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    2020年浙江省丽水市中考数学试卷(含详细解答)

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    2020年浙江省丽水市中考数学试卷(含详细解答)

    1、分式的值是零,则 x 的值为( ) A2 B5 C2 D5 3 (3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( ) Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 4 (3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是( ) A B C D 5 (3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任 意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是( ) A B C D 6 (3 分) 如图, 工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b, 得到 ab 理由是 ( ) A连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相

    2、平行 C在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 第 2 页(共 29 页) D经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 7 (3 分)已知点(2,a) (2,b) (3,c)在函数 y(k0)的图象上,则下列判断 正确的是( ) Aabc Bbac Cacb Dcba 8 (3 分)如图,O 是等边ABC 的内切圆,分别切 AB,BC,AC 于点 E,F,D,P 是 上一点,则EPF 的度数是( ) A65 B60 C58 D50 9 (3 分) 如图, 在编写数学谜题时, “” 内要求填写同一个数字, 若设 “” 内数字为 x 则 列出方程正确的是( ) A32x+5

    3、2x B320x+510x2 C320+x+520x D3(20+x)+510x+2 10 (3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ,得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连结 EG,BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP,则 的值是( ) 第 3 页(共 29 页) A1+ B2+ C5 D 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)点 P(m,2)在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) 12 (4 分)数据 1,2,4,5,3 的中位数是 13 (4 分)如图为一个长

    4、方体,则该几何体主视图的面积为 cm2 14 (4 分)如图,平移图形 M,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数 是 15 (4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边 重合,点 A,B,C 均为正六边形的顶点,AB 与地面 BC 所成的锐角为 则 tan 的值 是 16 (4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC,BD (点 A 与点 B 重合) ,点 O 是夹子转轴位置,OEAC 于点 E,OFBD 于点 F,OE OF1cm,ACBD6cm,CEDF,CE:AE2:3按图示方式用手指按夹子,夹子 两

    5、边绕点 O 转动 (1) 当 E, F 两点的距离最大时, 以点 A, B, C, D 为顶点的四边形的周长是 cm (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时,A,B 两点的距离为 cm 第 4 页(共 29 页) 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 8 小题,共小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程)分,各小题都必须写出解答过程) 17 (6 分)计算: (2020)0+tan45+|3| 18 (6 分)解不等式:5x52(2+x) 19 (6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问

    6、卷调查(每人必须且只选其 中一项) ,得到如图两幅不完整的统计图表请根据图表信息回答下列问题: 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数(人) A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 (1)求参与问卷调查的学生总人数 (2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人? (3)该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数 20 (8 分)如图,的半径 OA2,OCAB 于点 C,AOC60 (1)求弦 AB 的长 (2)求的长 第 5 页(共 29 页) 21 (8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气

    7、温大约降低 0.6,气温 T()和高度 h (百米)的函数关系如图所示 请根据图象解决下列问题: (1)求高度为 5 百米时的气温; (2)求 T 关于 h 的函数表达式; (3)测得山顶的气温为 6,求该山峰的高度 22 (10 分)如图,在ABC 中,AB4,B45,C60 (1)求 BC 边上的高线长 (2) 点 E 为线段 AB 的中点, 点 F 在边 AC 上, 连结 EF, 沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求AEP 的度数 如图 3,连结 AP,当 PFAC 时,求 AP 的长 23 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 y(

    8、xm)2+4 图象的顶点 为 A,与 y 轴交于点 B,异于顶点 A 的点 C(1,n)在该函数图象上 (1)当 m5 时,求 n 的值 第 6 页(共 29 页) (2)当 n2 时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 y2 时,自变量 x 的取值范围 (3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取 值范围 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上,分别过 OB,OC 的中点 D,E 作 AE,AD 的平行线,相交于点 F,已知 OB8 (1)求证:四边形 AEFD 为菱形 (

    9、2)求四边形 AEFD 的面积 (3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 D) ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G,使得 以点 A,P,Q,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不 存在,试说明理由 第 7 页(共 29 页) 2020 年浙江省丽水市中考数学试卷年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题有一、选择题(本题有 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)实数 3 的相反数是( ) A3 B3 C D 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解:实数

    10、 3 的相反数是:3 故选:A 【点评】此题主要考查了实数的性质,正确掌握相反数的定义是解题关键 2 (3 分)分式的值是零,则 x 的值为( ) A2 B5 C2 D5 【分析】利用分式值为零的条件可得 x+50,且 x20,再解即可 【解答】解:由题意得:x+50,且 x20, 解得:x5, 故选:D 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于 零且分母不等于零注意: “分母不为零”这个条件不能少 3 (3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( ) Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式

    11、必须是二项式,两项都能写成平方 的形式,且符号相反进行分析即可 【解答】解:A、a2+b2不能运用平方差公式分解,故此选项错误; B、2ab2不能运用平方差公式分解,故此选项错误; C、a2b2能运用平方差公式分解,故此选项正确; D、a2b2不能运用平方差公式分解,故此选项错误; 故选:C 【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键 4 (3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是( ) 第 8 页(共 29 页) A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 【解答】解:A、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、该图形不是中心对称图形

    12、,故本选项不合题意; C、该图形是中心对称图形,故本选项符合题意; D、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意; 故选:C 【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合 5 (3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任 意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是( ) A B C D 【分析】根据概率公式直接求解即可 【解答】解:共有 6 张卡片,其中写有 1 号的有 3 张, 从中任意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是; 故选:A 【点评】此题考查了概率的求法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数

    13、之比 6 (3 分) 如图, 工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a 和 b, 得到 ab 理由是 ( ) 第 9 页(共 29 页) A连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可 【解答】解:由题意 aAB,bAB, ab(垂直于同一条直线的两条直线平行) , 故选:B 【点评】本题考查平行线的判定,平行公理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用 所学知识解决问题 7

    14、 (3 分)已知点(2,a) (2,b) (3,c)在函数 y(k0)的图象上,则下列判断 正确的是( ) Aabc Bbac Cacb Dcba 【分析】根据反比例函数的性质得到函数 y(k0)的图象分布在第一、三象限,在 每一象限,y 随 x 的增大而减小,则 bc0,a0 【解答】解:k0, 函数 y(k0)的图象分布在第一、三象限,在每一象限,y 随 x 的增大而减小, 2023, bc0,a0, acb 故选:C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解 题的关键 8 (3 分)如图,O 是等边ABC 的内切圆,分别切 AB,BC,AC 于点 E,

    15、F,D,P 是 上一点,则EPF 的度数是( ) 第 10 页(共 29 页) A65 B60 C58 D50 【分析】如图,连接 OE,OF求出EOF 的度数即可解决问题 【解答】解:如图,连接 OE,OF O 是ABC 的内切圆,E,F 是切点, OEAB,OFBC, OEBOFB90, ABC 是等边三角形, B60, EOF120, EPFEOF60, 故选:B 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关 键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型 9 (3 分) 如图, 在编写数学谜题时, “” 内要求填写同一个数字, 若设 “” 内数字为 x 则 列出

    16、方程正确的是( ) 第 11 页(共 29 页) A32x+52x B320x+510x2 C320+x+520x D3(20+x)+510x+2 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可 【解答】解:设“”内数字为 x,根据题意可得: 3(20+x)+510x+2 故选:D 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示十位数是解题关键 10 (3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ,得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连结 EG,BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP,则 的值是( ) A1+ B2+ C5 D 【分析】证明BP

    17、GBCG(ASA) ,得出 PGCG设 OGPGCGx,则 EG2x, FGx,由勾股定理得出 BC2(4+2)x2,则可得出答案 【解答】解:四边形 EFGH 为正方形, EGH45,FGH90, OGGP, GOPOPG67.5, PBG22.5, 又DBC45, GBC22.5, 第 12 页(共 29 页) PBGGBC, BGPBG90,BGBG, BPGBCG(ASA) , PGCG 设 OGPGCGx, O 为 EG,BD 的交点, EG2x,FGx, 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” , BFCGx, BGx+x, BC2BG2+CG2, 故选:B 【点评】本题考查了正方形

    18、的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形 的性质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分)分) 11 (4 分)点 P(m,2)在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) 1(答案不 唯一) 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围,进而得出答案 【解答】解:点 P(m,2)在第二象限内, m0, 则 m 的值可以是1(答案不唯一) 故答案为:1(答案不唯一) 【点评】此题主要考查了点的坐标,正确得出 m 的取值范围是解题关键 12 (4 分)数据 1,2,4,

    19、5,3 的中位数是 3 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数 【解答】解:数据 1,2,4,5,3 按照从小到大排列是 1,2,3,4,5, 则这组数据的中位数是 3, 第 13 页(共 29 页) 故答案为:3 【点评】本题考查中位数,解答本题的关键是明确中位数的含义,会求一组数据的中位 数 13 (4 分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 20 cm2 【分析】根据从正面看所得到的图形,即可得出这个几何体的主视图的面积 【解答】解:该几何体的主视图是一个长为 4,宽为 5 的矩形,所以该几何体主视图的面 积为 20cm2 故答案为:20 【点评】本题

    20、考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图 14 (4 分)如图,平移图形 M,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数是 30 【分析】根据平行四边形的性质解答即可 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, D180C60, 180(54070140180)30, 故答案为:30 【点评】此题考查平行四边形的性质,关键是根据平行四边形的邻角互补解答 15 (4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边 第 14 页(共 29 页) 重合,点 A,B,C 均为正六边形的顶点,AB 与地面 BC 所成的锐角为 则 tan 的值 是 【分析】

    21、如图,作 ATBC,过点 B 作 BHAT 于 H,设正六边形的边长为 a,则正六边 形的半径为 a,边心距a求出 BH,AH 即可解决问题 【解答】解:如图,作 ATBC,过点 B 作 BHAT 于 H,设正六边形的边长为 a,则正 六边形的半径为,边心距a 观察图象可知:BHa,AHa, ATBC, BAH, tan 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题 16 (4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC,BD (点 A 与点 B 重合) ,点 O 是夹子转轴位置,OEAC

    22、于点 E,OFBD 于点 F,OE OF1cm,ACBD6cm,CEDF,CE:AE2:3按图示方式用手指按夹子,夹子 两边绕点 O 转动 第 15 页(共 29 页) (1)当 E,F 两点的距离最大时,以点 A,B,C,D 为顶点的四边形的周长是 16 cm (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时,A,B 两点的距离为 cm 【分析】 (1)当 E,F 两点的距离最大时,E,O,F 共线,此时四边形 ABCD 是矩形, 求出矩形的长和宽即可解决问题 (2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H想办法求出 EF,利用平行线分线段成比例定理即 可解决问题 【解答】解: (1)

    23、当 E,F 两点的距离最大时,E,O,F 共线,此时四边形 ABCD 是矩 形, OEOF1cm, EF2cm, ABCD2cm, 此时四边形 ABCD 的周长为 2+2+6+616(cm) , 故答案为 16 (2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H 由题意 CECF6(cm) , OEOF1cm, CO 垂直平分线段 EF, 第 16 页(共 29 页) OC(cm) , OEECCOEH, EH(cm) , EF2EH(cm) EFAB, , AB(cm) 故答案为 【点评】本题考查旋转的性质,矩形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识, 解题的关键是理解题意,灵活运用所学知

    24、识解决问题 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 8 小题,共小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程)分,各小题都必须写出解答过程) 17 (6 分)计算: (2020)0+tan45+|3| 【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进 行计算,再算加减即可 【解答】解:原式1+21+35 【点评】此题主要考查了实数运算,关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三 角函数值、绝对值的性质 18 (6 分)解不等式:5x52(2+x) 【分析】去括号,移项、合并同类项,系数化为 1 求得即可 【解答】解:5x52(2+x) , 5x54+2x 5x2x4

    25、+5, 3x9, x3 【点评】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键 19 (6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽 第 17 页(共 29 页) 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其 中一项) ,得到如图两幅不完整的统计图表请根据图表信息回答下列问题: 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数(人) A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 (1)求参与问卷调查的学生总人数 (2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人? (3)

    26、该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数 【分析】 (1)从统计图表中可得, “E 组 其它”的频数为 22,所占的百分比为 11%,可 求出调查学生总数; (2) “开合跳”的人数占调查人数的 24%,即可求出最喜爱“开合跳”的人数; (3)求出“健身操”所占的百分比,用样本估计总体,即可求出 8000 人中喜爱“健身 操”的人数 【解答】解: (1)2211%200(人) , 答:参与调查的学生总数为 200 人; (2)20024%48(人) , 答:最喜爱“开合跳”的学生有 48 人; (3)最喜爱“健身操”的学生数为 2005931482240(人)

    27、 , 80001600(人) , 第 18 页(共 29 页) 答:最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人 【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图表中的数量之间的关 是解决问题的关键 20 (8 分)如图,的半径 OA2,OCAB 于点 C,AOC60 (1)求弦 AB 的长 (2)求的长 【分析】 (1)根据题意和垂径定理,可以求得 AC 的长,然后即可得到 AB 的长; (2)根据AOC60,可以得到AOB 的度数,然后根据弧长公式计算即可 【解答】解: (1)的半径 OA2,OCAB 于点 C,AOC60, ACOAsin602, AB2AC2; (2)OCAB

    28、,AOC60, AOB120, OA2, 的长是: 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合 的思想解答 21 (8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6,气温 T()和高度 h (百米)的函数关系如图所示 请根据图象解决下列问题: (1)求高度为 5 百米时的气温; (2)求 T 关于 h 的函数表达式; (3)测得山顶的气温为 6,求该山峰的高度 第 19 页(共 29 页) 【分析】 (1)根据高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6,由 3 百米时温度为 13.2C, 即可得出高度为 5 百米时的气温; (2)应用待定系数法解

    29、答即可; (3)根据(2)的结论解答即可 【解答】解: (1)由题意得,高度增加 2 百米,则气温降低 20.61.2(C) , 13.21.212, 高度为 5 百米时的气温大约是 12C; (2)设 T 关于 h 的函数表达式为 Tkh+b, 则:, 解得, T 关于 h 的函数表达式为 T0.6h+15; (3)当 T6 时,60.6h+15, 解得 h15 该山峰的高度大约为 15 百米 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件, 利用数形结合的思想解答问题 22 (10 分)如图,在ABC 中,AB4,B45,C60 (1)求 BC 边上的高线长

    30、(2) 点 E 为线段 AB 的中点, 点 F 在边 AC 上, 连结 EF, 沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求AEP 的度数 如图 3,连结 AP,当 PFAC 时,求 AP 的长 第 20 页(共 29 页) 【分析】 (1)如图 1 中,过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出 AD 即可 (2)证明 BEEP,可得EPBB45解决问题 如图 3 中, 由 (1) 可知: AC, 证明AEFACB, 推出, 由此求出 AF 即可解决问题 【解答】解: (1)如图 1 中,过点 A 作 ADBC 于 D 在 RtABD 中,ADABsin4

    31、544 (2)如图 2 中, AEFPEF, AEEP, AEEB, BEEP, EPBB45, PEB90, 第 21 页(共 29 页) AEP1809090 如图 3 中,由(1)可知:AC, PFAC, PFA90, AEFPEF, AFEPFE45, AFEB, EAFCAB, AEFACB, ,即, AF2, 在 RtAFP,AFFP, APAF2 【点评】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形 的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题, 属于中考常考题型 23 (10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 y

    32、(xm)2+4 图象的顶点 为 A,与 y 轴交于点 B,异于顶点 A 的点 C(1,n)在该函数图象上 (1)当 m5 时,求 n 的值 (2)当 n2 时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 y2 时,自变量 x 的取值范围 (3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取 值范围 第 22 页(共 29 页) 【分析】 (1)利用待定系数法求解即可 (2)求出 y2 时,x 的值即可判断 (3)由题意点 B 的坐标为(0,m2+4) ,求出几个特殊位置 m 的值即可判断 【解答】解: (1)当 m5 时,y(x5)2+4, 当 x

    33、1 时,n42+44 (2)当 n2 时,将 C(1,2)代入函数表达式 y(xm)2+4,得 2(1 m)2+4, 解得 m3 或1(舍弃) , 此时抛物线的对称轴 x3, 根据抛物线的对称性可知,当 y2 时,x1 或 5, x 的取值范围为 1x5 (3)点 A 与点 C 不重合, m1, 抛物线的顶点 A 的坐标是(m,4) , 抛物线的顶点在直线 y4 上, 当 x0 时,ym2+4, 点 B 的坐标为(0,m2+4) , 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置,m 逐渐减小,点 B 沿 y 轴向上移动, 当点 B 与 O 重合时,m2+40, 解得 m2或2, 第 23 页

    34、(共 29 页) 当点 B 与点 D 重合时,如图 2,顶点 A 也与 B,D 重合,点 B 到达最高点, 点 B(0,4) , m2+44,解得 m0, 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时,如图 3 点 B 不在线段 OD 上, B 点在线段 OD 上时,m 的取值范围是:0m1 或 1m2 【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的 性质等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考常压 轴题 24 (12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上,分别过 OB,OC 的中点 D,E 作

    35、AE,AD 的平行线,相交于点 F,已知 OB8 (1)求证:四边形 AEFD 为菱形 (2)求四边形 AEFD 的面积 (3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 D) ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G,使得 以点 A,P,Q,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不 存在,试说明理由 第 24 页(共 29 页) 【分析】 (1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可 (2)连接 DE,求出ADE 的面积即可解决问题 (3)首先证明 AK3DK,当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种情形当 AP 为菱形的边,点 Q

    36、 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形如 图 6 中,当 AP 为菱形的对角线时,有图 6 一种情形分别利用相似三角形的性质求解即 可 【解答】 (1)证明:如图 1 中, AEDF,ADEF, 四边形 AEFD 是平行四边形, 四边形 ABCD 是正方形, ACABOCOB,ACEABD90, E,D 分别是 OC,OB 的中点, CEBD, CAEABD(SAS) , AEAD, 四边形 AEFD 是菱形 第 25 页(共 29 页) (2)解:如图 1 中,连接 DE SADBSACE8416, SEOD448, SAEDS正方形ABOC2SABDSEOD64216824, S

    37、菱形AEFD2SAED48 (3)解:如图 1 中,连接 AF,设 AF 交 DE 于 K, OEOD4,OKDE, KEKD, OKKEKD2, AO8, AK6, AK3DK, 当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种情形: 如图 2 中,设 AG 交 PQ 于 H,过点 H 作 HNx 轴于 N,交 AC 于 M,设 AMt 菱形 PAQG菱形 ADFE, PH3AH, HNOQ,QHHP, ONNP, 第 26 页(共 29 页) HN 是PQO 的中位线, ONPN8t, MAHPHN90AHM,PNHAMH90, HMAPNH, , HN3AM3t,

    38、 MHMNNH83t, PN3MH, 8t3(83t) , t2, OP2ON2(8t)12, P(12,0) 如图 3 中,过点 H 作 HIy 轴于 I,过点 P 作 PNx 轴交 IH 于 N,延长 BA 交 IN 于 M 同法可证:AMHHNP, ,设 MHt, PN3MH3t, AMBMAB3t8, HI 是OPQ 的中位线, OP2IH, HIHN, 第 27 页(共 29 页) 8+t9t24, t4, OP2HI2(8+t)24, P(24,0) 当 AP 为菱形的边,点 Q 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形: 如图 4 中,QH3PH,过点 H 作 HMOC 于

    39、 M,过 D 点 P 作 PNMH 于 N MH 是QAC 的中位线, MHAC4, 同法可得:HPNQHM, , PNHM, OMPN,设 HNt,则 MQ3t, MQMC, 3t8, t, OPMN4+t, 点 P 的坐标为(,0) 如图 5 中,QH3PH,过点 H 作 HMx 轴于 M 交 AC 于 I,过点 Q 作 QNHM 于 N 第 28 页(共 29 页) IH 是ACQ 的中位线, CQ2HI,NQCI4, 同法可得:PMHHNQ, ,则 MHNQ, 设 PMt,则 HN3t, HNHI, 3t8+, t, OPOMPMQNPM4t, P(,0) 如图 6 中,当 AP 为菱

    40、形的对角线时,有图 6 一种情形: 第 29 页(共 29 页) 过点 H 作 HMy 轴于于点 M,交 AB 于 I,过点 P 作 PNHM 于 N HIx 轴,AHHP, AIIB4, PNIB4, 同法可得:PNHHMQ, , MH3PN12,HIMHMI4, HI 是ABP 的中位线, BP2IH8, OPOB+BP16, P(16,0) , 综上所述,满足条件的点 P 的坐标为(12,0)或(24,0)或(,0)或(,0)或 (16,0) 【点评】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,菱形的判定和性质,解直角三 角形,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题, 学会寻找相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题,属于中考压轴题


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