1、绝密启用前绝密启用前 2020 年浙江省宁波市中考数学试卷 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用 2B 铅笔填涂 一、选择题 13 的相反数为（ ） A3 B C D3 2下列计算正确的是（ ） Aa3a2a6 B（a3）2a5 Ca6a3a3 Da2+a3a5 32019 年宁波舟山港货物吞吐量为 1120000000 吨，比上年增长 3.3%，连续 11 年蝉联世界首位数 1120000000 用科学记数法表示为（ ） A1.12108 B1.12109 C1.12109 D0.1121010 4如图所示的几何
2、体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A B C D 5一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概率为（ ） A B C D 6二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 7如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BEBC，连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF若 AC8，BC6，则 BF 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D4 8我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳 量之，不足一尺，木长几何？”意思是
3、：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子 对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方 程组为（ ） A B C D 9如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它 的对称轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22（n 为实数）时，yc 10 BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形， 将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内 若 求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） AABC 的周长 BAFH
4、的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 11实数 8 的立方根是 12分解因式：2a218 13今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 14 如图， 折扇的骨柄长为 27cm， 折扇张开的角度为 120， 图中的长为 cm （结果保留 ） 15如图，O 的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点
5、A 重合），过点 B 作O 的切线 BC， BCOA，连结 OC，AC当OAC 是直角三角形时，其斜边长为 16如图，经过原点 O 的直线与反比例函数 y（a0）的图象交于 A，D 两点（点 A 在第一象 限），点 B，C，E 在反比例函数 y（b0）的图象上，ABy 轴，AECDx 轴，五边形 ABCDE 的面积为 56，四边形 ABCD 的面积为 32，则 ab 的值为 ，的值为 三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分） 17（1）计算：（a+1）2+a（2a） （2）解不等式：3x52（2+3x） 18图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3
6、个小等边三角形已涂 上阴影请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形 （2）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形 （请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 19图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开 时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条 按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图 2 是其示意图， 经测量，钢条 ABAC50cm，ABC47 （1）求车位
7、锁的底盒长 BC （2）若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？ （参考数据：sin470.73，cos470.68，tan471.07） 20如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点， 与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数 的表达式 21某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学
8、生中随 机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数），并将测试成绩 分为四个等第：基本合格（60x70），合格（70x80），良好（80x90），优秀（90 x100），制作了如图统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图 （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试， 请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 22A，B 两地相距 200 千米早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往
9、 B 地，行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地出发去接运甲车上的物 资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地两辆货车 离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略 不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式 （2）因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的时间最多 晚 1 个小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？ 23【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为
10、AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4， BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF， EDFBAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 24定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角 形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，四边形
11、ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求DEF 的面积 参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 13 的相反数为（ ） A3 B C D3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答 解：3 的相反数是 3 故选：D 2下列计算正确的是（ ） Aa3a2a6 B（a3）2a5 Ca6a3a3 Da2+a3a5 【分析】直接
12、利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出 答案 解：A、a3a2a5，故此选项错误； B、（a3）2a6，故此选项错误； C、a6a3a3，正确； D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 故选：C 32019 年宁波舟山港货物吞吐量为 1120000000 吨，比上年增长 3.3%，连续 11 年蝉联世界首位数 1120000000 用科学记数法表示为（ ） A1.12108 B1.12109 C1.12109 D0.1121010 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a
13、 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 解：11200000001.12109， 故选：B 4如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案 解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项 B 符合题意， 故选：B 5一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个 球是红球的概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率公式计算 解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率 故选：D 6二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2
14、 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可 解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：C 7如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BEBC，连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF若 AC8，BC6，则 BF 的长为（ ） A2 B2.5 C3 D4 【分析】 利用勾股定理求得 AB10； 然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 CD 的 长度；结合题意知线段 BF 是CDE 的中位线，则 BFCD 解：在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6， AB10 又CD 为中线， CDAB5 F 为 DE 中点，BEBC 即点
15、 B 是 EC 的中点， BF 是CDE 的中位线，则 BFCD2.5 故选：B 8我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳 量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子 对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方 程组为（ ） A B C D 【分析】直接利用“绳长木条+4.5；绳子木条1”分别得出等式求出答案 解：设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： 故选：A 9如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两
16、点，与 y 轴正半轴交于点 C，它 的对称轴为直线 x1则下列选项中正确的是（ ） Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22（n 为实数）时，yc 【分析】由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0，根据对称轴方程 得到 b0，于是得到 abc0，故 A 错误；根据一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交 点，得到 b24ac0，求得 4acb20，故 B 错误；根据对称轴方程得到 b2a，当 x1 时，y ab+c0，于是得到 ca0，故 C 错误；当 xn22（n 为实数）时，代入解析式得到 y ax2+bx+ca（n22）+b（n
17、22）an2（n2+2）+c，于是得到 yan2（n2+2）+cc，故 D 正确 解：由图象开口向上，可知 a0， 与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0， 又对称轴方程为 x1，所以0，所以 b0， abc0，故 A 错误； 一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点， b24ac0， 4acb20，故 B 错误； 1， b2a， 当 x1 时，yab+c0， a2a+c0， ca0，故 C 错误； 当 xn22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2）+c， a0，n20，n2+20， yan2（n2+2）+cc，故
18、D 正确， 故选：D 10 BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形， 将它们按如图的方式放置在等边三角形 ABC 内 若 求五边形 DECHF 的周长，则只需知道（ ） AABC 的周长 BAFH 的周长 C四边形 FBGH 的周长 D四边形 ADEC 的周长 【分析】 证明AFHCHG （AAS） ， 得出 AFCH 由题意可知 BEFH， 则得出五边形 DECHF 的周长AB+BC，则可得出答案 解：GFH 为等边三角形， FHGH，FHG60， AHF+GHC120， ABC 为等边三角形， ABBCAC，ACBA60， GHC+HGC120， AHFHGC， AFHCHG（AAS），
19、 AFCH BDE 和FGH 是两个全等的等边三角形， BEFH， 五边形 DECHF 的周长DE+CE+CH+FH+DFBD+CE+AF+BE+DF， （BD+DF+AF）+（CE+BE）， AB+BC 只需知道ABC 的周长即可 故选：A 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 11实数 8 的立方根是 2 【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数 8 的立方根是多少即可 解：实数 8 的立方根是： 2 故答案为：2 12分解因式：2a218 2（a+3）（a3） 【分析】首先提取公因式 2，再利用平方差公式分解因式得出答案 解：2a2182（a29） 2（a+3）（a3） 故答案为：
20、2（a+3）（a3） 13今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了 5 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 45 45 42 S2 1.8 2.3 1.8 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 甲 【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定 解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲 14 如图， 折扇的骨柄长为 27cm，
21、折扇张开的角度为 120， 图中的长为 18 cm （结果保留 ） 【分析】根据弧长公式即可得到结论 解：折扇的骨柄长为 27cm，折扇张开的角度为 120， 的长18（cm）， 故答案为：18 15如图，O 的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点 A 重合），过点 B 作O 的切线 BC， BCOA，连结 OC，AC当OAC 是直角三角形时，其斜边长为 2或 2 【分析】当AOC90时，连接 OB，根据切线的性质得到OBC90，根据勾股定理得到 AC2； 当OAC90时， 点 A 与 B 重合， 求得 OC2 解：BC 是O 的切线， OBC90， BCOA， OBBC2， OBC 是等
22、腰直角三角形， BCO45， ACO45， 当OAC 是直角三角形时，AOC90，连接 OB， OCOB2， AC2； 当OAC90时，点 A 与 B 重合， OC2， 综上所述，其斜边长为 2或 2， 故答案为：2或 2 16如图，经过原点 O 的直线与反比例函数 y（a0）的图象交于 A，D 两点（点 A 在第一象 限），点 B，C，E 在反比例函数 y（b0）的图象上，ABy 轴，AECDx 轴，五边形 ABCDE 的面积为 56，四边形 ABCD 的面积为 32，则 ab 的值为 24 ，的值为 【分析】如图，连接 AC，OE，OC，OB，延长 AB 交 DC 的延长线于 T，设 AB
23、 交 x 轴于 K求 出证明四边形 ACDE 是平行四边形，推出 SADESADCS五边形 ABCDES四边形 ABCD563224， 推出 SAOESDEO12，可得ab12，推出 ab24再证明 BCAD，证明 AD3BC， 推出 AT3BT，再证明 AK3BK 即可解决问题 解：如图，连接 AC，OE，OC，OB，延长 AB 交 DC 的延长线于 T，设 AB 交 x 轴于 K 由题意 A，D 关于原点对称， A，D 的纵坐标的绝对值相等， AECD， E，C 的纵坐标的绝对值相等， E，C 在反比例函数 y的图象上， E，C 关于原点对称， E，O，C 共线， OEOC，OAOD，四边
24、形 ACDE 是平行四边形， SADESADCS五边形 ABCDES四边形 ABCD563224， SAOESDEO12， ab12， ab24， SAOCSAOB12， BCAD， ， SACB32248， SADC：SABC24：81：3， BC：AD1：3， TB：TA1：3，设 BTa，则 AT3a，AKTK1.5k，BK0.5k， AK：BK3：1， ， 故答案为 24， 三、解答题（本大题有 8 小题，共 80 分） 17（1）计算：（a+1）2+a（2a） （2）解不等式：3x52（2+3x） 【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案； （2）直接利
25、用一元一次不等式的解法进而计算即可 解：（1）（a+1）2+a（2a） a2+2a+1+2aa2 4a+1； （2）3x52（2+3x） 3x54+6x， 移项得：3x6x4+5， 合并同类项，系数化 1 得：x3 18图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 3 个小等边三角形已涂 上阴影请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形 （2）使得 4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形 （请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形） 【分析】（1）根据轴对称
26、图形的定义画出图形即可（答案不唯一） （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一） 解：（1）轴对称图形如图 1 所示 （2）中心对称图形如图 2 所示 19图 1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成当位于顶端的小挂锁打开 时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条 按图 1 的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位图 2 是其示意图， 经测量，钢条 ABAC50cm，ABC47 （1）求车位锁的底盒长 BC （2）若一辆汽车的底盘高度为 30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？ （参考数据
27、：sin470.73，cos470.68，tan471.07） 【分析】（1）过点 A 作 AHBC 于点 H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案 （2）根据锐角三角函数的定义求出 AH 的长度即可判断 解：（1）过点 A 作 AHBC 于点 H， ABAC， BHHC， 在 RtABH 中，B47，AB50， BHABcosB50cos47500.6834， BC2BH68cm （2）在 RtABH 中， AHABsinB50sin47500.7336.5， 36.530， 当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 20如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2+4x3 图象的顶点是 A，与
28、 x 轴交于 B，C 两点， 与 y 轴交于点 D点 B 的坐标是（1，0） （1）求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y0 时 x 的取值范围 （2）平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数 的表达式 【分析】（1）利用待定系数法求出 a，再求出点 C 的坐标即可解决问题 （2）由题意点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，由此可得抛物线的 解析式 解：（1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3，得 0a+43，解得 a1， yx2+4x3（x2）2+1， A（2，1）， 对称轴 x1，B，C 关于 x2
29、 对称， C（3，0）， 当 y0 时，1x3 （2）D（0，3）， 点 D 平移的 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式为 y （x4）2+5 21某学校开展了防疫知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，学校从全校 1500 名学生中随 机抽取部分学生进行知识测试（测试满分 100 分，得分 x 均为不小于 60 的整数），并将测试成绩 分为四个等第：基本合格（60x70），合格（70x80），良好（80x90），优秀（90 x100），制作了如图统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图
30、（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数 （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试， 请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题 （2）根据圆心角360百分比计算即可 （3）根据中位数的定义判断即可 （4）利用样本估计总体的思想解决问题即可 解：（1）3015%200（人）， 20030804050（人）， 直方图如图所示： （2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数360144 （3）这次测试成绩的中位数是良好 （4）1500300（人）， 答：估计该校获得优秀的学生有 300
31、人 22A，B 两地相距 200 千米早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地，行驶一段路程后 出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地出发去接运甲车上的物 资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地两辆货车 离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略 不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式 （2）因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的时间最多 晚 1 个小时，问货车乙返回 B
32、地的速度至少为每小时多少千米？ 【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式； （2）根据图中的信息求出乙返回 B 地所需的时间，由题意可列出不等式 1.6v120，解不等式即 可得出答案 解：（1）设函数表达式为 ykx+b（k0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入 ykx+b，得， 解得：， y 关于 x 的函数表达式为 y80x128（1.6x3.1）； （2）当 y20080120 时， 12080x128， 解得 x3.1， 货车甲正常到达 B 地的时间为 200504（小时）， 18600.3（小时），4+15（小时），53.10.31.6（小时）， 设货车乙返回 B 地的车
33、速为 v 千米/小时， 1.6v120， 解得 v75 答：货车乙返回 B 地的车速至少为 75 千米/小时 23【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，D 为 AB 上一点，ACDB求证：AC2ADAB 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，BFEA若 BF4， BE3，求 AD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，AC2EF， EDFBAD，AE2，DF5，求菱形 ABCD 的边长 【分析】（1）证明ADCACB，得出，则可得出结论； （2）证明BFEB
34、CF，得出比例线段，则 BF2BEBC，求出 BC，则可求出 AD （3）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 ACEG，CG AE，EACG，证明EDFEGD，得出比例线段，则 DEEF，可求出 DG， 则答案可求出 解：（1）证明：ACDB，AA， ADCACB， ， AC2ADAB （2）四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AC， 又BFEA， BFEC， 又FBECBF， BFEBCF， ， BF2BEBC， BC， AD （3）如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， 四边形 ABCD 是菱形， ABDC，BACBAD， ACEF，
35、四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG，CGAE，EACG， EDFBAD， EDFBAC， EDFG， 又DEFGED， EDFEGD， ， DE2EFEG， 又EGAC2EF， DE22EF2， DEEF， 又， DG， DCDGCG52 24定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角 形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 的延长线于点 E求证：BEC 是ABC
36、中BAC 的遥望角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求DEF 的面积 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出FDC+FBC90，得出FDEFBC，证得ABF FBC，证出ACDDCT，则 CE 是ABC 的外角平分线，可得出结论； （3）连接 CF，由条件得出BFCBAC，则BFC2BEC，得出BECFAD，证明 FDEFDA（AAS），由全等三角形的性质得出 DEDA，则AEDDAE，得出ADC 90，则可求出答案； 过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE
37、 于点 M，证得EGAADC，得出， 求出，设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，解得 x，求出 ED，CE 的长， 求出 DM，由等腰直角三角形的性质求出 FM，根据三角形的面积公式可得出答案 解：（1）BE 平分ABC，CE 平分ACD， EECDEBD（ACDABC）， （2）如图 1，延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180， 又FDE+FDC180， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ， ACDBFD， BFD+BCD180，DCT+BCD180， DCT
38、BFD， ACDDCT， CE 是ABC 的外角平分线， BEC 是ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 2，连接 CF， BEC 是ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又FDEFDA，FDFD， FDEFDA（AAS）， DEDA， AEDDAE， AC 是O 的直径， ADC90， AED+DAE90， AEDDAE45， 如图 3，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M， AC 是O 的直径， ABC90， BE 平分ABC， FACEBCABC45， AED45， AEDFAC， FEDFAD， AEDFEDFACFAD， AEGCAD， EGAADC90， EGAADC， ， 在 RtABG 中，AG， 在 RtADE 中，AEAD， ， 在 RtADC 中，AD2+DC2AC2， 设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2， x， EDAD， CECD+DE， BECFCE， FCFE， FMCE， EMCE， DMDEEM， FDM45， FMDM， SDEFDEFM
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