1、1 2020 北京卷高考数学考前冲刺最后一卷（北京卷高考数学考前冲刺最后一卷（2） 数学2020.07 第一部分（选择题共 40 分） 一一、选择题共选择题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分。在每题列出的四个选项中在每题列出的四个选项中，选出符合题选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1.设全集U R，集合2 |0Axx， |1Bx x，则集合() U AB （） （A）(,0)（B）(,0（C）(2,)（D）2,) 2.已知直线310axy 与直线3+2=0xy互相垂直，则a （） （A）3（B）1（C）1（D）3 3.已知数列 n a的前n项和 1 1 59
2、13 1721( 1)(43) n n Sn ，则 11 S () （A）21（B）19 （C）19（D）21 4.已知函数 41 ( ) 2 x x f x ，则( )f x的（） （A）图象关于原点对称，且在),0上是增函数 （B）图象关于 y 轴对称，且在),0上是增函数 （C）图象关于原点对称，在),0上是减函数 （D）图象关于 y 轴对称，且在),0上是减函数 5已知函数 ( )sin()(0) 6 f xx 的最小正周期为4，则() A函数( )f x的图象关于原点对称 B函数( )f x的图象关于直线 3 x 对称 C函数( )f x图象上的所有点向右平移 3 个单位长度后，所得
3、的图象关于原点对称 D函数( )f x在区间(0,)上单调递增 2 1 x 1 y 2 y 2 x 3 x 4 x 3 y 4 y 6. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 1 sin() 3 AB，3a ，4c ，则 sin A （） （A） 2 3 （B） 1 4 （C） 3 4 （D） 1 6 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是() （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 1（D） 3 2 8. “, , ,a b c d成等差数列”是“adbc+= +”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必
4、要条件 9.如图，点 A，B 在函数 2 log2yx=+的图象上，点 C 在函数 2 logyx=的图象上，若ABCD 为等边三角形，且直线/BC y轴，设点A的坐标为( , )m n，则m=（） （A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 10. 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心） ， 两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域， 小圆盘上所写 的实数分别记为 1234 ,x xx x， 大圆盘上所写的实数分别记为 1234 ,y yyy, 如图所示.将小圆盘逆时针旋转将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i 次，每次转动90，记 (1,2,3,4) i T
5、i 为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如 112233441 Tx yx yx yx y. 若 1234 +0xxxx， 1234 +0yyyy ，则以下结论正确的是 () （A）. 1234 ,T T T T中至少有一个为正数（B）. 1234 ,T T T T中至少有一个为负数 （C）. 1234 ,T T T T中至多有一个为正数（D）. 1234 ,T T T T中至多有一个为负数 正视图 侧视图 21 1 1 俯视图 3 二、填空题二、填空题(共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分) 11. 已知 i 1 i 1 i a ，其中i是虚数单位，那么实数a=.
6、 12. 已知,4,mn是等差数列，那么( 2)( 2) mn =_；mn的最大值为_ 13. 如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上， 且满足3ABAE，3BCCF，若 ( ,)OBOEOF R ，则+ 14. 每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种 一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动活动将65个家庭分成,A B两组，A组负责种植 150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏 树苗用时 2 h 5 ，种植一棵紫薇树苗用时 3 h 5 .假定,A B两组同时开始种植,若使植树活动持续 时间最短，则A
7、组的家庭数为，此时活动持续的时间为h 15.若无穷数列 n a满足： 1 0a ， 当Nn ， n2 时， 1nn aa max 1 a， 2 a， ， 1n a （其中 max 1 a， 2 a， 1n a 表示 1 a， 2 a， 1n a 中的最大项） ，有以下结论： 若数列 n a是常数列，则0 n a （Nn ） ； 若数列 n a是公差 d0 的等差数列，则 d0； 若数列 n a是公比为 q 的等比数列，则 q1； 若存在正整数 T，对任意Nn ，都有 n Tn aa ，则 1 a是数列 n a的最大项 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号） 三、解答题共 6 小题，共
8、85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） （本小题 14 分） 在ABC中，sincos() 6 bAaB =- （）求B； （）若5c=，求a. 从7b =， 4 C =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 4 （17） （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC-中，平面 11 ACC A 平面ABC，四边形 11 ACC A是正 方形， 点D，E分别是棱BC， 1 BB的中点，4AB=， 1 2AA =， 2 5BC = （）求证： 1 ABCC； （）求二面角 1 DACC-的余弦值； （）若点F
9、在棱 11 BC上，且 111 4BCB F=，判断平面 1 AC D 与平面 1 AEF是否平行，并说明理由 （18） （本小题 14 分） 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性， 质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对 他们进行检测，结果如下： （）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立， 以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用（）中所得概率，求X的分布列和 数学期望； （）假设该地区有10万人，患病
10、率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检 测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由. （19） （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 圆 222 :O xyr（O为坐标原点） .过点(0, )b 且斜率为1的直线与圆O交于点(1,2)，与椭圆C的另一个交点的横坐标为 8 5 . （）求椭圆C的方程和圆O的方程； （） 过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线 1 l，2l， 若直线 1 l的斜率为(0)k k 且 1 l与 椭圆C相切，试判断直线 2 l与椭圆C的位置关系，并说明理由. 非患者的检测结果人数 阳
11、性1 阴性99 患者的检测结果人数 阳性76 阴性4 5 （20） （本小题 15 分） 已知函数 1 1 ex x x f x （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）判断函数( )f x的零点的个数，并说明理由； （）设 0 x是( )f x的一个零点，证明曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线也是曲线lnyx的 切线 （21） （本小题 14 分） 设数列 12 :, n A a aa（3n ）的各项均为正整数，且 12n aaa若对任意 3,4, kn，存在正整数, (1)i jijk 使得 kij aaa ，则称数列A具有性质T （）判断数列 1:
12、1,2,4,7 A与数列 2:1,2,3,6 A是否具有性质T； （只需写出结论） （）若数列A具有性质T，且 1 1a ， 2 2a ，200 n a ，求n的最小值； （）若集合 123456 1,2,3,2019,2020SSSSSSS，且 ij SS （任意 ,1,2,6i j，ij） 求证：存在 i S，使得从 i S中可以选取若干元素（可重复 选取）组成一个具有性质T的数列 2020 北京卷高考数学考前冲刺最后一卷（北京卷高考数学考前冲刺最后一卷（2） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题(共共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分)
13、二、填空题二、填空题(共共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分) 11.2 2 12.16;16 13. 3 2 14. 12 25 5 15.1,2 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） （本小题 14 分） 解： （）因为sincos() 6 bAaB =-，sin sin ab AB =，所以sinsinsincos() 6 BAAB =- 又因为sin0A，所以sincos() 6 BB =-，即 31 sincossin 22 BBB=+ 所以sin()
14、0 3 B -= 又因为 333 B -，所以0 3 B -=，所以 3 B = （） 若选7b=，则在ABC中，由余弦定理 222 2cosbacacB=+-， 得 2 5240aa-=，解得8a=或3a=-（舍） 所以8a= 若选 4 C =，则 62 sinsin()sincoscossin 34344 ABC + =+=+=， 由正弦定理 sinsin ac AC =， 题号12345678910 答案BCCDBBAADA 得 5 622 42 a = + ，解得 5 35 2 a + = 所以 5 35 2 a + =14 分 （17） （本小题 14 分） 解： （）因为四边形 1
15、1 ACC A是正方形，所以 1 CCAC 又因为平面ABC平面 11 ACC A， 平面ABCI平面 11 ACC AAC=， 所以 1 CC 平面ABC 又因为AB平面ABC， 所以 1 ABCC （）由（）知， 1 CCAB， 11 /AACC，所以 1 AAAB 又4AB=， 1 2ACAA=，2 5BC =， 所以 222 ABACBC+=所以ACAB 如图， 以A为原点， 建立空间直角坐标系Axyz- 所以(0,0,0)A，(4,0,0)B，(0,0,2)C， 1(0,2,0) A 则有(2,0,1)D， 1(0,2,2) C，(4,1,0)E， 平面 1 ACC的一个法向量为(1
16、,0,0)=u 设平面 1 AC D的一个法向量为( , , )x y z=v， 又(2,0,1)AD uuu r =， 1 (0,2,2)AC uuur =， 由 1 0, 0. AD AC uuu r uuur = = v v 得 20, 220. xz yz + = += 令1x=，则2z =-，2y=所以(1,2,2)=-v 设二面角 1 DACC-的平面角为q，则 |11 |cos| |133 q = u v u v 由题知，二面角 1 DACC-为锐角，所以其余弦值为 1 3 （）平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行理由如下： 由（）知，平面 1 AC D的一个法向量为(1,
17、2,2)=-v， 1 (4,1,0)AE uuur =-， 所以 1 20AE uuur =v，所以 1 AE与平面 1 AC D不平行 又因为 1 A E 平面 1 AEF， 所以平面 1 AC D与平面 1 AEF不平行14 分 （18） （本小题 14 分） （） 由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性 所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估 计为 7619 8020 ()由题意可知( , )XB n p，其中3n ， 19 20 p X的所有可能的取值为0，1，2，3 003 3 1911 (0)()() 20208000 P XC
18、， 112 3 19157 (1)()() 20208000 P XC， 221 3 1911083 (2)()() 20208000 P XC， 330 3 1916859 (3)()() 20208000 P XC 所以X的分布列为 X0123 P 1 8000 57 8000 1083 8000 6859 8000 故X的数学期望 57 () 20 E Xnp （）此人患该疾病的概率未超过0.5理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为 119 9900010009909501940 10020 ，其中患者人数为950 若某人检测结果为阳性，那么他患
19、该疾病的概率为 950970 0.5 19401940 所以此人患该疾病的概率未超过0.514 分 （19） （本小题 14 分） 解： （）因为圆O过点(1,2)，所以圆O的方程为： 22 5xy. 因为过点(0, )b且斜率为1的直线方程为yxb， 又因为过点(1,2)，所以1b. 因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为 83 (,) 55 ， 所以 22 2 83 ()() 55 1 1a ，解得 2 4a . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （）直线 2 l与椭圆C相切.理由如下： 设圆O上动点 000 (,)(2)P xyx ，所以 22 00 5xy. 依题意，设直线
20、1 l： 00 ()yyk xx. 由 22 00 44, () xy ykxykx 得 222 0000 (14)8 ()4()40kxk ykxxykx. 因为直线 1 l与椭圆C相切， 所以 222 0000 8 ()4(14)4()40k ykxkykx . 所以 22 00 14()kykx. 所以 222 0000 (4)2(1)0xkx y ky. 因为 22 00 5xy，所以 22 00 41xy. 所以 222 0000 (1)2(1)0ykx y ky. 设直线 2 l： 00 1 ()yyxx k ， 由 22 00 44, 1 () xy yyxx k 得 2200
21、00 2 48 (1)()4()40 xx xyxy kkkk . 则 222 10000 11 16(4)()2()(1)xx yy kk 222 0000 2 16 (4)2(1)xkx yyk k 222 0000 2 16 (1)2(1)ykx yyk k 222 0000 2 16 (1)2(1)0ykkx yy k . 所以直线 2 l与椭圆C相切.14 分 （20） （本小题 15 分） 解： （）因为 1 1 ex x x f x ， 所以 0 01 0 1 0)2(ef ， 2 (1) 2 ex x fx ， 0 2 (01) 2 03e( )f 所以曲线 ( )yf x 在
22、点(0, (0)f 处的切线的方程为3 20xy （）函数 ( )f x有且仅有两个零点理由如下： ( )f x的定义域为 |,1x xxR 因为 2 2 ( )e0 (1) x f x x ， 所以 ( )f x在(,1) 和(1, )上均单调递增 因为 (0)20f ， 2 1 ( 2) 3 e0f ， 所以 ( )f x在(,1) 上有唯一零点 1 x 因为 2 e(2)30f， 5 4 5 ( )e90 4 f， 所以 ( )f x在(1,)上有唯一零点 2 x 综上， ( )f x有且仅有两个零点 （ ） 曲 线exy 在 点 0 0 (,e ) x x处 的 切 线 方 程 为 0
23、0 0 ee () xx yxx， 即 000 0 eee xxx yxx 设曲线 lnyx 在点 33 (,)x y处的切线斜率为 0 ex， 则 0 3 1 ex x ， 0 3 1 ex x ， 30 yx ，即切点为 0 0 1 (,) ex x 所以曲线 lnyx 在点 0 0 1 (,) ex x处的切线方程为 0 0 0 1 e () e x x yxx，即 0 0 e1 x yxx 因为 0 x是( )f x的一个零点，所以 0 0 0 1 1 ex x x 所以 000 0 0 0000 1 1 eee (1)(1)1 xxx x x xxxx 所以这两条切线重合 所以结论成
24、立15 分 （21） （本小题 14 分） 解： （）数列 1 A不具有性质T；数列 2 A具有性质T （）由题可知 2 2a ， 32 24aa， 43 28aa， 87 2128aa， 所以9n 若9n ，因为 9 200a 且 98 2aa，所以 8 128100a 同理， 76543 6450,3225,1612.5,86.25,43.125.aaaaa 因为数列各项均为正整数，所以 3 4a 所以数列前三项为1,2,4 因为数列A具有性质T， 4 a只可能为4,5,6,8之一，而又因为 4 86.25a， 所以 4 8a 同理，有 5678 16,32,64,128aaaa 此时数列
25、为1,2,4,8,16,32,64,128,200 但数列中不存在19ij 使得200 ij aa，所以该数列不具有性质T 所以10n 当10n 时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A （构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质T 所以，n的最小值为10 （）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,6) i Si 都有： 若正整数, i a bS ab，则 i ba S 否则，存在 i S满足：存在, i a bS ，a b 使得 i baS ， 此时，从 i S中取出, ,a b ba ： 当aba时，,a ba b是一个具有性质T的数列； 当aba时，, ,ba
26、 a b是一个具有性质T的数列； 当aba时，, ,a a b是一个具有性质T的数列 （i）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个， 不妨设此集合为 1 S， 从 1 S中取出337个数， 记为 12337 ,a aa， 且 12337 aaa 令集合 1337 |1,2,336 i NaaiS 由假设，对任意 1,2,336i ， 3371i aaS，所以 234516 NSSSSS （ii）在 23456 ,SS SS S中至少有一个集合包含 1 N中的至少68个元素， 不妨设这个集合为 2 S， 从 21 SN 中取出68个数，记为 1268 ,b bb，且 12
27、68 bbb 令集合 628 |1,2,67 i NbibS 由假设 682i bbS对任意1,2,68k ， 存在 1,2,336 k s 使得 337 k ks baa 所以对任意1,2,67i ， 6868 68337337 ()() ii issss bbaaaaaa ， 由假设 68 1 i ss aaS ，所以 681i bbS，所以 6812i bbSS， 所以 23456 NSSSS （iii） 在 3456 ,S SS S中至少有一个集合包含 2 N中的至少17个元素， 不妨设这个集合为 3 S， 从 23 SN 中取出17个数，记为 1217 ,c cc，且 1217 cc
28、c 令集合 137 |1,2,16 i Ncc iS 由假设 173i ccS对任意1,2,17k ，存在 1,2,67 k t 使得 68 k tk cbb 所以对任意1,2,16i ， 1717 176868 ()() ii itttt ccbbbbbb ， 同样，由假设可得 17 12 it t bbSS ， 所以 17123i ccSSS，所以 3456 NSSS （iv）类似地，在 456 ,SSS中至少有一个集合包含 3 N中的至少6个元素， 不妨设这个集合为 4 S， 从 34 SN 中取出6个数，记为 126 ,d dd，且 126 ddd， 则 6456 |1,2,5 i ddiSSN （v） 同样， 在 56 ,S S中至少有一个集合包含 4 N中的至少3个元素， 不妨设这个集合为 5 S， 从 45 SN 中 取 出3个 数 ， 记 为 123 ,e e e， 且 123 eee， 同 理 可 得 153326 ,ee eeSN （vi）由假设可得 2131326 ()()eeeeeeS 同上可知， 1245123 SSSeeSS ， 而又因为 21 eeS ，所以 216 eeS ，矛盾所以假设不成立 所以原命题得证14 分
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