北京市2020届高考数学押题仿真试卷（二）含答案解析

1、2020 年北京市高考数学押题试卷年北京市高考数学押题试卷 一、选择题（共 10 小题）. 1已知集合 A1，0，Bx|1x1，则 AB（ ） A1 B0 C1，0 D1，0，1 2设 ，blog32，ccos，则（ ） Acba Bacb Ccab Dabc 3下列函数中，最小正周期为 的是（ ） Aysin|x| Bycos|2x| Cy|tanx| Dy|sin2x| 4若 ， ，则 （ ） A2 B3 C4 D5 5与圆 x2+y2+2x4y0 相切于原点的直线方程是（ ） Ax2y0 Bx+2y0 C2xy0 D2x+y0 6设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“

2、d0”是“Sn为递增数列”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为 1，则该几何体体积为 （ ） A B C D 8双曲线 C 的方程 （a0，b0），左右焦点分别为 F1，F2，P 为 C 右支上 的一点， ， 以O为圆心， a为半径的圆与PF1相切， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C2 D 9已知函数 f（x）sin（2x ），g（x）x 22，若对任意的实数 x 1，总存在实数 x2使 得 f（x1）g（x2）成立，则 x2的取值范围是（ ） A1，1 B ， C（，11，

3、+） D ，11， 10已知函数 f（x）2mx22（4m）x+1，g（x）mx，若对于任一实数 x，f（x）与 g （x）至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是（ ） A（0，2） B（0，8） C（2，8） D（，0） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11复数 12已知 （ ，），sin ，则 tan（ ） 13在ABC 中，若 bcosC+csinB0，则C 14为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 C（单位： mg/L）随时间 t（单位：h）的变化关系为 C ，则经过 h 后池水中药品的浓 度达到最大 15我国古代数学名著九章算术

4、的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比 如在表达式 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 ，求得 ，类似上述过程，则 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在b1+b3a2，a4b4，S525 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是等比数列， ，b1a5，b23，b581， 是否存在 k，使得 SkSk+1且 Sk+1Sk+2？ 17如图，在

5、四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAAD， BECD，BEAD，PAAEBE2，CD1 （）求证：平面 PAD平面 PCD； （）求二面角 CPBE 的余弦值 18某单位共有员工 45 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 （）求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； （）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人 中男员工人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔

6、试成绩分别为 78，85，89，92，96；结合 答辩情况，他们的考核成绩分别为 95，88，102，106，99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论） 19已知函数 f（x）lnxax1（aR），g（x）xf（x） 2x （）求 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，若函数 g（x）在区间（m，m+1）（mZ）内存在唯一的极值点，求 m 的值 20已知直线 l：xt 与椭圆 C： 1 相交于 A，B 两点，M 是椭圆 C 上一点 （）当 t1 时，求MAB 面积的最大值； （） 设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E， F，

7、O 为原点 证明： |OE| |OF|为定值 21数字 1，2，3，n（n2）的任意一个排列记作（a1，a2，an），设 Sn为所有这 样的排列构成的集合集合 An（a1，a2，an）Sn|任意整数 i，j，1ijn，都 有 ai+iajj； 集合 Bn （a1， a2， ， anSn|任意整数 i， j， 1in， 都有 a i+iaj+j （）用列举法表示集合 A3，B3 （）求集合 AnBn的元素个数； （）记集合 Bn的元素个数为 bn证明：数列bn是等比数列 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知集合

8、 A1，0，Bx|1x1，则 AB（ ） A1 B0 C1，0 D1，0，1 【分析】利用交集定义能求出集合 AB 解：集合 A1，0，Bx|1x1，则 AB0， 故选：B 2设 ，blog32，ccos，则（ ） Acba Bacb Ccab Dabc 【分析】结合对数的单调性引入 0 与 1 进行比较大小，即可判断 解： 1，blog32（0，1），ccos1， 故 abc 故选：D 3下列函数中，最小正周期为 的是（ ） Aysin|x| Bycos|2x| Cy|tanx| Dy|sin2x| 【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论 解：由于函数 ysin|x|不是周期函数，故排

9、除 A； 由于函数 ycos|2x|cos2x 的周期为 ，故 B 不正确； 由于函数 y|tanx|的周期为 ，故排除 C； 由于函数 y|sin2x|的周期为 ，故 D 正确， 故选：D 4若 ， ，则 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据垂直可得 （ ）0，代入计算即可 解： ， ， （ ）| |2 4 0， 4， 故选：C 5与圆 x2+y2+2x4y0 相切于原点的直线方程是（ ） Ax2y0 Bx+2y0 C2xy0 D2x+y0 【分析】先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，（0，0）满足圆的方程，从而得 到答案 解：圆：x2+y2+2x4y0，即（x+1）2+（y2）

10、25，表示以 C（1，2）为圆心，半 径等于 的圆 （0，0）满足圆的方程，所以过点（0，0）且与圆 x2+y2+2x4y0 相切的直线方程为 x 2y0 故选：A 6设an是公差为 d 的等差数列，Sn为其前 n 项和，则“d0”是“Sn为递增数列”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的前 n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解：由 Sn+1Sn（n+1）a1 dna1 ddn+a10d0 且 d+a10 即数列Sn为递增数列的充要条件 d0 且 d+a10， 则“d0”是“Sn为递增数列”的既不充

11、分也不必要条件， 故选：D 7一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为 1，则该几何体体积为 （ ） A B C D 【分析】根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入 棱锥体积公式，可得答案 解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示： 它的顶点均为棱长为 1 的正方体的顶点， 故其底面为直角边为 1 的等腰直角三角形，高为 1， 故几何体的体积 V ， 故选：A 8双曲线 C 的方程 （a0，b0），左右焦点分别为 F1，F2，P 为 C 右支上 的一点， ， 以O为圆心， a为半径的圆与PF1相切， 则双曲线的离心率为 （ ） A B C2

12、 D 【分析】连结 PF2、OM，PF2PF1由圆的切线性质，得到 OMPF1，根据三角形中 位线定理，算出|PF2|2|OM|2a在PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出 c 与 a 的关系，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率 解：如图：连结 PF2、OM， ，所以 PF1PF2， 以 O 为圆心，a 为半径的圆与 PF1相切， M 是 PF1的中点， OM 是PF1F2的中位线， OMPF2，且|PF2|2|OM|2a PF1与以原点为圆心 a 为半径的圆相切， OMPF1，可得 PF2PF1， PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2， 根据双曲线的定义，

13、得|PF1|PF2|2a |PF1|PF2|+2a4a，代入得（4a）2+（2a）2|F1F2|2， （2c）2|F1F2|220a2，解之得 c a 由此可得双曲线的离心率为 e ， 故选：A 9已知函数 f（x）sin（2x ），g（x）x 22，若对任意的实数 x 1，总存在实数 x2使 得 f（x1）g（x2）成立，则 x2的取值范围是（ ） A1，1 B ， C（，11，+） D ，11， 【分析】由题意，求出 f（x）的值域，根据对任意的实数 x1，总存在实数 x2使得 f（x1） g（x2）成立，可得 g（x）的值域，即可求出 x2的取值范围 解：函数 f（x）sin（2x ），

14、 根据正弦函数性可知：f（x）的值域为1，1， 对任意的实数 x1，总存在实数 x2使得 f（x1）g（x2）成立， 1，1g（x） g（x）x22， 根据二次函数性质可知：当 g（x）1 时，可得 x1， 当 g（x）1 时，可得 x ， 由二洗函数的图象可得： ，11， 故选：D 10已知函数 f（x）2mx22（4m）x+1，g（x）mx，若对于任一实数 x，f（x）与 g （x）至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是（ ） A（0，2） B（0，8） C（2，8） D（，0） 【分析】当 m0 时，显然不成立；当 m0 时，因为 f（0）10，所以仅对对称轴进 行讨论即可 解：当

15、m0 时， 当 x 接近+时，函数 f（x）2mx22（4m）x+1 与 g（x）mx 均为负值， 显然不成立 当 x0 时，因 f（0）10 当 m0 时， 若 ，即 0m4 时结论显然成立； 若 ，时只要4（4m）28m4（m8）（m2）0 即可，即 4 m8 则 0m8 故选：B 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11复数 【分析】先对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解 解： | |1i| 故答案为： 12已知 （ ，），sin ，则 tan（ ） 【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果 解： ， ， ， 则： ， 所以： ， 则： ，

16、故答案为： 13在ABC 中，若 bcosC+csinB0，则C 【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出 C 的值 解：bcosC+csinB0 由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB0， 0B， sinB0，于是 cosC+sinC0，即 tanC1， 0C， C 故答案为： 14为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 C（单位： mg/L）随时间 t（单位：h）的变化关系为 C ，则经过 2 h 后池水中药品的浓度 达到最大 【分析】利用基本不等式的性质即可得出 解：C 5，当且仅当 t2 时取等号 因此经过 2h 后池水中药品的浓

17、度达到最大 故答案为：2 15我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比 如在表达式 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 ，求得 ，类似上述过程，则 【分析】由阅读能力及类比能力结合解方程 x2x30，（x0）解得：x ，即 可得解 解：设 x 由题意可得： x ， 即 x2x30，（x0） 解得：x ， 故答案为： 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16在b1+b3a2，a4b4，S525 这三个条件中任选一个，补充在下面问题

18、中， 若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是等比数列， ，b1a5，b23，b581， 是否存在 k，使得 SkSk+1且 Sk+1Sk+2？ 【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，先求出，等比数列bn 的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列an的通项公式，并判断是否存在 符合条件的 k 解：因为在等比数列bn中，b23，b581，所以其公比 q3， 从而 ，从而 a5b11 若存在 k，使得 SkSk+1，即 SkSk+ak+1，从而 ak+10； 同理，若使 Sk+1Sk+2，即 Sk+1Sk

19、+1+ak+2，从而 ak+20 若选：由 b1+b3a2，得 a21910，所以 an3n16， 当 k4 时满足 a50，且 a60 成立； 若选：由 a4b427，且 a51，所以数列an为递减数列， 故不存在 ak+10，且 ak+20； 若选：由 ，解得 a35，从而 an2n11， 所以当 n4 时，能使 a50，a60 成立 17如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAAD， BECD，BEAD，PAAEBE2，CD1 （）求证：平面 PAD平面 PCD； （）求二面角 CPBE 的余弦值 【分析】（）证明 PACD，CDAD得到 C

20、D平面 PAD，即可证明平面 PAD平 面 PCD； （）建立空间直角坐标系 Exyz，用坐标表示向量，求出平面 PBC 和平面 PBE 的法 向量所成的角的余弦值即可 【解答】（）证明：由平面 PAD平面 ABCD，PAAD， 且平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PA平面 ABCD，所以 PACD； 又 BEAD，BECD，所以 CDAD，所以 CD平面 PAD； 又 CD平面 PCD，所以平面 PAD平面 PCD； （） 解： 作 AD 的垂线 Ez， 以 E 为原点， 以 、 的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 Exyz，如图所示； 则点 E（0，0，0），

21、P（0，2，2），A（0，2，0）， B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0） 所以 （2，2，2）， （1，2，0）， （0，2，2）； 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z）， 所以 ，即 ； 令 y1，解得 （2，1，3）； 设平面 PBE 的法向量为 （a，b，c）， 所以 ，即 ； 令 b1，解得 （0，1，1） 所以 cos ， ； 由图形可知，二面角 CPBE 的余弦值为 18某单位共有员工 45 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 （）求抽取的 5 人中男、女员

22、工的人数分别是多少； （）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人 中男员工人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔试成绩分别为 78，85，89，92，96；结合 答辩情况，他们的考核成绩分别为 95，88，102，106，99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论） 【分析】（）利用抽取的比例即可得出 （）由（）可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人所以，随机变 量 X 的所有可能取值为 1，2，3利用超几何分布列的概率计算公式即可

23、得出数学期 望 （）利用方程计算公式即可得出结论 解：（）抽取的 5 人中男员工的人数为 ， 女员工的人数为 （）由（）可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人 所以，随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3 根据题意， ， ， 随机变量 X 的分布列是： X 1 2 3 P 数学期望 （） 19已知函数 f（x）lnxax1（a一、选择题），g（x）xf（x） 2x （）求 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，若函数 g（x）在区间（m，m+1）（mZ）内存在唯一的极值点，求 m 的值 【分析】（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （）求

24、出函数 g（x）的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值 点，求出 m 的值即可 解：（）由已知得 x0， ， （）当 a0 时，f（x）0 恒成立，则函数 f（x）在（0，+）为增函数； （）当 a0 时，由 f（x）0，得 ； 由 f（x）0，得 ； 所以函数 f（x）的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， （）因为 ， 则 g（x）lnx+1x+1lnxx+2f（x）+3 由（）可知，函数 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减 又因为 ，g（1）10， 所以 g（x）在（0，1）上有且只有一个零点 x1 又在（0，x1）上 g（x）0，g（x）在（0

25、，x1）上单调递减； 在（x1，1）上 g（x）0，g（x）在（x1，1）上单调递增 所以 x1为极值点，此时 m0 又 g（3）ln310，g（4）2ln220， 所以 g（x）在（3，4）上有且只有一个零点 x2 又在（3，x2）上 g（x）0，g（x）在（3，x2）上单调递增； 在（x2，4）上 g（x）0，g（x）在（x2，4）上单调递减 所以 x2为极值点，此时 m3 综上所述，m0 或 m3 20已知直线 l：xt 与椭圆 C： 1 相交于 A，B 两点，M 是椭圆 C 上一点 （）当 t1 时，求MAB 面积的最大值； （） 设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E，

26、F， O 为原点 证明： |OE| |OF|为定值 【分析】 （） 将 x1 代入 ， 求得 ， 当 M 为椭圆 C 的顶点 （2， 0）时，M 到直线 x1 的距离取得最大值 3，即可求得MAB 面积的最大值； （）由题意可知：设 M（x0，y0），则有 ，则直线 MA 的方程为 ，令 y0，得 ，从而 ，同理即可求得 ，则 4 解：（）当 t1 时，将 x1 代入 ， 解得： ， 当 M 为椭圆 C 的顶点（2，0）时，M 到直线 x1 的距离取得最大值 3， MAB 面积的最大值是 （）设 A，B 两点坐标分别为 A（t，n），B（t，n），从而 t2+2n24 设 M（x0，y0），则

27、有 ，x0t，y0n 直线 MA 的方程为 ， 令 y0，得 ，从而 直线 MB 的方程为 ， 令 y0，得 ，从而 所以 ， ， 4 |OE| |OF|为定值 21数字 1，2，3，n（n2）的任意一个排列记作（a1，a2，an），设 Sn为所有这 样的排列构成的集合集合 An（a1，a2，an）Sn|任意整数 i，j，1ijn，都 有 ai+iajj； 集合 Bn （a1， a2， ， anSn|任意整数 i， j， 1in， 都有 a i+iaj+j （）用列举法表示集合 A3，B3 （）求集合 AnBn的元素个数； （）记集合 Bn的元素个数为 bn证明：数列bn是等比数列 【分析】（

28、）集合 A3属于单调递增排列，集合 B3属于实数对，利用列举法表示集合 A3，B3即可； （）根据题意知 An（1，2，3，n）、（1，2，3，n）Bn，所以 AnBn所 以集合 AnBn的元素个数为 1 （）由（）知，bn0因为 B2（1，2），（2，1），所以 b22当 n3 时， 考虑 Bn中的元素（a1，a2，a3，an） 分类讨论：（1）假设 akn（1kn）由已知，ak+kak+1+（k+1）， 依此类推，若 akn，则 ak+1n1，ak+2n2，ank 若 k1，则满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 1 个 若 k2，则 a2n，a3n1，a4n2，

29、an2 若 2kn， （2）假设 ann，只需（a1，a2，a3，an1）是 1，2，3，n1 的满足条件的排列， 此时满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 bn1个 结合等比数列的定义进行证明 解：（）A3（1，2，3），B3（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3， 2，1） （）考虑集合 An中的元素（a1，a2，a3，an） 由已知，对任意整数 i，j，1ijn，都有 aiiajj， 所以（aii）+i（ajj）+j， 所以 aiaj 由 i，j 的任意性可知，（a1，a2，a3，an）是 1，2，3，n 的单调递增排列， 所以 An（1，2，3，

30、n） 又因为当 akk（kN*，1kn）时，对任意整数 i，j，1ijn， 都有 ai+iaj+j 所以（1，2，3，n）Bn，所以 AnBn 所以集合 AnBn的元素个数为 1 （）由（）知，bn0 因为 B2（1，2），（2，1），所以 b22 当 n3 时，考虑 Bn中的元素（a1，a2，a3，an） （1）假设 akn（1kn）由已知，ak+kak+1+（k+1）， 所以 ak+1ak+k（k+1）n1， 又因为 ak+1n1，所以 ak+1n1 依此类推，若 akn，则 ak+1n1，ak+2n2，ank 若 k1，则满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 1

31、 个 若 k2，则 a2n，a3n1，a4n2，an2 所以 a11 此时满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 1 个 若 2kn， 只要（a1，a2，a3，ak1）是 1，2，3，k1 的满足条件的一个排列，就可以相应 得到 1，2，3，n 的一个满足条件的排列 此时，满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 bk1个 （2）假设 ann，只需（a1，a2，a3，an1）是 1，2，3，n1 的满足条件的排列， 此时满足条件的 1，2，3，n 的排列（a1，a2，a3，an）有 bn1个 综上 bn1+1+b2+b3+bn1，n3 因为 b31+1+b242b2， 且当 n4 时，bn（1+1+b2+b3+bn2）+bn12bn1， 所以对任意 nN*，n3，都有 所以bn成等比数列