1、20202020 年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（二二） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干浄后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1若集合 2 1 log2 ,1,2,3PxxQ ，则PQ （ ）
2、 A1,2 B1 C2,3 D1,2,3 2已知i是虚数单位，复数i()zaaR满足 2 1 3zzi ，则| z （ ） A2或5 B2 或 5 C5 D5 3已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点( 3,4)M ，则cos2的值为（ ） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 4已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x的值为（ ） A2 B3 C4 D6 5已知函数 1 3 2e,1, ( ) ,1, x x f x xx x 则( ( )2f f x的解集为（ ） A(1 ln2,) B(,1 ln2) C(1 ln2,1) D(1
3、,1 ln2) 6 设曲线 2 2xyy上的点到直线20xy的距离的最大值为a， 最小值为b， 则ab的值为 （ ） A 2 2 B2 C 2 1 2 D2 7已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲、乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共 有（ ） A240 种 B360 种 C480 种 D600 种 8已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，过点 1 F且垂直于x轴的直线与该双曲 线的左支交于,A B两点， 22 ,AF BF分别交y轴于,P Q两点，若 2 PQF的周长为 12，则ab取得最大值时 双曲线的离心率为（ ） A
4、2 B3 C 2 3 3 D 3 2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（ ） A若两直线的斜率相等，则两直线平行 B若5x ，则10x C若acbc，则ab D若sinsin，则 10将函数2sin 2 6 yx 的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数( )f x的图象，则下列关于函数 ( )f x的说法正确的是（ ） A( )f x是偶函数 B( )f x的最小正周期是 2 C( )f x的图象关于
5、直线 12 x 对称 D( )f x的图象关于点,0 4 对称 11已知函数( )e2 x f xx的零点为a，函数( )ln2g xxx的零点为b，则下列不等式中成立的 是（ ） Aeln2 a b Beln2 a b C 22 3ab D1ab 12如图，在矩形ABCD中，2,ABAD E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成 1 ADE（ 1 A 平面ABCD） 若,M O分别为线段 1 ,AC DE的中点， 则在ADE翻转过程中， 下列说法正确的是 （ ） A与平面 1 ADE垂直的直线必与直线BM垂直 B异面直线BM与 1 AE所成的角是定值 C一定存在某个位置，使DEMO D三棱
6、锥 1 AADE外接球半径与棱AD的长之比为定值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知(1,3),( 2, )abk ，且(2 )/ /(3)abab，则实数k _ 14多项式 6 (23 )abc的展开式中 23 ab c的系数为_ （用数字作答） 15已知正实数, a b满足10ab b ，则 1 4b a 的最小值是_，此时b_ （本题第 一空 2 分，第二空 3 分） 16已知抛物线 2 2(0)ypx p与直线:4320lxyp在第一、四象限分别交于,A B两点，F是抛 物线的焦点，若|AFFB，则_ 四、解答题：本题共 小题，共 70 分解答应写出文
7、字说明、证眀过程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列 n a中，已知 616 16,36aa （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）若_，求数列 n b的前n项和 n S 在 1 4 n nn b a a ，( 1)n nn ba ，2 n a nn ba这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求 解 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）某市规划了一条自行车赛道的平面示意图，如图五边形ABCDE ,ED DC CB BA AE为赛道（不考虑宽度） ，BE为赛道内的一条服务通道， 2 ,4km,3km 3 BCDCDEBAEDEBCCD （1）求
8、服务通道BE的长度； （2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？ 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD为直角梯形， 90 ,22 2,CDABADABADDCE F 分别为,PD PB的中点 （1）求证：/ /CF平面PAD； （2）若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为 4 ，求PA的长度 20 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，离心率为 3 2 ，过焦点 2 F且垂直 于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1 （1）求椭圆C的方程； （2）点 000 ,0P x yy 为椭圆C上一
9、动点，连接 12 ,PF PF，设 12 FPF的平分线PM交椭圆C的长轴 于点( ,0)M m，求实数m的取值范围 21 （12 分）2020 年 4 月 8 日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳 性，现有 * n nN份核酸样本，有以下两种检测方式： （1）逐份检测，则需要检测n次； （2）混合检测， 将其中k（ * kN，且2k）份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这k份核酸样本 全为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究 竟哪几份为阳性，就要对这k份样本再逐份检测，此时这k份核酸样本的检测
10、次数总共为1k次假设在 接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率 为(01)pp （1）假设有 5 份核酸样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过 4 次检测就能把 阳性样本全部检测出来的概率 （2）现取其中k（ * kN，且2k）份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为 1 ， 采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为 2 （i）试运用概率统计的知识，若 12 EE，试求p关于k的函数关系式( )pf k； （ii）若 3 3 1p e ，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总
11、次数期望值 更少，求k的最大值 参考数据：ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51,6094,ln61.7918 22 （12 分）已知函数 2 ( )2ln , ( )f xxxax g xax （1）求函数( )( )( )F xf xg x的极值； （2）若不等式 sin ( ) 2cos x g x x 对0x恒成立，求实数a的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷） 数学详解答案 1C 因为集合 2 1 log2 24,1,2,3PxxxxQ剟，所以23PQ 故选 C 2C 复数 2 222 1 1, ,()1(21)1 3 , 213
12、, aa zaizzaiaiaaaii a 解得 2a 复数2zaii ，则 22 |( 2)15z 故选 C 3A 角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点( 3, 4) ,O5MM（O为坐标原点） ， 2 47 sin,cos21 2sin 525 故选 A 4 C 由题图可知， 甲组数据依次是2,3,10,14,23,23,28,34， 41， 因此甲的众数是23； 乙组数据依次是1,13,15,22, 20x，31,34,40，因此乙的中位数是 22 与20x的平均数，所以 22(20) 23 2 x ，解得4x故选 C 5B 当1x时， 3 ( )2f xxx ；当1x时， 1 ( )
13、2e2,( ( )2 x f xf f x 等价于( )1f x ，即 1 2e1 x ，解得1 ln2x ， ( ( )2f f x的解集为(,1 ln2)故选 B 6C 将 2 2xyy化为 22 (1)1(0)xyx，表示圆为（0,1） ，半径为 1 的圆的右半部分，如图所 示， 圆心到直线20xy的距离 | 1 2|3 2 22 d ，半圆上的点到直线距离的最小值 3 2 1 2 b 观察图形可知， 最大值为 （0,2） 到直线的距离， 即 | 22| 2 2 2 a ， 则 2 1 2 ab 故 选 C 7C （方法一）按丙领导人的位置分类，当丙领导人在左 1，左 2，左 3 或者在
14、右 1，右 2，右 3 时，因 为左右是对称的，所以只研究左的情况后乘 2 即可 当丙领导人在左边第 1 个位置时，有 5 5 120A 种排法，当丙领导人在左边第 2 个位置时，甲和乙在丙领导 人右边的 4 个位置中选择，有 23 43 72A A 种排法，当丙领导人在左边第 3 个位置时，有 2323 3323 A AA A48 种排法，共120 7248240种，则不同的排法共有240 2480 种 （方法二）甲、乙、丙等六名成员进行全排列可得 6 6 720A 种，甲、乙、丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙 甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 种，甲、乙均在丙的同侧，有 4 种，甲、乙均在
15、丙的同侧占总 数的 42 63 ，不同的排法共有 2 720480 3 种故选 C 8C 由题意，得 2 11 2 | b AFBFAB a ，且,P Q分别为 22 ,AF BF的中点，由双曲线定义，知 21 2AFAFa， 21 |2BFBFa，联立，得 2 22 2 4 b AFBFa a 因为 2 PQF的 周长为 12，所以 2 ABF的周长为 24，即 2 4 424 b a a ，亦即 22 6baa，所以 234 ()6abaa令 34 ( )6f aaa，则 232 9 ( )1844 2 faaaaa ，所以( )f a在 9 0, 2 上单调递增，在 9 , 2 上 单调
16、递减，所以当 9 2 a 时，( )f a取得最大值，此时 2 2 9927 6 224 b ，所以 22 3 3cab， 所以 2 3 3 c e a 故选 C 9BCD A 中p是q的充分条件，B,C,D 中p是q的必要条件故选 BCD 10AD 由题意可得( )2sin 22sin 22cos2 662 f xxxx ，则( )f x是偶函数，A 正 确： 最小周期是， B错误；3 12 f ， 则直线 12 x 不是函数( )f x图象的对称轴， C错误；0 4 f ， 则0 4 ，是函数( )f x图象的一个对称中心，D 正确 11CD 由( )0, ( )0f xg x得e2,ln
17、2 x xxx，函数exy 与lnyx互为反函数，在同一坐标 系中分别作出函数e ,ln ,2 x yyx yx的图象，如图所示，则,e, ( ,ln ) a A aB bb，由反函数性质知 ,A B关于（1,1）对称，则 2 () 2,eln2,1 4 a ab abbab ，A、B 错误，D 正确 ( )e10,( ) x fxf x 在R上单调递增， 且 131 (0)10,e0,0 222 ffa 又点 (e ), a A a在直线2yx上，即 2222 1 e2,ee3 4 aa ababaC 正确 12ABD 取DC中点N，连接,MN NBM为 1 AC的中点， 1 / /MNAD
18、又E为AB的中点， /DNEB且DNEB，四边形BNDE为平行四边形， /NBDE 1 ,ADDED MNNBN，平面/MNB平面 1 ,/ /ADEMB平面 1 ADE，与 平面 1 ADE垂直的直线必与直线BM垂直，A 正确取 1 AD的中点为F，连接,MF EF，则/MFEB且 MFEB， 四边形BEFM是平行四边形， 1 / /,BMEFAEF为异面直线BM与 1 AE所成的角 设 1AD ，则22ABAD， 1111 11 1,tan 22 ADAEAFAEF ，故异面直线BM与 1 AE所成 的角为定值，B 正确连接 1 AO 1 ADE为等腰直角三角形且O为斜边DE中点， 1 D
19、EAO若 DEMO，则DE 平面 11 ,AMODEAC又 222 2,2,DEECDCDEECDC， DEEC又 1 ,ECACCDE平面 1 AEC， 1 DEAE，与已知矛盾，C 错 误 1, ODOEOAOAO为三棱锥 1 AADE的外接球球心又 2 2 OA AD 为定值，D 正确 13解析： （方法一）因为(1,3),( 2, )abk ， 所以2( 3,32 ),3(5,9)abkabk ， 又因为(2 )/ /(3)abab， 所以3(9)5 (32 )kk ，解得6k （方法二）因为(1,3),( 2, )abk ， 所以2( 3,32 ),3(5,9)abkabk ， 又因
20、为(2 )/ /(3)abab， 设2(3)abmab，所以 35 , 32(9) , m kk m 解得 3 , 5 6. m k 答案：6 14解析：把 6 (23 )abc的展开式看成是 6 个因式(23 )abc的乘积形式， 展开式中，含 23 ab c项的系数可以按如下步骤得到： 第一步，从 6 个因式中任选 1 个因式，这个因式取a，有 1 6 C种取法； 第二步，从剩余的 5 个因式中任选 2 个因式，都取2b，有 2 5 C种取法； 第三步，从剩余的 3 个因式中都取3c，有 3 3 C种取法 根据分步乘法计数原理，得含 23 ab c项的系数是 12233 653 2( 3)
21、6480CCC 答案：6480 15解析：由10ab b 可得 1b a b ，由 1 0 b a b 得1b，所以 11 444(1)5 11 b bbb abb 因为 1 4(1) 4 1 b b ， 所以 1 49b a ， 当且仅当 13 , 32 ab 时等号成立 答案：9 3 2 16解析： （方法一）,0 2 p F ，设 1122 ,A x yB x y， 由 2 4320, 2, xyp ypx 得 22 81720xpxp，解得 12 2 , 8 p xp x 因为|AFFB ，所以 1 2 2 | 22 4 | 282 Pp xp AF ppp FB x （方法二）显然直
22、线:4320lxyp过焦点,0 2 p F ， 如图，过点,A B分别向准线作垂线，垂足分别为,D C，过点B作BEAD于点E 设|FBt，则|AFFBt， 由抛物线定义知| |BCFBt， 则| |ADAFt，所以| | (1)AEADBCt， 而| (1)ABt，设直线l的倾斜角为， 则 43 tan,cos 35 ， EAB， 则 |(1)3 coscos |(1)5 AEt EAB ABt ，解得4 答案：4 17解： （1）设等差数列 n a的公差为d，则 166 (166)aad， 即3616 10 ,2d d， 故16(6) 2 n an 24n （5 分） （2）选， 由 1
23、441 (24)2(1)4(2)(3) n nn b a annnn 11 23nn 得 11111111 344523333(3) n n S nnnn （10 分） 选， 由( 1)( 1) (24) nn nn ban 得 当n为偶数时，2 34 56(2) n Sn 21 2 n n （7 分） 当n为奇数时，2 34 52)6(1)( n Snn 1 21 (2)5 2 n nn ， （9 分） 故 ( ), 5( ) n nn S nn 为偶数 为奇数 （10 分） 选， 由 24 (24) 2 n n bn 得 681024 6 28 210 2(24) 2 n n Sn ， 则
24、 8102426 46 28 2(22) 2(24) 2 nn n Snn ， -，得 68102426 36 22 22 22 2(24) 2 nn n Sn 8242 626 2 222 6 22(24) 2 1 2 n n n 727 55 22 33 n n ， 故 27 35640 2 99 n n n S （10 分） 18解： （1）连接 2 ,4km,3km 3 BDBCDCDEBAEDEBCCD ， 在BCD中， 由余弦定理可得 222 1 2cos332339 2 BDBCCDBC CDBCD ， 3kmBD , 6 BCCDCBDCDB 又 2 , 32 CDEBDE 在
25、Rt BDE中， 22 5kmBEBDDE （6 分） （2） （方法一）在BAE中， 2 ,5km 3 BAEBE ， 由余弦定理可得 222 2cosBEABAEAB AEBAE，即 22 25ABAEAB AE， 可得 2 2 ()25 2 ABAE ABAEAB AE ，从而 2 3 ()25 4 ABAE，即 10 3 3 ABAE当且仅当 5 3 3 ABAE时，等号成立，即将折线段赛道设计为 5 3 km 3 ABAE时，折线段赛道BAE最 长 （12 分） （方法二）在BAE中， 2 ,5km 3 BAEBE 设ABE，则0 3 ， 由正弦定理得 2 sin sinsin 33
26、 BEAEAB ，所以 10 310 3 sin ,sin 333 AEAB 则 10 310 310 3 1310 3 sinsinsincossin 33332233 AEAB 因为 0 3 ，所以当 6 时，ABAE取最大值即折线段赛道BAE最长，即将ABE设计为 6 时，折 线段赛道BAE最长 12 分 19 （1）证明：取PA的中点Q，连接,QF QD F是PB的中点，/ /QFAB，且 1 2 QFAB 底面ABCD为直角梯形，90CDABAD ， 22 2ABADDC， 1 / /, 2 CDAB CDAB/ /QFCD，且QFCD 四边形QFCD是平行四边形，/ /FCQD 又
27、FC 平面,PAD QD 平面,/ /PADFC平面PAD （5 分） （2） 解： 如图， 分别以,AD AB AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设(0)PAa a， 则(0,0,0), (0,2 2,0),(2 2, 2,0),(2 2,0,0),( 2,0,),0, 2, 22 aa ABCDEF 取平面ABCD的一个法向量为 1 (0,0,1)n （7 分） 2,2,2 2,0, 22 aa CECF ，设平面CEF的法向量为 2 ( , , )nx y z，则有 2 2 0 0 CE n CF n ， ， 即 220, 2 2 20, 2 a xyz a xz 不妨
28、取4 2z ，则,xa ya，即 2 ( , ,4 2)na a （9 分） 1 1 1 2 2 2 2 4 22 cos, 2 232 nn n n nna ，解得4a ，即PA的长为 4 （12 分） 20解： （1）将xc代入 22 22 1 xy ab 中，由 222 acb可得 4 2 2 b y a ， 所以相交弦长为 2 2b a ， 故有 2 222 2 1, , 3 , 2 b a c a abc 解得 2, 1, 3. a b c 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （5 分） （2） （方法一）由（1）知 12 (3,0),( 3,0)FF，则直线 12 ,PF
29、PF的方程分别为 1000 :330ly xxyy， 2000 :330ly xxyy 由题意可知 0000 22 22 0000 33 33 myymyy yxyx （7 分） 由于点P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，所以 2 2 0 0 1 4 x y， 所以 22 00 |3|3| 33 22 22 mm xx 因为 0 33, 22mx ， 所以 00 33 33 22 22 mm xx ，解得 0 3 4 mx 因此， 33 22 m 故实数m的取值范围是 3 3 , 2 2 （12 分） （方法二）设 1 PFt， 在 1 PFM中，由正弦定理得 11 3 sinsin tm PM
30、FMPF ， 在 2 PF M中，由正弦定理得 22 43 sinsin tm PMFMPF 因为 1212 ,PMFPMFMPFMPF 所以 3 43 tm tm ，解得 3 (2) 2 mt （10 分） 因为(,)tac ac，即(23,23)t， 所以实数m的取值范围是 3 3 , 2 2 （12 分） 21解： （1）由题意可知 122 2332 5 5 3 5 C C A A p A ， 故恰好经过 4 次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率为 3 5 （3 分） （2） （i）由已知得 12 ,Ek的所有可能取值为 1， 22 1,1(1) ,11 (1) kk kpppkp 2
31、 (1)(1) 1 (1)1(1) kkk Epkpkkp （5 分） 若 12 EE，则1(1) ,(1)1 kk kkkpkp ， 即 11 111 (1), 1,1 kk k ppp kkk ， 故p关于k的函数关系式为 1 1 1 k p k （ * kN，且2k） （7 分） （ii）由题意可知 21 EE，得 3 11 (1) ,1 k pp ke ， 3 111 ,ln 3 k kk ke ，设 1 ( )ln(0) 3 f xxx x， 则 3 ( ) 3 x fx x ，当3x 时，( )0f x ，即( )f x在(3,)上单调递减 （10 分） 4455 ln41.386
32、3,1.3333,ln4.ln51. 6094,1.6667,ln5 3333 k的最大值为 4 （12 分） 22解： （1） 2 ( )2ln,0F xxxaxax x， 2 2(2)(2)(1) ( ) xaxaxa x F x xx （1 分） 当0 2 a ，即0a时，( )F x在（0,1） 上单调递减，在(1,)上单调递增， 则 ( )(1)1F xFa 极小 ， 无极大值 （2 分） 当01 2 a ，即20a 时，( )F x在0, 2 a 和(1,)上单调递增，在,1 2 a 上单调递减，则 2 ( )ln,( )(1)1 242 aaa F xFaaF xFa 极大极小
33、（3 分） 当1 2 a ，即2a 时，( )F x在(0,)上单调递增，没有极值 （4 分） 当1 2 a 时，即2a时，( )F x在（0,1）和 2 a 上单调递增，在1, 2 a 上单调递减，则 (1)1)-FFax 极大 ， 2 ( )ln 242 aaa F xFaa 极小 （5 分） 综上，当0a时，( )1F xa 极小 ，无极大值； 当20a 时， 2 ( )ln 42 aa F xaa 极大 ，( )1F xa 极小 ； 当2a 时，( )F x没有极值； 当2a时， 2 ( )1,( )ln 42 aa F xaF xaa 极大极小 （6 分） （2）设 sin ( )(
34、0) 2cos x h xaxx x ，则 2 1 2cos ( ) (2cos ) x h xa x 令costx，则 1,1t ，令 2 12 ( ) (2) t t t ，则 43 2(2)(1)2(1) ( )0 (2)(2) ttt t tt ， ( ) t在 1,1上单调递增，且( ) t的值域为 1 1, 3 （8 分） 当 1 3 a时，( )h x为0,)上的增函数， ( )(0)0h xh，符合条件 （9 分） 当0a时， 1 0 222 ha ，不符合条件 （10 分） 当 1 0 3 a时，对于 sin 0, ( ) 23 x xh xax ，令 sincos ( ),( ) 33 xx T xaxT xa ， 存在0, 2 x ，使得当 0 0,xx时，( )0T x ， ( )T x在 0 0,x上单调递减， 0 (0)0T xT， 即当 0 0,xx时，( )0h x ，不符合条件 综上，a的取值范围为 1 , 3 （12 分）
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