1、2020 年天津市河西区高考数学二模试卷年天津市河西区高考数学二模试卷 一、选择题（共 9 小题）. 1设集合 Mx|x24，集合 Nx|1x2，则MN（ ） Ax|2x1 B2，1，0 Cx|x2 Dx|0x2 2设 p：“条件 A 与条件 B 互斥”，q：“条件 A 与条件 B 互为对立事件”，则 p 是 q 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分而不必要条件 3已知 x 与 y 之间的一组数据： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 则 y 与 x 的线性回归方程为 ，则 a 的值为（ ） A0.325 B0 C2.2 D2.6 4已
2、知双曲线的一个焦点与抛物线 x220y 的焦点重合，且双曲线上的一点 P 到双曲线的 两个焦点的距离之差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为（ ） A B C D 5已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，3c216S+3（b2 a2），则 tanB（ ） A B C D 6已知正四棱锥 PABCD 的底面是边长为 的正方形，其体积为 ，若圆柱的一个底面的 圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面 积为（ ） A B2 C4 D6 7函数 f（x）e|x1|2cos（x1）的部分图象可能是（ ） A B C D 8用
3、数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的 四位数的个数为（ ） A64 B72 C96 D144 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）x f（x）a（a1）的零 点个数为 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A 或 B C 或 D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 10设复数 z 满足（1+2i）z34i（i 为虚数单位），则|z| 11（2x ） 6 展开式中常数项为 （用数字作答） 12若直线 3x+4ym 与圆 x2+y2m 相切，则实数 m 13某批产品共 10 件，其中含有 2 件次品，若从该批产品中任
4、意抽取 3 件，则取出的 3 件 产品中恰好有一件次品的概率为 ；取出的 3 件产品中次品的件数 X 的期望 是 14已知 x，y 为正实数，且 xy+2x+4y41，则 x+y 的最小值为 15 在ABC中， 点M、 N分别为CA、 CB的中点， 点G为AN与BM的交点， 若AB ， CB1， 且满足 3 2 2，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知函数 （xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性； 17在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，E 为 CC1的中点 （1）
5、求证：AC1平面 BDE； （2）求证：A1E平面 BDE； （3） 若 F 为 BB1上的动点， 使直线 A1F 与平面 BDE 所称角的正弦值是 ， 求 DF 的长 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3（an2）（nN*），数列bn是公差不为 0 的等差数列，且满足 b1 ，b5 是 b2和 b14的等比中项 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求 ； （3）设数列cn的通项公式 cn ， ， ，求 ； 19如图，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为（ ，0），（1， ）是 椭圆上的一个点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的上、下顶点分别为 A，B
6、，P（x0，y0）（x00）是椭圆上异于 A，B 的任 意一点，PQy 轴，Q 为垂足，M 为线段 PQ 中点，直线 AM 交直线 l：y1 于点 C， N 为线段 BC 的中点，如果MON 的面积为 ，求 y 0的值 20（16 分）已知函数 ， ， （e 为自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的值域； （2）若不等式 f（x）k（x1）（1sinx）对任意 ， 恒成立，求实数 k 的取值 范围； （3）证明： 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 Mx|x24，集合 Nx|1x2，则MN（ ） Ax|2x1 B2，1，0 Cx|x2 Dx|
7、0x2 解：因为集合 Mx|x24x|2x2，集合 Nx|1x2， MN2，1） 故选：A 2设 p：“条件 A 与条件 B 互斥”，q：“条件 A 与条件 B 互为对立事件”，则 p 是 q 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分而不必要条件 解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件， 可知“条件 A 与条件 B 互斥”，不一定有“条件 A 与条件 B 互为对立事件”， 反之，由“条件 A 与条件 B 互为对立事件”，一定得到：“条件 A 与条件 B 互斥” p 是 q 的必要而不充分条件 故选：B 3已知 x 与 y 之间的一组数据： x
8、 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 则 y 与 x 的线性回归方程为 ，则 a 的值为（ ） A0.325 B0 C2.2 D2.6 解：计算 （0+1+3+4）2， （2.2+4.3+4.8+6.7）4.5， 代入 y 与 x 的线性回归方程 中， 解得 a4.50.9522.6 故选：D 4已知双曲线的一个焦点与抛物线 x220y 的焦点重合，且双曲线上的一点 P 到双曲线的 两个焦点的距离之差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为（ ） A B C D 解：由抛物线 x220y，得 2p20，则 p10 抛物线 x220y 的焦点坐标为（0，5）， 可知双曲线是焦点在
9、y 轴上的双曲线，设其方程为 （a0，b0） 则 c5 又双曲线上的一点P到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6， 2a6， 即a3 b2c2a216 双曲线的标准方程为 故选：C 5已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，3c216S+3（b2 a2），则 tanB（ ） A B C D 解：由正弦的面积公式知，S ， 3c216S+3（b2a2），3（c2+a2b2 ）16 ， 由余弦定理知，c2+a2b22ac cosB， 32ac cosB8ac sinB，即 tanB 故选：D 6已知正四棱锥 PABCD 的底面是边长为 的正方形，其体积为
10、 ，若圆柱的一个底面的 圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面 积为（ ） A B2 C4 D6 解：设正四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面的投影为 O， 则 V正四棱锥 S 底 PO （ ） 2PO PO， 由题意可得 PO ，所以 PO2， 由题意可得所求的圆柱的底面直径 2RBD ， 所以 R1，高 h 1， 所以 S圆柱表面积2S底+S 侧2R2+2R h212+2114， 故选：C 7函数 f（x）e|x1|2cos（x1）的部分图象可能是（ ） A B C D 解：f（0）e2cos10，排除 B，D， 当 x1 时，f（x）ex12cos
11、（x1）， f（x）ex1+2sin（x1）， 则当 x2 时，f（x）0，即此时 f（x）为增函数，排除 C， 故选：A 8用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的 四位数的个数为（ ） A64 B72 C96 D144 解：根据题意，数字 0，1，2，3，4，中有 2 个奇数，3 个偶数，若组成的四位数要求至 少有两个数字是偶数， 则四位数中有 2 个或 3 个偶数， 分 2 种情况讨论： ，四位数中有 3 个偶数，1 个奇数； 因为 0 不能在首位，有 3 种情况，选取一个奇数有 C 2 种，与另两个偶数安排在其 他三个位置，有 A336 种情
12、况，则有 32636 个符合条件的四位数； ，四位数中有 2 个偶数，2 个奇数； 若偶数中有 0，在 2、4 中选出 1 个偶数，有 C212 种取法， 其中 0 不能在首位，有 3 种情况，将其他 3 个数全排列，安排在其他三个位置，有 A33 6 种情况， 则有 23636 个符合条件的四位数； 若偶数中没有 0，将其他 4 个数全排列，有 A4424 个符合条件的四位数； 则一共有 36+36+2496 个符合条件的四位数； 故选：C 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）x f（x）a（a1）的零 点个数为 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A 或 B C 或 D 解：函
13、数 g（x）xf（x）a 的零点个数恰为 2 个yf（x）与 y 有两个交点 x2 时， ， ， ， 2x4 时，f（x） |x3|1 4x6 时，f（x） |x5|1 故函数 yf（x）与 y 的图象如下根据图象可得 a0 且 或 a1， ， 故选：D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 10设复数 z 满足（1+2i）z34i（i 为虚数单位），则|z| 解：由（1+2i）z34i，得 z ， |z| | 故答案为： 11（2x ） 6 展开式中常数项为 60 （用数字作答） 解：（2x ） 6 展开式的通项为 令 得 r4 故展开式中的常数项 故答案为 60 1
14、2若直线 3x+4ym 与圆 x2+y2m 相切，则实数 m 25 解：根据题意，圆 x2+y2m，必有 m0，其圆心为（0，0），半径 r ， 若直线 3x+4ym 与圆 x2+y2m 相切，则有 ，解可得 m25； 故答案为：25 13某批产品共 10 件，其中含有 2 件次品，若从该批产品中任意抽取 3 件，则取出的 3 件 产品中恰好有一件次品的概率为 ； 取出的 3 件产品中次品的件数 X 的期望是 解：（1）设取出的 3 件产品中次品的件数为 X， 3 件产品中恰好有一件次品的概率为 P（X1） ； （2）X 可能为 0，1，2 P（X0） ， P（X1） ， P（X2） ， X
15、的分布为： X 0 1 2 P 则 E（X）0 1 2 ； 故答案为： ， 14已知 x，y 为正实数，且 xy+2x+4y41，则 x+y 的最小值为 8 解：因为 x，y 为正实数，且 xy+2x+4y41， 所以 x ， 所以则x+y y 6 8， 当且仅当 y+2 即 y5，x3 时取等号，此时 x+y 取得最小值 8 故答案为：8 15 在ABC中， 点M、 N分别为CA、 CB的中点， 点G为AN与BM的交点， 若AB ， CB1， 且满足 3 2 2，则 1 解：M、N 分别是 CA、CB 的中点，点 G 为 AN 与 BM 的交点， G 是ABC 的重心， （ ） ， 又 ，
16、3 （ ） （ ） 2 ， 又 3 2 2， 0，故 BCAC，AC 2， 1， 故答案为：1， 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知函数 （xR） （1）求 f（x）的最小正周期； （2）讨论 f（x）在区间 ， 上的单调性； 解：（1） ， T； （2）依题意，令 ， ， 解得 ， ， f（x）的单调递增区间为 ， ， ； 设 ， ， ， ，易知 ， ， 当 ， 时，f（x）在区间 ， 上单调递增，区间 ， 上单调递减 17在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，E 为 CC1的中点 （1）求证：AC1平面 BDE；
17、 （2）求证：A1E平面 BDE； （3） 若 F 为 BB1上的动点， 使直线 A1F 与平面 BDE 所称角的正弦值是 ， 求 DF 的长 【解答】证明：（1）如图，连接 AC，交 BD 于 O 点，则 O 为 AC 的中点，连接 EO； E 为 CC1的中点， EOAC1， 又EO平面 BED，AC1平面 BED AC1平面 BED， （2）连接 A1B，A1C1，AA12AB2，E 为 CC1的中点， BE ， ， ； 在A1BE 中： ，则A1BE 是直角三角形，A1EBE； 同理可证 A1EDE； BEDEE； A1E平面 BDE （3）以 DA 所在直线为 x 轴，以 DC 所在
18、直线为 y 轴，以 DD1所在的直线为 z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系 根据条件知道以下几个点坐标： B（1，1，0），E（0，1，1），D（0，0，0），A1（1，0，2），设 F（1，1，m），设 A1F 交平面 BDE 于 G（x0，y0，z0），连接 A1G，EG，则A1GE 便是直线 A1F 与平面 BDE 所成角； 先给出所用到的几个向量的坐标： ， ， ， （1，0，1）， （x0 1，y01，z0）， ， ， ， ， ， G 在平面 BDE 上，存在一组实数 ， 使 ，带入坐标得： （x01，y01，z0）（1，1，0）+（1，0，1），所以得到： ，解得：x0+y0+
19、z02； 又 与 共线，存在实数 b 使 ； 带入坐标得：（x01，y0，z02）b（0，1，m2）； ，解得： ； 由得： ， ， ； 又直线 A1F 与平面 BDE 所称角的正弦值是 ； ； ，解得：m3 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn3（an2）（nN*），数列bn是公差不为 0 的等差数列，且满足 b1 ，b5 是 b2和 b14的等比中项 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求 ； （3）设数列cn的通项公式 cn ， ， ，求 ； 解：（1）2Sn3（an2）（nN*），2Sn13（an12）（n2）， 两式相减，整理得： 3 （n2），当 n1 时，有
20、2a13（a12），解得 a16， 数列an是以 6 为首项，3 为公比的等比数列，an63n123n 设数列bn的公差为 d，b1 1，b 5是 b2和 b14的等比中项，（b5） 2b 2 b14， 即（1+4d）2（1+d）（1+13d），解得 d0 或 2，公差不为 0，d2，故 bnb1+ （n1）d2n1； （ 2 ） （ ） ， （1 ） ； （3）cn ， ， （kN*），an23n， 4 4 n 9 n+123n+1 +n 19如图，已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的一个焦点为（ ，0），（1， ）是 椭圆上的一个点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的上、下顶点分
21、别为 A，B，P（x0，y0）（x00）是椭圆上异于 A，B 的任 意一点，PQy 轴，Q 为垂足，M 为线段 PQ 中点，直线 AM 交直线 l：y1 于点 C， N 为线段 BC 的中点，如果MON 的面积为 ，求 y 0的值 解：（1）设椭圆方程为 ，由题意，得 因为 a2c2b2，所以 b2a23 又 ， 是椭圆上的一个点，所以 ，解得 a 24 或 （舍去）， 从而椭圆的标准方程为 （2）因为 P（x0，y0），x00，则 Q（0，y0），且 因为 M 为线段 PQ 中点，所以 ， 又 A（0，1），所以直线 AM 的方程为 因为 x00，y01，令 y1，得 ， 又 B（0，1），
22、N 为线段 BC 的中点，有 ， 所以 ， 因此， 从而 OMMN 因为 ， ， 所以在 RtMON 中， ，因此 从而有 ，解得 20（16 分）已知函数 ， ， （e 为自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的值域； （2）若不等式 f（x）k（x1）（1sinx）对任意 ， 恒成立，求实数 k 的取值 范围； （3）证明： 解：（1）f（x）exex（sinx+cosx）ex（1sinxcosx） ， ， ， ， ， ，所以 f（x）0， 故函数 f（x）在 ， 上单调递减，函数 f（x）的最大值为 f（0）e 0e0sin01；f（x） 的最小值为 ， 所以函数 f（x）的值域为0，
23、1 （2）原不等式可化为 ex（1sinx）k（x1）（1sinx）（*）， 因为 1sinx0 恒成立，故（*）式可化为 exk（x1） 令 g（x）exkx+k，则 g（x）exk 当 k0 时，g（x）exk0，所以函数 g（x）在 ， 上单调递增，故 g（x）g（0） 1+k0，所以1k0； 当 k0 时，令 g（x）exk0，得 xlnk，且当 x（0，lnk）时，g（x）exk0； 当 x（lnk，+）时，g（x）exk0 所以当 ，即 时，函数 g（x）ming（lnk）2kklnkk（2lnk）0， 成立； 当 ，即 时，函数 g（x）在 ， 上单调递减， ，解得 综上， （3）令 ，则 由 ， ，故存在 ， ，使得 h（x0）0 即 且当 x（，x0）时，h（x）0；当 x（x0，+）时，h（x）0故 当 xx0时， 函数 h （x） 有极小值， 且是唯一的极小值， 故函数 ， 因为 ， ，所以 ， 故 ，
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