1、设集合 Ay|y2x，xR，Bx|x210，则 AB（ ） A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （0，+） 2 （5 分）若复数 z（a+i）2（aR，i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 y 轴上，则|z| （ ） A1 B3 C2 D4 3 （5 分）已知 cos，则 cos2+sin2 的值为（ ） A B C D 4 （5 分）若等比数列an满足 anan+14n，则其公比为（ ） A2 B2 C4 D4 5 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频 率分布直方图， 其中自习时间的范围是17.5， 30， 样本数据分组为1
2、7.5， 20） ， 20， 22.5） ， 22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少 于 22.5 小时的人数是（ ） A56 B60 C120 D140 6 （5 分）设 0a，且 xa，yloga，zlog2，则 x、y、z 的大小关系是（ ） Ayzx Bzyx Cxyz Dyxz 7 （5 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处 的截面积恒相等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等， q：A、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的
3、（ ） 第 2 页（共 24 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、AD 上的点，且， ，连接 AC、MN 交于 P 点，若，则 的值为（ ） A B C D 9 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知 f（x）sinxcosx+cos2x，将 f（x）的图象向右平移个单位，再 向上平移 1 个单位，得到 yg（x）的图象若对
4、任意实数 x，都有 g（ax）g（a+x） 成立，则（ ） A B1 C D0 11 （5 分）以双曲线 C：1（a0，b0）上一点 M 为圆心作圆，该圆与 x 轴相 切于双曲线 C 的一个焦点 F（c，0） ，与 y 轴交于 P，Q 两点，若|PQ|c，则双曲 线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 12 （5 分）若 x，a，b 均为任意实数，且（a+2）2+（b3）21，则（xa）2+（lnxb） 2 的最小值为（ ） A3 B18 C31 D196 二、填二、填空题：本大题共空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分. 13 （5 分）已知函数
5、f（x），则 f（f（1） ） 第 3 页（共 24 页） 14（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y28x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点，则|FN| 15 （5 分）如图，在ABC 中，点 P 在 BC 边上，PAC60，PC2，AP+AC4，若 ABC 的面积是，则 sinBAP 16 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的 球面上，则球 O 的表面积等于 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1
6、721 题为必考题为必考 题，题，.每个试题学生都必须作答第每个试题学生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn3n2+8n，bn是等比数列，且 a1b19，b32 b23 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD90，EFAB， EB平面 ABCD，AB2，EB，EF1，BC，且 M 是 BD 的中点 （1）求证：EM平面 ADF
7、； （2）求多面体 ABCDEF 的体积 V 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该院派出研究小 组分别到气象局与某医院， 抄录了 1 到 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就 诊的人数，得到数据资料见表： 月份 1 2 3 4 5 6 昼夜温差（） 10 11 13 12 8 6 就诊人数（个） 23 26 30 27 17 13 该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性 回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验 （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻的两个月的概率； （
8、2）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据 （i）请根据 2 到 5 月份的数据，求就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程： （ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认 为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是否理想？ （参考公式 ， ） 20 （12 分）已知椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为，右焦点 F 是抛物线 C2： y22px（p0）的焦点，点（2，4）在抛物线 C2上 （1）求椭圆 C1的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A，B 两点，M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率
9、乘积为，若在椭圆上存在点 N，使|AN|BN|，求ABN 的面积的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）2+（x2）ex（a0） （1）讨论函数 f（x）的单调性： 第 5 页（共 24 页） （2）若关于 x 的方程 f（x）+a0 存在 3 个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选题中任选-题作答如果多做，则按所做的第题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O
10、 为极点，x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 l1，l2相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A，B 两点（不同于点 O） ，且 l1的倾斜角为锐角 （1）求曲线 C 和射线 12的极坐标方程； （2）求OAB 的面积的最小值，并求此时 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+x，aR （）若 f （1）+f（2）5，求 a 的取值范围； （）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（，） ，求 a，b 的值 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（文科）年广东省广州市天河
11、区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Ay|y2x，xR，Bx|x210，则 AB（ ） A （1，1） B （0，1） C （1，+） D （0，+） 【分析】 求解指数函数的值域化简 A， 求解一元二次不等式化简 B， 再由并集运算得答案 【解答】解：Ay|y2x，xR（0，+） ， Bx|x210（1，1） ， AB（0，+）
12、（1，1）（1，+） 故选：C 【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法， 是基础题 2 （5 分）若复数 z（a+i）2（aR，i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 y 轴上，则|z| （ ） A1 B3 C2 D4 【分析】运用复数的运算性质和 y 轴的定义，解方程即可得到 a 的值，再由复数求模公 式计算得答案 【解答】解：复数 z（a+i）2a21+2ai（aR） ， 由复数 z（a+i）2（aR）在复平面内的对应点在 y 轴上， 可得 a210，2a0， 解得 a1 则|z|2 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法
13、，是基础题 3 （5 分）已知 cos，则 cos2+sin2 的值为（ ） A B C D 【分析】由 cos 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin2 的值，原式第一项利 第 7 页（共 24 页） 用二倍角的余弦函数公式化简合并后，将 sin2 的值代入计算即可求出值 【解答】解：cos， sin21cos2， 则 cos2+sin212sin2+sin21sin21 故选：A 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌 握公式是解本题的关键 4 （5 分）若等比数列an满足 anan+14n，则其公比为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】由
14、已知得 q24，4，由此能求出公比 【解答】解：等比数列an满足 anan+14n， q24， 4， q0，q2 故选：A 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数 列的性质的合理运用 5 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频 率分布直方图， 其中自习时间的范围是17.5， 30， 样本数据分组为17.5， 20） ， 20， 22.5） ， 22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少 于 22.5 小时的人数是（ ） 第 8 页（共 24 页）
15、 A56 B60 C120 D140 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进 而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数 【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为： （0.16+0.08+0.04）2.50.7， 故自习时间不少于 22.5 小时的频数为：0.7200140， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目 6 （5 分）设 0a，且 xa，yloga，zlog2，则 x、y、z 的大小关系是（ ） Ayzx Bzyx Cxyz Dyxz 【分析】利用指数、对数函数的单调性即可得出 【解答】解：
16、x（0，1） ，y0，z1 yxz 故选：D 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）祖暅原理： “幂势既同，则积不容异“意思是说两个同高的几何体，若在等高处 的截面积恒相等，则体积相等设 A、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等， q：A、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 利用祖暅原理可得： A、 B 在等高处的截面积恒相等” ， 可得： A、 B 的体积相等 即 可判断出 p 与 q 的关系 【解答】解：设 A
17、、B 为两个同高的几何体，p：A、B 的体积不相等，q：A、B 在等高处 的截面积不恒相等 第 9 页（共 24 页） 由“A、B 在等高处的截面积恒相等” ，由祖暅原理，可得：A、B 的体积相等 因此可得：A、B 的体积不相等，必然：A、B 在等高处的截面积不恒相等 即 pq，反之不成立 p 是 q 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 8 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、AD 上的点，且， ，连接 AC、MN 交于 P 点，若，则 的值为（ ） A B C D 【分析】根据向量的
18、加减的几何意义和三点共线即可求出答案 【解答】解：，连 （+）（+）+， 三点 M，N，P 共线 +1， ， 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题 9 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】首先找到异面直线 AB 与 CC1所成的角（如A1AB） ；而欲求其余弦值可考虑余 弦定理，则只要表示出 A1B 的长度即可；不妨设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长 第 10 页（共 24 页） 为 1，利
19、用勾股定理即可求之 【解答】解：设 BC 的中点为 D，连接 A1D、AD、A1B，易知 A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1所成的角； 并设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为 1， 则|AD|，|A1D|，|A1B|， 由余弦定理，得 cos 故选：B 【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理 10 （5 分）已知 f（x）sinxcosx+cos2x，将 f（x）的图象向右平移个单位，再 向上平移 1 个单位，得到 yg（x）的图象若对任意实数 x，都有 g（ax）g（a+x） 成立，则（ ） A B1 C D0 【分析】利用 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x
20、）的解析式，再利用正弦函数 的图象和性质，求得的值 【解答】解：f（x）sinxcosx+cos2xsin2x+sin （2x+） ， 将 f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移 1 个单位， 得到 yg（x）sin（2x+）+1sin2x+1 的图象 若对任意实数 x，都有 g（ax）g（a+x）成立，则 g（x）的图象关于直线 xa 对称 令 2xk+，求得 x+，故 g（x）的图象关于直线 x+，kZ 对 称 第 11 页（共 24 页） 可取 a，可得g（）sin+11， 故选：B 【点评】本题主要考查 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属 于中档题 11 （5
21、 分）以双曲线 C：1（a0，b0）上一点 M 为圆心作圆，该圆与 x 轴相 切于双曲线 C 的一个焦点 F（c，0） ，与 y 轴交于 P，Q 两点，若|PQ|c，则双曲 线 C 的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】由题意可设 F（c，0） ，MFx 轴，可设 M（c，n） ，n0，设 xc，代入双曲 线的方程，可得 M 的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|2c， 可得 a，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可设 F（c，0） ， MFx 轴，可设 M（c，n） ，n0， 设 xc，代入双曲线的方程可得 yb， 即有 M（c，） ， 可得圆的圆心
22、为 M，半径为， 即有 M 到 y 轴的距离为 c， 可得|PQ|2c， 化简可得 3b44a2c2， 由 c2a2+b2，可得 3c410c2a2+3a40， 由 e，可得 3e410e2+30， 解得 e23（舍去） ， 即有 e 故选：A 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化 简整理的运算能力，属于中档题 12 （5 分）若 x，a，b 均为任意实数，且（a+2）2+（b3）21，则（xa）2+（lnxb） 2 的最小值为（ ） A3 B18 C31 D196 【分析】由题意可得（a，b）在（2，3）为圆心，1 为半径
23、的圆上， （xa）2+（lnx b）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方，设过切点（m，lnm）的切线与过（ 2，3）的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程求得切点，圆心和切 点的距离 d，可得距离的最小值为 dr，可得所求值 【解答】解： （a+2）2+（b3）21， 可得（a，b）在（2，3）为圆心，1 为半径 r 的圆上， （xa）2+（lnxb）2表示点（a，b）与点（x，lnx）的距离的平方， 设过切点（m，lnm）的切线与过（2，3）的法线垂直， 可得1， 即有 lnm+m2+2m3， 由 f（m）lnm+m2+2m 在 m0 递增，且 f（1）3， 可得
24、切点为（1，0） ， 圆心与切点的距离为 d3， 可得（xa）2+（lnxb）2的最小值为（31）2196， 故选：D 【点评】本题考查两点的距离的运用，圆的方程和运用，考查导数的几何意义，以及转 化思想和运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分. 13 （5 分）已知函数 f（x），则 f（f（1） ） 2 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（1）的值，即可得 f（f（1） ）f（3） ， 进而可得答案 【解答】解：根据题意，f（x），则 f（1）（1）22 第 13 页（共 24 页） （1）3，
25、则 f（f（1） ）f（3）log（3+1）2； 故答案为：2 【点评】本题考查分段函数的求值，注意函数解析式的形式，属于基础题 14（5 分） 已知 F 是抛物线 C： y28x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点，则|FN| 6 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可 【解答】解：抛物线 C：y28x 的焦点 F（2，0） ，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴 于点 N若 M 为 FN 的中点， 可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：， |FN|2|FM|26 故答案为：6 【点评】本题考查抛物线
26、的简单性质的应用，考查计算能力 15 （5 分）如图，在ABC 中，点 P 在 BC 边上，PAC60，PC2，AP+AC4，若 ABC 的面积是，则 sinBAP 【分析】在APC 中，由余弦定理可解得 APAC2，进而得到APC 为等边三角形， 进一步求得 BC3，PB1，再在三角形 ABC 中运用余弦定理求得 AB，进而在ABP 中求得BAP 的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求得结论 【解答】解：设 APx，则 AC4x， 在APC 中，由余弦定理有，PC2AP2+AC22APACcosPAC，即 4x2+（4x）2 x（4x） ，解得 x2， APAC2，即APC 为等边三角形，则
27、 CAPCPAC60， 又ABC 的面积是， ，则 BC3， PB1， 第 14 页（共 24 页） 在ABC 中， 由余弦定理有， AB2AC2+BC22ACBCcos60， 在ABP 中，由余弦定理有， 故答案为： 【点评】本题主要考查余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题 16 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的 球面上，则球 O 的表面积等于 【分析】根据四棱锥 SABCD 的三视图，把四棱锥 SABCD 补成长方体，点 S 是所在 棱的中点，设长方体的上下底面的对角线的交点分别为 O1，O2，所以四棱锥 SABCD
28、 的外接球的球心 O 在线段 O1O2上，由三视图的数据可知：AB4，BC2，SC3， 长 方 体 的 高O1O2， CO2， SO，设四棱锥 SABCD 的外接球的半径为 R，得到， 从而求出半径 R，得到球 O 的表面积 【解答】解：根据四棱锥 SABCD 的三视图，把四棱锥 SABCD 补成长方体，点 S 是 所在棱的中点， 设长方体的上下底面的对角线的交点分别为 O1，O2， 所以四棱锥 SABCD 的外接球的球心 O 在线段 O1O2上，如图所示： ， 由三视图的数据可知：AB4，BC2，SC3， 长 方 体 的 高 O1O2， CO2， 第 15 页（共 24 页） SO， 设四棱
29、锥 SABCD 的外接球的半径为 R， 在 RtSOO1中：OO1，在 RtCOO2中：OO2， ， 化简得：R， 球 O 的表面积为：4R2， 故答案为： 【点评】本题主要考查了三视图还原实物图，以及四棱锥的外接球，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，题，.每个试题学生都必须作答第每个试题学生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an的前 n
30、项和 Sn3n2+8n，bn是等比数列，且 a1b19，b32 b23 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用数列的递推式，可得 an，再由等比数列的通项公式可得首项和公比， 进而得到 bn； 第 16 页（共 24 页） （2）求得 cn（n+1） （）n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的 求和公式，可得所求和 【解答】解： （1）数列an的前 n 项和 Sn3n2+8n，可得 a1S111， anSnSn13n2+8n3（n1）28（n1）6n+5， （n2） ， 上式 n1 也成立，则 an6n+5，nN*； bn
31、是等比数列，设公比为 q，且 a1b19，b32b23 可得 11b19， （b1q2）2（b1q）3，解得 b12，q2， 则 bn2n，nN*； （2）cn（n+1） （）n， 则前 n 项和 Tn2+3+（n+1） （）n， Tn2+3+（n+1） （）n+1， 两式相减可得Tn1+（）n（n+1） （）n+1 1+（n+1） （）n+1， 化简可得 Tn3（n+3） （）n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减 法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 18 （12 分）如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ABD90，EFAB，
32、 EB平面 ABCD，AB2，EB，EF1，BC，且 M 是 BD 的中点 （1）求证：EM平面 ADF； （2）求多面体 ABCDEF 的体积 V 【分析】 （1）取 AD 的中点 N，连接 MN，NF利用三角形中位线定理可得 MNAB， 第 17 页（共 24 页） MN，又 EFAB，EF，可得四边形 MNEF 为平行四边形，则 EMFN， 再由线面平行的判定得 EM平面 ADF； （2）由多面体 ABCDEF 的体积 VVFABD+VFBED+VEBDC，结合已知及棱锥的体积公 式求解 【解答】 （1）证明：取 AD 的中点 N，连接 MN，NF 在DAB 中，M 是 BD 的中点，N
33、 是 AD 的中点， MNAB，MN， 又EFAB，EF， MNEF，且 MNEF 四边形 MNEF 为平行四边形，则 EMFN， 又FN平面 ADF，EM平面 ADF， 故 EM平面 ADF； （2）解：ABD90，EB平面 ABCD，EFAB，AB2，EB，EF1，BC ， 多面体 ABCDEF 的体积 VVFABD+VFBED+VEBDC （） 【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力与思维能力，训练了利用等积 法求多面体的体积，是中档题 19 （12 分）某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该院派出研究小 组分别到气象局与某医院， 抄录了 1 到 6 月份每
34、月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就 诊的人数，得到数据资料见表： 月份 1 2 3 4 5 6 昼夜温差（） 10 11 13 12 8 6 就诊人数（个） 23 26 30 27 17 13 第 18 页（共 24 页） 该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性 回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验 （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻的两个月的概率； （2）已知选取的是 1 月与 6 月的两组数据 （i）请根据 2 到 5 月份的数据，求就诊人数 y 关于昼夜温差 x 的线性回归方程： （ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的
35、检验数据的误差均不超过 2 人，则认 为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是否理想？ （参考公式 ， ） 【分析】 （1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从 6 组数据中选取 2 组数据 共有 15 种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，根据古典概型 的概率公式得到结果 （2）根据所给的数据，求出 x，y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系 数 a，b，写出线性回归方程； （3）将 x 的值代入回归方程检验即可 【解答】解： （1）设选取的 2 组数据恰好是相邻两个月为事件 A， 因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有 1
36、5 种情况，每种情况都是等可能出现的， 其中选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的情况有 5 种， 所以 P（A）， （2） （11+13+12+8）11， （26+30+27+17）25， ， 25， 得到 y 关于 x 的回归直线方程为 y （2）当 x10 时，y 第 19 页（共 24 页） 同样，当 x6 时，y， 估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人， 该小组所得线性回归方程是理想的 【点评】考查古典概型求概率，求线性回归方程和应用，考查运算能力，中档题 20 （12 分）已知椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为，右焦点 F 是抛物线 C2： y22px（p0）的焦点，点
37、（2，4）在抛物线 C2上 （1）求椭圆 C1的方程； （2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C1于 A，B 两点，M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率 乘积为，若在椭圆上存在点 N，使|AN|BN|，求ABN 的面积的最小值 【分析】 （1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，根据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆 方程， （2）设直线 l 的方程为 ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，根据 直线 AM 与 BM 的斜率乘积为，求出 m0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出 三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值 【解答】解： （1
38、）点（2，4）在抛物线 y22px 上， 164p， 解得 p4， 椭圆的右焦点为 F（2，0） ， c2， 椭圆 C1：+1（ab0）的离心率为， ， a2， b2a2c2844， 椭圆 C1的方程为+1， 第 20 页（共 24 页） （2）设直线 l 的方程为 ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消 y 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m280， x1+x2，x1x2， y1+y2k（x1+x2）+2m，y1y2k2x1x2+km（x1+x2）+m2 M（0，2） ，直线 AM 与 BM 的斜率乘积为， k1k2， 解得 m0， 直线 l 的方程为 ykx，
39、线段 AB 的中点为坐标原点， 由弦长公式可得|AB|， |AN|BN|， ON 垂直平分线段 AB， 当 k0 时，设直线 ON 的方程为 yx， 同理可得|ON|， SABN|ON|AB|8， 当 k0 时，ABN 的面积也适合上式， 令 tk2+1，t1，01， 则 SABN888， 当时，即 k1 时，SABN的最小值为 第 21 页（共 24 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数 的应用，考查计算能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）2+（x2）ex（a0） （1）讨论函数 f（x）的单调性： （2）若关于 x 的
40、方程 f（x）+a0 存在 3 个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论即可求解； （2）转化为相应的函数的交点问题，结合导数研究函数的特征，然后结合图象可求 【解答】解： （1）f（x）a（x1）+（x1）ex（x1） （exa） ， a0，由 f（x）0 可得 x1 或 xlna， （i）当 0ae 时，1lna， 在（1，+） ， （，lna）上，f（x）0，f（x）单调递增，在（lna，1）上，f（x） 0，f（x）单调递减； （ii）当 ae 时，lne1，f（x）0 在 R 上恒成立，即 f（x）在 R
41、上单调递增； （iii）当 ae 时，lna1， 在（lna，+） ， （，1）上，f（x）0，f（x）单调递增，在（1，lna）上，f（x） 0，f（x）单调递减； （2）f（x）+a（x2） （ex）0 有 3 个实数根， x2 显然是方程的一个解，故 ex0 有 2 个实数根且 x0，x2， 即 a（x2） ， 令 g（x）（x2） ，则， 当 x（，0） ， （0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减，当（1，2） ， （2，+） ， g（x）0，g（x）单调递增， 当 x0 时，g（x）0，x1 时，g（x）取得极小值，g（1）2e， 又 g（2）e2，则 2eae2或 ae2 第
42、22 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查利用导数求解函数的单调区间及函数零点的求解，体现了转化思 想及数形结合思想的应用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选题中任选-题作答如果多做，则按所做的第题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 l1，l2相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A，B 两点（不同于点 O） ，且 l1的倾斜角为锐角 （1）求曲线
43、 C 和射线 12的极坐标方程； （2）求OAB 的面积的最小值，并求此时 的值 【分析】 （1）由曲线 C 的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程；由 过极点的两射线 l1、l2相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O） ，且 l1 的倾斜角为锐角 ，能求出 l2的极坐标方程 （ 2 ） 依 题 意 设， 则， 同 理 ，由此能法语出OAB 的面积的最小值及此时 的值 【解答】解： （1）由曲线 C 的参数方程为， （t 为参数） ，得普通方程为 4yx2， 由 xcos，ysin，得 4sin2cos2， 所以曲线 C 的极坐标方程为 cos24sin，或 过极点的两射线 l1、l2相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O）
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