1、2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 页 （共 5 页） 1 2020 年北京师大附中高三临模测试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分； 2 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3 考试结束后，请尽快将答题纸上传至智学网平台. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，共 40 分. 在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求 的选项 （1）设全集U = R，函数( ) ln 1 = f x x x 的定义域为A，则 UA= （A） (,0 （B） (,01 （C
2、）(,0) （D）(,0)1 （2）圆心在直线0=xy上且与y轴相切于点(0, 1)的圆的方程是 （A） 22 (1)(1)1+=xy （B） 22 (1)(1)1+=xy （C） 22 (1)(1)2+=xy （D） 22 (1)(1)2+=xy （3）若复数z满足i1+iz =，则 2 |z= （A）2i （B）2i （C）2 （D）2 （4） 直线l过抛物线 2 2=yx的焦点F， 且l与该抛物线交于不同的两点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 若 12 3+=xx， 则弦AB的长是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）8 （5）若a，b，cR且abc，则下列不等式一定成
3、立的是 （A） 22 acbc （B） 222 abc （C） 11 abbc （D）2abc+ （6）已知函数( )3sin2cos2f xxx，则( )f x图象的一个对称中心可以为 （A） (,0) 12 （B） (,0) 3 （C） 5 (,0) 12 （D）(,0) 2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 页 （共 5 页） 2 （7）已知等差数列 n a，若2= n a n b，则“ 2 , mm mNaa + ”是“ n b为递减数列”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）已知两点( 1,0)M ，(1,0
4、)N，若直线340xym+=上存在点P满足0PM PN=，则实 数m的取值范围是 （A）(, 55,) + （B）(, 2525,) + （C） 25,25 （D） 5,5 （9）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，线段 11 B D上有两个动点,E F，且 2 2 EF =，则下列结论中错误 的是 （A）ACBE （B）/ /EF平面ABCD （C）三棱锥ABEF的体积为定值 （D）异面直线,AE BF所成角为定值 （10）设函数 ( )f x的定义域为D，如果对任意 1 xD，都存在唯一的 2 xD，使得 12 ( )()+=f xf xm （m为常数）成立，那么称函数 ( )
5、f x在D上具有性质m现有函数： ( )3=f xx； ( )3= x f x； 3 ( )log=f xx； ( )tan=f xx 其中，在其定义域上具有性质m的函数的序号是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，共 25 分. （11）已知平面向量( ,3)= ma，(1,)m=b，若ab，则=m_ （12） 6 () b a x x +的展开式中各项系数的和为 0，则符合条件的一组( , )a b可以为_，此时展开式 中的常数项为_ （用数字作答） 2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 页 （共 5 页） 3 （13）
6、某四棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的侧面中锐角三角形的 个数为_ （14）已知双曲线 22 22 :1 yx C ab =的上、下焦点分别为 12 ,F F，焦距为4，离心率为2，则双曲线C的实 轴长是_；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，Q在第一象限，且 121 | |FFQF=，则 12 QFF的 面积为_ （15） 颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标， 计算公式为 outin out 100% CC C = ， 其中 out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./ L） ， in C表示经口罩过滤后，单位体积气体中含 有的颗
7、粒物数量（单位：ind./ L） 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率 分别进行了 4 次测试，测试结果如图所示图中点 i j A 的横坐标表示第i种口罩第j次测试时 out C的值，纵 坐标表示第i种口罩第j次测试时 in C的值(1,2,1,2,3,4)=ij 该研究小组得到以下结论： 在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高； 在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高； 在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高； 在第 3 次和第 4 次测试中，第 1 种口罩的颗粒
8、物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低 其中，所有正确结论的序号是_ （第 15 题图） （第 13 题图） 2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 页 （共 5 页） 4 三、解答题共 6 个小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16） （本小题 14 分） 设等差数列 n a的公差为d，前 n 项和为 n S . 已知 n a同时满足下列四个条件中的三个条件： 2 9d = ; n a单调递减； n S有最小值； 2 243 5()+25aaa+=. （）直接写出可能的三个条件，并求出 n a的通项公式； （）在（）的条件下，设 2nn ba=
9、，求数列 n b的前 n 项和 n T. （17） （本小题 14 分） 如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，ADDE，4AD，2DEEF，且 3 EDC. （）求证：AD平面CDEF； （）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值； （）设M是棱CF的中点，过M与平面ADE平行的 平面与棱AB交于点G，求线段AG的长度. （18） （本小题 14 分） 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟为了尽快在实际生活中 应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试某机构调 查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的
10、行驶里程(单位：万公里)将这些汽车分为4 组：5,6)，6,7)，7,8)，8,9并整理得到如下的频率分布直方图： （）求a的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本从样本中行驶里 程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分 布列和数学期望； M FE D C B A 2020 年北京师大附中高三临模测试数学试卷 第 页 （共 5 页） 5 （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0 若用分层抽样的方法从上述4组无人 驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1 ；若用简单
11、随机抽样的方法从上述无人驾 驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 2 有同学认为 0102 ，你认为正 确吗？说明理由 （19） （本小题 14 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0)+= xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且椭圆C经过点 6 (1,) 2 （）求椭圆C的方程； （）已知过点(4,0)P的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线1=x交于点Q，设=APPB， =AQQB(，)R，求证：+为定值 （20） （本小题 15 分） 已知函数 ( )2sincos=f xxxxax()aR （）若曲线( )yf x=在点(0,(0)f处的切线的斜率为1 （）求
12、a的值； （）证明：函数 ( )f x在区间(0,)内有唯一极值点； （）当1a时，证明：对任意 (0,)x ， ( )0f x （21） （本小题 14 分） 设集合 1234 ,=Aa a a a，其中 1 a， 2 a， 3 a， 4 a是正整数，记 1234 =+ A Saaaa对于 i a， j aA(14) ij，若存在整数k，满足()+= ijA k aaS，则称+ ij aa整除 A S，设 A n是满足+ ij aa整除 A S的数对( , ) ( )i jij的个数 （）若1,2,4,8=A，1,5,7,11=B，写出 A n， B n的值； （）求 A n的最大值； （）
13、设A中最小的元素为a，求使得 A n取到最大值时的所有集合A 2020 年北京师大附中高三临模测试 数 学 试 卷 参 考 答 案 一、选择题,本大题共 10 小题，共 40 分. 题号12345678910 答案BACADBCDDA 二、填空题，本大题共 6 小题，共 30 分. 11.312. 满足0ab， 6 15a即可13.1 14. 2；2 3 15. 四、解答题，共 6 个小题，共 80 分. （16） 解：选 时，（）143 n an；（） 2 113 n Snn. 选 时，（）34 n an;（） 2 3 n Snn. （17） 解： （）因为ABCD是正方形，所以ADCD又因
14、为ADDE，DE 平面CDEF， CD平面CDEF，CDDED=I，所以AD 平面CDEF 4 分 （）由（）知，AD 平面CDEF, 所以平面ABCD平面CDEF 过点E作EOCD，垂足为O， 则OE 平面ABCD 在平面ABCD内， 过O作OHCD， 则OE OH 如图建立空间直角坐标系-Oxyz， 因为4AD =，2DEEF=，且 3 EDC=，所以 1DO=，3OE=。则(4, 1,0)A-，(4,3,0)B， (0,3,0)C，(0, 1,0)D-，(0,0, 3)E， 所以( 4,0,0)AD = - uuu r ，( 4,1, 3)AE = - uuu r ，( 4,4,0)BD
15、 = - uuu r 设平面ADE的一个法向量为( , , )x y z=n，则 0, 0. AD AE = = n n uuu r uuu r 即 40, 430. x xyz - = - += 令3y，则0x，1z，于是(0, 3,1)=-n 设直线BD与平面ADE所成角为q，则 |4 36 sin|cos,| 424 2 | BD BD BD q = n n n uuu r uuu r uuu r 所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为 6 4 10 分 （）因为/DC AB，DC平面ABFE，AB平面ABFE， 所以/DC平面ABFE 因为DC平面DCFE，平面DCFEI平面ABFE
16、EF=， 所以/DC EF 由（）知，(0,2, 3)F， 53 (0,) 22 M 设 11 (4,0) ( 13)Gyy-，则 1 53 (4,) 22 MGy=- uuur 由（）知，平面ADE的一个法向量为(0, 3,1)=-n 由题意，/MG平面ADE，故0MG=n uuur ，即 1 53 3()0 22 y -+=，解得 1 2y =，即(4,2,0)G 所以3AG= 14 分 （18）解： （）由题意知，1 (0.10.20.4)1a，所以0.3a 3 分 （）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车， 则行驶里程在7,8)这一组的无人驾驶汽车有
17、4 104 10 辆， 行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有 3 103 10 辆 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2 2 4 2 7 2 (0) 7 C P X C ， 11 43 2 7 4 (1) 7 C C P X C ， 2 3 2 7 1 (2) 7 C P X C 所以X的分布列为 X012 P 2 7 4 7 1 7 所以X的数学期望 2416 ()012 7777 E X11 分 （）这种说法不正确理由如下： 由于样本具有随机性，故 1 ， 2 是随机变量，受抽样结果影响 因此有可能 1 更接近 0 ，也有可能 2 更接近 0 ， 所以 0102 | |不恒成立所以这
18、种说法不正确14 分 （19）解： （）由题意可知 222 2 22 , 6 () 1 2 1, 2 , 2 abc ab c a 得 2 2b， 2 4a 所以椭圆C的方程为 22 1 42 xy 5 分 （）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为(4)yk x 由 (4), 10 yk x x 得 1, 3 . x yk 所以(1, 3 )Qk 由 22 (4), 24 yk x xy 得 22 2(4 )4xkxk. 整理得 2222 (1 2)16(324)0kxk xk. 由 2 222 ( 16)4(1 2)(324)0 kkk，得 66 66 k 设直线l与椭圆C的交点
19、11 ( ,)A x y， 22 (,)B x y， 则 2 12 2 16 1 2 k xx k ， 2 12 2 324 12 k x x k . 因为 APPB， AQQB且 11 (4,) APxy， 22 (4,) PBxy， 11 (1, 3) AQxky， 22 (1,3 ) QBxyk， 所以 111212 2222 41(4)(1)(1)(4) 41(4)(1) xxxxxx xxxx 1212 22 5()28 (4)(1) xxx x xx . 因为 22 1212 22 16324 5()28528 1212 kk xxx x kk 222 2 806488 16 12
20、 kkk k 0， 所以0.14 分 （20） 解： （） （） ( )2sincosf xxxxax ， 所以 ( )2cos(cossin )cossinfxxxxxaxxxa 因为曲线 ( )yf x在点(0,(0)f 处的切线的斜率为1， 所以(0)1 f ，即11a，故0a经检验，符合题意4 分 （) 由（）可知 ( )2sincosf xxxx，( )cossinfxxxx 设( )( ) g xfx，则( )cosg xxx 令( )0 g x ，又 )(0,x ，得 2 x 当(0,) 2 x时，( )0 g x ；当 (,) 2 x时，( )0 g x ， 所以 ( )g x
21、在 (0,) 2 内单调递增，在 (,) 2 内单调递减 又 (0)1g ， ( ) 22 g，()1 g， 因此，当 (0, 2 x时，( )(0)0g xg，即( )0fx，此时( )f x在区间 (0, 2 上无极值点； 当 (,) 2 x时，( )0g x有唯一解 0 x，即( )0fx有唯一解 0 x， 且易知当 0 (,) 2 xx时，( )0fx，当 0 (,)xx时，( )0fx， 故此时 ( )f x在区间 (,) 2 内有唯一极大值点 0 x 综上可知，函数 ( )f x在区间(0,)内有唯一极值点 10 分 （） 因为( )cossin fxxxxa，设( )( )h x
22、fx，则( )cosh xxx 令( )0 h x ， 又 (0,)x ， 得 2 x 且当 (0,) 2 x时，( )0 h x ； 当 (,) 2 x时，( )0h x， 所以( ) fx在 (0, ) 2 内单调递增，在 (,) 2 内单调递减 当1a时，(0)10 fa ，( )0 22 fa，( )1 fa （1）当( )10 fa，即1 a时， ( )0fx 此时函数 ( )f x在(0,)内单调递增，( )(0)0f xf ； （2）当( )10 fa，即11 a时，因为 (0)10 fa，( )0 22 fa， 所以，在 (0, ) 2 内( )0 fx 恒成立，而在区间 (,
23、) 2 内( ) fx有且只有一个零点，记为 1 x，则函 数 ( )f x在 1 (0,)x内单调递增，在 1 ( ,)x内单调递减 又因为 (0)0f ， ( )(1)0 fa ，所以此时 ( )0f x 由（1） （2）可知，当1a时，对任意 (0,)x ，总有 ( )0f x 15 分 （21） （本小题 14 分） 解： （）2 A n；4 B n4 分 （）不妨设 1234 0aaaa 因为 12342434 11 () 22 AA SaaaaaaaaS，所以 24 aa， 34 aa不能整除 A S 因为( , )i j最多有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,
24、4)，(3,4)六种情况， 而(2,4)，(3,4)不满足题意，所以624 A n 当1,5,7,11A时，4 A n，所以 A n的最大值为49 分 （）假设 1234 0aaaaa由（）可知，当 A n取到最大值4时， 12 aa， 13 aa， 14 aa， 23 aa均能整除 A S 因为 1423 1 max, 2 AA Saa aaS，故 1423 1 =max, 2 A Saa aa， 所以 1423 aaaa 设 12 uaa， 13 vaa，则u，v是 231 2()2(2 ) A Saauva的因数， 所以v是 1 2(2 )ua的因数，且u是 1 2(2 )va的因数 因为uv，所以 1 2(2 )22uauv， 因为v是 1 2(2 )ua的因数，所以 1 24vua 因为u是 11 2(2 )412vaua的因数，所以u是 1 12a的因数 因为 1 24 uvua，所以 1 4ua，所以 1 66uaa，或 1 1212uaa 故 1111 ,5 ,7 ,11 Aaaaa，或 1111 ,11 ,19 ,29 Aaaaa 所以当 A n取到最大值4时， ,5 ,7 ,11 Aaaaa，或 ,11 ,19 ,29 Aaaaa14 分
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