1、不等式 x22x30 成立的一个必要不充分条件是（ ） A1x3 B0x3 C2x3 D2x1 2 （5 分）若 a、b、cR，且 ab，则下列不等式中，一定成立的是（ ） Aa+bbc Bacbc C D （ab）c20 3 （5 分）已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 4 （5 分） 已知角 的终边过点 P（8m，6sin30） ， 且 cos，则 m 的值为（ ） A B C D 5 （5 分）已知是等差数列，且 a11，a44，则 a10（ ） A B C D 6 （5 分）在区间，上机取一个实数 x，则 sinx 的值在区间，上的概率
2、为（ ） A B C D 7 （5 分）已知幂函数 g（x）（2a1）xa+1的图象过函数 f（x）mx b （m0，且 m1）的图象所经过的定点，则 b 的值等于（ ） A B C2 D2 8 （5 分）在函数 yx33x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有 （ ）个 A3 B2 C1 D0 9 （5 分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩其中乙中的两个数字 被污损，且已知甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于 甲的概率为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 10 （5 分）设平面向量 （2，1） ， （，2）
3、，若 与 的夹角为锐角，则 的取值 范围是（ ） A （，2）（2，+） B （，4）（4，1） C （1，+） D （，1） 11（5 分） 如图， 在ABC 中， cosBAC， 点 D 在线段 BC 上， 且 BD3DC， AD， 则ABC 的面积的最大值为（ ） A3 B4 C D2 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+3x2ax2a，若刚好有两个正整数 xi（i1，2）使得 f （xi）0，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，） B （0， C，1） D，1） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）我国
4、古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一 个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序 框图源于“辗转相除法” 当输入 a6102，b2016 时，输出的 a 第 3 页（共 25 页） 14 （5 分）由直线 2x+y40 上任意一点向圆（x+1）2+（y1）21 引切线，则切线长 的最小值为 15 （5 分）底面为正方形的直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，点 E 是 B1C1 的中点则异面直线 AC1与 BE 所成角的大小为 16 （5 分）已知直线 ya 与双曲线的一条渐近线交于点 P， 双曲线 C 的左、右顶点分别为
5、 A1，A2|，若，则双曲线 C 的离心率 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD
6、 中，底面 ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角 形，平面 PAC平面 PCD，PACD，CD2，AD3 （）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面 PAD； （）求证：PA平面 PCD； （）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值 第 4 页（共 25 页） 19 （12 分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对 18 号 8 扇大门，依次按 响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎） ， 选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调 查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：2030；3040
7、（单位：岁） ，其猜对歌曲名 称与否的人数如图所示 （1）写出 22 列联表；判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说 明你的理由； （下面的临界值表供参考） P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 3 名幸 运选手，求 3 名幸运选手中至少有一人在 2030 岁之间的概率 （参考公式：其中 na+b+c+d） 20 （12 分）已知圆 M： （x+2）2+y21，圆 N： （x2）2+y249，动圆 P 与圆 M 外切并且
8、与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）设不经过点 Q（0，2）的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线 QB 的斜率均存在且斜率之和为2，证明：直线 l 过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）（1）ex+（aR） 第 5 页（共 25 页） （1）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x）有两个极值点， 求 a 的取值范围： 若 f（x）的极大值小于整数 k，求 k 的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任
9、选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 为 22cos+8 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB|4，求直线 l 的倾斜角 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （）当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）若
10、f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2020 年广东省深圳高级中学高考数学模拟试卷 （文科） （年广东省深圳高级中学高考数学模拟试卷 （文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一分在每小题给的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）不等式 x22x30 成立的一个必要不充分条件是（ ） A1x3 B0x3 C2x3 D2x1 【分析】先求出不等式的解集，再根据 x 的范
11、围进行判断即可 【解答】解：由 x22x301x32x3， 故选：C 【点评】本题考查了充分必要条件，考查了解不等式问题，是一道基础题 2 （5 分）若 a、b、cR，且 ab，则下列不等式中，一定成立的是（ ） Aa+bbc Bacbc C D （ab）c20 【分析】利用不等式的性质即可得出 【解答】解：ab， ab0 又 c20， （ab） c20 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题 3 （5 分）已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A|z|i B i Cz21 Dz 的虚部为i 【分析】利用复数的运算法则求出复数i，由此能求出结 果 【解答】解：复数i， i 第 7
12、页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、模、共轭复数、虚部等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分） 已知角 的终边过点 P（8m，6sin30） ， 且 cos，则 m 的值为（ ） A B C D 【分析】由题意可得角 的终边在第三象限，则 m0，再由三角函数的定义列式求得 m 值 【解答】解：角 的终边过点 P（8m，6sin30）（8m，3） ， 又 cos0， 角 的终边在第三象限，则 m0， |OP|， 由 cos，解得 m（m0） 故选：A 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义， 关键是由题意判断出角 的终边所在象限， 是基础
13、题 5 （5 分）已知是等差数列，且 a11，a44，则 a10（ ） A B C D 【分析】根据题意，设等差数列的公差为 d，结合题意可得1，计 算可得公差 d 的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒数可得 a10的值 【解答】解：根据题意，是等差数列，设其公差为 d， 若 a11，a44，有1， 则 3d，即 d， 则+9d， 故 a10； 第 8 页（共 25 页） 故选：A 【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意求出的公差 6 （5 分）在区间，上机取一个实数 x，则 sinx 的值在区间，上的概率 为（ ） A B C D 【分析】解出关于三角函数的不等式，使得 sinx
14、 的值介于到 之间，在所给的范 围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率 【解答】解：sinx， 当 x，时， x， 所求概率 P， 故选：B 【点评】本题考查解三角函数与几何概型等知识，关键是求出满足条件的 x 区间长度， 利用几何概型关系求之 7 （5 分）已知幂函数 g（x）（2a1）xa+1的图象过函数 f（x）mx b （m0，且 m1）的图象所经过的定点，则 b 的值等于（ ） A B C2 D2 【分析】根据函数 g（x）是幂函数求出 a 的值，再写出指数函数 f（x）图象所过的定点， 代入 g（x）中求得 b 的值 【解答】解：函数 g（x）（2a1）x
15、a+1是幂函数， 2a11，解得 a1， g（x）x2； 令 xb0，解得 xb， 函数 f（x）mx b 的图象经过定点（b，） ， 第 9 页（共 25 页） b2，解得 b 故选：B 【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质与应用问题，是基础题 8 （5 分）在函数 yx33x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有 （ ）个 A3 B2 C1 D0 【分析】本题先确定切线的倾斜角的取值范围为0，） ，即可得到切线的斜率的取值 范围为0， 1） 再计算出函数 yx33x 的一阶导数， 即为切线的斜率， 然后根据 y0， 1）解出 x 的取值范围，找到整数解，即可得到坐标为整
16、数的点 【解答】解：由倾斜角的取值范围为0，） ，可知 此题切线的倾斜角的取值范围为0，） ， 故切线的斜率的取值范围为0，1） y3x23， 03x231， 解得x1，或 1x 其中整数解只有 x1，x1 当 x1 时，y2；当 x1 时，y2 坐标为整数的点有 2 个 故选：B 【点评】本题主要考查导数求切线斜率，以及直线斜率与倾斜角之间的关系考查了转 化思想，不等式的计算，定义法，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 9 （5 分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩其中乙中的两个数字 被污损，且已知甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于
17、甲的概率为（ ） A B C D 第 10 页（共 25 页） 【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数进行比较； 【解答】 解： 由题意可得： 甲的成绩为： 84、 86、 91、 98、 98； 中位数为 91， 平均数为； 乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （xy） ； 甲，乙中位数相同； 90+x91x1； 乙的平均数为； 乙的平均成绩低于甲； 1y3；y1 或 2 乙的平均成绩低于甲的概率 p； 故选：A 【点评】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质；考查了学生的计算能力，属 于基础题 10 （5 分）设平面向量 （2，1） ， （，2） ，若 与 的夹
18、角为锐角，则 的取值 范围是（ ） A （，2）（2，+） B （，4）（4，1） C （1，+） D （，1） 【分析】根据向量的夹角为锐角即可得出，解出 的范围即可 【解答】解： 与 的夹角为锐角， 且不共线， ，解得 1 且 4， 的取值范围是（，4）（4，1） 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，向量夹角的定义，向量数量积的坐标运算， 共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题 11（5 分） 如图， 在ABC 中， cosBAC， 点 D 在线段 BC 上， 且 BD3DC， AD， 则ABC 的面积的最大值为（ ） 第 11 页（共 25 页） A3 B4 C D
19、2 【分析】设BAD，则 0BAC，根据三角形的面积公式求出 AC，AB，然后由 SABCABACsinBAC4sin（2+）1，根据三角函数的性质求出面积的 最大值 【解答】解：设BAD，则 0BAC BD3DC，SABDSABC， ， ，同理 AB8sin（BAC） ， SABC （其中 tan） ， 0BAC，当 2+时，sin（2+）max1， 故选：C 【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力 和转化能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+3x2ax2a，若刚好有两个正整数 xi（i1，2）使得 f （xi）0，则实数 a 的取值
20、范围是（ ） A0，） B （0， C，1） D，1） 【分析】构造函数 g（x）x3+3x2，h（x）a（x+2） ，作出两函数的图象，由图象观 察，建立关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】解：由 f（x）0 得x3+3x2a（x+2） ，令 g（x）x3+3x2，h（x）a（x+2） ， 则 g（x）3x2+6x3x（x2） ，易知当函数 g（x）在（，0） ， （2，+）单 第 12 页（共 25 页） 调递减，在（0，2）单调递增，且 g（0）0，g（1）2，g（2）4，g（3）0， 易知函数 h（x）的图象为过点（2，0）的一条直线，在同一坐标系中作出函数 g（x） 与函数 h（
21、x）的图象如下图所示， 由图象可知，满足条件的实数 a 应满足，即，解得 故选：A 【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及转化思想，难度不大 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一 个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序 框图源于“辗转相除法” 当输入 a6102，b2016 时，输出的 a 18 【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结 果即可 【解答】解：模拟程序
22、框图的运行过程，如下； a6102，b2016， 第 13 页（共 25 页） 执行循环体，r54，a2016，b54， 不满足退出循环的条件，执行循环体，r18，a54，b18， 不满足退出循环的条件，执行循环体，r0，a18，b0， 满足退出循环的条件 r0，退出循环，输出 a 的值为 18 故答案为：18 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的答案，是基础题 14 （5 分）由直线 2x+y40 上任意一点向圆（x+1）2+（y1）21 引切线，则切线长 的最小值为 2 【分析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结论 【解答】解：圆心坐标
23、 C（1，1） ，半径 R1， 要使切线长|DA|最小，则只需要点 D 到圆心的距离最小， 此时最小值为圆心 C 到直线的距离 d， 此时|DA|， 故答案为：2 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查切线长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直 线的距离公式的合理运用，利用数形结合是解决本题的关键 15 （5 分）底面为正方形的直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA11，点 E 是 B1C1 的中点则异面直线 AC1与 BE 所成角的大小为 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出
24、异面直线 AC1与 BE 所成角的大小 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（2，0，0） ，C1（0，2，1） ， B（2，2，0） ，E（1，2，1） ， （2，2，1） ，（1，0，1） ， 设异面直线 AC1与 BE 所成角为 ， 则 cos|cos|， 异面直线 AC1与 BE 所成角为 故答案为： 第 15 页（共 25 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意 向量法的合理运用 16 （5 分）已知直线 ya 与双曲线的一条渐近线交于点 P， 双曲线 C 的左、右顶
25、点分别为 A1，A2|，若，则双曲线 C 的离心率 为 或 【分析】设出双曲线的焦点，利用一条渐近线方程可得 P 的坐标，结合已知条件列出方 程，然后求解离心率 【解答】解：双曲线的一条渐近线：y，则 P（， a） ， 因为，所以，可得， 所以，从而 e，然后双曲线的渐近线为：y， 则 p（，a） ，同理可得 e 故答案为：或 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程 思想和运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考
26、生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d 第 16 页（共 25 页） （1）求an的通项公式； （2）若 a1，a4，a13成等比数列，求数列的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由题意可得 a13，d2 或 a16，d1，再由等差数列的通项公式可得所 求； （2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求 an，求得 （） ， 再由数列的裂项相消求和可得所求和 【解
27、答】解： （1）公差为 d 的等差数列an中，a1d6，a1N，dN，且 a1d， 可得 a13，d2 或 a16，d1， 则 an3+2（n1）2n+1；或 an6+n1n+5，nN*； （2）a1，a4，a13成等比数列，可得 a1a13a42， 即 a1（a1+12d）（a1+3d）2，化为 d0 或 2a13d， 由（1）可得 a13，d2， 则 an2n+1， （） ， 可得前 n 项和 Sn（+） （） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方 程思想，考查运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为
28、平行四边形，PCD 为等边三角 形，平面 PAC平面 PCD，PACD，CD2，AD3 （）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面 PAD； （）求证：PA平面 PCD； （）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值 第 17 页（共 25 页） 【分析】 （）连结 BD，由题意得 ACBDH，BHDH，由 BGPG，得 GHPD， 由此能证明 GH平面 PAD （）取棱 PC 中点 N，连结 DN，推导出 DNPC，从而 DN平面 PAC，进而 DNPA， 再上 PACD，能证明 PA平面 PCD （）连结 AN，由 DN平面 PAC，知DAN 是直线 AD 与平面 PA
29、C 所成角，由此能求 出直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值 【解答】证明： （）连结 BD，由题意得 ACBDH，BHDH， 又由 BGPG，得 GHPD， GH平面 PAD，PD平面 PAD， GH平面 PAD （）取棱 PC 中点 N，连结 DN， 依题意得 DNPC， 又平面 PAC平面 PCD，平面 PAC平面 PCDPC， DN平面 PAC， 又 PA平面 PAC，DNPA， 又 PACD，CDDND， PA平面 PCD 解： （）连结 AN，由（）中 DN平面 PAC， 知DAN 是直线 AD 与平面 PAC 所成角， PCD 是等边三角形，CD2，且 N 为 PC 中点，
30、 DN，又 DNAN， 在 RtAND 中，sinDAN 直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所 第 18 页（共 25 页） 成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力 19 （12 分） “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目选手面对 18 号 8 扇大门，依次按 响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎） ， 选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调 查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：2030；3040（单位：岁） ，其猜对歌曲名
31、称与否的人数如图所示 （1）写出 22 列联表；判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说 明你的理由； （下面的临界值表供参考） P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 3 名幸 运选手，求 3 名幸运选手中至少有一人在 2030 岁之间的概率 （参考公式：其中 na+b+c+d） 【分析】 （1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出 k232.706，即可得 出结论； （2）按照分层抽样方法可知：2030（岁）抽取：
32、62（人） ；3040（岁）抽 取：64（人） ，在上述抽取的 6 名选手中，年龄在 2030（岁）有 2 人，年龄 在 3040（岁）有 4 人，利用列举法求出基本事件数，即可求出至少有一人年龄在 20 30 岁之间的概率 【解答】解： （1）根据所给的二维条形图得到列联表， 正确 错误 合计 2030（岁） 10 30 40 第 19 页（共 25 页） 3040（岁） 10 70 80 合计 20 100 120 （3 分） 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到 k23 32.706（5 分） 有 10.1090%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关（6 分） （2）按照分层抽样方法
33、可知：2030（岁）抽取：62（人） ； 3040（岁）抽取：64（人） （7 分） 在上述抽取的 6 名选手中，年龄在 2030（岁）有 2 人，年龄在 3040（岁）有 4 人 （8 分） 年龄在 2030（岁）记为（A，B） ； 年龄在 3040（岁）记为（a，b，c，d） ， 则从 6 名选手中任取 3 名的所有情况为： （A，B，a） 、 （A，B，b） 、 （A，B，c） 、 （A，B，d） 、 （A，a，b） 、 （A，a，c） 、 （A，a，d） 、 （A，b，c） 、 （A，b，d） 、 （A，c，d） 、 （B，a，b） 、 （B，a，c） 、 （B，a，d） 、 （B，b
34、，c） 、 （B，b，d） 、 （B，c，d） 、 （a，b，c） 、 （a，b，d） 、 （a，c，d） 、 （b，c，d） ，共 20 种情况，（9 分） 其中至少有一人年龄在 2030 岁情况有： （A，B，a） 、 （A，B，b） 、 （A，B，c） 、 （A，B，d） 、 （A，a，b） 、 （A，a，c） 、 （A，a，d） 、 （A，b，c） 、 （A，b，d） 、 （A，c，d） 、 （B，a，b） 、 （B，a，c） 、 （B，a，d） 、 （B，b，c） 、 （B，b，d） 、 （B，c，d） ，共 16 种情 况（10 分） 记至少有一人年龄在 2030 岁为事件 A，则
35、 P（A） （11 分） 至少有一人年龄在 2030 岁之间的概率为（12 分） 【点评】本题考查独立性检验知识的运用，考查分层抽样，考查概率知识，考查学生分 析解决问题的能力，确定基本事件总数是关键 20 （12 分）已知圆 M： （x+2）2+y21，圆 N： （x2）2+y249，动圆 P 与圆 M 外切并且 与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C 第 20 页（共 25 页） （1）求曲线 C 的方程； （2）设不经过点 Q（0，2）的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线 QB 的斜率均存在且斜率之和为2，证明：直线 l 过定点 【分析】 （1）由圆 M：
36、 （x+2）2+y21，可知圆心 M（2，0） ，半径 1；圆 N： （x2） 2+y249，圆心 N（2，0） ，半径 7设动圆的半径为 R，根据动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，可得|PM|+|PN|R+1+（7R）8，而|NM|4，由椭圆的定义可知：动点 P 的 轨迹是以 M，N 为焦点，4 为半长轴长的椭圆， （2）直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为：xt， （4t4） A（t，y1） ，B（t， y2） ，y1+y20根据 kAQ+kBQ2解得 t此时直线 l 的方程为：x2直线 l 的斜 率存在时，设直线 l 的方程为：ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x
37、2，y2） ，与椭圆方程联立 化为： （3+4k2） x2+8kmx+4m2480 kAQ+kBQ+2， y1kx1+m， y2kx2+m及其根与系数的关系化简即可得出 【解答】解： （1）由圆 M： （x+2）2+y21，可知圆心 M（2，0） ，半径 1；圆 N： （x 2）2+y249，圆心 N（2，0） ，半径 7 设动圆的半径为 R， 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|R+1+（7R）8， 而|NM|4，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为半长轴长的椭圆， a4，c2，b2a2c212 曲线 C 的方程为+1 （2）证明： 直线 l
38、 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为：xt， （4t4） A（t，y1） ，B（t，y2） ，y1+y20 kAQ+kBQ+2 解得 t2 此时直线 l 的方程为：x2 直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为：ykx+m， 第 21 页（共 25 页） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为： （3+4k2）x2+8kmx+4m2480 则 x1+x2，x1x2， kAQ+kBQ+2，y1kx1+m，y2kx2+m 化为： （2k+2）x1x2+（m2） （x1+x2）0， 代入化为：k 直线 l 的方程为：yx+m 令 x2，可得 y2 可得直线 l 过定点（2，2）
39、 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆的位置关系及其应用、一元 第 22 页（共 25 页） 二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）（1）ex+（aR） （1）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x）有两个极值点， 求 a 的取值范围： 若 f（x）的极大值小于整数 k，求 k 的最小值 【分析】 （1）把 a0 代入函数解析式，求得导函数，由导函数的符号确定原函数的单调 性； （2）把 x0 时，f（x）有两个极值点转化为 f（x）0 有两个负根，令 h（x） （x2+x
40、1）exa，解得a1； 由可知，h（2）h（0）0，h（1）0，x0（2，1） ，使得 h（x0） 0，即 a，可得 x0为 f（x）的极大值点，再由单调性求得 f（x0） ，即可得到 k 的最小值 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）（1）ex， f（x）（1）ex0 f（x）在（，0） ， （0，+）上单调递减； （2）当 x0 时，f（x）有两个极值点， 则 f（x）0 有两个负根 令 h（x）（x2+x1）exa，则 h（x）ex（x2x） 当 x（，1）时，h（x）0，x（1，0）时，h（x）0 则 h（x） （，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增 又 h（0）1a，h（1
41、），h（2）h（0） ， 要使 h（x）有两个负根，则，即，解得a1； 由可知，h（2）h（0）0，h（1）0， 第 23 页（共 25 页） x0（2，1） ，使得 h（x0）0，即 a， 即 f（x0）0，且在（2，x0）上 f（x）0，f（x）单调递增， 在（x0，1）上 f（x）0，f（x）单调递减 x0为 f（x）的极大值点 ， x0 （2， 1） 0，f（x0）单调递增， f（x0） kmin1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，本题考查利用导数求函数的极值，考查 数学转化思想方法，属难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任
42、选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 为 22cos+8 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB|4，求直线 l 的倾斜角 【分析】 （1）因为直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，当 时，直线 l 的直角坐标方程为 x2，当时，直线 l 的直角
43、坐标方程为 ytan（x2， 因为 2x2+y2，cosx，因为 22cos+8，所以 x2+y22x+8所以 C 的直角坐标 方程为 x2+y22x80， （2）利用直线参数方程中参数的几何意义可得 【解答】解： （1）因为直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 当时，直线l的直角坐标方程为x 第 24 页（共 25 页） 2（1 分） 当时 ， 直 线l的 直 角 坐 标 方 程 为y tan （ x 2） （3 分） 因为2x2+y2，cos x，（4 分） 因为 22cos+8，所以 x2+y22x+8 所以C的直角坐标方程为x2+y22x8 0（5 分） （2）曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y22x80， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程整理，得 t2+（2+2cos）t5 0（6 分） 因为（2+2cos）2+200，可设该方程的两个根为 t1，t2， 则，t1+t2（2+2cos），t1t2 5（7 分） 所以|AB|t1t2| 4（8 分） 整理得（+cos）23， 故2sin（+） （9 分） 因为 0，所以或，+ 解得或或 综上所述，直线l的倾斜角为或 （10 分） 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题
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