1、2020 年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（一）年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（一） 一、选择题 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2若有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx1 D任意实数 3下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A旭日东升 B不期而遇 C海枯石烂 D水中捞月 4以下微信表情中，不是轴对称图形的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 5下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 6如图，点 P 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 ADB 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B， 选项图是
2、点 P 运动时，PBC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象是（ ） A B C D 7将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记 第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 c，则使关于 x 的一元二次方程 ax26x+c 0 有实数解的概率为（ ） A B C D 8平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图放置，y （k0，x0）的图象与矩形的边 AB、 BC 分别交于 E、F 两点，下列命题：若 E、F 重合，则 S矩形OABCk；若 E、F 不重 合，则线段 EF 与矩形对角线 AC 平行；若 E 为 AB 的中点，则 S矩形OA
3、BC2k，其中真 命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 9如图，AB 是O 的直径，ABa，点 P 在半径 OA 上，APb，过 P 作 PCAB 交O 于点 C，在半径 OB 上取点 Q，使得 OQCP，DQAB 交O 于点 D，点 C，D 位于 AB 两侧，则弧 AC 与弧 BD 的弧长之和为（ ） A B C D 10一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23、33和 43分别可以“分 裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 233+5，337+9+11，4313+15+17+19， 若 1003也按照此规律来进行 “分裂” ， 则 1003“分裂” 出的奇
4、数中， 最小的奇数是 （ ） A9999 B9910 C9901 D9801 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11化简： 12 疫情期间小童和爸爸妈妈爷爷奶奶测量体温结果分别为 （单位： ） ： 36.2、 37.1、 36.5、 37.1、36.6，其中中位数是 13 14如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在 边 BC 的点 F 处若 AE10，BF6，则 tanADE 15抛物线 yax2+bx+c 与直线 ymx+n 交于点 A（2，5）、B（3，）两点，则关于 x 的一元二次方程 a（x
5、+1）2+cn（mb）（x+1）的两根之和是 16如图，BE 是ABC 的角平分线，F 是 AB 上一点，ACFEBC，BE、CF 相交于点 G若 sinAEB，BG4，EG5，则 SABE 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17计算：（3a3）22a2 a4 18如图，点 E、F 在 BC 上，BEFC，ABDC，BC求证：AD 19轻松阿普九年级共有 900 名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的 读书活动为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童老师随机抽取 m 名学生， 调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成统计表和扇形图 学生读书数量统计表 阅读量/本
6、 学生人数 1 27 2 a 3 b 4 9 （1）直接写出 m、a、b 的值； （2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？ 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 OA 的 端点在格点上， 且 OA1 请选择适当的格点， 用无刻度的直尺在网格中完成下列画图， 保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）作OAB，使线段 OB2，线段 AB （2）C 为线段 OB 的中点，画OCDAOB （3）选择适当的格点 E，作BAE45 21如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 在以 AB 为直径的O 上，且 CD CA （1）求证
7、：CD 是O 切线 （2）求 tanAEC 的值 22某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/ 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 60 70 80 周销售量 y（件） 100 80 60 周销售利润 w（元） 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润 是 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0），物价部门规定该商品售
8、价不 得超过 70 元/件， 该商店在今后的销售中， 周销售量与售价仍然满足 （1） 中的函数关系 若 周销售最大利润是 1600 元，求 m 的值 23如图 1，在 RtABC 中，BAC90，AD 为 BC 边上的高，点 E 在线段 AB 上，连 接 CE 交 AD 于 F 点 （1）若 CE 平分ACB 求证：AEAF 如图 2，过 E 作 EGEC 交 BC 于 G，cosACE，求的值 （2）如图 3，ABmAC，AEnBE，过 E 作 EGEC 交 BC 于 G当 EFEG 时，直接 写出 m、n 满足的数量关系为 24如图，抛物线 yax2+bx+c 经过ADBC 的顶点 A（0
9、，3）、B（3，0）、D（2，3）抛 物线与 x 轴的另一交点为 E，经过点 E 的直线 l 将ADBC 分割成面积相等的两部分，与 抛物线交于另一点 F，点 P 在直线 l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t （1）求抛物线的解析式 （2）当 t 为何值时，PFE 的面积最大？并求出PFE 的面积最大值 （3）点 Q 为直线 AB 下方抛物线上一动点，是否存在点 Q 使QAB 为直角三角形？若 存在，求出 Q 点的横坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 12020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】
10、直接利用相反数的定义得出答案 解：2020 的相反数是：2020 故选：B 2若有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx1 D任意实数 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x+10，再解即可 解：由题意得：x+10， 解得：x1， 故选：C 3下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A旭日东升 B不期而遇 C海枯石烂 D水中捞月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 解：A、旭日东升，是必然事件； B、不期而遇，是随机事件； C、海枯石烂，是不可能事件； D、水中捞月，是不可能事件； 故选：B 4以下微信表情中，不是轴对称图形的有（ ）个 A1 B2 C3 D4 【分析
11、】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 解：第 1 个图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； 第 2 个图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； 第 3 图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； 第 4 个图形是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 5下列图形都是由大小相同的正方体搭成的，其三视图都相同的是（ ） A B C D 【分析】根据三视图的概念逐一判断即可得 解：A主视图是 3 个正方形，左视图是两个正方形，俯视图是 5 个正方形，故本选项不 合题意； B主视图是 2 个正方形，左视图是 3 个正方形，俯视图是 4 个正方形，故本选项不合题 意； C三视图都相同，都是有两列，从
12、左到右正方形的个数分别为：1、2；符合题意； D 左视图和俯视图相同， 有两列， 从左到右正方形的个数分别为： 2、 1； 左视图有两列， 从左到右正方形的个数分别为：1、2，故本选项不合题意 故选：C 6如图，点 P 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 ADB 以 1cm/s 的速度匀速运动到点 B， 选项图是点 P 运动时，PBC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象是（ ） A B C D 【分析】根据点 P 在 AD 边上运动时，PBC 的面积保持不变，当点 P 在 BD 边上运动 时，过点 P 作 PEBC 于点 E，可得 SPBC PE，根据 BC 的长不变，PE
13、 的长随 着时间 x 增大而减小，即可得到面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象 解：如图， 当点 P 在 AD 边上运动时， PBC 的面积保持不变， 当点 P 在 BD 边上运动时， 过点 P 作 PEBC 于点 E， 所以 SPBC PE 因为 BC 的长不变， PE 的长随着时间 x 增大而减小， 所以 y 的值随 x 的增大而减小 所以符合条件的图象为 A 故选：A 7将一枚六个面编号分别为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记 第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 c，则使关于 x 的一元二次方程 ax26x+c 0 有实数解的概率为（ ）
14、 A B C D 【分析】列表展示所有 36 种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到0，从而得 到使得一元二次方程 ax26x+c0 有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解 解：列表得： 一共有 36 种情况， b6，当 b24ac0 时，有实根，即 364ac0 有实根， ac9， 方程有实数根的有 17 种情况， 方程有实数根的概率， 故选：D 8平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图放置，y （k0，x0）的图象与矩形的边 AB、 BC 分别交于 E、F 两点，下列命题：若 E、F 重合，则 S矩形OABCk；若 E、F 不重 合，则线段 EF 与矩形对角线 AC 平行；若 E 为
15、 AB 的中点，则 S矩形OABC2k，其中真 命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】设 B（a，b），若 E、F 重合，则 y（k0，x0）的图象过点 B，根据 反比例函数的比例系数的几何意义便可判断； 若 E、F 不重合，用 a、b、k 表示表示 E、F 的坐标，进而得 AB、BC、BE、BF，再 证明BEFBAC，进而判断结论； 若 E 为 AB 的中点，则 E（a，b），进而求得 ab 的值，便可判断结论 解：设 B（a，b）， 若 E、F 重合，则 y（k0，x0）的图象过点 B，根据反比例函数的比例系数的 几何意义知，S矩形OABCk， 故是真命题； 若 E、F 不重
16、合， B（a，b）， E（，b），F（a，）， BEa，BFb，ABa，BCb， ， BB， BEFBAC， BFEBCA， EFAC， 故是真命题； 若 E 为 AB 的中点，则 E（a，b）， ， ab2k， S矩形OABCAB BCab2k， 故是真命题 故选：D 9如图，AB 是O 的直径，ABa，点 P 在半径 OA 上，APb，过 P 作 PCAB 交O 于点 C，在半径 OB 上取点 Q，使得 OQCP，DQAB 交O 于点 D，点 C，D 位于 AB 两侧，则弧 AC 与弧 BD 的弧长之和为（ ） A B C D 【分析】连接 OC、OD，如图，先证明 RtOPCRtDQO
17、得到POCODQ，则 POC+DOQ90，然后根据弧长公式计算弧 AC 与弧 BD 的弧长之和 解：连接 OC、OD，如图， CPOA，DQOB， OPCOQD90， 在 RtOPC 和 RtDQO 中 ， RtOPCRtDQO（HL）， POCODQ， 而ODQ+DOQ90， POC+DOQ90， 弧 AC 与弧 BD 的弧长之和a 故选：B 10一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：23、33和 43分别可以“分 裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 233+5，337+9+11，4313+15+17+19， 若 1003也按照此规律来进行 “分裂” ， 则 10
18、03“分裂” 出的奇数中， 最小的奇数是 （ ） A9999 B9910 C9901 D9801 【分析】根据“233+5；337+9+l1；4313+15+17+19”，归纳出 m3“分裂”出的奇 数中最小的奇数是 m（m1）+1，把 m100 代入，计算求值即可 解：233+5；337+9+l1；4313+15+17+19； 321+1， 732+1， 1343+1， m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是 m（m1）+1， 1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是 10099+19901， 故选：C 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11化简： 【分析】本题可将
19、 20 分为两个相乘的数，将含平方因数开方即可 解：2 12 疫情期间小童和爸爸妈妈爷爷奶奶测量体温结果分别为 （单位： ） ： 36.2、 37.1、 36.5、 37.1、36.6，其中中位数是 36.6 【分析】根据中位数的定义求解即可 解：从小到大排列此数据为：36.2，36.5，36.6，37.1，37.1， 第 3 个数据为 36.6， 中位数为 36.6 故答案为：36.6 13 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值 解：原式 故答案为： 14如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠，点 A 恰好落在 边 BC 的点
20、 F 处若 AE10，BF6，则 tanADE 【分析】 由翻折变换的性质得出 EFAE5， 由勾股定理求出 BE 的长， 再由 ABAE+BE 求出 AB 的长，再由三角函数定义求出 CF 的长，进而求出 AD 的长，即可得出答案 解：四边形 ABCD 是矩形， BCA90，ABCD，ADBC， FDC+DFC90， 由折叠的性质得：DFEA90，FEAE10，FDAD， BFE+DFC90， FDCBFE， 在 RtBEF 中，FEAE10，BF6， BE8， CDABAE+BE10+818， tanFDCBFE， CFCD1824， ADBCBF+CF6+2430， tanADE； 故答
21、案为： 15抛物线 yax2+bx+c 与直线 ymx+n 交于点 A（2，5）、B（3，）两点，则关于 x 的一元二次方程 a（x+1）2+cn（mb）（x+1）的两根之和是 1 【分析】根据抛物线 yax2+bx+c 与直线 ymx+n 交于点 A（2，5）、B（3， ）两 点，可以得到方程 ax2+bx+cmx+n 的两个根，然后将所求的方程变形，即可得到所求方 程的两个根，从而可以求得所求方程两根之和，本题得以解决 解：抛物线 yax2+bx+c 与直线 ymx+n 交于点 A（2，5）、B（3， ）两点， 方程 ax2+bx+cmx+n 的两个根为 x12，x23， a（x+1）2+
22、cn（mb）（x+1）可变形为 a（x+1）2+b（x+1）+cm（x+1）+n， x+12 或 x+13， 解得，x33，x42， 方程 a（x+1）2+cn（mb）（x+1）的两根之和是3+21， 故答案为：1 16如图，BE 是ABC 的角平分线，F 是 AB 上一点，ACFEBC，BE、CF 相交于点 G若 sinAEB，BG4，EG5，则 SABE 81 【分析】如图，过点 B 作 BTAC 于 T，连接 EF在 RtBET 中，解直角三角形求出 BT，ET，BC，由ECGEBC，求出 EC，CG，再利用相似三角形的性质求出 EF， BF，AE，AB，证明点 T 与点 A 重合即可解
23、决问题 解：如图，过点 B 作 BTAC 于 T，连接 EF BE 平分ABC， ABECBE， ECGABE， ECGCBE， CEGCEB， ECGEBC， ， EC2EG EB5（5+4）45， EC0， EC3， 在 RtBET 中，sinAEB，BE9， BT， ET， CTET+CE， BC6， CG10， ECGFBG， E，F，B，C 四点共圆， EFGCBG， FGEBGC， EGFCGB， ， ， EF5， AFEACB，EAFBAC， EAFBAC， ，设 AEx，则 AB2x， FBGECG，BGFCGE， BGFCGE， ， ， BF， AE ACAF AB， x（x
24、+3）（2x ） 2x， 解得 x， AEET， 点 A 与点 T 重合， AB2AE， SABE ABAE81 故答案为 81 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17计算：（3a3）22a2 a4 【分析】原式利用单项式乘以单项式法则计算，再利用幂的乘方与积的乘方法则计算即 可得到结果 解：原式9a62a6 7a6 18如图，点 E、F 在 BC 上，BEFC，ABDC，BC求证：AD 【分析】可通过证ABFDCE，来得出AD 的结论 【解答】证明：BEFC， BE+EFCF+EF， 即 BFCE； 又ABDC，BC， ABFDCE（SAS）， AD 19轻松阿普九年级共有 900 名
25、学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的 读书活动为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童老师随机抽取 m 名学生， 调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成统计表和扇形图 学生读书数量统计表 阅读量/本 学生人数 1 27 2 a 3 b 4 9 （1）直接写出 m、a、b 的值； （2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？ 【分析】 （1）根据阅读量为 1 本的人数和所占的百分比求出 m，再用 m 的值乘以乘阅读 量为 3 本的人数所占的百分比求出 b，再用总人数减去其它学生数求出 a 的值； （2）用总人数乘以平均每人课外阅读书籍的量即可得
26、出答案 解：（1）由题意可得： m2730%90，b9040%36，a902736918， 即 m 的值是 90，a 的值是 18，b 的值是 36； （2）根据题意得： 900 2070（本）， 答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是 2070 本 20如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 OA 的 端点在格点上， 且 OA1 请选择适当的格点， 用无刻度的直尺在网格中完成下列画图， 保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）作OAB，使线段 OB2，线段 AB （2）C 为线段 OB 的中点，画OCDAOB （3）选择适当的格点 E，作BA
27、E45 【分析】（1）依据勾股定理即可得出点 B 的位置； （2）依据相似三角形的判定，即可得到格点 D 的位置； （3）依据等腰直角三角形的底角等于 45，即可得到格点 E 的位置 解：（1）如图所示，OAB 即为所求； （2）如图所示，OCDAOB； （3）如图所示，BAE45 21如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 在以 AB 为直径的O 上，且 CD CA （1）求证：CD 是O 切线 （2）求 tanAEC 的值 【分析】（1）连接 OC，OD，根据全等三角形的性质得到CDOCAB90，根据 切线的判定定理即可得到结论； （2）过 B 作 BHAB 交 AD 的延长线于
28、 H，根据已知条件得到 OCAD 于 T，求得1 3， 根据全等三角形的性质得到 BHAO， 设 OAOBr， 则 ACAB2r， BHr， 由勾股定理得到 OCr， 求得 BC2r， 根据相似三角形的性质得到 CT，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】（1）证明：连接 OC，OD， OAOD，ACCD，OCOC， AOCDOC（SSS）， CDOCAB90， AB 为O 的直径， CD 是O 切线； （2）解：过 B 作 BHAB 交 AD 的延长线于 H， BACABH90， CDAD，ODOA， OCAD 于 T， OTA90， 1+22+390， 13， ACAB，BAOABH90
29、， ACOBAH（ASA）， BHAO， 设 OAOBr，则 ACAB2r，BHr， OCr， BC2r， BAC+ABH180， BHAC， BEHCEA， ， CEBCr， cos1， CT， 在 RtCET 中，ETr， tanAEC3 22某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/ 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 60 70 80 周销售量 y（件） 100 80 60 周销售利润 w（元） 2000 2400 2400 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求 y 关于 x 的函
30、数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 该商品进价是 40 元/件；当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0），物价部门规定该商品售价不 得超过 70 元/件， 该商店在今后的销售中， 周销售量与售价仍然满足 （1） 中的函数关系 若 周销售最大利润是 1600 元，求 m 的值 【分析】（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b，用待定系数法求解即可； 该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；根据周销售利润周销售量 （售价进价），列出 w 关于 x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （
31、2）根据周销售利润周销售量（售价进价），列出 w 关于 x 的二次函数，根据题 意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于 m 的方程，求解即可 解：（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b，将（60，100），（70，80）分别代入 得： ， 解得： y 关于 x 的函数解析式为 y2x+220 该商品进价是 60200010040（元/件）； 由题意得： wy（x40） （2x+220）（x40） 2x2+300x8800 2（x75）2+2450， 二次项系数20，抛物线开口向下， 当售价是 75 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 2450 元 故答案为：40，
32、75，2450 （2）由题意得： w（2x+220）（x40m） 2x2+（300+2m）x8800220m， 二次项系数20，抛物线开口向下，对称轴为：x75+， 又x70， 当 x75+时，w 随 x 的增大而增大， 当 x70 时， w 有最大值：（270+220）（7040m）1600 解得：m10 周销售最大利润是 1600 元时，m 的值为 10 23如图 1，在 RtABC 中，BAC90，AD 为 BC 边上的高，点 E 在线段 AB 上，连 接 CE 交 AD 于 F 点 （1）若 CE 平分ACB 求证：AEAF 如图 2，过 E 作 EGEC 交 BC 于 G，cosAC
33、E，求的值 （2）如图 3，ABmAC，AEnBE，过 E 作 EGEC 交 BC 于 G当 EFEG 时，直接 写出 m、n 满足的数量关系为 mn1 【分析】（1）欲证明 AEAF，只要证明AEFAFE 即可 如图 2 中， 作 AHEF 于 H 证明EAHACH， 推出 cosEAHcosACH ，设 AH4k，AE5k，则 EHFH3k，想办法求出 EFEG 即可解决问题 （2）如图 2 中，作 EMBC 于 M，ENAD 于 N首先证明EMGENF（AAS）， 推出 EMEN，由n，可以假设 BDk，则 ADnk， 再证明ADBCDA，推出m，即可得出结论 【解答】（1）证明：如图
34、1 中， ADBC， ADC90， BAC90， B+ACD90，CAD+ACD90， BCAD， CE 平分ACB， ACEBCE， AECB+BCE，AFCCAD+ACE， AEFAFE， AEAF 解：如图 2 中，作 AHEF 于 H AEAF，AHEF， EHFH， EAH+CAH90，CAH+ACH90， EAHACH， cosEAHcosACH，设 AH4k，AE5k，则 EHFH3k， cosACH，AH4k， CHk， ECEH+CH3k+kk， cosECGcosACE， CGk， EGk， （2）解：如图 2 中，作 EMBC 于 M，ENAD 于 N ADBC，EMBC
35、，ENAD， EMDENDMDN90， EMN90， EGEC， GEFMEN90， GEMFEN， EGEF， EMGENF（AAS）， EMEN， n， 可以假设 BDk，则 ADnk， ADBADC90，BCAD， ADBCDA， m m mn1 故答案为：mn1 24如图，抛物线 yax2+bx+c 经过ADBC 的顶点 A（0，3）、B（3，0）、D（2，3）抛 物线与 x 轴的另一交点为 E，经过点 E 的直线 l 将ADBC 分割成面积相等的两部分，与 抛物线交于另一点 F，点 P 在直线 l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t （1）求抛物线的解析式 （2）当 t 为
36、何值时，PFE 的面积最大？并求出PFE 的面积最大值 （3）点 Q 为直线 AB 下方抛物线上一动点，是否存在点 Q 使QAB 为直角三角形？若 存在，求出 Q 点的横坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将点 A，B，D 的坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先确定出点 E 的坐标，再确定出 AB 中点 O的坐标，进而求出直线 l 的解析式，即 可求出点 F 的坐标，设出点 P 的坐标，表示出点 H 的坐标，进而表示出 PH，最后用三 角形面积公式建立 SPEF（t）2+，即可得出结论； （3） 当ABQ90时， 构造出BSQAKB， 得出， 设 Q （m， m2+2
37、m+3） ， 求出 AK3，BK3，QS3m，BSm22m3，进而建立方程求解即可得出结论； 当AQB90时，同的方法即可得出结论 解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过ADBC 的顶点 A（0，3）、B（3，0）、D（2，3）， ， ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图 1，由（1）知，抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 令 y0，则x2+2x+30，解得 x1 或 x3， E（1，0）， 设ADBC 的对角线 AB，CD 的交点为 O， 点 O是 AB 的中点 分割成面积相等的两部分， 直线 l 过点 O， 直线 l 的解析式为 yx+， 联立解得，或， F（，），
38、 过点 P 作 PHy 轴交直线 l 于 H， 设 P（t，t2+2t+3）（0t），则 H（t，t+ ）， PHt2+2t+3 t t2+t+（t ）2+， SPEFPH（xFxE） （t） 2+ （+1） （t ） 2+ ， 当 t时，PEF 的面积最大，最大值为； （3）如图 2， 当ABQ90时，过点 B 作直线 KSx 轴，过点 A 作 AKBS 于 K，过点 Q 作 QS BS 于 S， SK90， SQB+SBQ90， SBQ+ABK90， BQSABK， BSQAKB， ， 设 Q（m，m2+2m+3）， A（0，3），B（3，0）， AK3，BK3，QS3m，BSm22m3， ， m3（点 B 的横坐标）或 m2， 点 Q 的横坐标为2； 当AQB90时，过点 Q作直线 QNx 轴于 N，过点 A 作 AMQN 于 M， 同的方法得，AMQQNB， ， 设 Q（n，n2+2n+3）（n0）， 则 AMn，MQ3（n2+2n+3）n22n，QNn2+2n+3，BN3n， ， n或 n（舍去）， 即点 Q 的横坐标为或2
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