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    2019年山东省德州市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

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    2019年山东省德州市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

    1、已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 4 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) A B C D 5 (5 分)将函数 ysin2xcos2x 的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A最小正周期为 B关于 x对称 C关于点(,0)对称 D在,上单调递减 第 2 页(共 25 页) 6 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b

    2、2; p2:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25 时,则 输出 N( ) A31 B33 C35 D37 8 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) A B7 C1

    3、1 D14 第 3 页(共 25 页) 9 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 10 (5 分)已知函数 f(x)ex,其中 e 是自然对数的底数,若 af(log3) ,b f(log) ,cf(2 0.2) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccba Dcab 11 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2

    4、D3 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) ,则事件“向上数字 为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 14 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z2xy 的最大值为 15 (5 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知ABC 的面

    5、积为 5, cb2,cos,则 a 的值为 16 (5 分)已知函数 f(x)x2+2ax,g(x)4a2lnx+b,设两曲线 yf(x) ,yg(x)有 公共点 P,且在 P 点处的切线相同,当 a(0,+)时,实数 b 的最大值是 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤 17 (12 分)设数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+1a1,且 a12 (1)求数列an的通项公式; 第 4 页(共 25 页) (2)记数列 bnlog2a1+log2a2+log2an,求数列的前

    6、 n 项和 Tn 18 (12 分)改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入(户均家庭教育 投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高我国某地区 2012 年至 2018 年户均家庭教育投入(单位:千元)的数据如表: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 户均家庭 教育投入 y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入的变化 情况,并预测 2019

    7、年该地区户均家庭教育投入是多少 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: , 19 (12 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,A1B1B1C12,A1C12,D,E 分别为棱 A1C1,AA1的中点 (1)证明:B1DCE; (2)若 DECE,求四棱锥 DABB1E 的体积 20 (12 分)已知椭圆 T:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A,B 两点,ABF1的周长为 8 (1)求椭圆 T 的标准方程; 第 5 页(共 25 页) (2)已知直线 l1:ykx+m,直线 l2:y2(kx+m) (0

    8、m1) 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点,l2与圆 C:x2+y2a2交于 P、Q 两点,求的值 21 (12 分)已知函数 f(x)e2x 3(2x3)2 (1)证明:当 x时,f(x)1; (2)设 g(x)+1n,若存在实数 x1,x2,使得 f(x1)+(2x13)2g(x2) ,求 x2x1的最小值 (参考公式: (e)e) 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数) ,直线 l2的 参数方程为(m 为参数)

    9、设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 13: sin () , l3与 C 的交点为 A、B,M 为线段 AB 的中点,求 M 的极径 23已知函数 f(x)|2x+1|+|xa| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若不等式|x2|+|xa|f(x)+m2+m 恒成立,求实数 m 的取值范围 第 6 页(共 25 页) 2019 年山东省德州市高考数学一模试卷(文科)年山东省德州市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一

    10、、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 (5 分)若复数 x,其中 i 为虚数单位,则 ( ) A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 则共轭复数 1+i 故选:A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 2 (5 分)已知集合 Ax|log3x1,Bx|0,则( ) AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 【分析】求出集合 A,B 的等价条件,结合交集和并集

    11、的定义进行求解判断即可 【解答】Ax|log3x1x|0x3,Bx|0x|1x2, 则 ABx|0x2,ABx|1x3, 故选:B 【点评】求出集合 A,B 的等价条件,结合集合的基本运算进行求解是解决本题的关键 3 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的 渐近线上,则 C 的方程是( ) A B C D 【分析】利用双曲线 C:1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上,可 第 7 页(共 25 页) 确定几何量之间的关系,由此可求双曲线的标准方程 【解答】解:双曲线 C:1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C:1 的焦距为 10,点

    12、P(1,2)在 C 的渐近线上 2c10,2ab, c2a2+b2 a25,b220 C 的方程为 故选:C 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,正确运用双曲线的几何 性质是关键 4 (5 分)如图,ABC 中,ADAB,BEBC,则( ) A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得:(), 得解 【解答】解:(), 故选:D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属简单题 5 (5 分)将函数 ysin2xcos2x 的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A最小正周期为 第 8 页(共 25 页) B关于 x对称 C关于点(,0)对称 D在,上单调递减

    13、 【分析】根据函数 yAsin(x+)的图象变换规律可得所得函数的解析式,再利用正 弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性,得出结论 【解答】解:将函数 ysin2xcos2x2sin(2x)的图象向左平移个单位长 度,所得图象对应的函数的解析式为 y2sin(2x+)2sin(2x+) 故所得图象对应的函数的周期为,故排除 A; 令 x,求得 y2sin(2x+),不是最值,故排除 B; 令 x,求得 y2sin(2x+),故图象不关于点(,0)对称,故排除 C; 在,上,2x+,可得 y2sin(2x+)单调递减,故 D 满 足条件, 故选:D 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+

    14、)的图象变换规律,正弦函数的周期性、单 调性、以及图象的对称性,属于基础题 6 (5 分)设有下列四个命题: p1:若 ab,则 a2b2; p2:若 x0,则 sinxx; p3: “1”是“yf(x)为奇函数”的充要条件; p4: “等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中,真命题的是( ) Ap1,p3 Bp2,p3 Cp2,p4 Dp3,p4 【分析】根据不等式的性质,结合函数奇偶性的性质,等比数列的性质以及充分条件和 必要条件的定义分别进行点评即可 【解答】解:p1:当 a1,b1 时,满足 ab,则 a2b2;不成立,即命题 p1是假 第 9 页(

    15、共 25 页) 命题 p2:设 f(x)sinxx,则 f(x)cosx10,即 f(x)是减函数, 若 x0,f(x)f(0)sin000,即 sinxx0,则 sinxx 成立,即命题 p2是真 命题; 若1,则 f(x)f(x) ,即 f(x)f(x) ,函数 f(x)是奇函数, 当 f(x)0,满足 f(x)是奇函数,但1 不成立,即“1”是“y f(x)为奇函数”的充要条件错误;即命题 p3是假命题, p4: “等比数列an中,a1a2a3” 则 a1qa1q2a1, 若 a10, 则 1qq2, 得 0q1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列, a10,则 1qq2, 则 q

    16、1,此时q1,即 anan1,数列为递减数列,综上等比数列an是递减数 列, 若等比数列an是递减数列,则 a1a2a3成立, 即等比数列an中,a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件,故命题 p4 是真命题; 故真命题是 p2,p4, 故选:C 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及不等式的性质,充分条件和必要条件的定 义以及等比数列的性质,涉及知识点较多,综合性较强,但难度不大 7(5 分) 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n, 记为 Nn (MODm) , 例如 251 (MOD6) 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ,若执行该程序框图,当输入 N25

    17、 时,则 输出 N( ) 第 10 页(共 25 页) A31 B33 C35 D37 【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 1 的数,根据所给的选项,得出 结论 【解答】解:模拟程序的运行,可得 N25, N26 不满足条件 N1(MOD3) ,N27 不满足条件 N1(MOD3) ,N28 满足条件 N1(MOD3) ,不满足条件 N1(MOD5) ,N29 不满足条件 N1(MOD3) ,N30 不满足条件 N1(MOD3) ,N31 满足条件 N1(MOD3) ,满足条件 N1(MOD5) ,输出 N 的值为 31 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循

    18、环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答,属于基础题 8 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( ) 第 11 页(共 25 页) A B7 C11 D14 【分析】三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分,可将该三棱锥补成长 方体,再去求解 【解答】解:由三视图可知该几何体为一个三棱锥,是长方体的一部分, 将此三棱锥补成长方体,易知长方体的体对角线即为外接球直径, 所以 2r,所以 r 所以该几何体外接球的表面积为 411 故选:C 【点评】本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,转化能力, 将四棱锥补成正方体是关键 9 (

    19、5 分)设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的函数,且 f(x), 记 g(x)f(x)a,若a1,则函数 g(x)在区间2,3上零点的个数是( ) A5 B6 C7 D8 【分析】根据函数 f(x)的周期性和解析式,作出函数的图象,利用函数零点与方程之 间的关系转化为两个图象交点个数,利用数形结合进行求解即可 第 12 页(共 25 页) 【解答】 解: f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的函数, 且 f (x) , 作出是 f(x)在区间2,3上图象如图: 由 g(x)f(x)a,得 f(x)a, a1, 作出 ya 的图象,由图象知两个函数共有 8 个交点, 即 g(x)的零点

    20、个数为 8 个, 故选:D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用数形结合转化为两个函数图象的交点问 题是解决本题的关键 10 (5 分)已知函数 f(x)ex,其中 e 是自然对数的底数,若 af(log3) ,b f(log) ,cf(2 0.2) ,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bbac Ccba Dcab 【分析】根据题意,由函数的解析式可得 f(x)ex(ex)f(x) , 则函数 f(x)为奇函数,求出函数的导数分析可得函数 f(x)在 R 上为减函数,据此分 析有 af(log3)f(log23) ,bf(log)f(log25) ,又由 2 0.21log

    21、23 log25,结合函数的单调性分析可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)ex,有 f(x)ex(ex) f(x) ,则函数 f(x)为奇函数, 第 13 页(共 25 页) 又由 f(x)(+ex)0,则函数 f(x)在 R 上为减函数, af(log3)f(log23) ,bf(log)f(log25) , 又由 2 0.21log 23log25, 则 bac; 故选:B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用,关键是分析函数 f(x)的奇 偶性与单调性,属于基础题 11 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 y(x1)与 C 交于 A、B(A 在

    22、 x 轴上方)两点,若m,则实数 m 的值为( ) A B C2 D3 【分析】由题意画出图形,联立方程组求出 A,B 的坐标,进一步得到|AF|,|BF|的长度, 结合m把 m 转化为线段的长度比得答案 【解答】解:如图, 联立,解得, A 在 x 轴上方, 则|AF|xA+14,|BF|, 由m,得 故选:D 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了数形结合的解题思想方法,考查了 第 14 页(共 25 页) 数学转化思想方法,是中档题 12 (5 分)在四面体 ABCD 中,若 ADDBACCB1,则四面体 ABCD 体积的最大值 是( ) A B C D 【分析】由题意画出图形,

    23、取 AB 中点 E,连接 CE,DE,设 AB2x(0x1) ,则 CE DE,可知当平面 ABC平面 ABD 时,四面体体积最大,写出体积公式,利 用导数求得体积最值 【解答】解:如图,取 AB 中点 E,连接 CE,DE, 设 AB2x(0x1) ,则 CEDE, 当平面 ABC平面 ABD 时,四面体体积最大, 四面体的体积 V2xxx3 Vx2, 当 x(0,)时,V 为增函数,当 x(,1)时,V 为减函数, 则当 x时,V 有最大值 Vmax()3 故选:A 【点评】本题考查四面体的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结

    24、合思想,是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 (5 分)抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) ,则事件“向上数字 为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 第 15 页(共 25 页) 【分析】基本事件总数 n6,事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”包含的基本事 件个数 m4,由此能求出事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”发生的概率 【解答】解:抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6) , 基本事件总数 n6, 事

    25、件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”包含的基本事件个数 m4, 事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 14 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 z2xy 的最大值为 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z2xy 表示直线在 y 轴上的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 【解答】解:画出可行域(如下图) ,L:z2xy, 由图可知, 当直线 l 经过点 A 时, z 最大,由解得 A(,) 且最大值为 zmax2 故答案为: 【点评】本

    26、小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意 第 16 页(共 25 页) 义求最值,属于基础题 15 (5 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知ABC 的面积为 5, cb2,cos,则 a 的值为 2 【分析】根据二倍角公式计算 cosA,利用面积公式求出 bc,再根据余弦定理列方程求出 a 即可 【解答】解:cosA2cos21,sinA, SbcsinA5,bc15 由余弦定理得 cosA, a244,故 a2 故答案为:2 【点评】本题考查了余弦定理,三角形的面积公式,属于中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)x

    27、2+2ax,g(x)4a2lnx+b,设两曲线 yf(x) ,yg(x)有 公共点 P,且在 P 点处的切线相同,当 a(0,+)时,实数 b 的最大值是 【分析】由题意可得 f(x0)g(x0) ,f(x0)g(x0) ,联立后把 b 用含有 a 的代 数式表示,再由导数求最值得答案 【解答】解:设 P(x0,y0) , f(x)2x+2a,g(x) 由题意知,f(x0)g(x0) ,f(x0)g(x0) , 即, , 解得 x0a 或 x02a(舍) , 代入得:b3a24a2lna,a(0,+) , b6a8alna4a2a(14lna) , 当 a(0,)时,b0,当 a(,+)时,b

    28、0 实数 b 的最大值是 b() 故答案为: 第 17 页(共 25 页) 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查数学转化思想方法, 训练了利用导数求最值,是中档题 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (12 分)设数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+1a1,且 a12 (1)求数列an的通项公式; (2)记数列 bnlog2a1+log2a2+log2an,求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式,

    29、即可得到所求; (2) 由对数的运算性质可得 bn1+2+3+nn (n+1) , 可得2 ( ) ,运用数列的裂项相消求和,化简可得所求和 【解答】解: (1)Snan+1a1,且 a12, n2 时,anSnSn1an+1a1an+a1, 即为 an+12an, 当 n1 时,a22a14, 数列an为首项和公比均为 2 的等比数列, 则 an2n; (2)log2anlog22nn, 则 bnlog2a1+log2a2+log2an1+2+3+nn(n+1) , 可得2() , 则数列的前 n 项和 Tn2(1+) 2(1) 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等

    30、比数列的定义和 通项公式,考查数列的裂项相消求和,考查化简变形能力和运算能力,属于中档题 18 (12 分)改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入(户均家庭教育 投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高我国某地区 2012 年至 2018 年户均家庭教育投入(单位:千元)的数据如表: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 第 18 页(共 25 页) 户均家庭 教育投入 y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)

    31、中的回归方程,分析 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入的变化 情况,并预测 2019 年该地区户均家庭教育投入是多少 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: , 【分析】 (1)根据所给数据求出相关系数,求出回归方程即可; (2)代入 t 的值,预测 2019 年该地区户均家庭教育投入即可 【解答】解: (1)由所给数据计算得: (1+2+3+4+5+6+7)4, (3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)4.8, 故9+4+1+0+1+4+928, (ti ) (yi )14, 故 0.5, 4.80.542.8, 故所求的回归方程是: 0.5t

    32、+2.8; (2)由(1)知,b0.50, 故 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元, 第 19 页(共 25 页) 将 2019 年的年份代号 t8 代入(1)中的方程得: 0.58+2.86.8, 故预测该地区 2019 年户均家庭教育投入为 6.8 千元 【点评】本题考查了求回归方程问题,考查函数代入求值以及转化思想,是一道常规题 19 (12 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,A1B1B1C12,A1C12,D,E 分别为棱 A1C1,AA1的中点 (1)证明:B1DCE; (2)若 DECE,求四棱锥 DABB1E 的体积 【分

    33、析】 (1)推导出 B1DA1C1,AA1B1D,从而 B1D面 ACC1A1,由此能证明 B1D CE (2)过 D 作 DOA1B1,交 A1B1于点 O,推导出 AA1DO,从而 DO面 A1ABB1,推 导出 RtDA1ERtEAC,从而 A1EAE,BB12,由此能求出四棱锥 D ABB1E 的体积 【解答】证明: (1)B1A1B1C1,D 是 A1C1的中点, B1DA1C1, 又 AA1面 A1B1C1,B1D面 A1B1C1,AA1B1D, 又 A1A1C1A1,B1D面 ACC1A1, 又CE面 ACC1A1,B1DCE 解: (2)过 D 作 DOA1B1,交 A1B1于

    34、点 O, AA1面 A1B1C1,DO面 A1B1C1, AA1DO,DO面 A1ABB1, RtA1B1D 中,B1D,DO, DECE,A1ED+AEC90,C1A1ECAE90, RtDA1ERtEAC,设 A1EAEx,则,即, 第 20 页(共 25 页) 解得 x,A1EAE,BB12, 四棱锥 DABB1E 的体积: V 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查多面体的体积的求法,考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 20 (12 分)已知椭圆 T:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 ,过 F2且与 x 轴

    35、不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A,B 两点,ABF1的周长为 8 (1)求椭圆 T 的标准方程; (2)已知直线 l1:ykx+m,直线 l2:y2(kx+m) (0m1) 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点,l2与圆 C:x2+y2a2交于 P、Q 两点,求的值 【分析】 (1)由 4a8,即 a2,由 e,可得 c,再求出 b,即可得到椭 圆方程 (2) 联立方程组消 y, 由此利用根的判别式、 韦达定理、 点到直线距离公式, 求出 SMON, 再根据直线和圆的位置求出 SPOQ,即可求出答案 【解答】解: (1)由题意可得 4a8,即 a2,由 e,可得 c, 所以 b1, 椭

    36、圆 C 的方程为:+y21, (2)由可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m21)0,64k2m216(4k2+1) (m21)0, 即 4k2+1m2, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 第 21 页(共 25 页) 又 x1+x2,x1x2, |MN|x1x2|4 点 O 到直线 l1的距离 d1, SMON|MN|d1, 圆 C:x2+y2a2, 圆 C 的圆心到直线 l2的距离 d2, |PQ|24, SPOQ|PQ|d2, 【点评】本题考查椭圆方程,考查弦长公式,原点到直线的距离,三角形的面积公式, 解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理,是中档题 21 (12 分

    37、)已知函数 f(x)e2x 3(2x3)2 (1)证明:当 x时,f(x)1; (2)设 g(x)+1n,若存在实数 x1,x2,使得 f(x1)+(2x13)2g(x2) ,求 x2x1的最小值 (参考公式: (e)e) 【分析】 (1)令 t2x3,问题等价于:当 t0 时,ett210,设函数 u(t)et t21,根据函数的单调性证明即可; (2) 设 f (x1) + (2x13) 2g (x2) m, 求出 x1 , x22, x2x12 , (m0) ,令 h(x)2, (x0) ,根据函数的单调性求出其 第 22 页(共 25 页) 最小值即可 【解答】解: (1)令 t2x3

    38、,当 x时,f(x)1 等价于:当 t0 时,ett210, 设函数 u(t)ett21,则 u(t)et2t,u(t)et2, 故 u(t)在0,ln2)递减,在(ln2,+)递增, 故 u(t)u(ln2)22ln20, 故 u(t)在0,+)递增, 故 u(t)u(0)0, 即当 x时,f(x)1; (2)设 f(x1)+(2x13)2g(x2)m, 则+lnm, x1R,则0,即 m0, 故 2x13lnm,lnm, 故 x1,x22, x2x12, (m0) , 令 h(x)2, (x0) , 则 h(x)2, 故 h(x)2+0, 故 h(x)在(0,+)递增,且 h()0, 当

    39、x时,h(x)0,当 0x时,h(x)0, 故 h(x)在(0,)递减,在(,+)递增, 第 23 页(共 25 页) 故 x时,h(x)取最小值,此时 h()+ln2, 即 x2x1的最小值是+ln2 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,换元思 想,是一道综合题 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为(t 为参数) ,直线 l2的 参数方程为(m 为参数) 设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时,

    40、P 的轨迹为曲线 C (1)写出 C 的普通方程; (2) 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设 13: sin () , l3与 C 的交点为 A、B,M 为线段 AB 的中点,求 M 的极径 【分析】 (1)消去 t 可得 l1的普通方程,l2的参数方程消去参数 m 化成普通方程根,l1 与 l2的普通方程消去 k 可得 C 的普通方程; (2)先把 l3化成普通方程,再与 C 联立得 M 的直角坐标,再化成极坐标可得极径 【解答】解: (1)直线 l1的普通方程为 yk(x2) , 直线 l2的普通方程为 y,消去 k 得+1, 即 C 的普通方程为+1 (2)设 A

    41、(x1,y1) ,B(x2,y2) , l3化成普通方程为 x+y1 联立得 7x28x80, x1+x2,y1+y22(x1+x2), M(,) , 第 24 页(共 25 页) 2()2+()2, M 的极径为 【点评】本题考查了简单曲线极坐标方程,属中档题 23已知函数 f(x)|2x+1|+|xa| (1)当 a1 时,求不等式 f(x)3 的解集; (2)若不等式|x2|+|xa|f(x)+m2+m 恒成立,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)a1 时函数 f(x)|2x+1|+|x1|,利用分段讨论法去掉绝对值,解对应的 不等式即可; (2)由题意不等式化为|x2|2x+1|m

    42、2+m 恒成立, 设 g(x)|x2|2x+1|,求出 g(x)的最大值 g(x)max, 令 g(x)maxm2+m,解关于 m 的不等式即可 【解答】解: (1)a1 时,函数 f(x)|2x+1|+|xa|2x+1|+|x1|, 当 x时,f(x)(2x+1)(x1)3x, 不等式 f(x)3 化为3x3, 解得 x1,所以1x; 当x1 时,f(x)(2x+1)(x1)x+2, 不等式 f(x)3 化为 x+23, 解得 x1,所以x1; 当 x1 时,f(x)(2x+1)+(x1)3x, 不等式 f(x)3 化为 3x3, 解得 x1,所以 x; 综上,不等式 f(x)3 的解集为x|1x1; (2)由 f(x)|2x+1|+|xa|,不等式为|x2|+|xa|2x+1|+|xa|+m2+m, 即|x2|2x+1|m2+m, 设 g(x)|x2|2x+1|,则 g(x)maxm2+m, 第 25 页(共 25 页) 由 g(x), 所以 g(x)maxg(), 所以m2+m, 即 2m2+3m50, 解得 m或 m1, 所以实数 m 的取值范围是 m或 m1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问 题,是中档题


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