1、已知集合 Ax|x22x，Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|x0 或 x1 Cx|2x3 Dx|x1 或 x3 2 （5 分）复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i，则|z|（ ） A1 B C D2 3 （5 分） （1）10的二项展开式中，x 的系数与 x4的系数之差为（ ） A220 B90 C90 D0 4 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+6y 的最大值为（ ） A3 B4 C18 D40 5 （5 分）设函数 f（x）（sinx+cosx）2+cos2x，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Byf（x）的图象关于直线 x对
2、称 Cf（x）的最大值为+1 Df（x）的一个零点为 x 6 （5 分）已知 alog3（log32） ，b（log32）2，c2log32，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 7 （5 分）已知点 A（3，2）在抛物线 C：x22py（p0）的准线上，过点 A 的直线与抛 物线在第一象限相切于点 B，记抛物线的焦点为 F，则|BF|（ ） A6 B8 C10 D12 8 （5 分）盒中有形状、大小都相同的 2 个红色球和 3 个黄色球，从中取出一个球，观察颜 色后放回并往盒中加入同色球 4 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为 （ ） A B C D 9 （5 分）
3、2019 年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈 上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产 第 2 页（共 26 页） 总值增长的贡献率为 57.8%如图为 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度： （同比100%，环比100%） 下列结论中不正确的是（ ） A2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低 10 （5 分）已知 P 为双曲线 C：上一点，O
4、 为坐标原点，F1， F2为曲线 C 左、右焦点若|OP|OF2|，且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 11 （5 分）已知 A，B，C 是球 O 的球面上的三点，AOBAOC60，若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 1，则球 O 的表面积为（ ） A4 B9 C16 D20 12 （5 分） 双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线 在 平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F1（a，0） ，F2（a，0）距离之积等于 a2（a0） 的点的轨迹称为双纽线 C已知点 P（x0，y0）是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有
5、（ ） 双纽线 C 关于原点 O 中心对称；y0； 双纽线 C 上满足|PF1|PF2|的点 P 有两个；|PO|的最大值为a 第 3 页（共 26 页） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分）设命题 p：x（0，+） ，ex1+x2，则p 为 14 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）3，则 f（a） 15 （5 分）在面积为 1 的平行四边形 ABCD 中，DAB，则 ；点 P 是直线 AD 上的动点，则+的最小值为 16 （5 分）数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高
6、度，采用“两次测 角法” ，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大 4 倍复印，在中心处绑上一 个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图） ；推动自行车来测距（轮子滚动一周为 1.753 米） 该 小组在操场上选定 A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为 37；推 动自行车直线后退，轮子滚动了 10 圈达到 B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量 角器上度数为 53测量者站立时的“眼高”为 1.55m，根据以上数据可计算得该建筑 物的高度约为 米 （精确到 0.1） 参考数据：sin37，sin53 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解
7、答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn（Sn0） ，满足 S1，S2，S3成等差数列， 且 a1a2a3 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PBPC ，APBCPD90，点 M，N 分别是棱 BC，PD 的中点 第 4 页（共 26 页） （1）求证：MN平面 PAB； （2）若平面 PAB平面 PCD，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 19 （1
8、2 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过坐标原点的直线与椭圆交于 M，N 两点，过点 M 作圆 x2+y22 的一条切线，交 椭圆于另一点 P，连接 PN，证明：|PM|PN| 20 （12 分）2020 年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济 总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点作为制造业城市，佛山一直坚 持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制 造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路在推动制造业高 质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进
9、行了积极的改革探索如表是该 工厂每月生产的一种核心产品的产量 x（5x20） （件）与相应的生产总成本 y（万元） 的四组对照数据 x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型： +173； 模型： 68x160 其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示： （1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方程？并说明理由； （2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格 q（万 元）是一个与产量 x 相关的随机变量，分布列为： 第 5 页（共 26 页） q
10、140 130 100 p 0.5 0.4 0.1 结合你对 （1） 的判断， 当产量 x 为何值时， 月利润的预报期望值最大？最大值是多少 （精 确到 0.1）？ 21 （12 分）已知函数 f（x）sin x（xa） （1）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）若 a，证明：f（x）在（0，）有唯一的极值点 x0，且 f（x0） x0 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清 楚题号楚题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （1
11、0 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4cos （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）设点 M 的极坐标为（4，0） ，射线 （0）与 C1的异于极点的交点为 A， 与 C2的异于极点的交点为 B，若AMB，求 tan 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2cosx+|a1|+|a5|，aR （1）若 f（0）8，求实数 a 的取值范围； （2）证明：对xR，f（x）|a5|+1|恒成立 第 6 页（共 2
12、6 页） 2020 年广东省佛山市高考数学二模试卷（理科）年广东省佛山市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大一、选择题：本大题共题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x，Bx|1x3，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|x0 或 x1 Cx|2x3 Dx|x1 或 x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22xx|x0 或 x2， Bx|1x3， A
13、Bx|x0 或 x1 故选：B 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i，则|z|（ ） A1 B C D2 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式 计算得答案 【解答】解：因为复数 z 满足（z+2） （1+i）3+i， z222i； 则|z|1； 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分） （1）10的二项展开式中，x 的系数与 x4的系数之差为（ ） A220 B90 C90 D0 【分析】由题意利用
14、二项展开式的通项公式，求出 x 的系数与 x4的系数之差的值 【解答】解：（1）10的二项展开式中，通项公式为 Tr+1 （1）r 故 x 的系数与 x4的系数之差为0， 第 7 页（共 26 页） 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 4 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+6y 的最大值为（ ） A3 B4 C18 D40 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最 优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件作出可行域如
15、图， A（0，3） ， 化目标函数 zx+6y 为 y+， 由图可知，当直线 y+过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 18 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 5 （5 分）设函数 f（x）（sinx+cosx）2+cos2x，则下列结论错误的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Byf（x）的图象关于直线 x对称 Cf（x）的最大值为+1 Df（x）的一个零点为 x 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据 yAsin（x+）的图象 第 8 页（共 26 页） 与性质判断出各选项的真假 【解答】解：因为 f（x）（
16、sinx+cosx）2+cos2x1+sin2x+cos2x1+sin（2x+） ， 所以，f（x）的最小正周期为 ，f（x）的最大值为，A、C 正确； 当 x时，sin（2）1，所以，yf（x）的图象关于直线 x对称，B 正确； 因为 f（）1，所以 x不是函数 f（x）的零点，错误 故选：D 【点评】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数 yAsin （x+）的图象与性质的应用，属于中档题 6 （5 分）已知 alog3（log32） ，b（log32）2，c2log32，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解
17、答】解：0log321， log3（log32）0，即 a0， ，即 0b1， c2log32log341， abc， 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 7 （5 分）已知点 A（3，2）在抛物线 C：x22py（p0）的准线上，过点 A 的直线与抛 物线在第一象限相切于点 B，记抛物线的焦点为 F，则|BF|（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】由点 A（3，2）在准线上可知 p 的值，从而确定抛物线的方程，设点 B 的坐 标为，m0，通过对抛物线方程求导，可得点 B 处切线的斜率，也就是直线 AB 的斜
18、率，再通过 A、B 两点的坐标也可求得 kAB，于是建立关于 m 的方程，解之可得 m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：抛物线 C：x22py（p0）的准线方程为， 点 A（3，2）在准线上，即 p4，抛物线的方程为 x28y 即 设点 B 的坐标为，m0， 对求导可得，直线 AB 的斜率为， 由 A（3，2） 、B可知，解之得，m8 或2（舍负） ， 点 B（8，8） ， 由抛物线的定义可知，|BF|8+10 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线 的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 8
19、 （5 分）盒中有形状、大小都相同的 2 个红色球和 3 个黄色球，从中取出一个球，观察颜 色后放回并往盒中加入同色球 4 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为 （ ） A B C D 【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P1 ，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为： P1，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率 【解答】解：盒中有形状、大小都相同的 2 个红色球和 3 个黄色球， 从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球 4 个， 若取出的是红色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：
20、P1， 若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：P1， 再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为： PP1+P2 第 10 页（共 26 页） 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 9 （5 分）2019 年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈 上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产 总值增长的贡献率为 57.8%如图为 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度： （同比100%，环比100%） 下列结论中不正确
21、的是（ ） A2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长 B2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些 C2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上 D2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低 【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四 个命题的真假，可得答案 【解答】解：由折线图知：从 2019 年每月的环比增长率看，2019 年第三季度的居民消费 价格一直都在增长，故 A 正确； 在 B 中，从 2019 年每月的同比增长率看，2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份 要低一些，故 B 正确； 在
22、C 中， 从 2019 年每月的同比增长率看， 2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 4.5% 1.7%2.8%，故 C 正确； 在 D 中，从 2019 年每月的同比增长率看，2019 年 2 月份的居民消费价格全年最低，故 第 11 页（共 26 页） D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查函数与方程思想，是基础题 10 （5 分）已知 P 为双曲线 C：上一点，O 为坐标原点，F1， F2为曲线 C 左、右焦点若|OP|OF2|，且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【
23、分析】点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|OP|OF2|，即有 O 为PF1F2外接圆的圆 心，即有F1PF290，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计 算即可得到 【解答】解：点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|OP|OF2|，即有 O 为PF1F2外接圆 的圆心， 即有F1PF290， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， tanPF2F13，所以|PF1|3|PF2|， 则|PF1|3a，|PF2|a， 由|PF1|2+|PF2|2|F1F2|2， 即（3a）2+a24c2， 即有 c2a2， e， 故选：C 【点评】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾
24、股定理的运用，运用平面几何中直 径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题 11 （5 分）已知 A，B，C 是球 O 的球面上的三点，AOBAOC60，若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 1，则球 O 的表面积为（ ） A4 B9 C16 D20 【分析】由题意画出图形，把AOB 的面积用求的半径表示，再写出 C 到平面 AOB 的 第 12 页（共 26 页） 距离，代入三棱锥体积公式，求得体积取得最大值时的外接球的半径，则球的表面积可 求 【解答】解：如图， 设求 O 的半径为 r，点 B，C 在圆 M 上， 由AOBAOC60，可得圆 M 的半径为， OA平面 MBC， VOABC
25、VCAOB 则当且仅当时，VOABC取得最大值 r2 则球 O 的表面积为 4r24416 故选：C 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空 间想象能力与思维能力，是中档题 12 （5 分） 双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线 在 平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F1（a，0） ，F2（a，0）距离之积等于 a2（a0） 的点的轨迹称为双纽线 C已知点 P（x0，y0）是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有 （ ） 双纽线 C 关于原点 O 中心对称；y0； 双纽线 C 上满足|PF1|PF2|的点 P 有两个
26、；|PO|的最大值为a A B C D 【分析】根据双纽线 C 的定义求出其曲线方程，即可判断各命题的真假 第 13 页（共 26 页） 【解答】解：根据双纽线 C 的定义可得， 用（x，y）替换方程中的（x，y） ，原方程不变，所以双纽线 C 关于原点 O 中心对称， 正确； 根据三角形的等面积法可知， |PF1|PF2|sinF1PF22a|y0|， 即|y0|sinF1PF2 ， 亦即y0，正确； 若双纽线 C 上点 P 满足|PF1|PF2|，则点 P 在 y 轴上，即 x0，代入方程， 解得 y0，所以这样的点 P 只有一个，错误； 因为，所以|2|2+2|cosF1PF2+|2 由
27、余弦定理可得，4a2|22|cosF1PF2+|2 |2a2+|cosF1PF2a2+a2cosF1PF22a2，所以 PO|的最大值为a， 正确 故选：B 【点评】本题主要考查新定义的应用，以及利用曲线方程研究其简单几何性质，属于中 档题 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分 13 （5 分） 设命题 p： x （0， +） ， ex1+x2， 则p 为 x0 （0， +） ， e1+x02 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 p：x（0，+） ，ex1
28、+x2， 则p 为： ：x0（0，+） ，e1+x02； 故答案为：x0（0，+） ，e1+x02 【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，考查推理能力，属于基础题 14 （5 分）已知函数 f（x），若 f（a）3，则 f（a） 4 【分析】根据题意，对函数的解析式变形可得 f（x）+，据此可得 f（ 第 14 页（共 26 页） x）（+）+，分析可得 f（x）+f（x）1，则有 f（a）+f（a） 1，结合 f（a）的值，计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）+，则 f（x） （+）+， 则有 f（x）+f（x）1， 则有 f（a）+f（a）1，又由 f（a）3，则 f（a）
29、4； 故答案为：4 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意对函数解析式的变形 15 （5 分）在面积为 1 的平行四边形 ABCD 中，DAB，则 ；点 P 是直线 AD 上的动点，则+的最小值为 【分析】 根据四边形的面积计算|AB|AD|的值， 再计算； 取 BC 的中点 Q， 连接 PQ， 则+（）23 2+ ，再利用基本不等式和四 边形的面积求出最小值 【解答】解：SABCD2SABC2|AB|AD|sinDAB|AB|BC|sin1， |AB|AD|2， |AB|AD|cosDAB2， 取 BC 的中点 Q，连接 PQ，则2，（）2（） 2 （4 2 ） ， + （） 23
30、 4 （4 2 ） 2+ 2|PQ|BC|PQ|BC|S四边形ABCD， 当且仅当|PQ|BC|且 PQBC 时取等号， 故答案为：， 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考 查了变形能力与计算能力，属于中档题 16 （5 分）数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测 角法” ，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大 4 倍复印，在中心处绑上一 个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图） ；推动自行车来测距（轮子滚动一周为 1.753 米） 该 小组在操场上选定 A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角
31、在量角器上度数为 37；推 动自行车直线后退，轮子滚动了 10 圈达到 B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量 角器上度数为 53测量者站立时的“眼高”为 1.55m，根据以上数据可计算得该建筑 物的高度约为 31.6 米 （精确到 0.1） 参考数据：sin37，sin53 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用三角形的边角关系列方程求出建筑物的高度 【解答】解：如图所示， 设 CDx，ACy； 在 RtACD 中，DAC903753， 所以 tan53，即； 所以 y； 在 RtBCD 中，DBC905337； 第 16 页（共 26 页） 所以 tan37， 所以，x30.05， C
32、DCC+CD1.55+30.0531.6031.6（米） ； 根据以上数据可计算该建筑物的高度约为 31.6 米 故答案为：31.6 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn（Sn0） ，满足 S1，S2，S3成等差数列， 且 a1a2a3 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）直接利用
33、题意，建立方程组求出首项和公比，进一步求出数列的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和 【解答】解： （1）等比数列an的前 n 项和为 Sn（Sn0） ，满足 S1，S2，S3成等差数 列，且 a1a2a3设公比为 q， 则：，整理得 q2+3q+20， 解得 q1 或2， 当 q1 时，a11，所以 a21，故 S20，与 Sn0 相矛盾， 当 q2 时，a12， 所以 （2）由于，所以 ， 第 17 页（共 26 页） 所以+ 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换
34、能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，PAPD，PBPC ，APBCPD90，点 M，N 分别是棱 BC，PD 的中点 （1）求证：MN平面 PAB； （2）若平面 PAB平面 PCD，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 【分析】 （1）取 PA 的中点为 Q，连结 NQ，BQ，推导出四边形 MNQB 是平行四边形， MNBQ，由此能证明 MN平面 PAB （2）过点 P 作 PEAB，交 AB 于点 E，作 PFCD，交 CD 于点 F，连结 EF，推导出 AB平面 PEF，平面 PEF平面 ABCD，取 EF 的中点
35、为 O，连结 OP，则 OPEF，OP 1，以 O 为原点，OM，OF，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：取 PA 的中点为 Q，连结 NQ，BQ， 又点 N 是 PD 的中点，则 NQAD，且 NQAD， 又点 M 是 BC 的中点，底面 ABCD 是矩形，则 BMAD，且 BMAD， NQBM，且 NQBM，四边形 MNQB 是平行四边形， MNBQ，又 MN平面 PAB，BQ平面 PAB， MN平面 PAB （2）过点 P 作 PEAB，交 AB 于点 E，作 PFCD，交 C
36、D 于点 F，连结 EF， 则 PFAB，PEPFP，AB平面 PEF， 又 AB平面 ABCD，平面 PEF平面 ABCD， 第 18 页（共 26 页） ABCD3，PEPF，BECF2，AEDF1， 平面 PAB平面 PCD，EPF90，EF2， 取 EF 的中点为 O，连结 OP，则 OPEF，OP1， 以 O 为原点，OM，OF，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，1） ，C（2，1，0） ，D（1，1，0） ，M（2，0，0） ，N（） ， （2，1，1） ，（1，1，1） ，（，） ， 设平面 PCD 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，
37、取 z1，得 （0，1，1） ， 设直线 MN 与平面 PCD 所成角为 ， 则 sin， 直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，且过点（2，1） （1）求椭圆 C 的方程； （2）过坐标原点的直线与椭圆交于 M，N 两点，过点 M 作圆 x2+y22 的一条切线，交 椭圆于另一点 P，连接 PN，证明：|PM|PN| 【分析】 （1）由题设列出含 a 与 b 的方程组，解出即可得椭圆 C 的方程； （2）
38、根据直线 PM 的斜率是否存在进行讨论，联立直线 PM 与椭圆的方程，得到坐标之 第 19 页（共 26 页） 间的关系式，求出|PM|与|PN|，即可证明结论 【解答】解： （1）设椭圆的半焦距为 c，由题设可得，结合 a2b2+c2， 解得 a26，b23，所以椭圆出的方程为：； （2）证明：当直线 PM 的斜率不存在时，可得直线 PM 的方程为 x或 x， 若直线 PM：x，直线 MN：yx，可得 M（） ， N（） ，P（） ，则|PM|2，|PN|2，所以 |PM|PN|； 当直线 PM 的斜率存在时，设直线 PM 的方程为：ykx+m，设 M（x1，y1 ） ，P（x2，y2 ）
39、，由题设知 N（x1，y1 ） ，联立， 可得： （1+2k2）x2+4kmx+2m260， 则 x1+x2，x1x2 直线 PM 与 x2+y22 相切，原点 O 到直线 PM 的距离 d即|m| |PM|， 又|PN|，y1+y2k（x1+x2）+2m， |PN|， |PM| |PN| 综合知：|PM|PN| 第 20 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法及圆锥曲线中的综合问题，属于中档题 20 （12 分）2020 年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济 总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点作为制造业城市，佛山一直坚 持把创新摆
40、在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制 造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路在推动制造业高 质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索如表是该 工厂每月生产的一种核心产品的产量 x（5x20） （件）与相应的生产总成本 y（万元） 的四组对照数据 x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型： +173； 模型： 68x160 其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示： （1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于
41、x 的回归方程？并说明理由； （2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格 q（万 元）是一个与产量 x 相关的随机变量，分布列为： q 140 130 100 p 0.5 0.4 0.1 结合你对 （1） 的判断， 当产量 x 为何值时， 月利润的预报期望值最大？最大值是多少 （精 确到 0.1）？ 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）求出模型的残差数据，作出模型的残点图得到模型更适宜作为 y 关于 x 的回归方程 （2）设月利润为 Y，由题意得 Yqxy，求出 Y 的分布列，从而 E（Y） + ， 设 函 数f （ x ） ，x（0，+） ，f（x）x
42、2x+132，利用导数性质求出产量 为 11 件时，月利润的预报期望值最大，最大值是 774.8 万元 【解答】解： （1）模型的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 20 18 21 21 模型的残点图如右图所示， 模型更适宜作为 y 关于 x 的回归方程 理由如下： 理由 1：模型这个 4 个样本点的残差的绝对值都比模型的小 理由：模型这 4 个样本的残差点落在的带状区域比模型的带状区域更窄 理由：模型这 4 个样本的残差眯比模型的残差点更贴近 x 轴 （2）设月利润为 Y，由题意得 Yqxy，则 Y 的分布列为： Y 140x （） 130x （）
43、100x （） 第 22 页（共 26 页） P 0.5 0.4 0.1 E（Y） + ， 设函数 f（x），x（0，+） ，f（x）x2x+132， 令 f（x）0，解得 x11 或 x12（舍） ， 当 x（0，11）时，f（x）0，则 f（x）单调递增， 当 x（11，+）时，f（x）0，则 f（x）单调递减， f（x）的最大值为 f（11），即产量为 11 件时，月利润的预报期望值最大，最 大值是 774.8 万元 【点评】本题考查回归直线方程的判断与应用，考查离散型随机变量的分布列、概率的 求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题 21 （12 分）已
44、知函数 f（x）sin x（xa） （1）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）若 a，证明：f（x）在（0，）有唯一的极值点 x0，且 f（x0） x0 【分析】 （1）先根据 f（a）0，求出 a 的一个范围，然后证明（x0） ，再 进一步证明当 2ka2k 时，f（x）0 恒成立，即可确定 a 的范围； （2）对 f（x）求导，然后构造函数，求出 g（x）零点，再判断 f （x） 的单调情况， 进一步证明 f （x） 在 （0，） 有唯一的极值点 x0， 且 f （x0） x0 【解答】解： （1）由 f（a）0，得sina0，即 sina0，解得 2ka2k，kZ， 第 23 页（共 26 页） 以下证明，当 2ka2k（kZ）时，f（x）0 为此先证：（x0） 若 x1，则；若 0x1，则 令 g（x）xsinx（x0） ，可知 g（x）1cosx0，故 g（x）g（0）0， 即 xsinx（x0） ，故（x0） 若 2ka2k（kZ） ，则当 ax2k 时，sinx0， 故，即 f（x）0； 当 x2k 时， 由（x0） ，得 故当 2ka2k（kZ）时，f（x）0 综上，a 的取值范围是a|2ka2k，kZ （2），令， ，g（x）是上的增函数， 又 g（0）0， 故存在唯一实数，使 g（t0）0， 当
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