1、已知集合 Ax|x23x，B1，1，2，3，则 AB（ ） A1，1，2 B1，2 C1，2 D1，2，3 2 （5 分）复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i，则|z|（ ） A1 B C D2 3 （5 分）下列命题中假命题的是（ ） Ax0R，lnx00 Bx（，0） ，ex0 Cx0R，sinx0x0 Dx（0，+） ，2xx2 4 （5 分）等差数列an中，其前 n 项和为 Sn，满足 a3+a46，2a59，则 S7的值为（ ） A B21 C D28 5 （5 分）若非零向量 ， 满足| |4| |， （2 ） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 6 （5 分）函数 f
2、（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，则 （ ） A B C D 7 （5 分）变量 x，y 满足约束条件，若 z2xy 的最大值为 2，则实数 m 等 于（ ） A2 B1 C1 D2 8 （5 分）已知点 A（3，2）在抛物线 C：x22py（p0）的准线上，过点 A 的直线与抛 第 2 页（共 24 页） 物线在第一象限相切于点 B，记抛物线的焦点为 F，则|BF|（ ） A4 B6 C8 D10 9 （5 分）2019 年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈 上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产
3、总值增长的贡献率为 57.8%如图为 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度： （同比100%，环比100%） 下列结论中不正确的是（ ） A2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低 10 （5 分）已知 （0，） ， （1+tan） sin22，则 sin（ ） A B或 1 C D或 1 11 （5 分） 双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线 在 平面直角坐标系 xOy 中，
4、把到定点 F1（a，0） ，F2（a，0）距离之积等于 a2（a0） 的点的轨迹称为双纽线 C、已知点 P（x0，y0）是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有 （ ） 双纽线经过原点 O； 双纽线 C 关于原点 O 中心对称；y0；双纽 线 C 上满足|PF1|PF2|的点 P 有两个 A B C D 12 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，该四棱锥的五个面所 第 3 页（共 24 页） 在的平面截球面所得的圆大小相同， 若正四棱锥 PABCD 的高为 2， 则球 O 的表面积为 （ ） A8 B9 C12 D16 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共
5、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1）班， 则高三（1）班包揽冠亚军的概率为 14 （5 分）数列an满足 anan+1+10，若 a92，则 a1 15 （5 分）已知 P 为双曲线 C：上一点，O 为坐标原点，F1， F2为曲线 C 左右焦点若|OP|OF2|，且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率 为 16 （5 分）已知函数 f（x）的图象关于原点对称，则 a ；若 关于 x 的不等式 f（bx2）f（） 在区间1，2上恒成立，则实数 b 的取值范围是 三、解答题：本大题
6、共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a5，cb1， cosC （1）求角 B 的大小； （2）若角 B 的平分线交 AC 于点 D，求ABD 的面积 18 （12 分）2020 年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济 总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点作为制造业城市，佛山一直坚 持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制 造
7、业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路在推动制造业高 质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索如表是该 工厂每月生产的一种核心产品的产量 x（3x15） （件）与相应的生产总成本 y（万元） 的四组对照数据 x 5 7 9 11 第 4 页（共 24 页） y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型： +173； 模型： 68x160其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示： （1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方程？并说明理由； （2）市场前景
8、风云变幻，研究人员统计了 20 个月的产品销售单价，得到频数分布表如 下： 销售单价分组（万元） 75，85） 85，95） 95，105） 频数 10 6 4 若以这 20 个月销售单价的平均值定为今后的销售单价 （同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表） ，结合你对（1）的判断，当月产量为 12 件时，预测当月的利润 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过坐标原点 O 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若椭圆上点 P，满足|PM|PN|，试 证明：原点 O 到直线 PM 的距离为定值 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD
9、中，底面 ABCD 是平行四边形，PAPC，PB PD，APBCPD90，设平面 PAB平面 PCDl （1）证明：lAB； （2）若平面 PAB平面 PCD，求四棱锥 PABCD 的体积 第 5 页（共 24 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）ax3+x，其中 aR （1）当 a0 时，求证：过原点 O 且与曲线 yf（x）相切的直线有且只有一条； （2）当 x0，）时，不等式 f（x）tanx 恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清
10、 楚题号楚题号选修选修 44-：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）设点 M 的极坐标为（4，0） ，射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A， 与 C2的异于极点的交点为 B，若AMB，求 tan 的值 选修选修 45-：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2cosx+|a1|+|a5|，aR （1）若 f（0）8，求实数
11、a 的取值范围； （2）证明：对xR，f（x）|a5|+1|恒成立 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省佛山市高考数学二模试卷（文科）年广东省佛山市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题参考答案与试题解析解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x23x，B1，1，2，3，则 AB（ ） A1，1，2 B1，2 C1，2 D1，2，3 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可
12、【解答】解：Ax|0x3，B1，1，2，3， AB1，2 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i，则|z|（ ） A1 B C D2 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式 计算得答案 【解答】解：因为复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i， z222i； 则|z|1； 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）下列命题中假命题的是（ ） Ax0R，lnx00 Bx（，
13、0） ，ex0 Cx0R，sinx0x0 Dx（0，+） ，2xx2 【分析】根据指数函数，对数函数的性质，容易判断 AB 的真假，通过正弦函数，以及二 次函数，指数函数的图象可以判断 CD 的真假 【解答】解：根据对数函数的值域可知，当 0x1 时，lnx0，所以 A 正确； 根据指数函数的值域可知，对一切实数，ex0，所以 B 正确； 第 7 页（共 24 页） 由正弦函数的图象可知，存在 x0R，sinx0x0，取 x，不等式即可成立，所以 C 正确； 由二次函数，指数函数的图象可知，存在 x（0，+） ，2xx2不成立， 如取 x2，2xx2，所以 D 不正确 故选：D 【点评】本题主
14、要考查指数函数，对数函数的性质应用，正弦函数，二次函数，指数函 数的图象应用，以及特称命题，全称命题的真假判断，属于基础题 4 （5 分）等差数列an中，其前 n 项和为 Sn，满足 a3+a46，2a59，则 S7的值为（ ） A B21 C D28 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解 【解答】解：a3+a46，2a59， 2a1+5d6，2a1+8d9， 解得 a1，d1， S77a1+d+21， 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的合理运用，是基础题解题时 要认真审题，仔细解答 5 （5 分）若非零向量 ， 满足| |4| |， （2 ） ，
15、则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据两向量垂直时数量积为 0，列出方程求出向量 、 夹角的余弦值，即可求 出夹角的大小 【解答】解：设非零向量 ， 的夹角为 ， | |4| |，且 （2 ） ， （2 ）2 0， 即 2| |4| |cos0， 第 8 页（共 24 页） 解得 cos； 又 0， ， 即 与 的夹角是 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题目 6 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，则 （ ） A B C D 【分析】由题意根据正弦函数的图象特征，结合五点法作图，求出 的值 【解答】解：根据函
16、数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象，结 合五点法作图， 可得 +，+2， 求得 2， 故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，五点法作图，属于中档题 7 （5 分）变量 x，y 满足约束条件，若 z2xy 的最大值为 2，则实数 m 等 于（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 第 9 页（共 24 页） 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得 m 的值 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（） ， 化目标函数 z2xy 为 y2xz， 由 图 可 知 ， 当 直
17、线 过 A 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 小 ， z 有 最 大 值 为 ， 解得：m1 故选：C 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8 （5 分）已知点 A（3，2）在抛物线 C：x22py（p0）的准线上，过点 A 的直线与抛 物线在第一象限相切于点 B，记抛物线的焦点为 F，则|BF|（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】由点 A（3，2）在准线上可知 p 的值，从而确定抛物线的方程，设点 B 的坐 标为，m0，通过对抛物线方程求导，可得点 B 处切线的斜率，也就是直线 AB 的斜率，再通过 A、B 两点的坐标也可求得 kAB
18、，于是建立关于 m 的方程，解之可得 m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解 【解答】解：抛物线 C：x22py（p0）的准线方程为， 点 A（3，2）在准线上，即 p4，抛物线的方程为 x28y 即 第 10 页（共 24 页） 设点 B 的坐标为，m0， 对求导可得，直线 AB 的斜率为， 由 A（3，2） 、B可知，解之得，m8 或2（舍负） ， 点 B（8，8） ， 由抛物线的定义可知，|BF|8+10 故选：D 【点评】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线 的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 9 （5 分）2019 年，全国各地区坚持稳中
19、求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈 上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产 总值增长的贡献率为 57.8%如图为 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度： （同比100%，环比100%） 下列结论中不正确的是（ ） A2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低 【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四 个命题的真假，可得答案 第 11
20、 页（共 24 页） 【解答】解：由折线图知：从 2019 年每月的环比增长率看，2019 年第三季度的居民消费 价格一直都在增长，故 A 正确； 在 B 中，从 2019 年每月的同比增长率看，2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份 要低一些，故 B 正确； 在 C 中， 从 2019 年每月的同比增长率看， 2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 4.5% 1.7%2.8%，故 C 正确； 在 D 中，从 2019 年每月的同比增长率看，2019 年 2 月份的居民消费价格全年最低，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运
21、算求解能力、数据 处理能力，考查函数与方程思想，是基础题 10 （5 分）已知 （0，） ， （1+tan） sin22，则 sin（ ） A B或 1 C D或 1 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简已知等式可得 tan1， 结合范围 （0，） ，可求 ，可得 sin 的值 【解答】解：（1+tan） sin22sincos+tan2sincos2sincos+2sin22， sincos+sin21，可得：sincoscos2， tan1， （0，） ， ，可得 sin 故选：C 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中 的应用，属
22、于基础题 11 （5 分） 双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线 在 平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F1（a，0） ，F2（a，0）距离之积等于 a2（a0） 的点的轨迹称为双纽线 C、已知点 P（x0，y0）是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有 （ ） 双纽线经过原点 O； 双纽线 C 关于原点 O 中心对称；y0；双纽 线 C 上满足|PF1|PF2|的点 P 有两个 第 12 页（共 24 页） A B C D 【分析】先根据双纽线定义求出其方程，再根据各命题的信息逐个判断即可得出其真假 【解答】解；根据双纽线 C 的定义可得， 将 x0，
23、y0 代入，符合方程，所以正确； 用（x，y）替换方程中的（x，y） ，原方程不变，所以双纽线 C 关于原点 O 中心对称， 正确； 根据三角形的等面积法可知， |PF1|PF2|sinF1PF22a|y0|， 即|y0|sinF1PF2 ， 亦即y0，正确； 若双纽线 C 上点 P 满足|PF1|PF2|，则点 P 在 y 轴上，即 x0，代入方程， 解得 y0，所以这样的点 P 只有一个，错误 故选：B 【点评】本题主要考查新定义的应用，以及通过方程研究曲线的简单几何性质，属于中 档题 12 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，该四棱锥的五个面所 在的平面截
24、球面所得的圆大小相同， 若正四棱锥 PABCD 的高为 2， 则球 O 的表面积为 （ ） A8 B9 C12 D16 【分析】由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为 a，由四棱锥的高及五个面所在的平 面截球面所得的圆大小相同求解 a， 再由勾股定理求解球的外接球的半径， 代入球的表面 积公式得答案 【解答】解：如图， 设正四棱锥的底面边长为 2a，则底面 ABCD 所在圆的直径为， 第 13 页（共 24 页） 又正四棱锥 PABCD 的高为 2，侧棱长为，斜高为， 则 sin， 由正弦定理可得：侧面所在圆的直径为 该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同， ，解得 设正四棱锥 PA
25、BCD 的外接球的半径为 R，则（2R）2+2a2R2，解得 R 球 O 的表面积为 4R28 故选：A 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转 化思想方法，考查计算能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1）班， 则高三（1）班包揽冠亚军的概率为 【分析】获得冠亚军的两名学生的基本事件总数 n30，高三（1）班包揽冠亚军包 含的基本事件个数 m2，由此能求出高三（1）班包揽冠亚军的概率 【解答】
26、解：六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1） 班， 获得冠亚军的两名学生的基本事件总数 n30， 高三（1）班包揽冠亚军包含的基本事件个数 m2， 则高三（1）班包揽冠亚军的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 第 14 页（共 24 页） 14 （5 分）数列an满足 anan+1+10，若 a92，则 a1 2 【分析】利用数列的递推关系式，推出数列的奇数项之间的关系式，然后求解即可 【解答】解：数列an满足 anan+1+10，可得 anan+11，an1an1， 所以，所以数列的奇数项相等，
27、 若 a92，则 a12 故答案为：2 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查 15 （5 分）已知 P 为双曲线 C：上一点，O 为坐标原点，F1， F2为曲线 C 左右焦点若|OP|OF2|，且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率为 【分析】点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|OP|OF2|，即有 O 为PF1F2外接圆的圆 心，即有F1PF290，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计 算即可得到 【解答】解：点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|OP|OF2|，即有 O 为PF1F2外接圆 的圆心， 即有F1PF290， 由双
28、曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， tanPF2F13，所以|PF1|3|PF2|， 则|PF1|3a，|PF2|a， 由|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2， 即（3a）2+a24c2， 即有 c2a2， e， 故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直 径所对的圆周角为直角是解题的关键 第 15 页（共 24 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）的图象关于原点对称，则 a 2 ；若 关于 x 的不等式 f（bx2）f（） 在区间1，2上恒成立，则实数 b 的取值范围是 ，+） 【分析】由题意可得 f（x）为奇函数，可得 f（1）f（
29、1） ，解方程可得 a 的值；画 出函数 f（x）的图象，由 f（），解方程 f（x），可得 x或，x1 ，结合图象和题意，以及不等式恒成立问题解法，运用参数分离和函数的单调性， 即可得到所求范围 【解答】解：函数 f（x）的图象关于原点对称，即 f（x）为奇函数， 由 f（1）f（1） ，即1a（12） ，可得 a2， 则 f（x），作出 f（x）的图象，如右图 由 f（），x0 时，x22x，解得 x1；x0 时，x22x， 解得 x或， 则关于 x 的不等式 f（bx2）f（）在区间1，2上恒成立，可得 bx2， 1bx2， 由可得 b恒成立，由 y在1，2递减，可得 y 的最大值为，即
30、有 b； 由可得b恒成立， 由 y在1， 2递增， 可得 y 的最大值为， 即有 b， 再由 y在1，2递减，可得 y 的最小值为，即有 b，可得b， 综上可得 b 的范围是，+） 故答案为：2，+） 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数恒成立问题解法，注意数形结合思想 和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a
31、，b，c，已知 a5，cb1， cosC （1）求角 B 的大小； （2）若角 B 的平分线交 AC 于点 D，求ABD 的面积 【分析】 （1）先利用余弦定理求出 b，c 的值，然后再用余弦定理求出 B； （2）先在三角形 ABD 中，利用余弦定理求出 A，然后结合两角和与差的三角公式求出 sinABD，再利用正弦定理求出 AD，最后利用面积公式求出面积 【解答】解： （1）由已知：cb+1，在ABC 中，由余弦定理得 cosC，解得 b7，c8 由余弦定理得 又因为 B（0，） ， （2）由（1）知，cosA，sinA 在ABD中， sinA 由正弦定理得，得 所以ABD 的面积 第 17
32、 页（共 24 页） 【点评】本题考查正余弦定理的应用及面积公式，同时考查学生利用转化思想解决问题 的意识以及学生的运算能力，属于中档题 18 （12 分）2020 年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济 总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点作为制造业城市，佛山一直坚 持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制 造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路在推动制造业高 质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索如表是该 工厂每月生产的一种核心产品的产量 x（3x15） （件）与相
33、应的生产总成本 y（万元） 的四组对照数据 x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型： +173； 模型： 68x160其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示： （1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方程？并说明理由； （2）市场前景风云变幻，研究人员统计了 20 个月的产品销售单价，得到频数分布表如 下： 销售单价分组（万元） 75，85） 85，95） 95，105） 频数 10 6 4 若以这 20 个月销售单价的平均值定为今后的销售单价 （同一组中的数据用该组区
34、间的中 点值作代表） ，结合你对（1）的判断，当月产量为 12 件时，预测当月的利润 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （1）模型更适合作为 y 关于 x 的回归方程先根据模型： 68x160 逐 一算出四组数据的残差，并整理成表，再作出残差图，然后对比模型与，从残差的 绝对值大小、残差点分布的带状区域的宽窄或残差点离 x 轴的远近进行理由阐述即可； （2）先根据频数分布表算出这 20 个月销售单价的平均值，设月利润为 Z 万元，则 Z ，再把 x12 代入，求出 Z 的值即可得解 【解答】解： （1）模型的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 20
35、 18 21 21 模型的残差图如图所示 模型更适合作为 y 关于 x 的回归方程，因为： 理由 1：模型这 4 个样本点的残差的绝对值都比模型的小； 理由 2：模型这 4 个样本的残差点落在的带状区域比模型的带状区域更窄； 理由 3：模型这 4 个样本的残差点比模型的残差点更贴近 x 轴 （2）这 20 个月销售单价的平均值为， 设月利润为 Z 万元，由题可知，Z87xy， 当 x12 时，Z295（万元） ， 当月产量为 12 件时，预测当月的利润为 295 万元 【点评】本题主要考查残差的概念与性质、频数分布表中平均值的求法，考查学生对数 据的分析与处理能力，属于基础题 第 19 页（共
36、 24 页） 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过坐标原点 O 的直线与椭圆交于 M，N 两点，若椭圆上点 P，满足|PM|PN|，试 证明：原点 O 到直线 PM 的距离为定值 【分析】 （1）由题设列出含 a 与 b 的方程组，解出即可得椭圆 C 的方程； （2）根据直线 PM 的斜率是否存在进行讨论，联立直线 PM 与椭圆的方程，得到坐标之 间的关系式，求出原点 O 到直线 PM 的距离，即可证明结论 【解答】解： （1）解：设椭圆的半焦距为 c，由题设可得， 结合 a2b2+c2，解得 a26，b23，所以椭圆出的方程为：；
37、 （2）证明：当直线 PM 的斜率不存在时，依题意可得：直线 MN 的方程为 yx 或 y x， 从而可得直线PM的方程为 x或 x， 此时原点到直线 PM的距离为； 当直线 PM 的斜率存在时，设直线 PM 的方程为：ykx+m， 设 M（x1，y1 ） ，P（x2，y2 ） ，由题设知 N（x1，y1 ） ，联立， 可得： （1+2k2）x2+4kmx+2m260， 则 x1+x2，x1x2|PM|PN|，OPON （x1x2+y1y2）x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2） +m2（1+k2）km+m20， 整理得 m22k2+2又原点 O 到直
38、线 PM 的距离 d 故原点 O 到直线 PM 的距离为定值 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PAPC，PB PD，APBCPD90，设平面 PAB平面 PCDl （1）证明：lAB； （2）若平面 PAB平面 PCD，求四棱锥 PABCD 的体积 【分析】 （1）由底面 ABCD 是平行四边形，得 CDAB，可得 CD平面 PAB，结合平面 PAB平面 PCDl，得到 CDl，由平行公理可得 lAB； （2）连接 AC，BD 交于点 O，则
39、O 是 AC，BD 的中点，证明 PO平面 ABCD再求解 三角形求得 PO 与底面积，则四棱锥 PABCD 的体积可求 【解答】 （1）证明：底面 ABCD 是平行四边形，CDAB， 又 CD平面 PAB，AB平面 PAB，CD平面 PAB， 平面 PAB平面 PCDl，而 CD平面 PCD， CDl，则 lAB； （2）解：连接 AC，BD 交于点 O，则 O 是 AC，BD 的中点， 连接 PO，PAPC，PBPD，POAC，POBD 又 ACBDO， PO平面 ABCD 过点 P 作 PEAB，作 PFCD，连接 EF 第 21 页（共 24 页） PAPC，PBPD，APBCPD90
40、 ABCD，PEPF ABEF，则 EF 过点 O 平面 PAB平面 PCD，EPF90，则 PO1，EF2 四棱锥 PABCD 的体积 V 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的应用，训练了多面体体 积的求法，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax3+x，其中 aR （1）当 a0 时，求证：过原点 O 且与曲线 yf（x）相切的直线有且只有一条； （2）当 x0，）时，不等式 f（x）tanx 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据导数的几何意义即可证明， （2）构造函数 F（x）tanxf（x） ，求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性和最
41、值的关系即可求出 a 的范围 【解答】证明： （1）函数 f（x）ax3+x，其中 aR f（x）3ax2+1， 曲线 yf（x）上任意一点（t，at3+t）处的切线方程为 y（at3+t）（3at2+1） （xt） ， 此切线过原点 O 当且仅当 0（at3+t）（3at2+1） （0t） ，即 at30， （*） ， 当 a0 时，则方程（*）有且只有一个解 t0，曲线 yf（x）在原点 O（0，0）处的切 线 yx 过原点 O， 综上所述，当 a0 时，过原点 O 且与曲线 yf（x）相切的直线有且只有一条，即直线 yx 解： （2）令 F（x）tanxf（x） ， 则 F（x）3ax2
42、13ax2tan2x3ax2， 第 22 页（共 24 页） 若 a0，则 F（x）tan2x3ax20，故 F（x）在0，）上单调递增， 因此，当 x0，）时，F（x）F（0）0， 若 a0，则 F（x）（tanx+ax） （tanxax） ， 当 x0，）时，tanx0，tanx+ax0， 令 g（x）tanxax，则 g（x）， 从而当 x0，）时，cosx（0，1，1，+） ， 于是：若 0a，则 g（x）a0， 故 g（x）在0，）上单调递增， 因此当 x0，）时，g（x）g（0）0，进而 F（x）0， 故 F（x）在0，）上单调递增，因此当 x0，） ，F（x）F（0）0， 若 a
43、，则存在 x（0，） ，使得 cosx0， 当 x（0，x0）时，cosx，g（x）a0， 故 g（x）在（0，x0）上单调递减， 因此当 x（0，x0）时，g（x）g（0）0， 进而 F（x）0， 故 F（x）在（0，x0）上单调递减，因此，当 x（0，x0）时，F（x）F（0）0， 综上所述实数 a 的取值范围为（， 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
44、一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 44-：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos 第 23 页（共 24 页） （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）设点 M 的极坐标为（4，0） ，射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A， 与 C2的异于极点的交点为 B，若AMB，求 tan 的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，所以该曲线为以（0， 2）为圆心，2 为半径的圆 转换为直角坐标法方程为 x2+y24y0转换为极坐标方程为 4sin （2）设 A（1，） ，B（2，） ，射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A， 与 C2的异于极点的交点为 B， 所以|OA|4sin，|OB|4cos， 由于， 所以|AB|BM|， 则 4cos4sin4sin，整理得 tan 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程
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