1、2020 年山东省济南市商河县中考数学一模试卷年山东省济南市商河县中考数学一模试卷 一、选择题 1在算式（2）（3）的中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ） A加号 B减号 C乘号 D除号 2如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 3 截止 2020 年 3 月 2 日全国新型冠状肺炎病人治愈 44000 多人， 数 44000 用科学记数法表 示为（ ） A4.4104 B44103 C0.44105 D4.4103 4如图，OC 是AOB 的角平分线，lOB，若152，则2 的度数为（ ） A52 B54 C64 D69 5下列计算正确的是（ ） A2a2 3a26a2 B
2、（3a2b）26a4b2 C（a+b）2a2+b2 Da2+2a2a2 6某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间列表如下：则这 15 名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ） 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 A6，7 B7，7 C7，6 D6，6 7在平面直角坐标系中，将函数 y3x 的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为（ ） A（2，0） B（2，0） C（6，0） D（6，0） 8化简+的结果是（ ） Ax2 B C D 9一元二次方程（x+1）（x1）2x+3 的根的情况是（ ） A有两个不
3、相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 10 在矩形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AEBD， 垂足为点 F， 则 tanAED 的值是 （ ） A B C D 11 如图， 四边形 ABCD 是菱形， A60， AB2， 扇形 BEF 的半径为 2， 圆心角为 60， 则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x 的顶点为 A 点，且与 x 轴的正半轴 交于点 B，P 点为该抛物线对称轴上一点，则 OP+AP 的最小值为（ ） A B C3 D2 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共
4、24 分.） 13分解因式：m3m 14在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球，每次 摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验 后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2，那么可以推算出 n 大约是 15当 a 时，方程解是 x1？ 16如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还 需 个正五边形？ 17 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去， 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， y1、 y2分别表示小东、 小明离 B 地的距离 （千米） 与所用时间 x （小时） 的关系
5、如图所示， 根据图象提供的信息，请求出小明到达 A 地所需的时间应为 小时 18如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，将 BCF 沿 BF 对折，得到BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列 4 个结论：AE BF；AEBF；sinBQP；S四边形ECFG4SBGE；正确的结论有 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： 20解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来 21如图，四边形 ABCD，ADBC，DCBC 于 C 点，AEBD 于 E，且 DBDA求证：
6、AECD 22目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用 3800 元购进甲、乙两种型号的节能灯共 120 只，两种灯的进价和售价如下表 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？ （2）全部售完 120 只节能灯后，该商场获利润多少元？ 23如图，AB 是圆 O 的直径，AD 是弦，DAB22.5，过点 D 作圆 O 的切线 DC 交 AB 的延长线于点 C （1）求C 的度数： （2）若 AB2，求 BC 的长度 24由中宣部建没的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会
7、主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措某基层党组织对 党员的某天的学习成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：分，且 10x 70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第 2、第 5 两组 测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题： 学习积分频数分布表 组别 成绩 x 分 频数 频率 第 1 组 20x 30 5 第 2 组 30x 40 b 第 3 组 40x 50 15 30% 第 4 组 50x 60 10 第 5 组 60x 70 a （1）填空：a ，b ； （2）补全频数分布直方图： （3
8、）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为 61 分、65 分，现在从第 5 组中随机选取 2 人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有 1 人被选中的概率 25如图 1，点 A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线 AB，连接 OA、OB （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）求AOB 的面积； （3）如图 2，E 是线段 AB 上一点，作 ADx 轴于点 D，过点 E 作 x 轴的垂线，交反比 例函数图象于点 F，若 EFAD，求出点 E 的坐标 26综合与实践：再探平行四边形的性质 问题情境： 学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探
9、平行四边形性质的数学活动，以下是 “希望小组”得到的一个性质： 如图 1， 已知平行四边形 ABCD 中， BAD90， AEBC 于点 E， AF 垂直 CD 于点 F， 则EAFABC 问题解决： （1） 如图 2， 当 0BAD90时， EAFABC 还成立吗？证明你发现的结论； （2）如图 2，连接 EF 和 AC，若ACB27求AFE 的度数； （3）如图 3，若BAD2（045），ABBC，点 G 是射线 CD 上一点，且 G+ABC180则 BC+CG AC（用含 的三角函数表示） 27已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点，且 OA 1，
10、OB3，OC4， （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形 为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值 参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的.） 1在算式（2）（3）的中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ） A加号 B减号 C乘号 D除号 【分析】将各
11、个运算符号放入算式中计算得到结果，比较即可 解：（2）+（3）5；（2）（3）2+31；（2）（3）6；（ 2）（3）， 则在算式（2）（3）的中填上运算符号，使结果最小，运算符号是加号， 故选：A 2如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中 解：从上往下看，该几何体的俯视图与选项 D 所示视图一致 故选：D 3 截止 2020 年 3 月 2 日全国新型冠状肺炎病人治愈 44000 多人， 数 44000 用科学记数法表 示为（ ） A4.4104 B44103 C0.44105 D4.4103 【分析】科学记
12、数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 解：440004.4104 故选：A 4如图，OC 是AOB 的角平分线，lOB，若152，则2 的度数为（ ） A52 B54 C64 D69 【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到BOC64，再根据平行 线的性质，即可得出2 的度数 解：lOB， 1+AOB180， AOB128， OC 平分AOB， BOC64， 又 lOB，且2 与BOC 为同位角， 264， 故选：C 5下列计算正确的是（ ） A2a2 3a
13、26a2 B（3a2b）26a4b2 C（a+b）2a2+b2 Da2+2a2a2 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则以及单项式乘 以单项式运算法则分别化简得出答案 解：A、2a2 3a26a4，故此选项错误； B、（3a2b）29a4b2，故此选项错误； C、（a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； D、a2+2a2a2，正确 故选：D 6某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间列表如下：则这 15 名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ） 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 A6，7 B7，7
14、C7，6 D6，6 【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得 解：这组数据的中位数为第 8 个数据，即中位数为 6h；6 出现次数最多，众数为 6h 故选：D 7在平面直角坐标系中，将函数 y3x 的图象向上平移 6 个单位长度，则平移后的图象与 x 轴的交点坐标为（ ） A（2，0） B（2，0） C（6，0） D（6，0） 【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令 y0，解得即可 解：由“上加下减”的原则可知，将函数 y3x 的图象向上平移 6 个单位长度所得函数 的解析式为 y3x+6， 此时与 x 轴相交，则 y0， 3x+60，即 x2， 点坐标为（2，0）， 故选：B
15、 8化简+的结果是（ ） Ax2 B C D 【分析】先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可 解：+； 故选：C 9一元二次方程（x+1）（x1）2x+3 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式 解：原方程可化为：x22x40， a1，b2，c4， （2）241（4）200， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 10 在矩形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AEBD， 垂足为点 F， 则 tanAED 的值是 （ ） A B C D 【分析】由“SAS”可证A
16、BEDCE，可得 AEED，通过证明BEFDAF，可 得 AF2EF，由勾股定理可求 DF2EF，即可求 tanAED 的值 解：四边形 ABCD 是矩形 ABCD，ABCC90，ADBC 点 E 是 BC 的中点 BECE，且 ABCD，ABCC90 ABEDCE（SAS） AEED ADBC BEFDAF AF2EF AE3EFDE DF2EF tanAED 故选：D 11 如图， 四边形 ABCD 是菱形， A60， AB2， 扇形 BEF 的半径为 2， 圆心角为 60， 则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【分析】根据菱形的性质得出DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的
17、判定得出 ABGDBH，得出四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积，进而求出即可 解：连接 BD， 四边形 ABCD 是菱形，A60， ADC120， 1260， DAB 是等边三角形， AB2， ABD 的高为， 扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60， 4+560，3+560， 34， 设 AD、BE 相交于点 G，设 BF、DC 相交于点 H， 在ABG 和DBH 中， ， ABGDBH（ASA）， 四边形 GBHD 的面积等于ABD 的面积， 图中阴影部分的面积是：S扇形EBFSABD2 故选：A 12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2x 的顶点为 A 点，且与 x
18、轴的正半轴 交于点 B，P 点为该抛物线对称轴上一点，则 OP+AP 的最小值为（ ） A B C3 D2 【分析】连接 AO、AB，PB，作 PHOA 于 H，BCAO 于 C，如图，解方程得到x2+2 x0 得 B（2，0），利用配方法得到 A（，3），则 OA2，从而可判断 AOB 为等边三角形，接着利用OAP30得到 PHAP，利用抛物线的对称性得到 POPB， 所以 OP+APPB+PH， 根据两点之间线段最短得到当 H、 P、 B 共线时， PB+PH 的值最小，最小值为 BC 的长，然后计算出 BC 的长即可 解：连接 AO、AB，PB，作 PHOA 于 H，BCAO 于 C，如
19、图， 当 y0 时，x2+2x0，解得 x10，x22 ，则 B（2，0）， yx2+2x（x）2+3，则 A（，3）， OA2， 而 ABAO2， ABAOOB， AOB 为等边三角形， OAP30， PHAP， AP 垂直平分 OB， POPB， OP+APPB+PH， 当 H、P、B 共线时，PB+PH 的值最小，最小值为 BC 的长， 而 BCAB23， OP+AP 的最小值为 3 故选：C 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.） 13分解因式：m3m m（m+1）（m1） 【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解：m3m， m（
20、m21）， m（m+1）（m1） 14在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球，每次 摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验 后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2，那么可以推算出 n 大约是 10 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近， 可以从比例关系入手，列出方程求解 解：由题意可得，0.2， 解得，n10 故估计 n 大约有 10 个 故答案为：10 15当 a 1 时，方程解是 x1？ 【分析】把 x1 代入原方程可得关于 a 的方程，解方程即可求出 a 的值 解：把 x1
21、代入原方程，得+1， 去分母，得：2（a1）+3（1+a）6， 去括号，得：2a2+3+3a6， 移项、合并同类项，得：5a5， 系数化为 1，得：a1， 故答案为：1 16如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还 需 7 个正五边形？ 【分析】先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即 可得出答案 解：多边形是正五边形， 内角是（52）180108， O180（180108）（180108）36， 36度圆心角所对的弧长为圆周长的， 即 10 个正五边形能围城这一个圆环， 所以要完成这一圆环还需 7 个正五边形 故答案为：7 1
22、7 小东从 A 地出发以某一速度向 B 地走去， 同时小明从 B 地出发以另一速度向 A 地而行， y1、 y2分别表示小东、 小明离 B 地的距离 （千米） 与所用时间 x （小时） 的关系如图所示， 根据图象提供的信息，请求出小明到达 A 地所需的时间应为 小时 【分析】根据题意结合图象求出 A、B 两地之间的距离以及小明的速度即可解答 解：A、B 两地之间的距离为：7.5（42.5）420（千米）， 小明的速度为：7.52.53（千米/时）， 小明到达 A 地所需的时间为：203（小时） 故答案为： 18如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE，BF
23、交于点 G，将 BCF 沿 BF 对折，得到BPF，延长 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列 4 个结论：AE BF； AEBF； sinBQP； S四边形ECFG4SBGE； 正确的结论有 【分析】首先证明ABEBCF，再利用角的关系求得BGE90，即可得到AE BF；AEBF；BCF 沿 BF 对折，得到BPF，利用角的关系求出 QFQB，解出 BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据 AA 可证BGE 与BCF 相似，进一步得到相 似比，再根据相似三角形的性质即可求解 解：E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CFBE， 在ABE 和BCF 中， ， RtABERt
24、BCF（SAS）， BAECBF，AEBF，故正确； 又BAE+BEA90， CBF+BEA90， BGE90， AEBF，故正确； 根据题意得，FPFC，PFBBFC，FPB90 CDAB， CFBABF， ABFPFB， QFQB， 令 PFk（k0），则 PB2k 在 RtBPQ 中，设 QBx， x2（xk）2+4k2， x， sinBQP，故正确； BGEBCF，GBECBF， BGEBCF， BEBC，BFBC， BE：BF1：， BGE 的面积：BCF 的面积1：5， S四边形ECFG4SBGE，故正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分.解答题应写出文
25、字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简 得出答案 解：原式2+1 1 20解不等式组：，并把其解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等 式的解集表示在数轴上即可 解： 解不等式得 x4 解不等式得 x1 故原不等式组的解集是：1x4， 把解集在数轴上表示出来为： 21如图，四边形 ABCD，ADBC，DCBC 于 C 点，AEBD 于 E，且 DBDA求证： AECD 【分析】依据平行线的性质，即可得到ADBDBC，再根据CAED90， DBDA，即可得到
26、AEDDCB，进而得到 AECD 解：ADBC ADBDBC DCBC 于点 C，AEBD 于点 E CAED90 又DBDA AEDDCB（AAS） AECD 22目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用 3800 元购进甲、乙两种型号的节能灯共 120 只，两种灯的进价和售价如下表 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？ （2）全部售完 120 只节能灯后，该商场获利润多少元？ 【分析】（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可； （2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可
27、解：（1）设商场购进甲种节能灯 x 只，购进乙种节能灯 y 只， 根据题意，得， 解这个方程组，得 答：商场购进甲种节能灯 80 只，购进乙种节能灯 40 只； （2）由题意得：80（3025）+40（6045）1000（元）， 答：全部售完 120 只节能灯后，该商场获利润 1000 元 23如图，AB 是圆 O 的直径，AD 是弦，DAB22.5，过点 D 作圆 O 的切线 DC 交 AB 的延长线于点 C （1）求C 的度数： （2）若 AB2，求 BC 的长度 【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质得到ODC90，根据等腰三角形的性质得 到AADO，求得DOC2A45，于是得到结论；
28、 （2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 解：（1）连接 OD，CD 是圆 O 的切线， ODC90， OAOD， AADO， DOC2A45， C90DOC45； （2）， ， C45，ODC90， OCOD2， 24由中宣部建没的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会 主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措某基层党组织对 党员的某天的学习成绩进行了整理，分成 5 个小组（x 表示成绩，单位：分，且 10x 70），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第 2、第 5 两组 测试成绩人数直方图的高度比为 4：1，请结合下列
29、图表中相关数据回答下列问题： 学习积分频数分布表 组别 成绩 x 分 频数 频率 第 1 组 20x 30 5 第 2 组 30x 40 b 第 3 组 40x 50 15 30% 第 4 组 50x 60 10 第 5 组 60x 70 a （1）填空：a 4 ，b 32% ； （2）补全频数分布直方图： （3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为 61 分、65 分，现在从第 5 组中随机选取 2 人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有 1 人被选中的概率 【分析】（1）先利用第 3 组的频数除以它所占的百分比得到调查总人数，再计算出 2 组 和第 5 组
30、的总人数，接着根据第 2、第 5 两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1 得到 a4，第 2 组的人数为 16 人，从而计算出 b 的值； （2）利用第 2、5 组的人数补全直方图； （3）设甲为 A，乙为 B，另外两人用 C、D 表示，画树状图展示所有 12 种等可能的结果 数，找出甲、乙两人中只有 1 人被选中的结果数，然后根据概率公式计算 解：（1）调查的总人数为 1530%50（人）， 第 2 组和第 5 组的人数为 505151020， 第 2、第 5 两组测试成绩人数直方图的高度比为 4：1， a204， 第 2 组的人数为 20416（人） b100%32%； 故答案为 4；3
31、2%； （2）由（1）可知，补全频数分布直方图如图所示： （3）设甲为 A，乙为 B，另外两人用 C、D 表示，画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲、乙两人中只有 1 人被选中的结果数为 8， 所以甲、乙两人中只有 1 人被选中的概率 25如图 1，点 A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线 AB，连接 OA、OB （1）求反比例函数的表达式和 m 的值； （2）求AOB 的面积； （3）如图 2，E 是线段 AB 上一点，作 ADx 轴于点 D，过点 E 作 x 轴的垂线，交反比 例函数图象于点 F，若 EFAD，求出点 E 的坐标 【分析】（1）设反比例函数的解
32、析式为 y，根据题意 B 点坐标得出 k 的值以及 m 的 值； （2）设直线 AB 的解析式为 yax+b，求出直线 AB 的解析式，再利用 SAOBSMONS AOMSBON，求出答案即可； （3）设 E 点的横坐标为 m，则 E（m，m+7），F（m，），求出 EFm+7， 得出关于 m 的方程，求出 m 即可 解：（1）设反比例函数的解析式为 y， 将 B（6，1）的坐标代入 y，得 k6 反比例函数的解析式为 y 将 A（m，6）的坐标代入 y，得 m1 （2）如图 1，设直线 AB 的解析式为 yax+b， 把 A（1，6）和 B（6，1）代入上式，得 ， 解得：， 故直线 AB
33、的解析式为：yx+7， M（0，7），N（7，0）， SAOBSMONSAOMSBON OMONOM|xA|ON|yB| 777171 （3）设 E 点的坐标为（m，m+7），则 F（m，）， EFm+7 EFAD， m+76 解得 m12，m23， 经检验，m12，m23 是分式方程的根， E 的坐标为（2，5）或（3，4） 26综合与实践：再探平行四边形的性质 问题情境： 学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动，以下是 “希望小组”得到的一个性质： 如图 1， 已知平行四边形 ABCD 中， BAD90， AEBC 于点 E， AF 垂直 CD 于点 F， 则
34、EAFABC 问题解决： （1） 如图 2， 当 0BAD90时， EAFABC 还成立吗？证明你发现的结论； （2）如图 2，连接 EF 和 AC，若ACB27求AFE 的度数； （3）如图 3，若BAD2（045），ABBC，点 G 是射线 CD 上一点，且 G+ABC180则 BC+CG 2cos AC（用含 的三角函数表示） 【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可 （2）证明ABCEAF，可得AFEACB （3）如图 3 中，过点 A 作 AHCD 于 H首先证明 AGAD，推出 BC+CG2CH，解 直角三角形即可解决问题 解：（1）如图 2，EAFABC 还成立， 理由：四边形
35、ABCD 是平行四边形， ABCD， ABC+BCD180， 在四边形 AECF 中，AEBC，AFCD， AEC+AFC180， EAF+BCD180， EAFABC （2）如图 2，四边形 ABCD 是平行四边形， ABCADC，ADBC， ABEADF， 在ABE 和ADF 中， ABEADF，AEBAFD90， ABEADF， ， ADBC， ， ， ABCEAF， ABCEAF， AFEACB， ACB27， AFE27 （3）如图 3 中，过点 A 作 AHCD 于 H 四边形 ABCD 是平行四边形，ABBC， 四边形 ABCD 是菱形， ADBCABCD，ADBC，ABCD，B
36、ADBCD2，ACDACB， B+BCG180， G+B180， GBCG， ADGBCG， GADG， AGAD， AHDG， GDDH， BC+CGCD+CD+DG2（CD+DH）2CH2AC coc， 故答案为 2cos 27已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点，且 OA 1，OB3，OC4， （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形 为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件
37、下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值 【分析】（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，把 A，B，C 三点坐标代入求出 a，b， c 的值，即可确定出所求抛物线解析式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱 形，理由为：根据 OA，OB，OC 的长，利用勾股定理求出 BC 与 AC 的长相等，只有当 BP 与 AC 平行且相等时，四边形 ACBP 为菱形，可得出 BP 的长，由 OB 的长确定出 P 的纵坐标，确定出 P 坐标，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边
38、 形只能是平行四边形，不是菱形； （3）利用待定系数法确定出直线 PA 解析式，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根 据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM| PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的 交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时 M 坐标，确定出|PM AM|的最大值即可 解：（1）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c， A（1，0）、B（0，3）、C（4，0）， ， 解得：a，b，c3， 经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y
39、x2x+3； （2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱 形，理由为： OB3，OC4，OA1， BCAC5， 当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形， BPAC5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB， 点 P 的坐标为（5，3）， 当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是 菱形， 则当点 P 的坐标为（5，3）时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形； （3）设直线 PA 的解析式为 ykx+b（k0）， A（1，0），P（5，3）， ， 解得：k，b， 直线 PA 的解析式为 yx， 当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|PA， 当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线 的交点， 解方程组，得或， 点 M 的坐标为（5，）或（1，0）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最 大值为 5
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