMB90，MNBC 将ABE 沿 BE 折叠，使点 A 的对应点 A落在 MN 上 ABAB2BM 在 RtAMB 中，AMB90， sinMAB， MAB30， MNBC， CBAMAB30， ABC90， ABA60， ABEEBA30， BE 故答案为： 16如图，O 是ABC 的外接圆，BAC45，ADBC 于点 D，延长 AD 交O 于点 E，若 BD4，CD1，则 DE 的长是
26、【分析】连结 OB，OC，OA，过 O 点作 OFBC 于 F，作 OGAE 于 G，根据圆周角定 理可得BOC90，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得 DG，AG，可求 AD， 再根据相交弦定理可求 DE 解：连结 OB，OC，OA，过 O 点作 OFBC 于 F，作 OGAE 于 G， O 是ABC 的外接圆，BAC45， BOC90， BD4，CD1， BC4+15， OBOC， OA，OFBF， DFBDBF， OG，GD， 在 RtAGO 中，AG， ADAG+GD， ADDEBDCD， DE 故答案为： 三、解答题（本题共有 8 小题，共 86 分.答题请用黑色量水笔或黑色签字
27、笔书写在答题卡的 相应位置上解答时应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤） 17计算： （1）sin30（3.14）0+（） 2； （2）解方程； 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即 可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 解：（1）原式1+4 3； （2）去分母得：2x33x6， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 18化简式子（x），从 0，1，2 中取一个合适的数作为 x 的值代入求值 【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得 出
28、答案 解：原式 ， x0，2， 当 x1 时，原式1 19某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门如图为该测温门截面示意图，已知 测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有效测温区间 身高 1.6m 的小聪 做了如下实验：当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的 仰角为 18；在地面 M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰 角为 60求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度（额头到地面的距离以身高计， 计算精确到 0.1m，sin180.31，cos180.95，tan180.32） 【分析】延长 BC 交
29、 AD 于点 E，构造直角ABE 和矩形 EDNB，通过解直角三角形分别 求得 BE、CE 的长度，易得 BC 的值；然后根据矩形的性质知 MNBC 解：延长 BC 交 AD 于点 E，则 AEADDE0.6m BE1.875m，CE 0.374m 所以 BCBECE1.528m 所以 MNBC1.5m 答：小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5m 20如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1，
30、BF2，求 BD 的长度 【分析】（1）连接 OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE， 从而 ODAE， 由 DEBC 得E90， 由两直线平行， 同旁内角互补得出ODE90， 由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90，再由 OF1，BF2 得出 OB 的 值， 进而得出 AF 和 BA 的值， 然后证明DBFABD， 由相似三角形的性质得比例式， 从而求得 BD2的值，求算术平方根即可得出 BD 的值 解：（1）连接 OD，如图： OAOD， OADADO， AD 平分CAB， DAEOAD， ADODAE， ODAE， DEBC， E90
31、， ODE180E90， DE 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径， ADB90， OF1，BF2， OB3， AF4，BA6 DFAB， DFB90， ADBDFB， 又DBFABD， DBFABD， ， BD2BF BA2612 BD2 21 遵义市各校都在深入开展劳动教育， 某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间 （单 位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成 如下不完整的频数分布表和频数分布直方图 课外劳动时间频数分布表 劳动时间分组 频数 频率 0t20 2 0.1 20t40 4 m 40t60 6 0.3 60t80 a 0.25
32、80t100 3 0.15 解答下列问题： （1）频数分布表中 a 5 ，m 0.2 ；将频数分布直方图补充完整； （2）若七年级共有学生 400 人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的人数； （3）已知课外劳动时间在 60ht80h 的男生人数为 2 人，其余为女生，现从该组中任 选 2 人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学 生为 1 男 1 女的概率 【分析】（1）根据频数分布表所给数据即可求出 a，m；进而可以补充完整频数分布直 方图； （2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的人数；
33、（3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为 1 男 1 女的概率 解：（1）a（20.1）0.255， m4200.2， 补全的直方图如图所示： 故答案为：5，0.2； （2）400（0.25+0.15）160（人）； （3）根据题意画出树状图， 由树状图可知： 共有 20 种等可能的情况， 1 男 1 女有 12 种， 故所选学生为 1 男 1 女的概率为： P 22为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价 和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为 25 元/个，乙种型号水杯进价为 45 元/个， 下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个）
34、 销售收入（元）（销售收入售价销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共 80 个，这批水杯进货的预算成本不 超过 2600 元，且甲种型号水杯最多购进 55 个，在 80 个水杯全部售完的情况下设购进甲 种号水杯 a 个，利润为 w 元，写出 w 与 a 的函数关系式，并求出第三月的最大利润 【分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙 两种型号水杯的销售单价； （2）根据题意，可以得到 w 与 a 的函数关系式 解：（1）设甲、
35、乙两种型号水杯的销售单价分别为 x 元、y 元， ，解得， 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为 30 元、55 元； （2）由题意可得， ， 解得：50a55， w（3025）a+（5545）（80a）5a+800， 故当 a50 时，W 有最大值，最大为 550， 答：第三月的最大利润为 550 元 23如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点（点 E 与点 A，C 不 重合），连接 DE，作 EFDE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MNBC 分别交 CD，AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G （1）求证：EFDE； （2）
36、当 AF2 时，求 GE 的长 【分析】（1）要证明 EFDE，只要证明DMEENF 即可，然后根据题目中的条件 和正方形的性质，可以得到DMEENF 的条件，从而可以证明结论成立； （2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到 AG 和 CG、CE 的长，然后即可得到 GE 的 长 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线， ECM45， MNBC，BCM90， NMC+BCM180，MNB+B180， NMC90，MNB90， MECMCE45，DMEENF90， MCME， CDMN， DMEN， DEEF，EDM+DEM90， DEF90， DEM+FEN90， ED
37、MFEN， 在DME 和ENF 中， ， DMEENF（ASA）， EFDE； （2）由（1）知，DMEENF， MENF， 四边形 MNBC 是矩形， MCBN， 又MEMC，AB4，AF2， BNMCNF1， EMC90， CE， AFCD， DGCFGA， ， ， ABBC4，B90， AC4， ACAG+GC， AG，CG， GEGCCE 24如图，抛物线 yax2+x+c 经过点 A（1，0）和点 C （0，3）与 x 轴的另一交点为 点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MPy 轴，交抛物线于点 P （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得
38、QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）以 M 为圆心，MP 为半径作M，当M 与坐标轴相切时，求出M 的半径 【分析】（1）把点 A（1，0）和点 C （0，3）代入 yax2+x+c 求出 a 与 c 的值即 可得出抛物线的解析式； （2）当点 Q 在 y 轴右边时，假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QHOC 于 H， OC3，则 OH，tan60，求出 Q（，），把 x 代入 yx2+ x+3，得 y，则假设不成立； 当点 Q 在 y 轴的左边时，假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QTOC 于 T，OC 3，则 OT，tan60，求出
39、 Q（ ，），把 x代入 yx2+ x+3，得 y，则假设不成立； （3）求出 B（4，0），待定系数法得出 BC 直线的解析式 yx+3，当M 与 x 轴相 切时，延长 PM 交 AB 于点 D，则点 D 为M 与 x 轴的切点，即 PMMD，设 P（x， x2+x+3），M（x，x+3），则 PDx2+x+3，MDx+3，由 PDMD MD，求出 x1，即可得出结果；当M 与 y 轴相切时，延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 MEy 轴于 E，则点 E 为M 与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDEMx，设 P（x，x2+x+3），M（x， x+3），则 PDx2+x+3，MD
40、x+3，代入 即可得出结果 解：（1）把点 A（1，0）和点 C （0，3）代入 yax2+x+c 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+x+3； （2）不存在，理由如下： 当点 Q 在 y 轴右边时，如图 1 所示： 假设QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QHOC 于 H， 点 C （0，3）， OC3， 则 OHOC，tan60， QHOH tan60， Q（，）， 把 x代入 yx2+x+3， 得：y， 假设不成立， 当点 Q 在 y 轴右边时，不存在QCO 为等边三角形； 当点 Q 在 y 轴的左边时，如图 2 所示： 假设QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QTOC 于
41、T， 点 C （0，3）， OC3， 则 OTOC，tan60， QTOT tan60， Q（，）， 把 x代入 yx2+x+3， 得：y， 假设不成立， 当点 Q 在 y 轴左边时，不存在QCO 为等边三角形； 综上所述，在抛物线上不存在一点 Q，使得QCO 是等边三角形； （3）令x2+x+30， 解得：x11，x24， B（4，0）， 设 BC 直线的解析式为：ykx+b， 把 B、C 的坐标代入则， 解得：， BC 直线的解析式为：yx+3， 当M 与 x 轴相切时，如图 3 所示： 延长 PM 交 AB 于点 D， 则点 D 为M 与 x 轴的切点，即 PMMD， 设 P（x，x2+x+3），M（x，x+3）， 则 PDx2+x+3，MDx+3， （x2+x+3）（x+3）x+3， 解得：x11，x24（不合题意舍去）， M 的半径为：MD+3； 当M 与 y 轴相切时，如图 4 所示： 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 MEy 轴于 E， 则点 E 为M 与 y 轴的切点，即 PMME，PDMDEMx， 设 P（x，x2+x+3），M（x，x+3）， 则 PDx2+x+3，MDx+3， （x2+x+3）（x+3）x， 解得：x1，x20（不合题意舍去）， M 的半径为：EM； 综上所述，M 的半径为或
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