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    2020年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷(理科)(4月份)含详细解答

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    2020年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷(理科)(4月份)含详细解答

    1、已知集合 Ax|x22x30,Bx|log2x2,则集合 AB( ) Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 2 (5 分)设复数 z 满足|z+i|1,z 在复平面内对应的点为(x,y) ,则( ) A (x+1)2+y21 B (x1)2+y21 Cx2+(y+1)21 Dx2+(y1)21 3 (5 分)已知 a,blo,clog2,则( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 4 (5 分)已知某样本的容量为 50,平均数为 70,方差为 75现发现在收集这些数据时, 其中的两个数据记录有误,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数

    2、据进行更正后,重新求得样本的平均数为 ,方差为 s2,则( ) A 70,s275 B 70,s2 75 C 70,s275 D 70,s2 75 5 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为 ,其图象关于直线 x对称,则|的最小值为( ) A B C D 6 (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1, 1,2,3,5,8,该数列的特点是:前两个数均为 1,从第三数起,每一个数都等 于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ,则 (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a

    3、2013a2015a20142)( ) A1 B0 C1007 D1006 7 (5 分)已知变量 x,y 满足,则 z2x+y 的取值范围为( ) A2,2 B (,2) C (,2 D2,+) 第 2 页(共 23 页) 8 (5 分)已知三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0,则| + |的取值范 围是( ) A1,+1 B1, C, D1,1 9 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为 坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线 PO,PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M,N,|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线

    4、C 的离心率为( ) A B C D 10 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)ex若对任意的 xa, a+1,不等式 f(x+a)f2(x)恒成立,则实数 a 的最大值是( ) A B C D2 11 (5 分)已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点,O 为球心,PAPBPC2, ABC90,则三棱锥 OABC 体积的最大值是( ) A B1 C D 12 (5 分)已知函数,对于函数 f(x)有下述四个结论: (1)函数 f(x)在其定义域上为增函数; (2)对于任意的 a0,a1,都有成立; (3)f(x)有且仅有两个零点; (4)若 f(x

    5、0)0,则 ylnx 在点(x0,lnx0)处的切线与 yex在点处 的切线为同一直线 其中所有正确的结论有( ) A (1) (2) (3) B (1) (3) C (2) (3) (4) D (3) (4) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)在(x1) (x+1)8的展开式中,x5的系数是 14 (5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10,a23a1,则 15 (5 分)已知点 A(0,1) ,B(1,0) ,C(t,0) ,点 D 是直线 AC 上的动点,若| 第 3 页(共 23 页) 2|

    6、恒成立,则最小正整数 t 16 (5 分)已知点 F 是抛物线 C:y22px(p0)的焦点,过点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴上方) ,与 y 轴的正半轴相交于点 N,点 Q 是抛物线不同于 A,B 的点,若 2+,则|BF|:|BA|:|BN| 三、解答题: 共三、解答题: 共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:

    7、共 60 分分 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求的值; (2)若,b2,求ABC 的面积 S 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, PA面 ABCD,BAD120, E, F 分别是 CD,PC 的中点 (1)求证:平面 AEF平面 PAB; (2)M 是 PB 上的动点,EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45,求二面角 FAED 的 余弦值 19已知椭圆+y21,P 是椭圆的上顶点,过 P 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆于另 一点 A,设点 A 关于原点的对称点为 B (1)求PAB 面积的最大值; (2)

    8、设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N,若点 N 在椭圆内部,求斜率 k 的取值范围 20设函数(xR,实数 a0,+) ,e2.71828是自然对数的底数, ) 第 4 页(共 23 页) ()若 f(x)0 在 xR 上恒成立,求实数 a 的取值范围; ()若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3 21某医院为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,现有 n(nN*)份血液样本,有以 下两种检验方式: (1)逐份检验,则需要检验 n 次; (2)混合检验,将其中 k(kN*且 k 2) 份血液样本分别取样混合在一起检验 若检验结果为阴性, 这 k 份

    9、的血液全为阴性, 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性,就要对这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1) ()假设有 5 份血液样本,其中只有 2 份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 ()现取其中 k(kN*且 k2)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的 总次数为 1,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 ()试运用

    10、概率统计的知识,若 E1E2,试求 p 关于 k 的函数关系式 pf(k) ; ()若,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少,求 k 的最大值 参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分选考选考 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程( 为参数) ,以 O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2sin(+)3,射

    11、线 OM:与圆 C 的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 选考选考 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函数 f(x)|x+1|+|x2|的最小值为 a (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 为正实数,且 p+q+ra,求证:p2+q2+r23 第 5 页(共 23 页) 2020 年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科) (年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科) (4 月月 份)份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题

    12、给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,Bx|log2x2,则集合 AB( ) Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 【分析】解不等式求得集合 A、B,根据交集的定义写出 AB 【解答】解:集合 Ax|x22x30x|1x3, Bx|log2x2x|0x4, 则集合 ABx|0x3 故选:B 【点评】本题考查了交集的定义与运算问题,是基础题 2 (5 分)设复数 z 满足|z+i|1,z 在复平面内对应的点为(x,y) ,则( ) A (x+1)2+y21 B (x1)2+y

    13、21 Cx2+(y+1)21 Dx2+(y1)21 【分析】设 zx+yi(x,yR) ,代入|z+i|1,再由复数模的计算公式求解 【解答】解:设 zx+yi(x,yR) , 由|z+i|1,得|x+(y+1)i|1, 即, z 在复平面内对应的点的轨迹为 x2+(y+1)21 故选:C 【点评】本题考查复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 3 (5 分)已知 a,blo,clog2,则( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 【分析】分别判断 a,b,c 的取值范围即可得到结论 第 6 页(共 23 页) 【解答】解:a1,blo(0,1) ,clog20, ab

    14、c 故选:A 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据指数函数和对数函数的单调性是解决本 题的关键,比较基础 4 (5 分)已知某样本的容量为 50,平均数为 70,方差为 75现发现在收集这些数据时, 其中的两个数据记录有误,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 ,方差为 s2,则( ) A 70,s275 B 70,s2 75 C 70,s275 D 70,s2 75 【分析】根据题意,分析可得:数据更正前后,数据的总和不变,其波动变小了,结合 平均数、方差的定义分析可得结论 【解答】解:根据题意,两个数据记录有误

    15、,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记 录为 90,则这些数据的总和不变, 则在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 不变,即 70, 但数据的波动变小了,故 s275; 故选:A 【点评】本题考查数列的平均数、方差的计算,注意分析平均数、方差的定义与统计意 义 5 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为 ,其图象关于直线 x对称,则|的最小值为( ) A B C D 【分析】利用正弦函数的周期性求得 的值,再利用它的图象的对称性,求得|的最小 值 【解答】解:函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为, 2 根据其图象关于

    16、直线 x对称,可得 2+k+,kZ,即 k, 第 7 页(共 23 页) 则|的最小值为, 故选:B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于基础题 6 (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1, 1,2,3,5,8,该数列的特点是:前两个数均为 1,从第三数起,每一个数都等 于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ,则 (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a2013a2015a20142)( ) A1 B0 C1007 D1006 【分析】直接利用数列的关系式的应用求出

    17、关系式所表现的规律,进一步求出结果 【解答】解:由于 a1a3a221211, a2a4a3213221, a3a5a4225321 所以: (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a2013a2015a20142)1+(1) +1+(1)+11 故选:A 【点评】本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力,属于中档题型 7 (5 分)已知变量 x,y 满足,则 z2x+y 的取值范围为( ) A2,2 B (,2) C (,2 D2,+) 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线 过 A

    18、时,最大,从而得出目标函数 z2x+y 的取值范围 【解答】解:画出变量 x,y 满足表示的平面区域: 将目标函数变形为 z2x+y,作出目标函数对应的直线, 直线过 A(0,2)时,直线的纵截距最大,z 最大,最大值为 2; 则目标函数 z2x+y 的取值范围是(,2 故选:C 第 8 页(共 23 页) 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值 8 (5 分)已知三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0,则| + |的取值范 围是( ) A1,+1 B1, C, D1,1 【分析】根据题意,可设(1,0) ,(0,1) ,(x,y) ,得|+| ,结合图形求出

    19、它的最大、最小值 【解答】解:三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0, 可设 (1,0) , (0,1) , (x,y) , 则 + (1x,1y) ,| |1; | + |, 它表示单位圆上的点到定点 P(1,1)的距离, 其最大值是 PNr+|OP|1+,最小值是|OP|r1, | + |的取值范围是1,+1 第 9 页(共 23 页) 故选:A 【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的 距离大小关系,考查了推理能力和计算能力,是中档题 9 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为 坐标原点,P 是双曲线在第

    20、一象限上的点,直线 PO,PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M,N,|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C D 【分析】由题意,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a,可得|PF1|4a,|PF2|2a,由MF2N 60,可得F1PF260,由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60,即可 求出双曲线 C 的离心率 【解答】解:由题意,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a, |PF1|4a,|PF2|2a, MF2N60,F1PF260, 由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60, ca,

    21、 e 故选:B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档 题 10 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)ex若对任意的 xa, a+1,不等式 f(x+a)f2(x)恒成立,则实数 a 的最大值是( ) 第 10 页(共 23 页) A B C D2 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 f(|x+a|)f2(|x|)恒成 立,然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论 【解答】解:f(x)是定义在 R 上的偶函数, 不等式 f(x+a)f2(x)恒成立等价为 f(|x+a|)f2(|x|)恒成

    22、立, 当 x0 时,f(x)ex 不等式等价为 e|x+a|(e|x|)2e2|x|恒成立, 即|x+a|2|x|在a,a+1上恒成立, 平方得 x2+2ax+a24x2, 即 3x22axa20 在a,a+1上恒成立, 设 g(x)3x22axa2, 则满足, , 即, a, 故实数 a 的最大值是 故选:C 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,将不等式转化为函数问题是解决本 题的关键综合性较强,运算量较大,有一定的难度 11 (5 分)已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点,O 为球心,PAPBPC2, ABC90,则三棱锥 OABC 体积的最大值是( ) A B1 C

    23、 D 【分析】P 到平面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心,即 AC 中点,则球的球心在 PG 的 延长线上,设 PGh,则 OG2h,由 OB2OG2PB2PG2,解得 h1,从而 AG CGBG,三棱锥 OABC 体积取最大值时,BGAC,由此能求出三棱锥 O ABC 体积的最大值 【解答】解:如图,P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点,O 为球心, 第 11 页(共 23 页) PAPBPC2,ABC90, P 到平面 ABC 上的射影 G 是ABC 的外心,即 AC 中点, 则球的球心在 PG 的延长线上,设 PGh,则 OG2h, OB2OG2PB2PG2,4(2h)24

    24、h2,解得 h1, AGCGBG, 三棱锥 OABC 体积取最大值时,BGAC, 三棱锥 OABC 体积的最大值为: V1 故选:B 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 12 (5 分)已知函数,对于函数 f(x)有下述四个结论: (1)函数 f(x)在其定义域上为增函数; (2)对于任意的 a0,a1,都有成立; (3)f(x)有且仅有两个零点; (4)若 f(x0)0,则 ylnx 在点(x0,lnx0)处的切线与 yex在点处 的切线为同一直线 其中所有正确的结论有( ) A (1) (2) (3)

    25、B (1) (3) C (2) (3) (4) D (3) (4) 【分析】求出函数的定义域,判断函数的单调性,函数的值判断等式是否成立,判断函 数的零点个数,切线方程判断命题的真假即可 【解答】解:函数,定义域为: (0,1)(1,+) 第 12 页(共 23 页) (1)f(x)lnx1+,f(x), 可得函数 f(x)在(0,2) , (2+,+)上单调递增;在(2,1) , (1,2+) 上单调递减 因此函数 f(x)在其定义域上为增函数,不正确; (2)对于任意的 a0,a1,f()(ln)lnaf(a) ,因此: 对于任意的 a0,a1,都有成立;正确 (3)如图所示,分别画出函数

    26、 ylnx,y的图象f(x)有且仅有两个零点,正确; (4)若 f(x0)0,即 lnx01+, ylnx 的导数为:y,在点(x0,lnx0)处的切线的斜率为:,所以切线方程为: ylnx0(xx0),即 y1,即 y, 与 yex的导数为: yex, 在点处的切线的斜率为:, 切线方程为: (x+lnx0) ,即 yx+(1+)x+, 为同一直线所以(4)正确; 故选:C 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 数形结合思想方法的应用,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13

    27、 (5 分)在(x1) (x+1)8的展开式中,x5的系数是 14 第 13 页(共 23 页) 【分析】将求 x5的系数问题转化为二项式(x+1)8的展开式的 x4的系数减去 x5的系数, 即可求出展开式中 x5的系数 【解答】解:(x1) (x+1)8x(x+1)8(x+1)8 (x1) (x+1)8展开式中 x5的系数等于(x+1)8展开式的 x4的系数减去 x5的系数, (x+1)8展开式的通项为 展开式中 x5的系数是 C84C8514, 故答案为:14 【点评】本题考查二项式定理的应用,考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式 的指定项问题,考查学生的转化能力 14 (5 分)记

    28、 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10,a23a1,则 4 【分析】根据 a23a1,可得公差 d2a1,然后利用等差数列的前 n 项和公式将用 a1表示,化简即可 【解答】解:设等差数列an的公差为 d,则 由 a10,a23a1可得,d2a1, , 故答案为:4 【点评】本题考查等差数列前 n 项和性质以及等差数列性质,考查了转化思想,属基础 题 15 (5 分)已知点 A(0,1) ,B(1,0) ,C(t,0) ,点 D 是直线 AC 上的动点,若| 2|恒成立,则最小正整数 t 4 【分析】先设出 D(x,y) ,得到 AD 的方程为:x+tyt0,由|2|得到圆的方程, 第

    29、14 页(共 23 页) 结合点到直线的距离公式,求出 t 的最小值即可 【解答】解:设 D(x,y) ,由 D 在 AC 上,得:+y1,即 x+tyt0, 由|2|,2, 得: (x)2+(y+)2, 依题意,线段 AD 与圆(x)2+(y+)2,至多有一个公共点, ,解得:t2+,或 t2, t 是使|2|恒成立的最小正整数, t4, 故答案为:4 【点评】本题考查直线与圆的方程,考查点到直线距离公式的运用,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题 16 (5 分)已知点 F 是抛物线 C:y22px(p0)的焦点,过点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴上方)

    30、,与 y 轴的正半轴相交于点 N,点 Q 是抛物线不同于 A,B 的点,若 2+,则|BF|:|BA|:|BN| 2:3:4 【分析】 点 F,设直线 AB 的方程为,所以点 N () , 由 2 第 15 页(共 23 页) +可知点 A 是线段 NF 的中点,所以点 A() ,联立直线 AB 与抛物线的 方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,由韦达定理可知,xBp,然 后利用抛物线的定义逐一用含有 p 的式子表示出线段|BF|、|BA|和|BN|的长,即可得解 【解答】解:由题可知,点 F,设直线 AB 的方程为, 令 x0,则 y,点 N() , 2+,点 A 是线段 NF 的中

    31、点,点 A() , 联 立, 得, , , 由抛物线的定义可知,|BF|,|BA|, |BN|BA|+|AN|BA|+|AF|, |BF|:|BA|:|BN| 故答案为:2:3:4 【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系,熟练运用抛物线的定义处 理线段长度是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题 三、解答题: 共三、解答题: 共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考

    32、生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求的值; (2)若,b2,求ABC 的面积 S 【分析】 (1)由已知结合正弦定理及和差角公式,诱导公式化简可得 sinC2sinA,再结 合正弦定理即可求解; (2)由已知结合余弦定理可求 a,c,然后结合三角形的面积公式即可求解 第 16 页(共 23 页) 【解答】解: (1)由正弦定理可得, 整理可得,sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB+2sinBcosC, 所以 sin(A+B)2sin(B+C) , 即 sinC2sinA 由正弦

    33、定理可得,2, (2)由余弦定理可得, 解可得,a1,c2,b2, 又因为 sinB, 所以ABC 的面积 S 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,和差角公式,及三角形的面积公式的综 合应用,属于中档试题 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, PA面 ABCD,BAD120, E, F 分别是 CD,PC 的中点 (1)求证:平面 AEF平面 PAB; (2)M 是 PB 上的动点,EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45,求二面角 FAED 的 余弦值 【分析】 (1)先判断 RtADE,AEED,得到 AE平面 PAB,再根据面面垂直的判定 定理,证明

    34、出即可; (2)连接 AM,则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角,根据题意得到 AEAM,求 出 PA,以 AB,AE,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面 AEF 的法向量 和平面 ADE 的法向量,再利用夹角公式求出二面角的余弦值即可 第 17 页(共 23 页) 【解答】解: (1)证明:底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,BAD120, 故ADE60,DE,ADa, 由 AE2AD2+DE22ADDEcos60a2+2a, 所以 AE2+DE2AD2,故 RtADE,AEED, 又 ABCD,所以 AEAB, 又 PA平面 ABCD,AE平面 ABCD

    35、, 所以 AEPA,又 ABPAA, 所以 AE平面 PAB,又 AE平面 AEF, 故平面 AEF平面 PAB; (2)连接 AM,则由(1)知,AE平面 PAB, 则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角, 在 RtAME 中,tanAME, 当 AM 最小时,即 AMPB 时,AME 取得最大值 45,此时 AEAM, 设 PAx,则由 PAABPBAM 得, ax,解得, 根据题意,以 AB,AE,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 B (a, 0, 0) , E (0, 0) , C (, 0) , P (0, 0,) , F () , , 设平面 AEF

    36、的法向量为, 由,得, 又平面 AED 的法向量为, 由 cos, 因为二面角 FAED 为钝角, 所以二面角 FAED 的余弦值为 第 18 页(共 23 页) 【点评】本题考查线线,线面,面面垂直的判断与性质定理的应用,考查了向量法求二 面角的余弦值,考查空间想象能力和数学运算能力,中档题 19已知椭圆+y21,P 是椭圆的上顶点,过 P 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆于另 一点 A,设点 A 关于原点的对称点为 B (1)求PAB 面积的最大值; (2)设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N,若点 N 在椭圆内部,求斜率 k 的取值范围 【分析】 (1)由题意设直线 PA 的

    37、方程代入椭圆中,求出 A 的坐标,进而由题意得 B 的 坐标,PAB 面积等于|OP|xAxB|,再整理成用到均值不等式形式,求出面积的最大 值; (2)由(1)得,线段 PB 的中垂线过 PB 的中点,斜率是 PB 的斜率的负倒数,写出中 垂线的方程,令 x 等于 0 得出 y 值,在椭圆内部,纵坐标的绝对值小于 1,可求得 k 的取 值范围,注意 k 不为零 【解答】解: (1)由题意设直线 l 的方程:ykx+1, 代入抛物线方程整理得: (1+4k2)x2+8kx0, 所以 x, 所以 y所以 A 的坐标(,) , 由题意得 B 的坐标(,) , 所以三角形 PAB 的面积 S|OP|

    38、xAxB|因为 k0, 所以 SPAB8|82(当且仅当 k时取到等号) , 第 19 页(共 23 页) 所以PAB 面积的最大值为:2; (2)由(1)得:kPB,且 PB 的中点坐标(,) , 所以线段 PB 的中垂线方程为:y4k(x) , 令 x0,得 y, 由题意得|y|1,所以1, 解得:8k21, 所以:,且 k0, 所以斜率的取值范围为(,0)(0,) 【点评】本题考查直线与椭圆的综合,考查基本不等式的应用,属于中档题 20设函数(xR,实数 a0,+) ,e2.71828是自然对数的底数, ) ()若 f(x)0 在 xR 上恒成立,求实数 a 的取值范围; ()若 exl

    39、nx+m 对任意 x0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3 【分析】 ()分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值,问题得以解决; ()构造函数设,利用导数求出函数的最值,即可证明 【解答】解: (),f(x)0 在 xR 上恒成立, a, 设 h(x), h(x), 第 20 页(共 23 页) 令 h(x)0,解得 x, 当 x,即 h(x)0,函数单调递增, 当 x,即 h(x)0,函数单调递减, h(x)minh(), 0a, 故 a 的取值范围为; ()设, ,g(x)0,可得;g(x)0,可得 g(x)在(,+)上单调递增;在上单调递减 g(x)g(), , 1.6,

    40、g(x)2.3 由()可得 exx+, exlnx 的最小值大于 2.3, 故若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立,则 m 的最大值一定大于 2.3 【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系,关键是构造函数,属于中档题 21某医院为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,现有 n(nN*)份血液样本,有以 下两种检验方式: (1)逐份检验,则需要检验 n 次; (2)混合检验,将其中 k(kN*且 k 2) 份血液样本分别取样混合在一起检验 若检验结果为阴性, 这 k 份的血液全为阴性, 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性,

    41、就要对这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1) ()假设有 5 份血液样本,其中只有 2 份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 ()现取其中 k(kN*且 k2)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的 第 21 页(共 23 页) 总次数为 1,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 ()试运用概率统计的知识,若 E1E2,试求 p 关于 k 的函数关系式 pf(k) ; ()若,采用

    42、混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少,求 k 的最大值 参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918 【分析】 ()利用古典概率计算公式即可得出 () ()由已知得 E1k,2的所有可能取值为 1,k+1可得, ,即可得出期望根据 E1E2,解得 k () 由题意可知 E2E1, 得, 可得, 设,利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解: ()P,(3 分) 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为(4 分) () ()由已知得 E1k,2的所有可能取值为 1,k+1 ,

    43、k+1k(1p)k(6 分) 若 E1E2,则 kk+1k(1p)k, k(1p)k1 p 关于 k 的函数关系式(kN*且 k2)(8 分) ()由题意可知 E2E1,得, , 设(10 分) , 第 22 页(共 23 页) 当 x3 时,f(x)0,即 f(x)在(3,+)上单调递减, 又 ln41.3863,ln51.6094, k 的最大值为 4(12 分) 【点评】本题考查了古典概率、相互对立事件的概率生寄死归、利用导数研究函数的单 调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分选考选考 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直

    44、角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程( 为参数) ,以 O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2sin(+)3,射线 OM:与圆 C 的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 【分析】解: (I)利用 cos2+sin21,即可把圆 C 的参数方程化为直角坐标方程 (II)设(1,1)为点 P 的极坐标,由,联立即可解得设(2,2) 为点 Q 的极坐标,同理可解得利用|PQ|12|即可得出 【解答】解: (I)利用 cos2+sin21,把圆 C 的参数方程为参数) 化为(x1)2+y21, 22cos0,即 2cos (II)设(1,1)为点 P 的极坐标,由,解得 设 (2, 2) 为点 Q 的极坐标, 由, 解得 12,|PQ|12|2 |PQ|2 【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题 第 23 页(共 23 页) 选考选考 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函


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