1、2020 年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 2下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B2 C236 Da3+a3a6 3下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4如图所示的三视图是下列哪个几何体的三视图（ ） A B C D 5 预计到2025年， 中国5G用户将超过460000000， 将460000000用科学记数法表示为 （ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 6一把
2、直尺和一块三角板 ABC（含 45角）按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角 边分别交于点D和点E， 另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A， CED25， 则BFA 的大小为（ ） A115 B110 C105 D120 7根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图 根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ） A李飞或刘亮 B李飞 C刘亮 D无法确定 8一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数” ，例如 27 6232， 638212， 故 27， 63 都是 “创新数” ， 下列各数中， 不是 “创新数” 的是 （ ） A
3、31 B41 C16 D54 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9分解因式：ab2a 10函数的自变量 x 的取值范围是 11已知一组数据 2，8，1，9，x 的平均数是 5，则这组数据的中位数是 12已知圆锥的底面半径为 5cm，侧面积为 65cm2，圆锥的母线是 cm 13已知点 M（2，3） ，将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得到点 N，则 点 N 的坐标是 14已知一个正多边形的内角是 140，则这个正多边形的边数是 15 如图， 第一象限内的点A在反比例函数y上， 第二象限的点B在反比例函数y上， 且 OAOB，BC、AD 垂直于 x 轴于 C、D，则
4、k 的值为 16如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C1处，折痕为 EF，若 AB4，BC8，则线段 EF 的长度为 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 17计算： 18解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来 19已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论 202019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺 炎为一种新
5、型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采 取以下防护措施： 戴口罩； 勤洗手； 少出门； 重隔离； 捂口鼻； 谨慎吃 某 公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ， 通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项） ，并将调 查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了 名员工，条形统计图中 m ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3） 在调查中， 发现有 4 名员工对防护措施 “很了解” ， 其中有 3 名男员工、 1 名女员工
6、若 准备从他们中随机抽取 2 名，让其在公司群内普及防护措施，用画树状图或列表法求恰 好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格） 21金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果为帮助果园拓宽销 路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为 5 元/千克，售价为 6 元/千克时，当天的销售 量为100千克； 在销售过程中发现： 销售单价每上涨0.5元， 当天的销售量就减少5千克 设 当天销售单价统一为 x 元/千克（x6，且 x 是按 0.5 元的倍数上涨） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）要使当天销售利润不低
7、于 240 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若该种水果每千克的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少 元？并求出最大利润 22小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图 1，图 2 分别是她上网时看到的 某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆 DF30cm，CE：CD1：3，DCF 45 ， CDF 30 ， 求AC的 长 度 （ 结 果 保 留 根 号） 23如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，E 为
8、 AC 上一点，直线 ED 与 AB 延长线交于点 F，若CDEDAC，AC12 （1）求O 半径； （2）求证：DE 为O 的切线； 24某班兴趣小组对函数 yx2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完 整 （1）自变量的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 1 0 3 （1） 根据上表数据， 在如图所示的平面直角坐标系中描点， 并画出了函数图象的一部分， 请画出该图象的另一部分； （2）观察函数图象，当 y 随 x 增大而减小时，则 x 的取值范围是 ； （3）进一步探究函数图象发现： 函数图象与 x
9、轴有 个交点，所以对应方程x2+2|x|0 有 个实数根； 方程x2+2|x|1 有 个实数根； 若关于 x 的方程x2+2|x|n 有 4 个实数根，则 n 的取值范围是 25如图所示，已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG，G、A、B 在同一直线上，点 E 在 AD 上，连接 DG，BE （1）证明：BEDG； （2）发现：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转，如图所示，判断 BE 与 DG 的数量关系和位 置关系，并说明理由； （3）探究：如图所示，若四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形，且 AD2AB，AG 2AE 时， 判断 BE 与 DG 的数量关系和位置关系是否与 （2
10、） 的结论相同， 并说明理由 26如图，抛物线 yax2+bx1 经过 A（0.5，0） ，B（4，3）两点，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）若点 P 是抛物线对称轴上一动点，求使得 PA+PC 最小时 P 点的坐标； （3） 直线 BC 交 x 轴于点 D， 连结 AC， 若点 P 是 y 轴上一动点， 且点 P 不与点 C 重合， 是否存在点 P，使得以 P，B，C 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，确定点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 2020 年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
11、选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据倒数之积等于 1 可得答案 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：C 2下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B2 C236 Da3+a3a6 【分析】利用完全平方公式、二次根式的性质、乘方的意义、合并同类项计算法则进行 计算即可 【解答】解：A、 （a+b）2a2+2ab+b2，故原题计算错误； B、2，故原题计算正确； C、238，故原题计算错误； D、a3+a32a3，故原题计算错误； 故选：B 3下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A
12、B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 故选：D 4如图所示的三视图是下列哪个几何体的三视图（ ） A B C D 【分析】由已知中正视图与侧视图和俯视图，我们可以判断出该几何体的形状，逐一和 四个答案中的直观图进行比照，即可得到答案 【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出该几何体是一个圆台，分析四个答案可 得 C 满足条件要求，
13、故选：C 5 预计到2025年， 中国5G用户将超过460000000， 将460000000用科学记数法表示为 （ ） A4.6109 B46107 C4.6108 D0.46109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 460000000 用科学记数法表示为 4.6108 故选：C 6一把直尺和一块三角板 ABC（含 45角）按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角 边分别
14、交于点D和点E， 另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A， CED25， 则BFA 的大小为（ ） A115 B110 C105 D120 【分析】先利用三角形外角性质得到FDEC+CED115，然后根据平行线的性 质得到BFA 的度数 【解答】解：FDEC+CED90+25115， DEAF， BFAFDE115 故选：A 7根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图 根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ） A李飞或刘亮 B李飞 C刘亮 D无法确定 【分析】根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出 判断 【解答】解：李
15、飞的成绩为 5、8、9、7、8、9、10、8、9、7， 则李飞成绩的平均数为8， 所以李飞成绩的方差为（58）2+2（78）2+3（88）2+3（98）2+（10 8）21.8； 刘亮的成绩为 7、8、8、9、7、8、8、9、7、9， 则刘亮成绩的平均数为8， 刘亮成绩的方差为3（78）2+4（88）2+3（98）20.6， 0.61.8， 应推荐刘亮， 故选：C 8一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数” ，例如 27 6232， 638212， 故 27， 63 都是 “创新数” ， 下列各数中， 不是 “创新数” 的是 （ ） A31 B41 C16 D54 【
16、分析】根据数字的特点，分别将 31、41 和 16 写成两个正整数的平方差的形式，而 54 不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解 【解答】解：31（16+15） （1615）162152， 41（21+20） （2120）212202， 16（5+3） （53）5232， 54 不能表示成两个正整数的平方差 31、41 和 16 是“创新数” ，而 54 不是“创新数” 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9分解因式：ab2a a（b+1） （b1） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（b21）a（b+1） （b1） ， 故答案为：a
17、（b+1） （b1） 10函数的自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义 的条件是：被开方数为非负数 【解答】解：依题意，得 2x0， 解得 x2 故答案为：x2 11已知一组数据 2，8，1，9，x 的平均数是 5，则这组数据的中位数是 5 【分析】先根据平均数的定义求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中 间的数即可 【解答】解：2，8，1，9，x 的平均数是 5， （2+8+1+9+x）55， 解得：x5， 把这组数据从小到大排列为：1，2，5，8，9， 则这组数据的中位数是 5 故答案为：5 12已知圆锥
18、的底面半径为 5cm，侧面积为 65cm2，圆锥的母线是 13 cm 【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 【解答】解：设母线长为 R，则：655R， 解得 R13cm 13已知点 M（2，3） ，将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得到点 N，则 点 N 的坐标是 （0，1） 【分析】将点 M 的横坐标减去 2，纵坐标加上 4 即可得到点 N 的坐标 【解答】解：点 M（2，3） ，将它先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位后得到 点 N， 点 N 的坐标是（22，3+4） ，即（0，1） ， 故答案为（0，1） ， 14已知一个正多边形的内角是
19、 140，则这个正多边形的边数是 9 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案 【解答】解：设多边形为 n 边形，由题意，得 （n2） 180140n， 解得 n9， 故答案为：9 15 如图， 第一象限内的点A在反比例函数y上， 第二象限的点B在反比例函数y上， 且 OAOB，BC、AD 垂直于 x 轴于 C、D，则 k 的值为 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义得到 SAOD2， 接着证明 RtAODRtOBC， 利用相似三角形的性质得 SOBCSAOD，所以|k|，然后根据反比例函数 的性质确定 k 的值 【解答】解：如图，第一象限内的点 A 在反比例函数 y上，BC、AD 垂直于
20、x 轴于 C、D， SAOD42， OAOB， AOD+BOC90， AOD+OAD90， BOCOAD， BCOODA90， RtAODRtOBC， ， （）2， SOBCSAOD2， |k|， 而 k0， k 故答案为 16如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C1处，折痕为 EF，若 AB4，BC8，则线段 EF 的长度为 【分析】过 E 作 EGBC 于 G，则 AEBG，依据勾股定理即可得到 AEBG3，BE 5，进而得出 BF5，GFBFBG532，最后根据勾股定理即可得到 EF 的长 【解答】解：如图所示，过 E 作 EGBC 于 G，则 AE
21、BG， 设 AEx，则 DEBE8x， RtABE 中，AE2+AB2BE2， x2+42（8x）2， 解得 x3， AEBG3，BE5， ADBC， DEFBFE， 由折叠可得，BEFDEF， BEFBFE， BFBE5， GFBFBG532， RtEFG 中，EF2， 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题） 17计算： 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值 【解答】解：原式3（2）21 32+1 0 18解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部
22、分，然后把不等 式的解集表示在数轴上即可 【解答】解 ， 解不等式得 x1， 解不等式得 x2 故原不等式组的解集为1x2， 解集在数轴上表示为： 19已知：如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G （1）求证：ADECBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论 【分析】 （1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA， SSS）来证明全等； （2）先由菱形的性质得出 AEBEDE，再通过角之间的关系求出2+390即 ADB90，所以判定四边形
23、AGBD 是矩形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， 4C，ADCB，ABCD 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， AEAB，CFCD AECF 在AED 和CBF 中， ， ADECBF（SAS） （2）解：当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC AGBD， 四边形 AGBD 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形， DEBE AEBE， AEBEDE 12，34 1+2+3+4180， 22+23180 2+390 即ADB90 四边形 AGBD 是矩形 202019 年 12 月以来，湖北省武汉市
24、部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺 炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采 取以下防护措施： 戴口罩； 勤洗手； 少出门； 重隔离； 捂口鼻； 谨慎吃 某 公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ， 通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项） ，并将调 查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中 m 20 ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3） 在调查中， 发现有 4 名
25、员工对防护措施 “很了解” ， 其中有 3 名男员工、 1 名女员工 若 准备从他们中随机抽取 2 名，让其在公司群内普及防护措施，用画树状图或列表法求恰 好抽中一男一女的概率（要求画出树状图或列出表格） 【分析】 （1）根据“了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%，求出总人数即 可解决问题； （2）利用样本估计总体的思想解决问题即可； （3）根据题意列出图表得出所有等情况数和恰好抽中一男一女的情况数，然后根据概率 公式即可得出答案 【解答】解： （1）由统计图可知， “了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%， 故本次调查的员工人数为 2440%60（名） ，m
26、601224420 故答案为：60，20； （2）根据题意得： 1000200（名） ， 答：不了解防护措施的人数为 200 名； （3）根据题意列表如下： 员工 男甲 男乙 男丙 女 男甲 男乙、男甲 男丙、男甲 女、男甲 男乙 男甲、男乙 男丙、男乙 女、男乙 男丙 男甲、男丙 男乙、男丙 女、男丙 女 男甲、女 男乙、女 男丙、女 共有 12 种等情况数，其中恰好抽中一男一女的 6 种， 则恰好抽中一男一女的概率为 21金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果为帮助果园拓宽销 路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为 5 元/千克，售价为 6 元/千克时，当天的销售 量为
27、100千克； 在销售过程中发现： 销售单价每上涨0.5元， 当天的销售量就减少5千克 设 当天销售单价统一为 x 元/千克（x6，且 x 是按 0.5 元的倍数上涨） ，当天销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （2）要使当天销售利润不低于 240 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若该种水果每千克的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少 元？并求出最大利润 【分析】 （1）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式， （2）由（1）的关系式，即 y240，结合二次函数的性质即可求 x 的取值范围 （3）由题意可知，利润
28、不超过 80%即为利润率（售价进价）进价，即可求得售价 的范围再结合二次函数的性质，即可求 【解答】解： （1）y（x5） （1005）10x2+210x800， 故 y 与 x 的函数关系式为：y10x2+210x800； （2）要使当天利润不低于 240 元，则 y240， 令 y240，y10x2+210x80010（x10.5）2+302.5240； 解得，x18，x213， 100，抛物线的开口向下， 当天销售单价所在的范围为 8x13 （3）由题意得：解得 x9，又 x6 6x9， 由（1）得 y10x2+210x80010（x10.5）2+302.5 对称轴为 x10.5， 6x
29、9 在对称轴的左侧，且 y 随着 x 的增大而增大， 当 x9 时80%， 当 x9 时取得最大值，此时 y10（910.5）2+302.5280， 即每千克售价为 9 元时，最大利润为 280 元 22小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图 1，图 2 分别是她上网时看到的 某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B，F 在 AC 上，C 在 DE 上，支杆 DF30cm，CE：CD1：3，DCF 45 ， CDF 30 ， 求AC的 长 度 （ 结 果 保 留 根 号） 【分析】过 F 作 FHDE 于 H，解直角三角形
30、即可得到结论 【解答】解 过点 F 作 FGCD 于 G 在 RtDFG 中，FDG30， FGDG， 在 RtCFG 中，FCG45， CGFG15cm， CD15+ （cm） ， CE：CD1：3， EC （cm） ， DE15+（cm） ， AC （cm） 23如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，E 为 AC 上一点，直线 ED 与 AB 延长线交于点 F，若CDEDAC，AC12 （1）求O 半径； （2）求证：DE 为O 的切线； 【分析】 （1）证明 ADBC，可得 ABAC12，则半径可求出； （2）连接 OD，由平行线的性
31、质，易得 ODDE，则结论得证 【解答】解： （1）AB 为O 的直径， ADB90， ADBC， 又BDCD， ABAC12， O 半径为 6； （2）证明：连接 OD， CDEDAC， CDE+CDAC+C， AEDADB， 由（1）知ADB90， AED90， DCBD，OAOB ODAC ODFAED90， 半径 ODEF DE 为O 的切线 24某班兴趣小组对函数 yx2+2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完 整 （1）自变量的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下： x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 1 0 3 （1） 根据上表数据
32、， 在如图所示的平面直角坐标系中描点， 并画出了函数图象的一部分， 请画出该图象的另一部分； （2）观察函数图象，当 y 随 x 增大而减小时，则 x 的取值范围是 1x0，x1 ； （3）进一步探究函数图象发现： 函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应方程x2+2|x|0 有 3 个实数根； 方程x2+2|x|1 有 2 个实数根； 若关于 x 的方程x2+2|x|n 有 4 个实数根，则 n 的取值范围是 0n1 【分析】 （1）根据函数的对称性补充图象如图所示； （2） 、 （3）观察图象即可求解 【解答】解： （1）补充图象另一部分如下： （2）从图象看，当 y 随 x 增大而减小
33、时，则 x 的取值范围是：1x0，x1； 故答案是：1x0，x1； （3） 从图象看函数图象与 x 轴有 3 个交点， 所以对应方程x2+2|x|0 有 3 个实数根； 方程x2+2|x|1 有 2 个实数根； 若关于 x 的方程x2+2|x|n 有 4 个实数根，则 n 的取值范围是 0n1， 故答案为：3，3；2；0n1 25如图所示，已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG，G、A、B 在同一直线上，点 E 在 AD 上，连接 DG，BE （1）证明：BEDG； （2）发现：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转，如图所示，判断 BE 与 DG 的数量关系和位 置关系，并说明理由； （3）探
34、究：如图所示，若四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形，且 AD2AB，AG 2AE 时， 判断 BE 与 DG 的数量关系和位置关系是否与 （2） 的结论相同， 并说明理由 【分析】 （1）证明ABEDAG（SAS） ，即可得出结论； （2）证明ABEDAG（SAS） ，得出 BEDG；延长 BE 交 AD 于 T，交 DG 于 H得 出DTH+ADG90，则结论得证； （3）证明ABEDAG，得出ABEADG，DG2BE，即可得出结论； 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， AEAG，ABAD，BADEAG90， ABEDAG（SAS） ， B
35、EDG； （2）BEDG，BEDG 如图 1 中，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， AEAG，ABAD，BADEAG90， BAEDAG， 在ABE 和DAG 中， ， ABEDAG（SAS） ， BEDG；ABEADG， 延长 BE 交 AD 于 T，交 DG 于 H ATB+ABE90， ATB+ADG90， ATBDTH， DTH+ADG90， DHB90， BEDG （3）数量关系不成立，DG2BE，位置关系成立 如图 2 中，延长 BE 交 AD 于 T，交 DG 于 H 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形， BADDAG， BAEDAG， AD2AB，A
36、G2AE， ， ABEADG， ABEADG， DG2BE， ATB+ABE90， ATB+ADG90， ATBDTH， DTH+ADG90， DHB90， BEDG 26如图，抛物线 yax2+bx1 经过 A（0.5，0） ，B（4，3）两点，交 y 轴于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）若点 P 是抛物线对称轴上一动点，求使得 PA+PC 最小时 P 点的坐标； （3） 直线 BC 交 x 轴于点 D， 连结 AC， 若点 P 是 y 轴上一动点， 且点 P 不与点 C 重合， 是否存在点 P，使得以 P，B，C 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，确定点 P 的坐 标；若不存在
37、，请说明理由 【分析】（1） 抛物线 yax2+bx1 经过 A （0.5， 0） ， B （4， 3） 两点， 则， 即可求解； （2）连接 CE 交函数对称轴于点 P，则点 P 为所求点，即可求解； （3）分BPC90、PBC90两种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx1 经过 A（0.5，0） ，B（4，3）两点， ， 解得， ； （2）由（1）知，令 y0，得 x12.8，x20.5， 又 A（0.5，0） ， 抛物线与 x 轴另一交点为 E（2.8，0） ，而点 C（0，1） ， 连接 CE 交函数对称轴于点 P，则点 P 为所求点， 由点 C、D 的坐标，
38、可得直线 CE 表达式为：， 又抛物线对称轴为直线， 使得 PA+PC 最小时 P 点的坐标为（，） ； （3）由点 B、C 的坐标可得，直线 BC 的表达式为：yx1，故 D（2，0） ， tanADCtanACO， ADCCAO， 又ODC+OCD90， ACO+OCD90， ACD 为直角三角形且ACD90， 由点 A、D 的坐标得：AD2.5， 同理可得：AC，CD， AC2+CD2AD2， ACD 为直角三角形，且ACD90， 若以 P，B，C 为顶点的三角形与ACD 相似相似，则可分两种情况考虑： 当BPC90， 即 BPy 轴时， CPBACD， P（0，3） ； 当PBC90时， CBPACD， 过点 B 作 BFy 轴于点 F， 在 RtBFC 中，BF4，CF2， 则 BC， ， ，解得：PC10， OP11， P（0，11） ， 综合以上可得 P 点的坐标为（0，3）或（0，11）
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