2020年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）含详细解答

1、若集合 Ax|2x0，Bx|0x1，则 AB（ ） A0，2 B0，1 C1，2 D1，2 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 z （1+i）2i，则|z|（ ） A2 B C1 D 3 （5 分）已知角 的项点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1） 在角 的终边上，则 tan（ ） A2 B C D2 4 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2xy 的最小值是（ ） A2 B C4 D6 5 （5 分）已知函数 f（x）1+x3，若 aR，则 f（a）+f（a）（ ） A0 B2+2a3 C2 D22a3 6 （5 分）若函数 f（x）Asin（2x+） （A

2、0，0）的部分图象如图所示，则下列 叙述正确的是（ ） A （，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 B函数 f（x） 的图象关于直线 x对称 C函数 f（x） 在区间，上单调递增 第 2 页（共 24 页） D函数 f（x）的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移个单位得到 7 （5 分） 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ，也就是人们常说的“天圆地方” 我 国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成 如图所示的图形，其中圆的半径为 r，正方形的边长为 a（0ar） ，若在圆内随机取点， 得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率 的值为（ ） A

3、B C D 8 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1（包括边 界）上一点，若 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 9 （5 分）已知函数，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A （1，+） B （1，1） C D 10 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3， B2C，则 cosC 的值为（ ） A B C D 11 （5 分） 若关于 x 的不等式 2lnxax2+ （2a2） x+1 恒成立， 则 a

4、 的最小整数值是 （ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）过双曲线 C：1（a0，b0）右焦点 F2作双曲线一条渐近线的垂 线，垂足为 P，与双曲线交于点 A，若3，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ay2x Byx Cyx Dyx 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 3 页（共 24 页） 13 （5 分）已知向量 （k，1） ， （4，2） ，若 与 共线，则实数 k 的值为 14 （5 分）已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310， 则 S4 15 （5 分）斜

5、率为的直线 1 过抛物线 y22px（p0）的焦点，若直线 1 与圆（x2） 2+y24 相切，则 p 16 （5 分）正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 2，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱锥 分成的两部分体积的比值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要

6、求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Snn（n+2） （nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1 O （1）求证：B1CAB； （2）若CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 ABB1C 的表面积 19 （12 分）全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上 的健身活动

7、，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召， 某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样 本进行调查， 具体数据如茎叶图所示， 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 （用 第 4 页（共 24 页） x 表示） ，已知这 30 名职工的健康指数的平均数为 76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人，再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为 81，女职工现

8、有数据（即剔除 x）健康 指数的平均数为 69，方差为 190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结 果精确到 0.1） 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 A（2，0） ，且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 k（k0）的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直 平分线过点（，0） ，求 k 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxsinx，记 f（x）的导函数为 f（x） （1）若 h（x）ax+f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 x（0，2） ，试判断函数 f（x）的

9、极值点个数，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （2）已知 P 为曲线 C2上的动点，过点 P 作曲线 C1的切线，切点为 A，求|PA|的最大值 选修选修 4-5：不等式选

10、讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|2x2|的最大值为 M，正实数 a，b 满足 a+bM 第 5 页（共 24 页） （1）求 2a2+b2的最小值； （2）求证：aabbab 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）年广东省广州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若集合 Ax|2x0，Bx

11、|0x1，则 AB（ ） A0，2 B0，1 C1，2 D1，2 【分析】求出集合 A，利用交集定义能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|2x0x|x2，Bx|0x1， ABx|0x10，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若 z （1+i）2i，则|z|（ ） A2 B C1 D 【分析】由已知条件，结合复数的运算可得 z1+i，由模长公式可得答案 【解答】解：z （1+i）2i， z1+i， 故|z| 故选：B 【点评】本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属基础题 3 （5 分

12、）已知角 的项点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P（2，1） 在角 的终边上，则 tan（ ） A2 B C D2 【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可 【解答】解：点 P（2，1）在角 的终边上， tan， 故选：C 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查 4 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2xy 的最小值是（ ） A2 B C4 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数 z2x y 的最小值 【解答】解：实数 x，y 满足，边表示的可行域如图： 化简 z2xy 为 y2xz，

13、z 是直线在 y 轴上的截距， 故当 z2xy 过点 A 时，截距取得最大值，此时 z 有最小值， 由解得 A（，） 故目标函数 z2xy 的最小值为 2； 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法 5 （5 分）已知函数 f（x）1+x3，若 aR，则 f（a）+f（a）（ ） A0 B2+2a3 C2 D22a3 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（a）与 f（a）的表达式，进而计算可得答 案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）1+x3，则 f（a）1+a3，f（a）1+（a）3 第 8 页（共 24 页

14、） 1a3， 则有 f（a）+f（a）2； 故选：C 【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题 6 （5 分）若函数 f（x）Asin（2x+） （A0，0）的部分图象如图所示，则下列 叙述正确的是（ ） A （，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 B函数 f（x） 的图象关于直线 x对称 C函数 f（x） 在区间，上单调递增 D函数 f（x）的图象可由 yAsin 2x 的图象向左平移个单位得到 【分析】先由图象可知 A2，再把点（）代入函数解析式，结合 0， 可求得，从而确定函数的解析式为 f（x）然后根据正弦函数 的中心对称、轴对称和单调性以及平移变换法则逐一判

15、断每个选项即可 【解答】解：由图可知，A2， 函数 f（x）经过点（） ， ，即， 0，k1， 函数 f（x） 令， 则， 当 k0 时， 对称中心为， 即 A 正确； 第 9 页（共 24 页） 令，则，不存在 k 使其对称轴为 x， 即 B 错误； 令，则 ，当 k0 时，单调递增区间为 ，即 C 错误； y2sin2x 的图象向左平移个单位得到 y2sin2（x+）f（x） ， 即 D 错误 故选：A 【点评】本题考查利用图象求三角函数的解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生的 数形结合能力、推理论证能力和运算能力，属于基础题 7 （5 分） 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ，也就是

16、人们常说的“天圆地方” 我 国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成 如图所示的图形，其中圆的半径为 r，正方形的边长为 a（0ar） ，若在圆内随机取点， 得到点取自阴影部分的概率是 p，则圆周率 的值为（ ） A B C D 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对应面积比得 p，则 可求 【解答】解：圆形钱币的半径为 rcm，面积为 S圆r2； 正方形边长为 acm，面积为 S正方形a2 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 p1， 则 第 10 页（共 24 页） 故选：A 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 8 （

17、5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1（包括边 界）上一点，若 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹是（ ） A线段 B圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 【分析】分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF，可得 N， E，M，F 共面，且可得使 EF平面 BCC1B1，所以 F 在线段 FN 上 【解答】解：分别取 AC，A1C1，A1B1的中点 N，F，M，连接 ME，MF，NE，EF， 因为 E 为 AB 的中点，可得 NEBC 且 NE，FMB1C1，MFB1C1， 所以 N，E，M

18、，F 共面，所以可得 MEBB1，BEBC， 而 NEMEE，BCBB1B，所以面 NEMF面 BC1，而 EF面 MN，所以 EF面 BC1， 所以要使 EF平面 BCC1B1，则动点 F 的轨迹为线段 FN 故选：A 【点评】本题考查线面平行的证法及求点的轨迹的方法，属于中档题 9 （5 分）已知函数，则 f（x）f（x+1）的解集为（ ） A （1，+） B （1，1） C D 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得 x 的范围 【解答】解：函数，则 f（x）f（x+1） ， 第 11 页（共 24 页） 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1） ，即 x21（x+1）21，求得

19、x1 当 x1 时，不等式 f（x）f（x+1） ，即 log2xlog2（x+1） ，求得 x1 综上可得，不等式的解集为（，+） ， 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数、对数函数的单调性应用，指数、对数不等式的解法， 属于中档题 10 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3， B2C，则 cosC 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得 b6cosC，利用两角和的正 弦函数公式， 正弦定理化简已知等式可得 a2c6， 进而根据余弦定理即可求解 cosC 的 值 【解答】解：c3，B

20、2C， sinBsin2C2sinCcosC， 由正弦定理，可得，可得 b6cosC， bcosC+ccosB62c，由正弦定理可得 sinBcoC+sinCcosB2sinC，可得 sin（B+C） sinA2sinC，可得 a2c6， cosC，可得 cos2C， ca，C 为锐角， 解得 cosC 故选：D 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式， 余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 11 （5 分） 若关于 x 的不等式 2lnxax2+ （2a2） x+1 恒成立， 则 a 的最小整数值是 （ ） A0 B1 C2

21、 D3 【分析】问题等价于 a在（0，+）恒成立，令 g（x），求出 第 12 页（共 24 页） g（x）的最大值，求出 a 的范围即可 【解答】解：若关于 x 的不等式 2lnxax2+（2a2）x+1 恒成立， 问题等价于 a在（0，+）恒成立， 令 g（x），则 g（x）， 令 h（x）xlnx， （x0） ， 则 h（x）0， 故 h（x）在（0，+）递减， 不妨设 h（x）0 的根是 x0， 则 lnx0x0， 则 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）递增， x（x0，+）时，g（x）0，g（x）递减， g（x）maxg（x0）， h（1）10，h（2）ln20， 1x02，1，

22、 a1，a 的最小整数值是 1， 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类 讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于常规题 12 （5 分）过双曲线 C：1（a0，b0）右焦点 F2作双曲线一条渐近线的垂 线，垂足为 P，与双曲线交于点 A，若3，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） 第 13 页（共 24 页） Ay2x Byx Cyx Dyx 【分析】由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线 F2P：y 与已知渐近线方程联立求得 P 的坐标，再由向量等式求得 A 的坐标，代入 双曲线方程整理即可求得双曲线 C 的渐近线方程 【解答】解：如

23、图，不妨设一条渐近线方程为， 则 F2P 所在直线的斜率为，直线 F2P：y 联立，解得 P（） 设 A（x0，y0） ，由3，得（，）3（x0c，y0） ， 解得 A（，） 代入1，得， 整理得： 双曲线 C 的渐近线方程为 y 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量在解决圆锥曲线问题中的应用，考查计 算能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知向量 （k，1） ， （4，2） ，若 与 共线，则实数 k 的值为 2 第 14 页（共 24 页） 【分析】根据题意，由向量共线的坐

24、标表示公式可得 2k（1）（4）4，解可得 k 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，向量 （k，1） ， （4，2） ， 若 与 共线，则有 2k（1）（4）4，解可得 k2； 故答案为：2 【点评】本题考查向量共线的坐标表示，注意向量共线的坐标表示公式，属于基础题 14 （5 分）已知等比数列an是单调递增数列，Sn为an的前 n 项和，若 a24，a1+a310， 则 S4 30 【分析】设等比数列an的公比为 q，由 a24，a1+a310，可得：+4q10，及其等 比数列an是单调递增数列，解得 q再利用求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a24，a1+a31

25、0， +4q10，化为：2q25q+20， 解得 q2 或 等比数列an是单调递增数列， q2 a12 则 S430 故答案为：30 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 15 （5 分）斜率为的直线 1 过抛物线 y22px（p0）的焦点，若直线 1 与圆（x2） 2+y24 相切，则 p 12 【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可 【解答】解：斜率为的直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（，0） ， 直线 l 的方程：yx， 若 l 与圆 M： （x2）2+y24 相切， 第 15 页（共 24

26、 页） 可得：2，解得 p12， 故答案为：12 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能 力，是中档题 16 （5 分）正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 2，过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直的平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为 ，平面 将此正四棱 锥分成的两部分体积的比值为 （或 2） 【分析】由已知得PAC 为正三角形，取 PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG然后 证明 AGEF， 且求得 AG 与 EF 的长度， 可得截面四边形的面积； 再求出四棱锥 PAEGF 的体积与原正四棱锥的体积，则平面 将此正四棱锥分成的两部分

27、体积的比值可求 【解答】解：如图， 在正四棱锥 PABCD 中，由底面边长为 2，侧棱长为， 可得PAC 为正三角形，取 PC 的中点 G，得 AGPC，且 AG 设过 AG 与 PC 垂直的平面交 PB 于 E，交 PD 于 F，连接 EF， 则 EGPC，FGPC，可得 RtPGERtPGF，得 GEGF，PEPF， 在PAE 与PAF 中，由 PAPA，PEPF，APEAPF，得 AEAF AGEF 在等腰三角形 PBC 中，由 PBPC2，BC2，得 cosBPC， 则在 RtPGE 中，得 PE 同理 PF，则 EFDB，得到 EF ； 则 又， 第 16 页（共 24 页） 平面

28、将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为 故答案为：；（或 2） 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间 想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，考查计算能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为

29、 Sn，且 Snn（n+2） （nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）由 n1 时求得 a1，当 n2 时，由 Snn（n+2） （nN*），可得 Sn1 （n1） （n+1），由得 an2n+1，再检验当 n1 时是否适合，求得 an； （2）由（1）求得 bn，再利用错位相减法求其前 n 项和 Tn即可 【解答】解： （1）由题知：当 n1 时，有 S1133a1；当 n2 时，由 Snn（n+2） （nN*）， 可得 Sn1（n1） （n+1），由得 an2n+1，又 n1 时也适合，故 an2n+1； （2）由（1）知

30、bn， Tn3+5+7（）3+（2n+1） （）n， 第 17 页（共 24 页） 3+5（）3+（2n+1）， 由可得： ， 所以 Tn 【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求数列的和，属于基础题 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ACAB1，B1CBC1 O （1）求证：B1CAB； （2）若CBB160，ACBC，三棱锥 ABB1C 的体积为 1，且点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，求三棱锥 ABB1C 的表面积 【分析】 （1）由侧面 BB1C1C 为菱形，得 B1CBO，再由 ACAB1，O 为 B1C 的

31、中点， 得 B1CAO，利用直线与平面垂直的判定可得 B1C平面 ABO，从而得到 B1CAB； （2）点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，即 AO平面 BB1C1C，设 BC2a，由三棱 锥 ABB1C 的体积为 1 求解 a，再求解三角形可得三棱锥 ABB1C 的表面积 【解答】 （1）证明：侧面 BB1C1C 为菱形，B1CBO， 又 ACAB1，O 为 B1C 的中点，B1CAO， 而 AOBOO，B1C平面 ABO，得 B1CAB； （2）解：点 A 在侧面 BB1C1C 上的投影为点 O，即 AO平面 BB1C1C， 在菱形 BB1C1C 中，CBB160，B1BC 为

32、等边三角形， 又 ACBC，设 BC2a，则， AO， 第 18 页（共 24 页） 则，即 a1 在平面 BB1O 中，过 O 作 OEBB1，连接 AE， 可得 OE，则 AE ，同理可得 则三棱锥 ABB1C 的表面积为 【点评】本题考查多面体体积及表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计 算能力，是中档题 19 （12 分）全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上 的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定为响应全民健身号召， 某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了 30 名职工的体测数据作为样 本进行调查， 具体数据如茎叶

33、图所示， 其中有 1 名女职工的健康指数的数据模糊不清 （用 x 表示） ，已知这 30 名职工的健康指数的平均数为 76.2 （1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人，再从抽取的 5 人 中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人都是男职工的概率； （3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为 81，女职工现有数据（即剔除 x）健康 指数的平均数为 69，方差为 190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结 果精确到 0.1） 【分析】 （1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数；

34、 第 19 页（共 24 页） （2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所 求的概率值； （3）根据题意求出 x 的值，再计算健康指数的平均数和方差 【解答】解： （1）根据茎叶图，计算样本中男职工健康指数的众数是 76，中位数是 （80+82）81； （2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这 30 名职工中随机抽取 5 人， 男职工抽 53（人） ，记为 a、b、c，女职工 2 人，记为 D、E， 从这 5 人中随机抽取 2 人，所有的基本事件是 ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、 DE 共 10 种， 抽取的 2 人都是男职工的事件为

35、ab、ac、bc， 故所求的概率为 P； （3）由题意知，8118+1169+x3076.2，解得 x69； 所以样本中所有女职工的健康指数平均数为（1169+69）1269， 方差为 s211190+（6969）2174.2 【点评】本题利用茎叶图考查了统计与概率的计算问题，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 A（2，0） ，且离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 k（k0）的直线 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 的垂直 平分线过点（，0） ，求 k 的取值范围 【分析】 （1）根据题意得解得 a，b，c，进而写出椭圆的方程 （

36、2）设直线 l 的方程：ykx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2）联立直线 l 与椭圆 C 的方程 得关于 x 的一元二次方程，由韦达定理可得 x1+x2， x1x2，y1+y2， 0， 即 m24k2+3， 得到 线段 MN 中点（，） ，写出线段 MN 的垂直平分线的方程为 y 第 20 页（共 24 页） （x+） ，将点（，0）代入，得 m，代入式 得 k 的取值范围为 【解答】解： （1）因为椭圆 C 过点 A（2，0） ，且离心率为 所以解得 a2，b，c1， 所以椭圆 C 的方程为： （2）设直线 l 的方程：ykx+m，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 联立直线 l

37、与椭圆 C 的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120， x1+x2，x1x2， y1+y2k（x1+x2）+2mk（）+2m， （8km）24（3+4k2） （4m212）48m2+144+192k20，即 m24k2+3， 所以线段 MN 中点（，） ， 所以线段 MN 的垂直平分线的方程为 y（x+） ， 又因为线段 MN 的垂直平分线过点（，0） ， 所以（+） ，即 4k2+8km+30， 所以 m， 代入式得， 解得 k或 k， 所以 k 的取值范围为（，）（，+） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx

38、sinx，记 f（x）的导函数为 f（x） 第 21 页（共 24 页） （1）若 h（x）ax+f（x）是（0，+）上的单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （2）若 x（0，2） ，试判断函数 f（x）的极值点个数，并说明理由 【分析】 （1）只需 h（x）0 在（0，+）恒成立，借助于三角函数的有界性，问题 可解决 （2）分 x（0，1） ，四种情形分 别研究 f（x）的单调性，进而得出结论 【解答】解： （1）， ax+cosx，因为 h（x）是（0，+）上的单调递增函数， h（x）asinx0（x0）恒成立，因为 sinx1，1， 故 a1 时，h（x）0 恒成立，且导数为 0 时

39、不连续 故 a1 即为所求 （2）由（1）知， 当 x（0，1时，f（x）1cosx0， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当时，则， ，而由三角函数的性质可知， ， ， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当时，cosx0，则， 此时函数 f（x）单调递增，无极值点； 当时，令，则， 函数 g（x）单调递减， 又， 存在唯一的，使得 g（x0）0， 第 22 页（共 24 页） 且当时，g（x）f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（x0，2）时，g（x）f（x）0，f（x）单调递减， 故 x0是函数 f（x）的极大值点， 综上所述，函数 f（x）在（0，2）上有且仅有唯一的极大值

40、点，无极小值点 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值点，考查分类讨论思想及运算求解 能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）写出曲线 C1和 C2的直角坐标方程； （2）已知 P 为曲线 C2上的动点，过

41、点 P 作曲线 C1的切线，切点为 A，求|PA|的最大值 【分析】 （1） 由（ 为参数） ， 消去参数 ， 可得曲线 C1的直角坐标方程 由 2，得 2+32sin24，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C2 的直角坐标方程； （2）由 P 为曲线 C2上的动点，设 P（2cos，sin） ，则 P 与圆的圆心的距离 d 利用二次函数求最值，再由勾股 定理求|PA|的最大值 【解答】解： （1）由（ 为参数） ，消去参数 ，可得 x2+（y2）21 曲线 C1的直角坐标方程为 x2+（y2）21； 由 2，得 2+32sin24， 即 x2+y2+3y24，即 曲线 C2的直角坐标方

42、程为； （2）P 为曲线 C2上的动点，设 P（2cos，sin） ， 则 P 与圆的圆心的距离 d 第 23 页（共 24 页） 要使|PA|取最大值，则 d 最大，当 sin时，d 有最大值为 |PA|的最大值为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位 置关系的应用，考查计算能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|2x2|的最大值为 M，正实数 a，b 满足 a+bM （1）求 2a2+b2的最小值； （2）求证：aabbab 【分析】 （1）由绝对值的性质和绝对值的几何意义，可得 f（x）的最大值，即

43、有 M 的值， 再由柯西不等式，即可得到所求最小值； （2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性 质，即可得证 【解答】解： （1）函数 f（x）|x+1|2x2|x+1|x1|x1| |x+1x+1|11|2，当 x1 时，f（x）取得最大值 2， 即 M2， 正实数 a，b 满足 a+b2， 由柯西不等式可得（2a2+b2） （+1）（a+b）2， 化为 2a2+b2， 当 b2a时，2a2+b2取得最小值； （2）证明：因为 a+b2，a，b0，要证 aabbab，即证 alna+blnblna+lnb， 即证（a1）lna（1b）lnb， 即证（1a）ln（1）0， 当 0a1 时，11，所以 ln（1）0， 由 1a0，可得（1a）ln（1）0； 当 a1 时， （1a）ln（1）0； 第 24 页（共 24 页） 当 1a2 时，011，所以 ln（1）0， 因为 1a0，所以（1a）ln（1）0， 综上所述， （1a）ln（1）0 成立，即 aabbab 【点评】本题考查绝对值不等式的性质和应用，考查不等式的证明，注意应用柯西不等 式和分析法证明，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题