1、2020 年四川省成都市崇州市中考数学二诊试卷年四川省成都市崇州市中考数学二诊试卷 一、选择题 14 的倒数是（ ） A4 B4 C D 2崇州（古称蜀州），老子思想创立发扬地，崇州市历史悠久，汉代称蜀川，唐代称蜀州， 其建制历史长达 4300 年，公元 316 年设立县制，1994 年撤县设市崇州市全市幅员面积 1090 平方公里，呈“四山一水五分田”格局，是距离成都天府广场最近的郊区区域，是 四川省首批命名的历史悠久名城，辖 6 个街道办事处，9 个镇，户籍人口 66.48 万（其中 城镇人口 31.6 万），常住人口 75 万，用科学记数法表示 75 万为（ ） A7.5104 B751
2、04 C0.75106 D7.5105 3如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 4下列运算正确的是（ ） Ax6x3x2 Bx x4x5 C3x2x23 D（2x2）36x6 5下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C梯形 D矩形 6为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学 测验成绩进行统计， 得出他们的平均分均为 85 分， 且 S甲 2100、 S 乙 2110、 S 丙 2120、 S丁 290根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ） A甲、乙 B甲、丙 C甲、丁 D乙
3、、丙 7一次函数 y2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是（ ） A（0，4） B（0，4） C（2，0） D（2，0） 8 如图， 把一块含有 45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上 如果120， 那么2 的度数是（ ） A30 B25 C20 D15 9按图 1 的方法把圆锥的侧面展开，得到图 2，其半径 OA3，圆心角AOB120，则 的长为（ ） A B2 C3 D4 10对于二次函数 y2（x1）28，下列说法正确的是（ ） A图象开口向下 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x1 二、填空题 11因式分解：
4、x2y9y 12若关于 x 的方程 x2+2x+k10 的一个根是 0，则 k 13函数中，自变量 x 的取值范围是 14如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 A 和 C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E若 DE2，CE 3，则矩形的对角线 AC 的长为 三、解答题 15（1）计算：|4|+（） 1（ 1）0cos45 （2）解方程：+1 16先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x20 17如图，我市常璩广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB 5m，在 C 点上方 E 处加固另一
5、条钢缆 ED，钢缆 ED 与地面夹角为 60，现在要在 EC 处放置一个广告牌， 请问广告牌 EC 的高度为多少？ （sin400.6， cos400.8， tan40 0.8） 18“知识改变命运，科技繁荣祖国”杭州市中小学每年都要举办一届科技运动会如图 为某校 2011 年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参 赛人数统计图： （1）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数 是 ，并把条形统计图补充完整； （2）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取 80 人，其中有 32 人获奖今年杭州市 中小学参加航模比赛人数共有 2485 人， 请你估算今
6、年参加航模比赛的获奖人数约是多少 人？ 19如图，已知正比例函数 y2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2） （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3） 若双曲线上点 C （2， n） 沿 OA 方向平移个单位长度得到点 B， 判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论 20如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F （1）求证：DPAB； （2）试猜想线段
7、 AE，EF，BF 之间有何数量关系，并加以证明； （3）若 AC6，BC8，求线段 PD 的长 21若实数 a 满足 a22a10，则 2a24a+5 22有 6 张正面分别标有数字2，1，0，2，4，6 的不透明卡片，它们除数字不同外其 余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 a，则使 关于 x 的不等式有实数解的概率为 23如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO，垂足为点 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC，垂 足为 F，若 BD8cm，AE2cm，则 OF 的长度是 cm 24如果点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P
8、点叫ABC 的费马点已经证明：在三个内角均小于 120的ABC 中，当APBAPCBPC 120时，P 就是ABC 的费马点若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马 点，则 PD+PE+PF 25一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BCEF 12cm（如图 1），点 G 为边 BC（EF）的中点，边 FD 与 AB 相交于点 H，此时线段 BH 的长是 现将三角板 DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转（如图 2），在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长共为 （结果保留根号） 26在“母亲节”期间，某校部分团员
9、参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售， 并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y（个）与 销售单价 x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为 6 元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润 w（元）与 销售单价 x（元/个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大的利润，试 确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润 27如图 1，共直角边 AB 的两个直角三角形中，ABCBAD90，AC 交 BD 于 P， 且
10、tanC （1）求证：ADAB； （2）如图 2，BECD 于 E 交 AC 于 F 若 F 为 AC 的中点，求的值； 当BDC75时，请直接写出的值 28在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+（k1）xk 与直线 ykx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧 （1）如图 1，当 k1 时，直接写出 A，B 两点的坐标； （2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线 yx2+（k1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），在直线 ykx+1 上是否
11、存在唯一一点 Q，使得OQC90？若存在，请 求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题 14 的倒数是（ ） A4 B4 C D 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 解：4 的倒数是， 故选：C 2崇州（古称蜀州），老子思想创立发扬地，崇州市历史悠久，汉代称蜀川，唐代称蜀州， 其建制历史长达 4300 年，公元 316 年设立县制，1994 年撤县设市崇州市全市幅员面积 1090 平方公里，呈“四山一水五分田”格局，是距离成都天府广场最近的郊区区域，是 四川省首批命名的历史悠久名城，辖 6 个街道办事处，9 个镇，户籍人口 66.48 万（其中 城
12、镇人口 31.6 万），常住人口 75 万，用科学记数法表示 75 万为（ ） A7.5104 B75104 C0.75106 D7.5105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：75 万7500007.5105， 故选：D 3如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 【分析】 找到从左侧面看所得到的图形即可， 注意所有的看到的棱都应表现在左视图中
13、解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小 正方形 故选：A 4下列运算正确的是（ ） Ax6x3x2 Bx x4x5 C3x2x23 D（2x2）36x6 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积 的乘方运算法则逐一判断即可 解：Ax6x3x3，故本选项不合题意； Bx x4x5，故本选项符合题意； C.3x2x22x2，故本选项不合题意； D（2x2）38x6，故本选项不合题意 故选：B 5下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C梯形 D矩形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的
14、概念求解，四个选项中，只有 D 选项既为中 心对称图形又是轴对称图形 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项正确 故选：D 6为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学 测验成绩进行统计， 得出他们的平均分均为 85 分， 且 S甲 2100、 S 乙 2110、 S 丙 2120、 S丁 290根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（ ） A甲、乙 B甲、丙 C甲、丁 D乙、丙 【分析】方差反映了一组
15、数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越 小选派方差较小的两位 解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以 应选他们两人去参加比赛 故选：C 7一次函数 y2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是（ ） A（0，4） B（0，4） C（2，0） D（2，0） 【分析】在解析式中令 x0，即可求得与 y 轴的交点的纵坐标 解：令 x0，得 y20+44， 则函数与 y 轴的交点坐标是（0，4） 故选：B 8 如图， 把一块含有 45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上 如果120， 那么2 的度数是（ ） A30 B25 C20 D15 【分析】
16、本题主要利用两直线平行，内错角相等作答 解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等， 13， 3+245， 1+245 120， 225 故选：B 9按图 1 的方法把圆锥的侧面展开，得到图 2，其半径 OA3，圆心角AOB120，则 的长为（ ） A B2 C3 D4 【分析】弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长 解：2 故选：B 10对于二次函数 y2（x1）28，下列说法正确的是（ ） A图象开口向下 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x1 【分析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论 解：A、y
17、2（x1）28， a20， 图象的开口向上，故本选项错误； B、当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；故本选项错误； C、当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项正确； D、图象的对称轴是直线 x1，故本选项错误 故选：C 二、填空题 11因式分解：x2y9y y（x+3）（x3） 【分析】先提取公因式 y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 解：x2y9y， y（x29）， y（x+3）（x3） 12若关于 x 的方程 x2+2x+k10 的一个根是 0，则 k 1 【分析】欲求 k 的值，将该方程的已知根 0 代入两根之积公式即可求出 k 值 解：设方程的另一根为 x1， 又
18、x2+2x+k10 的一个根是 0， x1 0k1， 解得 k1 13函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 【分析】根据二次根式有意义的条件是 a0，即可求解 解：根据题意得：x30， 解得：x3 故答案是：x3 14如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 A 和 C 为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E若 DE2，CE 3，则矩形的对角线 AC 的长为 【分析】连接 AE，如图，利用基本作图得到 MN 垂直平分 AC，则 EAEC3，然后利 用勾股定理先计算出 AD，再计算出 AC 解：连接 AE，如图， 由作法得 M
19、N 垂直平分 AC， EAEC3， 在 RtADE 中，AD， 在 RtADC 中，AC 故答案为 三、解答题 15（1）计算：|4|+（） 1（ 1）0cos45 （2）解方程：+1 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角 的三角函数值计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 解：（1）原式4+212 4+212 3； （2）去分母得：x（x+1）+xx21， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 16先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x20 【分析】原式通分并利用同分母分式
20、的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得 到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 解：原式 x（x+1） x2+x， x2+x20， x2+x2， 则原式2 17如图，我市常璩广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB 5m，在 C 点上方 E 处加固另一条钢缆 ED，钢缆 ED 与地面夹角为 60，现在要在 EC 处放置一个广告牌， 请问广告牌 EC 的高度为多少？ （sin400.6， cos400.8， tan40 0.8） 【分析】根据锐角三角函数的定义可求出 BC 与 BE 的长度 解：在 RtCDB 中，tanBDC， BCBDtan40
21、4， 在 RtBDE 中，tanBDE， BEBDtanBDE5， CEBEBC4.66（m）， 答：广告牌 EC 的高度约为 4.66m 18“知识改变命运，科技繁荣祖国”杭州市中小学每年都要举办一届科技运动会如图 为某校 2011 年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参 赛人数统计图： （1） 该校参加航模比赛的总人数是 24 人， 空模所在扇形的圆心角的度数是 120 ， 并把条形统计图补充完整； （2）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取 80 人，其中有 32 人获奖今年杭州市 中小学参加航模比赛人数共有 2485 人， 请你估算今年参加航模比赛的获奖人
22、数约是多少 人？ 【分析】（1）用参加海模比赛的人数除以参加海模比赛的人数所占的百分比即可求出参 加航模比赛的总人数，用 360乘以参加空模比赛的人数所占的百分比即可 （2） 用今年杭州市中小学参加航模比赛的总人数乘以获奖人数所占的比例即可求出答案 解：（1）该校参加航模比赛的总人数625%24， 空模所在扇形的圆心角的度数是360120如图所示： （2）今年参加航模比赛的获奖人数2485994 答：今年参加航模比赛的获奖人数约是 994 人 故答案为：24，120 19如图，已知正比例函数 y2x 和反比例函数的图象交于点 A（m，2） （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出
23、正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3） 若双曲线上点 C （2， n） 沿 OA 方向平移个单位长度得到点 B， 判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论 【分析】（1）设反比例函数的解析式为 y（k0），然后根据条件求出 A 点坐标， 再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式； （2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； （3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB，判断出四边形 OABC 是平行 四边形，再证明 OAOC 即可判定出四边形 OABC 的形状 解：（1）设反比例函数的解析式为 y（k0）， A（m，2
24、）在 y2x 上， 22m， m1， A（1，2）， 又点 A 在 y上， k2， 反比例函数的解析式为 y； （2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为1x0 或 x1； （3）四边形 OABC 是菱形 证明：A（1，2）， OA， 由题意知：CBOA 且 CB， CBOA， 四边形 OABC 是平行四边形， C（2，n）在 y上， n1， C（2，1）， OC ， OCOA， 四边形 OABC 是菱形 20如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点 P，过点 A 作 AEC
25、D 于点 E，过点 B 作 BF CD 于点 F （1）求证：DPAB； （2）试猜想线段 AE，EF，BF 之间有何数量关系，并加以证明； （3）若 AC6，BC8，求线段 PD 的长 【分析】（1）连结 OD，由 AB 为O 的直径，根据圆周角定理得 AB 为O 的直径得 ACB90，再由 ACDBCD45，则DABABD45，所以DAB 为等腰 直角三角形，所以 DOAB，根据切线的性质得 ODPD，于是可得到 DPAB； （2）根据圆周角定理易得ADE+BDF90FBD+BDF90，从而得到 FBDADE，易得 ADBD，从而得出ADEDBF，得到 BFDE，AEDF，从 而得出结论
26、BFAEEF （3）先根据勾股定理计算出 AB10，由于DAB 为等腰直角三角形，可得到 AD 5；由ACE 为等腰直角三角形，得到 AECE 3，在 RtAED 中利用 勾股定理计算出 DE4， 则 CD7， 易证得PDAPCD， 得到 ，所以 PAPD，PCPD，然后利用 PCPA+AC 可计算出 PD 【解答】（1）证明：连结 OD，如图， AB 为O 的直径， ACB90， ACB 的平分线交O 于点 D， ACDBCD45， DABABD45， DAB 为等腰直角三角形， DOAB， PD 为O 的切线， ODPD， DPAB； （2）答：BFAEEF，证明如下： AB 是O 的直径
27、， ADBADE+BDF90， AECD，BFCD， AEDBFD90， FBD+BDF90， FBDADE， AODBOD， ADBD， 在ADE 和DBF 中 ADEDBF（AAS）， BFDE，AEDF， BFAEDEDF， 即 BFAEEF 问题二法 2：ACDCAE45，所以 AECE，DCBFBC45，所以 BF CF，CFCE+EFAE+EF 所以 AE+FEBF （3）解：在 RtACB 中，AB10， DAB 为等腰直角三角形， AD5， AECD， ACE 为等腰直角三角形， AECE3， 在 RtAED 中，DE4， CDCE+DE3+47， PDAPCD，PP， PDA
28、PCD， ， PAPD，PCPD， 而 PCPA+AC， PD+6PD， PD 21若实数 a 满足 a22a10，则 2a24a+5 7 【分析】根据 a22a10 得出 a22a1，然后等式的左右两边同乘以 2 即可得到 2a2 4a2，再求 2a24a+5 的值就容易了 解：a22a10， a22a1， 2a24a2， 2a24a+52+57 故答案为 7 22有 6 张正面分别标有数字2，1，0，2，4，6 的不透明卡片，它们除数字不同外其 余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为 a，则使 关于 x 的不等式有实数解的概率为 【分析】首先求得关于 x 的
29、不等式有实数解时，a 的取值范围，再利用概率 公式即可求得答案 解：， 由得：x3， 由得：x， 当3，即 a4 时，关于 x 的不等式有实数解， 使关于 x 的不等式有实数解的概率为： 故答案为： 23如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO，垂足为点 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC，垂 足为 F，若 BD8cm，AE2cm，则 OF 的长度是 cm 【分析】连接 AB，根据垂径定理求出 BE，根据勾股定理求出 AB，根据三角形中位线定 理计算，得到答案 解：连接 AB， BDAO， BEEDBD4， 由勾股定理得，AB2， OFBC， CFFB，又 COOA， OFAB（cm）， 故
30、答案为： 24如果点 P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P 点叫ABC 的费马点已经证明：在三个内角均小于 120的ABC 中，当APBAPCBPC 120时，P 就是ABC 的费马点若点 P 是腰长为的等腰直角三角形 DEF 的费马 点，则 PD+PE+PF +1 【分析】 过点D作DMEF于点M， 在BDE内部过E、 F分别作MEPMFP30， 则EPFFPDEPD120，点 P 就是费马点，求出 PE，PF，DP 的长即可解决 问题； 解：如图：过点 D 作 DMEF 于点 M，在BDE 内部过 E、F 分别作MEPMFP 30，则EPFFPDEPD120，点
31、 P 就是费马点， 在等腰 RtDEF 中，DEDF，DMEF， EFDE2 EMDM1， 故 cos30， 解得：PE，则 PM， 故 DP1，同法可得 PF 则 PD+PE+PF2+1+1 故答案为+1 25一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BCEF 12cm（如图 1），点 G 为边 BC（EF）的中点，边 FD 与 AB 相交于点 H，此时线段 BH 的长是 （1212） cm 现将三角板 DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转 （如图 2） ， 在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长共为 （1218） cm
32、（结果保留根号） 【分析】如图 1 中，作 HMBC 于 M，设 HMCMa在 RtBHM 中，BH2HM 2a，BMa，根据 BM+MFBC，可得 a+a12，推出 a66，推出 BH2a 1212如图 2 中，当 DGAB 时，易证 GH1DF，此时 BH 1的值最小，易知 BH1 BK+KH13+3，当旋转角为 60时，F 与 H2重合，易知 BH26 ，观察图象可 知，在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长2HH1+HH2，由此 即可解决问题 解：如图 1 中，作 HMBC 于 M，设 HMa，则 CMHMa 在 RtABC 中，ABC30，BC12， 在 Rt
33、BHM 中，BH2HM2a，BMa， BM+FMBC， a+a12， a66， BH2a1212 如图 2 中，当 DGAB 时，易证 GH1DF，此时 BH1的值最小，易知 BH1BK+KH1 3+3， HH1BHBH19 15， 当旋转角为 60时，F 与 H2重合，易知 BH26， 观察图象可知，在CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长 2HH1+HH21830+6（1212）1218 故答案为（1212）cm，（1218）cm 26在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售， 并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间
34、内的销售量 y（个）与 销售单价 x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为 6 元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润 w（元）与 销售单价 x（元/个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大的利润，试 确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入 即可求得该函数解析式， 进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （2）销售利润每个许愿瓶的利润销售量；
35、（3） 根据进货成本可得自变量的取值， 结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润 解：（1）y 是 x 的一次函数，设 ykx+b 图象过点（10，300），（12，240）， ， 解得 故 y 与 x 之间的函数关系为：y30x+600， 当 x14 时，y180；当 x16 时，y120， 即点（14，180），（16，120）均在函数 y30x+600 的图象上 y 与 x 之间的函数关系式为 y30x+600； （2）w（x6）（30x+600）30x2+780x3600 即 w 与 x 之间的函数关系式为 w30x2+780x3600； （3）由题意得 6（30x+600）900，
36、解得 x15 w30x2+780x3600 图象对称轴为 x13， a300， 抛物线开口向下，当 x15 时，w 随 x 增大而减小， 当 x15 时，w最大1350 即以 15 元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润 1350 元 27如图 1，共直角边 AB 的两个直角三角形中，ABCBAD90，AC 交 BD 于 P， 且 tanC （1）求证：ADAB； （2）如图 2，BECD 于 E 交 AC 于 F 若 F 为 AC 的中点，求的值； 当BDC75时，请直接写出的值 【分析】（1）根据 ADBC 得，又 tanC故故 ADAB （2）在图 2 中，过 D 作 DHBC 于 H
37、，延长 BE 交 AD 延长线于 G，易证 ABHD 为 正方形，设其边长为 a，DGb，根据ABCDGC，得到 a、b 的关系即可解决问题 根据条件推出HDCDCG30即可解决问题 解：（1）DAB+ABC180， ADBC， ， tanC， ， ADAB （2）在图 2 中，过 D 作 DHBC 于 H，延长 BE 交 AD 延长线于 G，易证 ABHD 为 正方形，设其边长为 a，DGb， AGBC， ， AFFC， AGBC， 四边形 ABCG 是平行四边形， ABC90 四边形 ABCG 是矩形， FBFC，BCGAGC90， FBCFCB， FBC+BC，E90，BCE+ECG90
38、， ECGFBC， DCGACB， ABCDGC90 ABCDGC， ， ， a2abb20， a（或 a舍弃）， DGBC， ， 由 1 可知四边形 ABHD 是正方形， BDC75，BDH45， HDCDCG30， DGC90， CDG60，DGE30， 设 CHm，则 DC2CH2m，BHDHm ECBC（m+m），DEDCCE2m（m+m）， 28在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+（k1）xk 与直线 ykx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧 （1）如图 1，当 k1 时，直接写出 A，B 两点的坐标； （2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线
39、AB 下方，试求出ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线 yx2+（k1）xk（k0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），在直线 ykx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得OQC90？若存在，请 求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】方法一： （1）当 k1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点 A、B 的坐标； （2）如答图 2，作辅助线，求出ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最 大值及点 P 的坐标； （3）“存在唯一一点 Q，使得OQC90”的含义是，以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，由圆周角
40、定理可知，此时OQC90且点 Q 为唯一以此为基础，构造 相似三角形，利用比例式列出方程，求得 k 的值需要另外注意一点是考虑直线 AB 是否 与抛物线交于 C 点，此时亦存在唯一一点 Q，使得OQC90 方法二： （1）联立直线与抛物线方程求出点 A，B 坐标 （2）利用面积公式求出 P 点坐标 （3）列出定点 O 坐标，用参数表示 C，Q 点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出 k 的值 【解答】方法一： 解：（1）当 k1 时，抛物线解析式为 yx21，直线解析式为 yx+1 联立两个解析式，得：x21x+1， 解得：x1 或 x2， 当 x1 时，yx+10；当 x2 时，yx+13
41、， A（1，0），B（2，3） （2）设 P（x，x21） 如答图 2 所示，过点 P 作 PFy 轴，交直线 AB 于点 F，则 F（x，x+1） PFyFyP（x+1）（x21）x2+x+2 SABPSPFA+SPFBPF（xFxA）+PF（xBxF）PF（xBxA）PF SABP（x2+x+2）（x）2+ 当 x时，yPx21 ABP 面积最大值为，此时点 P 坐标为（，） （3）设直线 AB：ykx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F， 则 E（，0），F（0，1），OE，OF1 在 RtEOF 中，由勾股定理得：EF 令 yx2+（k1）xk0，即（x+k）（x1）0，解得：x
42、k 或 x1 C（k，0），OCk 、假设存在唯一一点 Q，使得OQC90，如答图 3 所示， 则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，根据圆周角定理，此时OQC90 设点 N 为 OC 中点，连接 NQ，则 NQEF，NQCNON ENOEON NEQFEO，EQNEOF90， EQNEOF， ，即：， 解得：k， k0， k 存在唯一一点 Q，使得OQC90，此时 k 、 若直线 AB 过点 C 时， 此时直线与圆的交点只有另一点 Q 点， 故亦存在唯一一点 Q， 使得OQC90， 将 C（k，0）代入 ykx+1 中， 可得 k1，k1（舍去）， 故存在唯一一点 Q，使得OQC
43、90，此时 k1 综上所述，k或 1 时，存在唯一一点 Q，使得OQC90 方法二： （1）略 （2）过点 P 作 x 轴垂线，叫直线 AB 于 F， 设 P（t，t21），则 F（t，t+1） SABP （FYPY）（BXAX）， SABP （t+1t2+1）（2+1）， SABP t2+t+3， 当 t时，SABP有最大值， SABP （3）yx2+（k1）xk， y（x+k）（x1）， 当 y0 时，x1k，x21， C（k，0），D（1，0）， 当点 A 和点 C 重合时，将 C（k，0）代入 ykx+1 中， 可得 k1，k1（舍去）， 故存在唯一一点 Q，使得OQC90，此时 k1 当点 A 和点 C 不重合时， 点 Q 在 ykx+1 上，设 Q（t，kt+1），O（0，0）， OQC90， CQOQ， KCQKOQ1， （k2+1）t2+3kt+10 有唯一解， （3k）24（k2+1）0， k1 ，k2 （k0 故舍去）， k 综上所述，k或 1 时，存在唯一一点 Q，使得OQC90
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