1、1 人大附中人大附中 2019-2020 学年度高三学年度高三 6 月统一练习题月统一练习题 数学数学 命题人：侯立伟命题人：侯立伟唐庚唐庚王鼎王鼎审题人：于金华审题人：于金华2020 年年 06 月月 27 日日 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效. 第一部分第一部分(选择题共 40 分) 一一、选择题共选择题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分在每小题列出的四个选项中分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要选出符合题目要 求的一项求的一项. 1.集合 2 3,logPa， , Qa b，若0PQ ，则
2、PQ () A.0,3B.0,2,3C.0,1,3D.0,1,2,3 2.若复数 2 13 z i ，则z () A. 1 2 B. 3 2 C.1D.2 3.已知 2 5 1 3 a ， 1 3 2 5 b ， 3 2 log 5 c ，则() A.abcB.cbaC.bcaD.cab 4.已知函数 f x的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位后与函数2xy 的图象关于 x 轴对称，若 0 1f x ，则 0 x () A.2B.2C. 2 log 3D. 2 log 3 5.为了解某年级 400名女生五十米短跑情况， 从该年级中随机抽取 8名女生进行五十跑测试， 她们的测试成绩(单位：秒)的
3、茎叶图(以整数部分为茎，小数部分为叶)如图所示.由此可估计 该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为 9.4 秒)的人数为() 78 8618 91578 A.150B.250C.200D.50 6.“ 6 ”是“函数( )sin(2)() 3 f xxx 与函数( )cos(2)()g xxxR为同一函数” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是() A.6B.12C.24D.36 8.等比数列 n a中 1 1a ，且 123 4,2,aa a成等差数列，则 *n a nN n 的最小值
4、为() A. 16 25 B. 4 9 C. 1 2 D.1 9.如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,8) i P i 是上底 面上其余的八个点，则集合 ,1,2,3,8iy yAB AP i 中的元素个数() A.1B.2 C.4D.8 3 10.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速 度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收 反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射 光相对探测光会发生频移 2 sin p v f ，其中 v 为测速仪
5、测得被测物体的横向速度，为激 光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1m 处，发出的 激光波长为 1600nm(1nm=10-9m)，测得某时刻频移为 8.0109(1/h)，则该时刻高铁的速度 v 约等于 A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h 第二部分第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.抛物线 2 yx的焦点到准线的距离是_ 12.二项式 52 1 ()x x 的展开式中含 4 x的项的系数是_(用数字作答). 13.已知关于 x 的
6、不等式 2 230axxa在0,2上有解，则实数 a 的取值范围为_ 14.在平面直角坐标系中，以双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 右焦点为圆心，以实半轴 a 为半 径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是_ 15.在一个不透明的口袋中装有大小、 形状完全相同的 9个小球， 将它们分别编号为1,2,3,9， 甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出 3 个小球. 甲说：我抽到了 8 号和 9 号小球； 乙说：我抽到了 8 号和 9 号小球； 丙说：我抽到了 2 号小球，没有抽到 8 号小球. 已知甲、乙、丙三人抽到的 3 个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了
7、一半. 给出下列四各结论： 甲抽到的 3 个小球的编号之和一定为 15； 乙有可能抽到了 2 号小球； 丙有可能抽到了 8 号小球； 3 号，5 号和 7 号小球一定被同一个人抽到. 其中，所有正确结论的序号是_. 注：全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 4 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.(本小题满分 14 分) 在ABC中，3a ，2 6b ，_. 求 c 的值. 从2BA ，sinsin2BA， 3 15 2 ABC S，这三个条件中任选一个，补充在
8、上面 问题中并作答.注注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17.(本小题满分 14 分) 如图， 在多面体 ABCDEF中， 平面ADEF 平面 ABCD.四边形 ADEF为正方形， 四边形 ABCD 为梯形，且ADBC，90BAD，1ABAD，3BC . (I)求证：AFCD； (II)求直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值. E D C B A F 5 18.(本小题满分 14 分 国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量等优良轻度污染中度污重度污染严重污染 AQI 值范围 0,50
9、)50,100)100,150)150,200)200,300) 300 及以上 下表是由天气网获得的全国东西部各 6 个城市在某一个月内测到的数据的平均值： 西部城市AQI 数值东部城市AQI 数值 西安108北京104 合肥90金门42 克拉玛依37上海82 鄂尔多斯56苏州114 巴彦淖尔61天津105 库尔勒456石家庄93 合计：合计：808合计：合计：540 (I)从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？ (II)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行 调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望. ()设
10、东部城市的 AQI 数值的方差为 2 1 S，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后 AQI 数值的 方差为 2 2 S，判断 2 1 S和和 2 2 S的大小.(只需写出结论) 附：方差计算公式 2 2 1 1 n i i Sxx n . 19.(本小题满分 15 分)已知函数 2 ( ) x xm f x e ，其中 m 为常数). (I)若0m 且直线ykx与曲线 yf x相切，求实数 k 的值； (II)若 yf x在1,2上的最大值为 2 2 e ，求 m 的值. 6 20.(本小题满分 14 分)椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率是 5 3 ，过点0,1P做斜率为
11、 k 的直线 l，椭圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时| 3 3AB . (I)求椭圆 E的方程； (II)当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点,0M m，使得AMB是以 AB 为底的等腰三角形，若 存在求出 m的取值范围，若不存在说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数 的点) 123 ( ):, n A nA A AA与 123 ( ):, n B nB B BB，其中3n ，若同时满足： 两点列的起点和终点分别相同；线段 11iiii A AB B ，其中1,2,3,1
12、in，则称 A n与 B n互为正交点列. (I)试判断 3A： 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA与 123 (3):(0,2),(2,5),(5,2)BBBB是否互为正交点列， 并说明理由； (II)求证： 4A： 1234 (0,0),(3,1),(6,0),(9,1)AAAA不存在正交点列 4B； (III)是否存在无正交点列 5B的有序整数点列 5A？并证明你的结论. 7 人大附中人大附中 2019-2020 学年度高三学年度高三 6 月统一练习题月统一练习题小强数学小强数学 非官方答案，也许有错误非官方答案，也许有错误 命题人：侯立伟命题人：侯立伟唐庚唐庚王鼎王鼎审题
13、人：于金华审题人：于金华2020 年年 06 月月 27 日日 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效. 第一部分第一部分(选择题共 40 分) 一一、选择题共选择题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分在每小题列出的四个选项中分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要选出符合题目要 求的一项求的一项. 1.集合 2 3,logPa， , Qa b，若0PQ ，则PQ () A.0,3B.0,2,3C.0,1,3D.0,1,2,3 解析：由题，1a ，0b ，故3,0P ，1,0Q ，0,1,3PQ ，选 C.
14、2.若复数 2 13 z i ，则z () A. 1 2 B. 3 2 C.1D.2 解析： 2 2 1 2 13 z i ，也可正常算，选 C. 3.已知 2 5 1 3 a ， 1 3 2 5 b ， 3 2 log 5 c ，则() A.abcB.cbaC.bcaD.cab 解析：01a，1b ，0c ，故cab，选 D. 4.已知函数 f x的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位后与函数2xy 的图象关于 x 轴对称，若 0 1f x ，则 0 x () A.2B.2C. 2 log 3D. 2 log 3 解析：2xy ，关于x轴对称，2xy ，向右平移 2 个单位 2 2xy ， 0
15、 2 21 x ， 0 2x ， 选 B. 8 5.为了解某年级 400名女生五十米短跑情况， 从该年级中随机抽取 8名女生进行五十跑测试， 她们的测试成绩(单位：秒)的茎叶图(以整数部分为茎，小数部分为叶)如图所示.由此可估计 该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为 9.4 秒)的人数为() 78 8618 91578 A.150B.250C.200D.50 解析：注意五十米跑成绩越快越好， 5 400250 8 ，选 B. 6.“ 6 ”是“函数( )sin(2)() 3 f xxx 与函数( )cos(2)()g xxxR为同一函数” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C
16、.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析：前推后，代入，诱导公式可得，后推前，周期，选 A. 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是() A.6B.12C.24D.36 解析：画长方体，去点，虚线，端点.如下图所示： 11 3 3 412 33 VSh ，选 B. 9 8.等比数列 n a中 1 1a ，且 123 4,2,aa a成等差数列，则 *n a nN n 的最小值为() A. 16 25 B. 4 9 C. 1 2 D.1 解析： 2 111 44a qaa q，即 2 (2)0q，2q ， 1 2n n a nn ，指数函数增长速度大于幂函数增 长速度， 12 1
17、12 aa ，当3n ，1 n a n ，故最小值为 1，选 D. 9.如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,8) i P i 是上底 面上其余的八个点，则集合 ,1,2,3,8iy yAB AP i 中的元素个数() A.1B.2C.4D.8 解析： 2 cos iii AB APABAPAB ，故元素个数为 1，选 A. 10.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速 度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收 反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不
18、为零时，反射 光相对探测光会发生频移 2 sin p v f ，其中 v 为测速仪测得被测物体的横向速度，为激 光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1m 处，发出的 激光波长为 1600nm(1nm=10-9m)，测得某时刻频移为 8.0109(1/h)，则该时刻高铁的速度 v 约等于() A.320km/hB.330km/h C.340km/hD.350km/h 解析：分清各个字母表示的含义. 0.02 sin0.02 1 ， 99 3 1600 108 10 320 10/320/ 2sin2 0.02 f vm hkm h ，选 A. 10 二、填空题共二
19、、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.抛物线 2 yx的焦点到准线的距离是_ 解析： 2 xy，21p ，焦点到准线的距离为 1 2 p . 12.二项式 52 1 ()x x 的展开式中含 4 x的项的系数是_(用数字作答). 解析： 22324 5 1 ()( )10Cxx x ，故系数为10. 13.已知关于 x 的不等式 2 230axxa在0,2上有解，则实数 a 的取值范围为_ 解析：该题方法比较多. 看a的补集.在(0,2上 2 230axxa恒成立， 2 max 2 3 x a x ，求导可知，当3x ， 2 max 23 = 33 x
20、 x ，故 3 3 a ；则实数a的取值范围为 3 (,) 3 . 14.在平面直角坐标系中，以双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 右焦点为圆心，以实半轴 a 为半 径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是_ 解析：点( ,0)c到直线0aybx距离大于半径a， bc ba c ， 故 2 1( )2 b e a ，又双曲线离心率为(1,)，故双曲线离心率的范围为(1,2). 15.在一个不透明的口袋中装有大小、 形状完全相同的 9个小球， 将它们分别编号为1,2,3,9， 甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出 3 个小球. 甲说：我抽到了 8 号和 9 号小球； 乙说
21、：我抽到了 8 号和 9 号小球； 丙说：我抽到了 2 号小球，没有抽到 8 号小球. 已知甲、乙、丙三人抽到的 3 个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半. 给出下列四各结论： 甲抽到的 3 个小球的编号之和一定为 15； 乙有可能抽到了 2 号小球； 丙有可能抽到了 8 号小球； 3 号，5 号和 7 号小球一定被同一个人抽到. 其中，所有正确结论的序号是_. 注：全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 解析：逻辑推理. 甲、乙一个抽到 8，一个抽到 9，故小强数学丙一定没有抽到 2 号. 每个人平均 1289 15 3 ，故甲乙有一个为8 2 5，或
22、9 2 4， 当甲乙有一个8 2 5，则另一个无法成立； 故甲乙有一个9 2 4，则另一个8,1,6，故丙一定为3,5,7. 故正确结论的序号为. 11 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.(本小题满分 14 分)在ABC中，3a ，2 6b ，_.求 c 的值. 从2BA ，sinsin2BA， 3 15 2 ABC S，这三个条件中任选一个，补充在上面 问题中并作答.注注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 简析：三角函数为背景的
23、劣构问题. 选择，正定 sinsinsin abc ABC ，由 sinsin2 ab AA ，得 6 cos 3 A ， 又ABC中，2ABAA， 3 A ， 3 sin 3 A ， 故 2 2 sinsin22sincos 3 BAAA， 2 1 cos2cos1 3 BA ， 5 3 sinsin()sin()sincoscossin 9 CABABABAB， 5 3 3 sin 9 5 sin3 3 aC c A ； 选择，sinsin2BA，则2BA或2BA， 当2BA时，同，5c ； 当2BA，又三角形内角和ABC，CA，则3ca； 故3c 或5c . 选择， 113 15 sin
24、3 2 6sin 222 ABC SabCC ， 10 sin 4 C ， 6 cos 4 C ， 当 6 cos 4 C ， 2222 9246 242 3 2 6 abcc ab ，15c ； 当 6 cos 4 C ， 2222 9246 242 3 2 6 abcc ab ，2 13c ， 12 17.(本小题满分 14 分) 如图， 在多面体 ABCDEF中， 平面ADEF 平面 ABCD.四边形 ADEF为正方形， 四边形 ABCD 为梯形，且ADBC，90BAD，1ABAD，3BC . (I)求证：AFCD； (II)求直线 BF 与平面 CDE 所成角的正弦值. 解析：解析：2
25、019 年朝阳一模年朝阳一模 （）证明：因为ADEF为正方形，所以AFAD 又因为平面ADEF 平面ABCD，且平面ADEF 平面ABCDAD， 所以AF 平面ABCD所以AFCD （）由（）可知，AF 平面ABCD，所以AFAD，AFAB 因为90BAD，所以,AB AD AF两两垂直 分别以,AB AD AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图） 因为1ABAD，3BC ， 所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)ABCDEF， 所以( 1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BFDCDE 设平面CDE的一个法向量为( ,
26、 , )x y zn， 则 0, 0. DC DE n n 即 20, 0. xy z 令2x ，则1y ， 所以(2, 1,0)n 设直线BF与平面CDE所成角为， 则 |2 ( 1)|10 sin|cos,| 552 BF n z D y x D E D C B A F M E D C B A F 13 18.(本小题满分 14 分 国家环境标准制定的空气质量指数(简称 AQI)与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量等优良轻度污染中度污重度污染严重污染 AQI 值范围 0,50)50,100)100,150)150,200)200,300) 300 及以上 下表是由天气网获得的全国东西部
27、各 6 个城市在某一个月内测到的数据的平均值： 西部城市AQI 数值东部城市AQI 数值 西安108北京104 合肥90金门42 克拉玛依37上海82 鄂尔多斯56苏州114 巴彦淖尔61天津105 库尔勒456石家庄93 合计：合计：808合计：合计：540 (I)从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？ (II)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取 3 个城市组织专家进行 调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望. ()设东部城市的 AQI 数值的方差为 2 1 S，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后 AQI 数值的 方差为 2 2
28、S，判断 2 1 S和和 2 2 S的大小.(只需写出结论) 附：方差计算公式 2 2 1 1 n i i Sxx n . 简解：简解：2015 年石景山一模改编题年石景山一模改编题 (I)(I)设设“从表中东部城市中任取一个，空气质量为良从表中东部城市中任取一个，空气质量为良”为事件为事件 A，则，则 21 ( )= 63 P A ； (II)(II)“优优”类城市有类城市有 2 2 个个， “轻度污染轻度污染”类城市有类城市有 4 4 个个 根据题意根据题意的所有可能取值为：的所有可能取值为：1, 2,3 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C , , 21 42 3 6 3
29、(2) 5 C C P C ， 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C 的分布列为：的分布列为： 所以所以 131 1232 555 E () 22 12 SS.（因为（因为 540 90 6 ）. 123 P 1 5 3 5 1 5 14 19.(本小题满分 15 分)已知函数 2 ( ) x xm f x e ，其中 m为常数). (I)若0m 且直线ykx与曲线 yf x相切，求实数 k 的值； (II)若 yf x在1,2上的最大值为 2 2 e ，求 m 的值. 简析：解题方法类似于简析：解题方法类似于 2014 年北京高考导数题年北京高考导数题. (I) 当当2yx时时
30、， 2 ( ) x x f x e ，(0)0f， 22 ( ) x x fx e ，(0)2 f ， 故过点的切线方程为故过点的切线方程为2yx， 故实数故实数2k ； (II) 22 ( ) x xm fx e ，因为，因为1,2x，故，故2 4, 2x . 当当24m， 即， 即2m 时 ，时 ，( )0fx， 故， 故 yf x在在1,2上 单 调 递 增 ，上 单 调 递 增 ， max 22 42 ( )(2) m f xf ee ，故此时，故此时2m ； 当当22m， 即即0m 时时，( )0fx， 故故 yf x在在1,2上单调递减上单调递减， max 2 22 ( )(1)
31、m f xf ee ， 故此时故此时 2 2m e （舍（舍） ； 当当224m，即，即02m时，令时，令( )0fx解得解得 2 2 m x ，在，在 2 1, 2 m 上单调递增，在上单调递增，在 2 2 2 m ，上单调递减小强数学，上单调递减小强数学， max 2 22 ( )() 2 m f xf e ，解得，解得2m （舍）（舍）. 综上，综上，2m . 15 20.(本小题满分 14 分)椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率是 5 3 ，过点0,1P做斜率为 k 的直线 l，椭圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时| 3 3AB
32、 . (I)求椭圆 E的方程； (II)当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点,0M m，使得AMB是以 AB 为底的等腰三角形，若 存在求出 m的取值范围，若不存在说明理由. 简析简析： （）由已知椭圆过点）由已知椭圆过点 3 3 ,1 2 ，可得，可得 22 222 271 1 4 5 3 ab abc c a ， 解得解得 22 9,4ab所以椭圆的所以椭圆的E方程为方程为 22 1 94 xy . （）存在存在. 设设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，AB的中点的中点 00 (,)C xy 由由 22 1 1 94 ykx xy 消去消去y得得 22 (49)18270
33、kxkx， 所以所以 12 000 22 94 , 1 24949 xxk xykx kk . 当当0k 时，设过点时，设过点C且与且与l垂直的直线方程垂直的直线方程 22 194 () 4949 k yx kkk 将将( ,0)M m代入得：代入得： 5 4 9 m k k 若若0k ，则，则 44 929 =12kk kk ， 若若0k ，则，则 444 9( 9 )2( 9 )=12kkk kkk 所以所以 5 0 12 m或或 5 0 12 m 当当0k 时，时，0m 综上所述，存在点综上所述，存在点M满足条件满足条件,m 取值范围是取值范围是 55 , 1212 . 16 21.(本
34、小题满分 14 分)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点 即横纵坐标都是整数的点) 123 ( ):, n A nA A AA与 123 ( ):, n B nB B BB，其中3n ， 若同时满足： 两点列的起点和终点分别相同； 线段 11iiii A AB B ，其中1,2,3,1in，则称 A n与 B n互为正交点列. (I)试判断 3A： 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA与 123 (3):(0,2),(2,5),(5,2)BBBB是否互为正交点列， 并说明理由； (II)求证： 4A： 1234 (0,0),(3,1),(6,0),(9,1
35、)AAAA不存在正交点列 4B； (III)是否存在无正交点列 5B的有序整数点列 5A？并证明你的结论. 简析：前两个问还是比较好拿分简析：前两个问还是比较好拿分. (I)互为正交点列互为正交点列， 1223 (3, 2),(2,2)A AA A ， 1223 (2,3)(3,3)B BB B ， 经检验经检验， 1212 0A AB B ， 2323 0A A B B ，所以所以 1212 A AB B， 2323 A AB B， 且且两点列的起点和终点分别相同两点列的起点和终点分别相同，故互为正交点列故互为正交点列； (II)证明：证明：由题可得由题可得 122334 (3,1),(3,
36、 1)(3,1)A AA AA A ， 设点列设点列 1234 ,B B B B是点列是点列 1234 ,A A A A的正交点列，的正交点列， 则可设则可设 121232343 ( 1,3),(1,3)( 1,3) B BB BB B，, , 123 ， ，Z 因为因为 1144 ,AB AB与与相同，所以有相同，所以有 123 123 -+-=9 ,（1） 3+3+3=1.（2） 因为因为 123 ， ，Z，方程（，方程（2 2）显然不成立，）显然不成立， 所以有序整点列所以有序整点列 1234 0,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA不存在正交点列；不存在正交点列； (III)
37、存在存在无正交点列无正交点列 5B的有序整数点列的有序整数点列 5A. 当当5n ，设设 1 ( , ), iiii AAa b 其中其中, ii a b是一对互质整数，是一对互质整数，1,2,3,4,i 若有序整点列若有序整点列 1235 ,B B BB是点列是点列 1235 ,A A AA正交点列正交点列, , 则则 1 (,),1,2,3,4 iiiii BBb ai ，则有，则有 44 =11 44 =11 ,(1) .(2) iii ii iii ii ba ab 17 取取 1 )(0,0A, , 1, =3=,1,2,3,4 -1 ii i abi i 为奇数 ， ，为偶数 , , 由于由于 1235 ,B B BB是整点列，所以有是整点列，所以有 i Z，1,2,3,4i . . 等式（等式（2 2）中左边是）中左边是 3 3 的倍数，右边等于的倍数，右边等于 1 1，等式不成立，等式不成立， 所以该点列所以该点列 12345 ,A A A A A无正交点列无正交点列. . 所以存在所以存在无正交点列无正交点列 5B的有序整数点列的有序整数点列 5A.
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