1、设集合 Ax|x0，集合，则 AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） Ai（1+i） Bi（1i）2 Ci2（1+i）2 Di+i2+i3+i4 3 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a5+a950，a413，则 S10（ ） A170 B180 C189 D190 4 （5 分）在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点，则 sin2（ ） A B C D 5 （5 分）函数的图象大致形状是（ ） A B C D 6 （5 分）
2、已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为 8 的样本，他们的 数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如图所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95 第 2 页（共 22 页） 根据以上信息，则下列结论： 根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； 根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙） ，若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数 学成绩为 60 分，则可以判断出甲同学的物理成
3、绩一定比乙同学的物理成绩高； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙） ，若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数 学成绩为 60 分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 7（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n D若 m，mn，n，则 8 （5 分） “学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义 思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台该平台设有“
4、人物” 、 “视 听学习”等多个栏目假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了 2 篇文章， “视听学习” 更新了 4 个视频一位学习者准备从更新的这 6 项内容中随机选取 2 个视频和 2 篇文章 进行学习，则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）种 A36 B48 C72 D144 9 （5 分）已知曲线1 右焦点为 F，P 为双曲线左支点上一点，点 A（0，） ， 则APF 周长的最小值为（ ） A4（1+） B4+ C2（+） D+3 第 3 页（共 22 页） 10 （5 分）函数的最小正周期为 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点对称
5、 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 11 （5 分）已知是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为 60，则 的最大值是（ ） A B2 C D 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，对xR，f（x+2）f（x）+f（1） ，且当 x2， 3时，f（x）2（x3）2，若函数 F（x）loga（|x|+1）f（x） （a0 且 a1）在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）设直线 y3x+m 是曲线 yx33x2+3 的一条
6、切线，则实数 m 的值是 14 （5 分）已知数据 x1，x2，x2020的方差为 4，若 yi2（xi3） （i1，2， 2020） ，则新数据 y1，y2，y2020的方差为 15 （5 分）已知数列an满足 a12，an2an1+2n（n2，且 nN*） ，则 a8 16 （5 分）在平面上给定相异两点 A、B，在同一平面上的点 P 满足，当 0 且 1 时，P 点的轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们 称这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆1（ab0） ，A、B 为椭圆的长轴端点， C、D 为椭圆的短轴端点，动点 P 满足2，PAB 的面积的最大值为，PCD 面积的最小
7、值为，则椭圆的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17（12 分） 在ABC 中， 已知内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 向量， 第 4 页（共 22 页） 向量，且，角 B 为锐角 （1）求角 B 的大小； （2）若 b2，求ABC 面积的最大值 18 （12 分）已知几何体 A
8、BCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABCD，AB ADEA2，CDCF4 （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求二面角 EBDF 的余弦值 19 （12 分）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采 购商从采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这 100 个水果中有放回地随机抽取 4 个，求恰好有 2 个水果 是礼品果的概率； （结果用分数表示） （2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
9、 方案 1：不分类卖出，单价为 20 元/kg 方案 2：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价（元/kg） 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这 100 个水果中抽取 10 个，再从抽取的 10 个水果中随机抽取 3 个，X 表示抽取的是精品果的数量，求 X 的分布列及数学期望 E（X） 20 （12 分）已知直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A、B 两点，且与圆（x1）2+y21 相切 （）求直线 l 在 x 轴上截距 c 的取值范围； 第 5 页（共 22 页） （）设 F 是抛物线的焦点，0
10、，求直线 l 的方程 21 （12 分）设函数 f（x）ex+asinx+b（a，b 为实数） （1）当 a1，x0，+）时，f（x）0 恒成立，求 b 的取值范围； （2）若曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为 xy10，求 a，b 的值，并证明 x（0， +）时，f（x）lnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答答题时请在答卷中写清题中任选一题作答答题时请在答卷中写清 题号并将相应信息点涂黑题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的
11、参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2） 设 P 是曲线 C1上一点， 此时参数 ， 将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为 T，求OTQ 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2a|+|xa| （）当 a1 时，求不等式 f（x）4|x+2|的解集； （）设 a0，b0，且 f（x）的最小值是 t若 t+3b3，求的最小值 第 6 页（共 22 页） 2020 年广东省惠州
12、市高考数学一模试卷（理科）年广东省惠州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 （5 分）设集合 Ax|x0，集合，则 AB（ ） Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 【分析】先求出集合 B，再利用集合的并集运算即可求出结果 【解答】解：x10，x1， 集合 Bx|x1， ABx|x0， 故选：A 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题 2 （5 分）
13、已知 i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） Ai（1+i） Bi（1i）2 Ci2（1+i）2 Di+i2+i3+i4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一化简四个选项得答案 【解答】解：对于 A，i（1+i）1+i，不是纯虚数； 对于 B，i（1i）22i22，不是纯虚数； 对于 C，i2（1+i）22i，是纯虚数； 对于 D，i+i2+i3+i4i1i+10，不是纯虚数 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a5+a950，a413，则 S10（ ） A170 B180 C
14、189 D190 【分析】根据等差数列的性质可得 a1+a10a4+a738，再根据求和公式即可求出 【解答】解：a5+a950， 2a7a5+a950， a725， a413， 第 7 页（共 22 页） a1+a10a4+a713+2538， S10（a1+a10）190 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了运算能力，属于基础题 4 （5 分）在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边与单位圆交于点，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得结果 【解答】解：平面直角坐标
15、系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴 重合，终边与单位圆交于点， sin，cos， 则 sin22sincos， 故选：B 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础 题 5 （5 分）函数的图象大致形状是（ ） A B C D 【分析】由，然后根据指数函数的图象可判断 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：， 根据指数函数的图象可知，选项 B 符合题意 故选：B 【点评】本题主要考查了函数图象的应用，属于基础试题 6 （5 分）已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为 8 的样本，他们的 数学、物理成绩（单位：分）对应如下表
16、，对应散点图如图所示： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95 根据以上信息，则下列结论： 根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； 根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙） ，若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数 学成绩为 60 分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； 从全班随机抽取 2 名同学（记为甲、乙） ，若甲同学的数学成绩为 80 分，乙同学的数 学成绩为 60 分，则
17、不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高； 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由散点图可知，两变量间是相关关系，非函数关系，即正确，错误； 利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，即正确，错误 【解答】解：由散点图可知，两变量间是相关关系，非函数关系，即正确，错误； 利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，即正确，错误 故选：B 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查散点图、变量间的相关关系和概率的含义等基础知识，考查学生的推 理论证能力，属于基础题 7（5 分） 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， 则下列命题中正
18、确的是 （ ） A若 m，n，则 mn B若 ，m，n，则 mn C若 m，n，nm，则 n D若 m，mn，n，则 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合面面垂直的判定定 理即可找出正确选项 【解答】解：A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面； C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； D正确，由 m，mn 便得 n，又 n，即 故选：D 【点评】考查根据选项中的条件及结论想象对应图形的能力，两直线平行、两平面平行、 线面垂直的概念，以及面面垂直的判定定
19、理 8 （5 分） “学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义 思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台该平台设有“人物” 、 “视 听学习”等多个栏目假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了 2 篇文章， “视听学习” 更新了 4 个视频一位学习者准备从更新的这 6 项内容中随机选取 2 个视频和 2 篇文章 进行学习，则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）种 A36 B48 C72 D144 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，在 4 个视频中任选 2 个进行学习，分析 2 篇文章学习顺序不相邻的排法，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：
20、根据题意，分 2 步进行分析： ，在 4 个视频中任选 2 个进行学习，有 C426 种情况， ，将选出的 2 个视频与 2 篇文章依次进行学习，有 A4424 种情况，其中 2 篇文章学 习顺序相邻的情况有 A22A3312 种情况， 则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有 61272 种； 故选：C 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 9 （5 分）已知曲线1 右焦点为 F，P 为双曲线左支点上一点，点 A（0，） ， 则APF 周长的最小值为（ ） A4（1+） B4+ C2（+） D+3 【分析】利用双曲线的性质，转化求解三
21、角形的面积的最小值，判断最小值的位置是解 题关键 【解答】解：曲线1 右焦点为 F（，0） ，APF 的周长 l|AF|+|AP|+|PF| |AF|+2a+|PF|+|AP|，要APF 的周长最小，只需|PF|+|AP|，最小，如图，当 A、P、 F 三点共线时取到，故 l2|AF|+2a4（1+） 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 10 （5 分）函数的最小正周期为 ，若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f（x）的图象（ ） A关于点对称 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律
22、，三角函数的奇偶性，求出 f （x）的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论 【解答】解：函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的最小正周期为 T ， 第 11 页（共 22 页） 2， 函数图象向右平移个单位后得到的函数为 y2sin2（x）+2sin（2x +）的图象， 又所得函数为奇函数，|， 可得 ， f（x）2sin（2x+） 对于 A，f（）sin（+）0，则 f（x）的图象关于点（，0）对称，故 A 成立； 对于 B，由于 2k2x+2k+，kZ，可得：+kx+k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ，故 B 错误； 对于 C，由 2x+k，kZ，解得
23、 x+k，kZ，故 C 错误； 对于 D，f（）2sin2，故 D 错误 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的奇偶性以及 图象的对称性，属于中档题 11 （5 分）已知是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为 60，则 的最大值是（ ） A B2 C D 【分析】 设 （1， 0） ， （，） ， （cos， sin） ， 则+2sin （30） ，根据三角函数的性质可求， 【解答】解：不妨设 （1，0） ， （，） ， （cos，sin） ， （，） ， 2 （12cos，2sin） ， （12cos） +sin+sincos+2sin （30） ，
24、 1sin（30）1， 第 12 页（共 22 页） +2sin（30）， +2sin（30）的最大值为， 故选：D 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题 12 （5 分）已知偶函数 f（x）的定义域为 R，对xR，f（x+2）f（x）+f（1） ，且当 x2， 3时，f（x）2（x3）2，若函数 F（x）loga（|x|+1）f（x） （a0 且 a1）在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】令 x1，推出 f（1）0，求出函数的周期为 2，利用函数的图象以及函数的 零点个数，推出 a 的范围，转化求解即可 【解答】解：令
25、 x1，可得 f（1）f（1）+f（1）2f（1） ，所以 f（1）0， 所以 f（x+2）f（x） ，函数的周期为 2， 当 x2，3时，f（x）2（x3）2， 若函数 F（x）loga（|x|+1）f（x） （a0 且 a1）在 R 上恰有 6 个零点，所以 a（0， 1） ， 由此可得函数 yf（x）与 yloga（|x|+1）的图象如图： 由图象可知 f（2）2loga3，解得 a， f（4）2loga5，解得 a， 所以 a 故选：B 【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
26、共 20 分分 第 13 页（共 22 页） 13 （5 分）设直线 y3x+m 是曲线 yx33x2+3 的一条切线，则实数 m 的值是 4 【分析】先求出曲线的导数，然后令导数为3，求出切点的横坐标，进而求出切点的坐 标，最后将切点坐标代入切线，即可求出 m 的值 【解答】解：y3x26x， 由题意得 3x26x3，解得 x1， 将 x1 代入曲线 yx33x2+3 得切点为（1，1） 将（1，1）代入 y3x+m 得 m4 故答案为：4 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于中档题 14 （5 分）已知数据 x1，x2，x2020的方差为 4，若 yi2（xi3） （i1，
27、2， 2020） ，则新数据 y1，y2，y2020的方差为 16 【分析】根据方差的性质计算即可 【解答】解：根据题意，样本数据 x1，x2，x2020的方差是 4， yi2（xi3） （i1，2，2020） ， 则 y1，y2，y2020的方差为 D（Y）D（2（x3） ）4D（X）4416， 故答案为：16 【点评】本题考查了方差的性质的应用，熟练掌握方差的性质是解题的关键，本题是一 道基础题 15 （5 分）已知数列an满足 a12，an2an1+2n（n2，且 nN*） ，则 a8 2048 【分析】利用数列的递推关系式，推出数列是等差数列，然后求解通项公式，即可 得到结果 【解答】
28、 解： 数列an满足 a12， an2an1+2n（n2， 且 nN*） ， 可得：， 可得数列是等差数列，首项为 1，公差为 1， 所以1+（n1）1n， 所以 ann2n，a88282048 故答案为：2048 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，考查计算能力 16 （5 分）在平面上给定相异两点 A、B，在同一平面上的点 P 满足，当 0 且 1 时，P 点的轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们 称这个圆为阿波罗尼斯圆现有椭圆1（ab0） ，A、B 为椭圆的长轴端点， C、D 为椭圆的短轴端点，动点 P 满足2，PA
29、B 的面积的最大值为，PCD 面积的最小值为，则椭圆的离心率为 【分析】由题意可得 A，B，C，D 的坐标，设 P 的坐标，由动点 P 满足2，可得 P 的轨迹方程，可得PAB 的面积最大值，PCD 最小值，进而求出 a，b 的值，再求出 椭圆的离心率 【解答】解：由题意可得 A（a，0） ，B（a，0） ，设 P（x，y） ，|PA|2|PB|， 所以2，两边平方可得： （xa）2+y2（a）2， 故为圆心（a，0） ，半径 ra 的圆， 所以（SPAB）2aa，解得 a2， （SPCD）2b（aa）b，所以可得 b1， 所以离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的性质及三角形面积的最
30、大最小值，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个考生都必须作答第题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17（12 分） 在ABC 中， 已知内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 向量， 向量，且，角 B 为锐角 （1）求角 B 的大小； （2）若 b2，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）结合向量平行的坐标表示及二倍角公式进行化简可求
31、 B； 第 15 页（共 22 页） （2）由已知结合余弦定理及基本不等式可求 ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即 可求解 【解答】解： （1）由可得sin2B， 所以 tan2B， 因为 B 为锐角， 所以 2B即 B， （2）由余弦定理可得，cosB， 所以 a2+c24+ac2ac，当且仅当 ac2 时取等号， 所以 ac4， SABC即面积的最大值 【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示及二倍角公式在三角化简中的应用，还考 查了余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式的应用，属于中档试题 18 （12 分）已知几何体 ABCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABC
32、D，AB ADEA2，CDCF4 （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求二面角 EBDF 的余弦值 【分析】 （1）推导出 BDBC，FC面 ABCD，BDFC，从而 BD面 BCF，由此能证 明面 BDF面 BCF （2）分别以 DA、DC 所在直线为 x，y 轴，以 D 为垂足，作面 DAC 的垂线为 z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 EBDF 的余弦值 【解答】解： （1）证明：由已知得 BDBC2， BD2+BC2CD2，BDBC， FCEA，且 AE面 ABCD，FC面 ABCD， 第 16 页（共 22 页） BC面 ABCD，BDFC， FCBCC，
33、BD面 BCF， BD面 BDF，面 BDF面 BCF （2）解：分别以 DA、DC 所在直线为 x，y 轴， 以 D 为垂足，作面 DAC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， D（0，0，0） ，B（2，2，0） ，E（2，0，2） ，F（0，4，4） ， 则（2，2，0） ，（2，0，2） ，（0，4，4） ， 设面 DEB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1） ， 设平面 DBF 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a1，得 （a1，1，1） ， 设二面角 EBDF 的平面角为 ， 则 cos， 二面角 EBDF 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明
34、，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采 第 17 页（共 22 页） 购商从采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 （1）若将频率视为概率，从这 100 个水果中有放回地随机抽取 4 个，求恰好有 2 个水果 是礼品果的概率； （结果用分数表示） （2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考， 方案 1：不分类卖出，单价为
35、20 元/kg 方案 2：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价（元/kg） 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这 100 个水果中抽取 10 个，再从抽取的 10 个水果中随机抽取 3 个，X 表示抽取的是精品果的数量，求 X 的分布列及数学期望 E（X） 【分析】 （1）求出从 100 个水果中随机抽取一个抽到礼品果的概率值，再计算所求的概 率值； （2）计算方案 2 的数学期望值，与方案 1 比较即可； （3）用分层抽样法求抽出精品果个数，计算对应概率值，写出分布列，求出数学期望值 【解答】解：
36、（1）设从 100 个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为 A， 则， 设有放回地随机抽取 4 个，恰好抽到 2 个礼品果为事件 B， ； （2）设方案 2 的单价为 ，则单价 的期望值为 ； 因为 E（）20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案 （3）用分层抽样的方法从 100 个水果中抽取 10 个，则其中精品果 4 个，非精品果 6 个； 现从中抽取 3 个，则精品果的数量 X 服从超几何分布，所有可能的取值为 0，1，2，3； 则； 第 18 页（共 22 页） ；， 所以 X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以数学期望为 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与
37、数学期望的计算问题，也考查了概率与 统计知识的应用问题，是中档题 20 （12 分）已知直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A、B 两点，且与圆（x1）2+y21 相切 （）求直线 l 在 x 轴上截距 c 的取值范围； （）设 F 是抛物线的焦点，0，求直线 l 的方程 【分析】 （）设直线 l 的方程为 xmy+c，由直线 l 与圆（x1） 2+y21 相切，可得 m2 c22c，直线 l 的方程代入 y24x，消去 x，由直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两 点，得0，即可求直线 l 在 x 轴上截距 c 的取值范围； （）由（x11） （x21）+y1y2（1） （1）+
38、y1y2，结合韦达定 理和条件，解方程，即可求直线 l 的方程 【解答】解： （）设直线 l 的方程为 xmy+c， （x1）2+y21 的圆心为（1，0） ，半径 为 1， 由直线 l 与圆（x1）2+y21 相切， 得 1，化简得 m2c22c， 直线 l 的方程代入 y24x，消去 x，得 y24my4c0， （*） 由直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，得（4m）2+16c0，即 m2+c0， 将 m2c22c 代入上式，得 c2c0 解得 c1，或 c0， 注意到 m2c22c0，从而有 c2，或 c0； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，F（1，0）
39、， 第 19 页（共 22 页） 由（*）得 y1+y24m，y1y24c， 所以（x11） （x21）+y1y2（1） （1）+y1y2 y1y2+（y1y2）2（y1+y2）2+1， 将 y1+y24m，y1y24c 代入上式， 由0，得 c24m26c+10， 所以 c24（c22c）6c+10，即 3c22c10 解得 c，或 c1（舍去） 故 m 所以直线 l 的方程为 3x+y+10，或 3xy+10 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的 运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键 21 （12 分）设函数 f（x）ex+asinx+b
40、（a，b 为实数） （1）当 a1，x0，+）时，f（x）0 恒成立，求 b 的取值范围； （2）若曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为 xy10，求 a，b 的值，并证明 x（0， +）时，f（x）lnx 【分析】 （1）由 f（x）ex+asinx+b，当 a1 时，得 f（x）ex+cosx利用导函数的符 号，利用函数的恒成立，推出最值得到不等式求解即可 （2）由 f（x）ex+asinx+b 得 f（x）ex+acosx，且 f（0）1+b先证 ex2x1， 即 exx10（x0） ， 令 g（x）exx1， （x0） ，则 g（x）ex10，通过函数的单调性证明即可，再 证 x1
41、lnx，即 x1lnx0（x0） ，令 （x）x1lnx，利用函数的导数求解函 数的最小值，推出结果即可 【解答】解： （1）由 f（x）ex+asinx+b， 当 a1 时，得 f（x）ex+cosx 当 x0，+）时，ex1，cosx1，1，且当 cosx1 时，x2k+，kN，此时 ex1 所以 f（x）ex+cosx0，即 f（x）在0，+）上单调递増， 第 20 页（共 22 页） 所以 f（x）minf（0）1+b， 由 f（x）0 恒成立，得 1+b0，所以 b1 （2）由 f（x）ex+asinx+b 得 f（x）ex+acosx，且 f（0）1+b 由题意得 f（0）e0+a
42、1，所以 a0 又（0，1+b）在切线 xy10 上 所以 01b10所以 b2 所以 f（x）ex2 先证 ex2x1，即 exx10（x0） ， 令 g（x）exx1， （x0） ， 则 g（x）ex10， 所以 g（x）在（0，+）是增函数 所以 g（x）g（0）0，即 ex2x1 再证 x1lnx，即 x1lnx0（x0） ， 令 （x）x1lnx， 则，（x）0 时，x1，（x）0 时，x1，（x）0 时， 0x1 所以 （x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数， 所以 （x）min（1）0 即 x1lnx0，所以 x1lnx 由得 ex2lnx，即 f（x）lnx 在（
43、0，+）上成立 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化 思想以及计算能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答答题时请在答卷中写清题中任选一题作答答题时请在答卷中写清 题号并将相应信息点涂黑题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为（ 为参数） 以 坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）
44、设 P 是曲线 C1上一点， 此时参数 ， 将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为 T，求OTQ 的面积 第 21 页（共 22 页） 【分析】 （1）由（ 为参数） ，消去参数 ，可得曲线 C1的普通方程，结 合 xcos，ysin，可得曲线 C1的极坐标方程由 ，得 22，则 C2的直角 坐标方程可求； （2）当 时，P（1，） ，sinxOP，cos，将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转，交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T，求出|OQ|，|OT| 1，再求出QOT 的正弦值，代入三角形面积公式求解 【解答】解： （1）由（ 为参数） ，消去参数 ， 可得曲线 C1的普通方程为， 由 xcos，ysin，可得曲线 C1的极坐标方程为 2cos2+22sin220 由 ，得 22，则 C2的直角坐标方程为 x2+y22； （2）当 时，P（1，） ，sinxOP，cos， 将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转，交曲线 C2于点 Q，又曲线 C1的上顶点为点 T， |OQ|，|OT|1， 则 【点评】本题考查简单曲线
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