1、某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计 如下： 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 4 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 5 （5 分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位 同学参加不同兴趣小组的概率为 6 （5 分）已知正四棱柱的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 3cm，则这个正四棱柱的 体积是 cm3 7 （5 分）若实数 x，y 满足 xy2x+3，则 x+y 的最小值为 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0）的准线
2、为 l，直线 l 与双 曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，则 p 的值为 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y3x+t 与曲线 yasinx+bcosx（a，b，tR） 相切于点（0，1） ，则（a+b）t 的值为 10 （5 分）已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数列|an|是等比数列； 数列anan+1是等比数列； 第 2 页（共 25 页） 数列是等比数列； 数列lgan2是等比数列 其中正确的命题有 个 11 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+2）f（x） 当 0x1 时， f（x）x3ax+1，则实数 a 的值为 12
3、（5 分） 在平面四边形 ABCD 中， AB1， DADB，3，2， 则| 的最小值为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y21，圆 C： （x4）2+y24若存在过 点 P（m，0）的直线 l，l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围 14 （5 分）已知函数 f（x）（2x+a） （|xa|+|x+2a|） （a0） 若 f（1）+f（2）+f（3）+ +f（672）0，则满足 f（x）2019 的 x 的值为 二二、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为
4、棱 PA，PD 的中点已知侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，DADP 求证： （1）MN平面 PBC； （2）MD平面 PAB 16（14 分） 在ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对边的长， （1）求角 B 的值； （2）若，求ABC 的面积 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆（ab0）的左焦点为 F， 右顶点为 A，上顶点为 B （1）已知椭圆的离心率为，线段 AF 中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； （2）已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值 第 3 页（共 25 页） 18（16 分） 如
5、图 1， 一艺术拱门由两部分组成， 下部为矩形 ABCD， AB， AD 的长分别为 和 4m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD， （1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2） 现欲以 B 点为支点将拱门放倒， 放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直， 如图 2、图 3、图 4 所示设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 记拱门上的点到地面的 最大距离为 h，试用 的函数表示 h，并求出 h 的最大值 19 （16 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）有两个不相同的零点 x1，x2 求实数 a 的取值范围； 证明：
6、x1f（x1）+x2f（x2）2lna+2 20 （16 分）已知等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 证明：bn为等比数列； 求集合 第 4 页（共 25 页） 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22、C23 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域 内作答 若多做， 则按作答的内作答 若多做， 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤前两题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选选 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题
7、满分（本小题满分 0 分）分） 21已知矩阵，且，求矩阵 M 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程是（t 为参数） 以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin（）求： （1）直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 被曲线 C 截得的线段长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知实数 a，b，c 满足 a2+b2+c21，求证： 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题
8、 0 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个 乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y （1）求 X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量 表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望 E （） 25设集合 B
9、是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集记 B 中所 有元素的和为 S（规定：B 为空集时，S0） 若 S 为 3 的整数倍，则称 B 为 An的“和谐 子集” 求： （1）集合 A1的“和谐子集”的个数； （2）集合 An的“和谐子集”的个数 第 5 页（共 25 页） 2019 年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数 学一模试卷学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1 （5 分）已知集合 A1
10、，3，B0，1，则集合 AB 0，1，3 【分析】根据题意，由集合并集的定义分析可得答案 【解答】解：根据题意，集合 A1，3，B0，1，则 AB0，1，3； 故答案为：0，1，3 【点评】本题考查集合的并集计算，关键是掌握集合并集的定义，属于基础题 2 （5 分）已知复数（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，再由复数模的公式计算得答案 【解答】解：， 则复数 z 的模为 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次
11、数统计 如下： 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 3 【分析】根据加权平均数的定义计算即可 【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为： （202+153+104+55）3 故答案为：3 【点评】本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题 4 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 7 第 6 页（共 25 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 b 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a0，b1 满足条件 a15，执行循环体，a
12、1，b3 满足条件 a15，执行循环体，a5，b5 满足条件 a15，执行循环体，a21，b7 此时，不满足条件 a15，退出循环，输出 b 的值为 7 故答案为：7 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 5 （5 分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位 同学参加不同兴趣小组的概率为 【分析】基本事件总数 n339，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数 m326，由此能求出这两位同学参加不同兴趣小组的概率 【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个， 基本事
13、件总数 n339， 这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数 m326， 则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 6 （5 分）已知正四棱柱的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 3cm，则这个正四棱柱的 第 7 页（共 25 页） 体积是 54 cm3 【分析】由正四棱柱的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 3cm，求出高 h6cm，由 此能求出这个正四棱柱的体积 【解答】解：设正四棱柱的高为 h， 正四棱柱的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 3cm， 3， 解得 h6（cm） ， 这个
14、正四棱柱的体积 VSh33654（cm3） 故答案为：54 【点评】本题考查正四棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 7 （5 分）若实数 x，y 满足 xy2x+3，则 x+y 的最小值为 6 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出 z 的最小值即 可 【解答】解：画出实数 x，y 满足 xy2x+3 的平面区域，如图示： 由，解得 A（3，3） ， 由 zx+y 得：yx+z， 显然直线过 A 时 z 最小， z 的最小值是6， 故答案为：6 第 8 页（共 25 页） 【点评】本题考
15、查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px（p0）的准线为 l，直线 l 与双 曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，则 p 的值为 【分析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程， 联立求得 A， B 的坐标， 可得|AB|， 解方程可得 p 的值 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的准线为 l：x， 双曲线的两条渐近线方程为 yx， 可得 A（，） ，B（ （，） ， |AB|，可得 p2 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是准线方程和渐近线方程，考查 方程思想和运算能力，
16、属于基础题 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y3x+t 与曲线 yasinx+bcosx（a，b，tR） 相切于点（0，1） ，则（a+b）t 的值为 4 【分析】运用导数求切线的斜率可解决此问题 【解答】解：根据题意得，t1 第 9 页（共 25 页） yacosxbsinx kacos0bsin0a a3，bcos01 a3，b1 故答案为 4 【点评】本题考查导数的简单应用 10 （5 分）已知数列an是等比数列，有下列四个命题： 数列|an|是等比数列； 数列anan+1是等比数列； 数列是等比数列； 数列lgan2是等比数列 其中正确的命题有 3 个 【分析】由
17、an是等比数列可得，根据等比数列的判断方法，分别检验即可判断 【解答】解：由an是等比数列可得q（q 为常数，q0） ， |q|为常数，故是等比数列； q2为常数，故是等比数列； 常数，故是等比数列； 数列 an1 是等比数列，但是 lgan20 不是等比数列； 故答案为：3 【点评】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判 断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数 11 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+2）f（x） 当 0x1 时， f（x）x3ax+1，则实数 a 的值为 2 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求
18、出 f（1）0，利用代入法进行求解即可 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+2）f（x） 第 10 页（共 25 页） 当 x1 时，f（1+2）f（1）f（1） ， 即f（1）f（1） ，则 f（1）0， 当 0x1 时，f（x）x3ax+1 f（1）1a+10，得 a2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，利用定义法求出 f（1）0 是解决 本题的关键 12（5 分） 在平面四边形 ABCD 中， AB1， DADB，3，2， 则| 的最小值为 2 【分析】以 A 为原点，AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，从而可得 A，B 的坐标，和 C，
19、 D 的横坐标，然后利用向量的坐标运算以及基本不等式可得 【解答】解：如图，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，则 A（0，0） ，B（1，0） ， 因为 DADB，可设 D（，m） ， 因为3，AB1，所以可设 C（3，n） ， 又2，所以+mn2，即 mn， +2（4，n+2m） |+2|2， 当且仅当 n2m，即 n1，m时，等号成立 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y21，圆 C： （x4）2+y24若存在过 第 11 页（共 25 页） 点 P （m， 0） 的直线 l， l 被两圆截
20、得的弦长相等， 则实数 m 的取值范围 4m 【分析】根据弦长相等得 1（） 24（ ） 2 0 有解，即 ，可解得 【解答】解：显然直线 l 有斜率，设直线 l：yk（xm） ，即 kxykm0， 依题意得 1（）24（）20 有解，即， 138m0，所以消去 k2可得 3m2+8m160 解得4m， 故答案为：4m 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题 14 （5 分）已知函数 f（x）（2x+a） （|xa|+|x+2a|） （a0） 若 f（1）+f（2）+f（3）+ +f（672）0，则满足 f（x）2019 的 x 的值为 337 【分析】首先确定函数的解析式，然后结合函数
21、的解析式和函数的对称性解方程即可 【解答】解：注意到：，又因为： ， ， 因此 所以，函数 f（x）关于点 对称， 所以，解得：a673， f（x）（2x673） （|x+673|+|x2673|）2019， 显然有：02x6732019，即， 所以，f（x）（2x673） （x+673+2673x）2019， 第 12 页（共 25 页） 2x6731，解得：x337 故答案为：337 【点评】本题主要考查函数的对称性，函数解析式的求解，函数与方程的综合运用等知 识，属于难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分 15 （14 分）如图，在四棱锥 P
22、ABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点已知侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，DADP 求证： （1）MN平面 PBC； （2）MD平面 PAB 【分析】 （1）由 M，N 分别为棱 PA，PD 的中点，MNAD，由底面 ABCD 是矩形，BC AD，从而 MNBC，由此能证明 MN平面 PBC （2）由底面 ABCD 是矩形，得到 ABAD，从而 AB侧面 PAD，ABMD，由 DADP， M 为 AP 的中点，得到 MDPA，由此能证明 MD平面 PAB 【解答】证明： （1）在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点， 所以 MNAD2
23、分 又底面ABCD是矩形，所以BCAD，所以MN BC4 分 又 BC平面 PBC，MN平面 PBC， 所以 MN平面 PBC6 分 （2）因为底面 ABCD 是矩形，所以 ABAD 又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD， 所以 AB侧面 PAD8 分 又MD侧面PAD，所以AB MD10 分 第 13 页（共 25 页） 因为 DADP，又 M 为 AP 的中点， 从而 MDPA12 分 又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAABA， 所以 MD平面 PAB14 分 【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关
24、系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 16（14 分） 在ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对边的长， （1）求角 B 的值； （2）若，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由正弦定理化简已知等式 可求，结合范围 0B，可求 B 的值 （2）由（1）及正弦定理可求 b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，根据 三角形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 14 分） 解： （1）在ABC 中，因为，0A， 所以2 分 因为， 由正弦定理，得 所以 cosBsinB4 分 若 cos
25、B0，则 sinB0，与 sin2B+cos2B1 矛盾，故 cosB0 于是 又因为 0B， 第 14 页（共 25 页） 所以7 分 （2）因为， 由（1）及正弦定理，得， 所以9 分 又sinC sin （ A B ） sin （ A+B ） sinAcosB+cosAsinB 12 分 所以ABC 的面积为14 分 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式， 三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆（ab0）的左焦点为 F， 右顶点为 A，上顶点为 B （1
26、）已知椭圆的离心率为，线段 AF 中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； （2）已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值 【分析】 （1）利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解 a，b 即可得到椭圆方程 （2）A（a，0） ，F（c，0） ，求出线段 AF 的中垂线方程为：推出 ，求出线段 AB 的中垂线方程，推出 bc，然后求解椭圆的离心率 即可 【解答】解： （1）因为椭圆（ab0）的离心率为， 第 15 页（共 25 页） 所以，则 a2c 因为线段 AF 中点的横坐标为， 所以 所以，则 a28，b2a2c26 所以椭圆的标准方程为4 分 （2）因为 A（a，0）
27、，F（c，0） ， 所以线段 AF 的中垂线方程为： 又因为ABF 外接圆的圆心 C 在直线 yx 上， 所以6 分 因为 A（a，0） ，B（0，b） ， 所以线段 AB 的中垂线方程为： 由 C 在线段 AB 的中垂线上，得， 整理得，b（ac）+b2ac，10 分 即（bc） （a+b）0 因为 a+b0，所以 bc12 分 所以椭圆的离心率14 分 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率以及椭圆方程的求法，考查计 算能力 18（16 分） 如图 1， 一艺术拱门由两部分组成， 下部为矩形 ABCD， AB， AD 的长分别为 和 4m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD， （1
28、）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2） 现欲以 B 点为支点将拱门放倒， 放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直， 如图 2、图 3、图 4 所示设 BC 与地面水平线 l 所成的角为 记拱门上的点到地面的 最大距离为 h，试用 的函数表示 h，并求出 h 的最大值 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （1）求出圆的半径，结合圆和 RT的性质求出拱门最高点到地面的距离即可； （2）通过讨论 P 点所在的位置以及三角函数的性质求出 h 的最大值即可 【解答】解： （1）如图，过 O 作与地面垂直的直线交 AB，CD 于点 O1，O2，交劣弧 CD 于点 P， O1P 的长
29、即为拱门最高点到地面的距离 在 RtO2OC 中， 所以 OO21，圆的半径 ROC2 所以 O1PR+OO1R+O1O2OO25 答：拱门最高点到地面的距离为 5m （2）在拱门放倒过程中，过点 O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P 当点 P 在劣弧 CD 上时， 拱门上的点到地面的最大距离 h 等于圆 O 的半径长与圆心 O 到 地面距离之和； 当点 P 在线段 AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离 由（1）知，在 RtOO1B 中， 以 B 为坐标原点，直线 l 为 x 轴，建立如图所示的坐标系 （2.1）当点 P 在劣弧 CD 上时，由，
30、 由 三 角 函 数 定 义 ， 得O， 则 所以当即时，h 取得最大值 （2.2）当点 P 在线段 AD 上时， 设CBD，在 RtBCD 中， 第 17 页（共 25 页） 由DBx+，得 所以 又当时， 所以在上递增 所以当时，h 取得最大值 5 因为，所以 h 的最大值为 答：； 艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查三角函数的性质，导数的应用以及 分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道综合题 19 （16 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）设 f（x）的导函数为 f（x） ，若 f（x）有两
31、个不相同的零点 x1，x2 求实数 a 的取值范围； 证明：x1f（x1）+x2f（x2）2lna+2 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定 a 的范围即 可； 问 题 转 化 为 证， 即 证， 设 函 数 ，根据函数的单调性证明即可 【解答】解： （1）f（x）的定义域为（0，+） ，且 （i）当 a0 时，f（x）0 成立，所以 f（x）在（0，+）为增函数；2 分 （ii）当 a0 时， 当 xa 时，f（x）0，所以 f（x）在（a，+）上为增函数； 第 18 页（共 2
32、5 页） 当 0xa 时，f（x）0，所以 f（x）在（0，a）上为减函数4 分 （2）由（1）知，当 a0 时，f（x）至多一个零点，不合题意； 当 a0 时，f（x）的最小值为 f（a） ， 依题意知 f（a）1+lna0，解得6 分 一方面，由于 1a，f（1）a0，f（x）在（a，+）为增函数，且函数 f（x）的图 象在（a，1）上不间断 所以 f（x）在（a，+）上有唯一的一个零点 另一方面，因为，所以， ，令， 当时， 所以 又 f（a）0，f（x）在（0，a）为减函数， 且函数 f（x）的图象在（a2，a）上不间断 所以 f（x）在（0，a）有唯一的一个零点 综上，实数 a 的取
33、值范围是10 分 证明：设 又则 p2+ln（x1x2） 12 分 下面证明 不妨设 x1x2，由知 0x1ax2 要证，即证 因为，f（x）在（0，a）上为减函数， 所以只要证 第 19 页（共 25 页） 又 f（x1）f（x2）0，即证14 分 设函数 所以，所以 F（x）在（a，+）为增函数 所以 F（x2）F（a）0，所以成立 从而成立 所以 p2+ln（x1x2）2lna+2， 即 x1f（x1）+x2f（x2）2lna+2 成立16 分 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 20 （16 分）已知等差数列an满足 a4
34、4，前 8 项和 S836 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 证明：bn为等比数列； 求集合 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d根据 a44，前 8 项和 S836可得数列an 的通项公式； （2）设数列bn前 n 项的和为 Bn根据 bnBnBn1，数列bn满足 建立关系即可求解； 由，得，即记，由得， 由，得 cm3cpcp，所以 mp；设 tpm（m，p，tN*） ，由， 第 20 页（共 25 页） 得 讨论整数成立情况即可； 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d 因为等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836， 所以，解得 所以数列an的通项
35、公式为 ann （2）设数列bn前 n 项的和为 Bn 由（1）及得， 由得 3 （2n1） 3 （2n 11） （b 1a2n1+b2a2n3+bn1a3+bna1+2n） （b1a2n 3+b2a2n5+bn1a1+2n2） b1（a2n3+2） +b2（a2n5+2） +bn1（a1+2） +bna1+2n （b1a2n3+b2a2n5+bn1a1+2n2）2（b1+b2+bn1）+bn+22（Bnbn）+bn+2 所以 32n 12B nbn+2（n2，nN*） ， 又 3（211）b1a1+2，所以 b11，满足上式 所以 当 n2 时， 由得， ， 所以， 所以数列bn是首项为 1
36、，公比为 2 的等比数列 由，得，即 第 21 页（共 25 页） 记，由得， 所以，所以 cncn+1（当且仅当 n1 时等号成立） 由，得 cm3cpcp， 所以 mp； 设 tpm（m，p，tN*） ，由，得 当 t1 时，m3，不合题意； 当 t2 时，m6，此时 p8 符合题意； 当 t3 时，不合题意； 当 t4 时，不合题意 下面证明当 t4，tN*时， 不妨设 f（x）2x3x3（x4） ，f（x）2xln230， 所以 f（x）在4，+）上单调增函数， 所以 f（x）f（4）10， 所以当 t4，tN*时，不合题意 综上，所求集合（6，8） 【点评】题主要考查数列通项公式的求
37、解，根据数列通项公式和前 n 项和之间的关系是 解决本题的关键考查推理能力，属于难题 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 21、22、C23 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域 内作答 若多做， 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤内作答 若多做， 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选选 修修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 21已知矩阵，且，求矩阵 M 【分析】推导出，由此能求出矩阵 M 第 22 页（共 25 页） 【解答】 解：
38、 由题意， 则 4 分 因为，则6 分 所以矩阵10 分 【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的乘法、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程是（t 为参数） 以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin（）求： （1）直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 被曲线 C 截得的线段长 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用直线和曲线的位置关
39、系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的 应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程是 sin（） 转换为直角坐标方程为：xy+20； （2）曲线 C 的参数方程是（t 为参数） ： 转换为直角坐标方程为：x2y 由， 得 x2x20， 所以直线 l 与曲线 C 的交点 A（1，1） ，B（2，4） 所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 第 23 页（共 25 页） 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题
40、满分（本小题满分 0 分）分） 23已知实数 a，b，c 满足 a2+b2+c21，求证： 【分析】利用柯西不等式，结合已知条件，转化求解即可 【解答】证明：由柯西不等式，得 ，5 分 所以10 分 【点评】本题考查柯西不等式证明不等式，考查转化思想以及计算能力 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 0 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位“回文数”
41、共 9 个：11，22，33，99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个 乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y （1）求 X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量 表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望 E （） 【分析】 （1）求出回文数的总数，然后求解 X 为“回文数”的概率 （2）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2由（1）得，设“Y 是回文数 ” 为事件 B，则事件 A，B 相互独立求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 【解答】解： （1）记“X 是回文数 ”为事件 A 9 个不同 2 位“
42、回文数”乘以 4 的值依次为：44，88，132，176，220，264，308， 352，396其中“回文数”有：44，88 所以，事件 A 的概率3 分 （2）根据条件知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2 第 24 页（共 25 页） 由（1）得5 分 设“Y 是回文数 ”为事件 B，则事件 A，B 相互独立 根据已知条件得， ； ； 8 分 所以，随机变量 的概率分布为 0 1 2 P 所以，随机变量 的数学期望为：10 分 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的 能力 25设集合 B 是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集
43、记 B 中所 有元素的和为 S（规定：B 为空集时，S0） 若 S 为 3 的整数倍，则称 B 为 An的“和谐 子集” 求： （1）集合 A1的“和谐子集”的个数； （2）集合 An的“和谐子集”的个数 【分析】 （1）由集合的子集可得：集合 A1的“和谐子集”为：，3，1，2，1，2， 3共 4 个， （2） 由即时定义的理解， 分类讨论的数学思想方法可得： 讨论集合 An+11， 2， 3， ， 3n2，3n1，3n，3n+1，3n+2，3n+3中的“和谐子集”的情况，以新增元素 3n+1， 3n+2，3n+3 为标准展开讨论即可得解 【解答】解： （1）由题意有：A11，2，3， 则集合 A1的“和谐子集”为：，3，1，2，1，2，3共 4 个， 故答案为：4；
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