1、若复数（2i） （a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A3 B C D3 3 （5 分）某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两 个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成 绩的中位数为 73，则 xy 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 4（5 分） 从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线， 垂足为 M， 从且|PM| 4，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为（ ） A B C D2 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 4
2、6，则 a 的取值范 围是（ ） 第 2 页（共 25 页） A9a10 B9a10 C10a11 D8a9 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值是（ ） A0 B1 C5 D6 7 （5 分） （12x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（ ） A120 B120 C100 D100 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，为 了得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 9 （5 分）已知函数等于（ ） A2 Blog26 Cl
3、og27 D3 10 （5 分）在ABC 中，三边长分别为 a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角 形的面积为（ ） A B C D 11 （5 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， BCACCC11，则 AN 与 BM 所成角的余弦值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）|x22x1|t 有四个不同的零点 x1，x2，x3，x4，且 x1x2 x3x4，则 2（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
4、0 分分 13 （5 分） 已知在ABC 和点 M 满足 ， 若存在实数 m 使得成 第 3 页（共 25 页） 立，则 m 14 （5 分）如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为 15 （5 分）若，（，） ，则 sin2 16 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F，A，B 分别是 C 的左、 右顶点，P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交 于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若（O 为坐标原点） ，则双曲线 C 的离心率 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明
5、证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答第必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第题第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17（12分）已知等差数列an满足 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn中，b11，b22，从数列an中取出第 bn项记为 cn，若cn是等比数列， 求bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAD 是边长为 2 的 等边三角形，底面 ABCD 是菱形，且BAD60 （1）证明：ADPB； （2）求平面 PAD 与平面 PBC
6、 所成二面角的大小 第 4 页（共 25 页） 19（12 分） 已知椭圆的离心率， 且经过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（2，0）且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，过右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N，设， 的取值范围 20 （12 分）某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从 实验班中随机抽取 30 次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂测试成 绩如下（满分为 100 分） ： （1）把学生甲的成绩按30，40） ，40，50） ，50，6
7、0） ，60，70） ，70，80） ，80，90 分成 6 组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）规定随堂测试成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学 生乙， 对甲与乙的随堂测试成绩进行对比分析， 甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立 已 知甲成绩优秀的概率为 P1（以频率估计概率） ， 乙成绩优秀的概率为 P2， 若 P2P10.5， 则此二人适合为学习上互帮互助的“对子” 在一次随堂测试中，记 X 为两人中获得优秀 的人数，已知 E（X）0.8，问二人是否适合结为“对子”？ 21 （12 分）已知 m0，函数 f（x）exmx，直线 l：ym （1）
8、讨论 f（x）的图象与直线 l 的交点个数； （2）若函数 f（x）的图象与直线 l：ym 相交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点（x1 x2） ，证明： 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 25 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 曲线 C 的方程为 x22x+y20以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l
9、 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程； （2）直线与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，求AOB 面积 的最大值 23已知函数 f（x）|x+1|m|x2|（mR） （1）当 m3 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）当 x1，2时，不等式 f（x）2x+1 恒成立，求 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2019 年山东省泰安市高考数学一年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只分在每个小题
10、给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 Ax|2x0，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A2，1 B2，0 C1，0 D2，1，0 【分析】直接利用交集运算得答案 【解答】解：集合 A 表示2 到 0 的所有实数， 集合 B 表示 5 个整数的集合， AB1，0， 故选：C 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题 2 （5 分）若复数（2i） （a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A3 B C D3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为 0 求解 【解答】解：（2i） （a+i）（2a+1）+（2a）
11、i 的实部与虚部互为相反数， 2a+1+2a0，即 a3 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两 个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成 绩的中位数为 73，则 xy 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出 x、y 的值 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲班 5 名同学成绩的平均数为 （72+77+80+x+86+90）81，
12、解得 x0； 又乙班 5 名同学的中位数为 73，则 y3； xy033 故选：D 【点评】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题 4（5 分） 从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线， 垂足为 M， 从且|PM| 4，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为（ ） A B C D2 【分析】先设处 P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得 P 点横坐标，代入抛 物线方程求得 P 的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案 【解答】解：设 P（x0，y0） ， 依题意可知抛物线准线 x1， x0413，y02， P（3，2） ，F（1，0） 直线 PF 的
13、斜率为 k， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的 定义 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范 围是（ ） 第 8 页（共 25 页） A9a10 B9a10 C10a11 D8a9 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：依次运行流程图，结果如下： n13，S0 满足判断框内的条件 na，S13，n12 满足判断框内的条件 na，S25，n11 满足判断框内的条件
14、 na，S36，n10 满足判断框内的条件 na，S46，n9 此时，不满足判断框内的条件 na，退出循环， 所以 a 的取值范围是 9a10 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值是（ ） A0 B1 C5 D6 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 第 9 页（共 25 页） 由 zx+2y，得 yx+z， 平移直线 yx+z，由图象可知当直线， yx+z 经过
15、点 A 时， 直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大 由，得 A（0，3） ， 此时 z 的最大值为 z0+236， 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 7 （5 分） （12x）5（2+x）的展开式中，x3的系数是（ ） A120 B120 C100 D100 【分析】将已知多项式展开，将求展开式中 x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的 系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项 中的 r 分别取 3，2 求出二项式的含 x3和含 x2的系数 【解答】解： （12x）5（2+x）2（12x）5+x（12x）5 （12x）5的展开
16、式的通项为 Tr+1C5r（2x）r（2）rC5rxr 令 r3 得（12x）5展开式中 x3的项的系数是8C5380 令 r2 得（12x）5展开式中 x2的项的系数是 4C5240 （12x）5（2+x）2（12x）5+x（12x）5的展开式中 x3的项的系数是 2（80）+40120 故选：B 【点评】本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定 第 10 页（共 25 页） 项问题 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，为 了得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位
17、C向左平移个单位 D向左平移个单位 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的 f（x）的解析式再根据函数 yAsin（x+）的图象的变换规律，可得结论 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） ，的图象可得 A1，T2，2 再由五点法作图可得 2+0， 故函数的 f（x）的解析式为 f（x）sin（2x+）sin2（x+） 故把 f（x）sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得 g（x）sin2x 的图象， 故选：B 【点评】 本题主要考查由函数 yAsin （x+） 的部分图象求解析式， 函数 yAsin （x+） 的图象的变换规律，属于中档题
18、 9 （5 分）已知函数等于（ ） A2 Blog26 Clog27 D3 【分析】推导出 f（2019）f（4） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（2019）f（4）log242 故选：A 【点评】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是 第 11 页（共 25 页） 中档题 10 （5 分）在ABC 中，三边长分别为 a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角 形的面积为（ ） A B C D 【分析】 设最小角为 ， 故 对应的边长为 a， 然后利用余弦定理化简求解即可得 a 的值， 再由三角形面积公式求解即可 【解答】解：设最小角为
19、，故 对应的边长为 a， 则 cos，解得 a3 最小角 的余弦值为， 故选：A 【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题 11 （5 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点， BCACCC11，则 AN 与 BM 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再根据空间向量的夹角公 式可得 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系： 则 A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，N（，0，1） ，M（，1） ， （，0，1） ，（，1） ， cos， 故选：D 第 12 页（共
20、 25 页） 【点评】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）|x22x1|t 有四个不同的零点 x1，x2，x3，x4，且 x1x2 x3x4，则 2（x4x1）+（x3x2）的取值范围是（ ） A B C D 【分析】作出 y|x22x1|的图象，利用|x22x1|t 有 4 个不同的根，用 t 表示 x1， x2，x3，x4，结合根与系数之间的关系，求出 2（x4x1）+（x3x2）的表达式，构造函 数，研究函数的单调性和取值范围即可 【解答】解：由 f（x）|x22x1|t0 得|x22x1|t， 作出 y|x22x1|的图象如图， 要使 f（x）有
21、四个不同的零点，则 0t2， 同时 x1，x4，是方程 x22x1t0 的两个根， x2，x3，是方程 x22x1+t0 的两个根， 则 x1x41t，x1+x42，x2x21+t，x2+x32， 则 x4x12， x3x22， 则 2（x4x1）+（x3x2）4+2， 设 h（t）4+2， h（t）， 由 h（t）0 得0，得， 第 13 页（共 25 页） 平方得得 84t2+t，得 5t6，即 0t，此时为增函数， 由 h（t）0 得t2，此时为减函数， 故当 t时， h （t） 取得极大值 h （） +24+2+ 4， h（0）6，h（2）8，则 86， 即 h（t）的取值范围是， 故
22、选：A 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合，转化为关于 t 的函数关系， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强， 有一定的难度 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 已知在ABC 和点 M 满足 ， 若存在实数 m 使得成 立，则 m 3 【分析】确定点 M 为ABC 的重心，利用向量的加法法则，即可求得 m 的值 【解答】解：由点 M 满足，知点 M 为ABC 的重心， 设点 D 为底边 BC 的中点，则 m3 故答案为：3 【点评】本题考查平面向量的基本定理，考
23、查向量的加法法则，解题的关键是确定点 M 为ABC 的重心 第 14 页（共 25 页） 14 （5 分）如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为 12 【分析】由三视图知该几何体是一个三棱柱，用垂直于侧棱的平面截三棱柱得截面图形 是侧视图，根据侧棱长求出该三棱柱的体积 【解答】解：由三视图知，该几何体是一个三棱柱，如图所示； 用垂直于侧棱的平面截三棱柱，得截面图形是侧视图， 又侧棱长为 4，则该三棱柱的体积为 VS截面侧棱24312 故答案为：12 【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题 15 （5 分）若，（，） ，则 sin2 【分析】直接利用三角函数的 2 倍角的
24、公式的变换求出结果 【解答】解：，（，） ， 所以：， 第 15 页（共 25 页） 整理得：， 所以：， 则：， 故：sin2 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能 力和转化能力，属于基础题型 16 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F，A，B 分别是 C 的左、 右顶点，P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交 于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若（O 为坐标原点） ，则双曲线 C 的离心率 为 3 【分析】根据条件分别求出直线 AE 和 BN 的方程，求出 N，E 的坐标，
25、利用|OE|2|ON| 的关系建立方程进行求解即可 【解答】解：因为 PFx 轴，所以设 M（c，t） ， 则 A（a，0） ，B（a，0） ， AE 的斜率 k， 则 AE 的方程为 y（x+a） ，令 x0，则 y， 即 E（0，） ， BN 的斜率为，则 BN 的方程为 y（xa） ， 令 x0，则 y，即 N（0，） ， 因为|OE|2|ON|，所以 2|， 即 2（ca）c+a，即 c3a，则离心率 e3 故答案为：3 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点 N，E 的坐标 是解决本题的关键 三、解答题：共三、解答题：共 70
26、分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答第必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第题第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17（12分）已知等差数列an满足 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn中，b11，b22，从数列an中取出第 bn项记为 cn，若cn是等比数列， 求bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，由通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求 通项公式； （2）分别求得 c1，c2，可得公比，由等差数列和等
27、比数列的通项公式和求和公式，计算 可得所求和 【解答】解：（1）差数列an满足 ， 可得 a1+a24，a1+a2+a2+a312， 设等差数列的公差为 d，可得 2a1+d4，4a1+4d12， 解得 a11，d2， 则 an1+2（n1）2n1； （2）由题意可得 c1aa11，c2aa23， 可得数列cn的公比为 3，cn3n 1， 由 cna2bn1， 第 17 页（共 25 页） 可得 bn（1+3n 1） ， bn的前 n 项和 Tn（1+3+3n 1）+ n +n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简 运算能力，属于中档题 18 （12 分
28、）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAD 是边长为 2 的 等边三角形，底面 ABCD 是菱形，且BAD60 （1）证明：ADPB； （2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小 【分析】 （1）取 AD 的中点 E，连结 PE，BE，BD，推导出 ADBE，ADPE，从而 AD 平面 PBE，由此能证明 ADPB （2）EA，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 Exyz，利用向量法 能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小 【解答】证明： （1）取 AD 的中点 E，连结 PE，BE，BD， 四边形 ABCD 是菱形，
29、BAD60， ABD 是等边三角形，ADBE， 同理，得 ADPE， 又 PEBEE，PE平面 PBE，BE平面 PBE， AD平面 PBE， 又 PB平面 PBE，ADPB 解： （2）平面 PAD平面 ABCD， 由（1）可知 EA，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 Exyz，如 图， 由题意得 PDPAAD2， 第 18 页（共 25 页） 则 E（0，0，0） ，B（0，0） ，C（2，0） ，P（0，0，） ， （0，0） ，（0，） ，（2，） ， 设平面 PBC 的一个法向量 （x，y，z） ， 由，取 y1，得 （0，1，1） ， 由（1）得是平面 P
30、AD 的一个法向量， cos， ，45， 平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的大小为 45 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19（12 分） 已知椭圆的离心率， 且经过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（2，0）且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，过右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N，设， 的取值范围 【分析】 （1）由题意可得，解得 a22，b21，即可求出椭圆方程， 第
31、 19 页（共 25 页） （2）设直线 l 的斜率为 k，A（x1，y2） ，B（x2，y2） ，M（x3，y3） ，则（1x1， y1） ，（x31，y3） ，分“两种情况，求出直线 AG 的方程，联立直线与椭圆的方程， 由根与系数的关系的分析可得 + 范围，即可得答案 【解答】解： （1）由题意可得，解得 a22，b21，则椭圆方程为+y2 1， （2）设直线 l 的斜率为 k，A（x1，y2） ，B（x2，y2） ，M（x3，y3） ， 则（1x1，y1） ，（x31，y3） ， 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，由，可得y1ay3，则 ， 当 AM 与 x 轴不垂直时，直线
32、 AM 的方程为 y（x1） ，即 x， 代入曲线 C 的方程又x12+y121，整理可得（32x1）y2+2y1（x11）y120， y1y3， 32x1， 当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 x11，1，显然 a32x 也成立， 32x， 同理可得 32x， 设直线 l 的方程为 yk（x+2） ， （k0） ，联立， 消去 y 整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k220， 由（8k2）24（2k2+1） （8k22）0，解得 0k2， 第 20 页（共 25 页） 又 x1+x2， +32x1+32x262（x1+x2）14（6，10） 即 + 的取值范围是（6，10） 【点
33、评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质， 求出椭圆的标准方程 20 （12 分）某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从 实验班中随机抽取 30 次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂测试成 绩如下（满分为 100 分） ： （1）把学生甲的成绩按30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90 分成 6 组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）规定随堂测试成绩 80 分以上（含 80 分）为优秀，为帮助学生甲提高成绩，选取学 生乙， 对甲与乙的随堂测试成绩进行对比
34、分析， 甲与乙测试成绩是否为优秀相互独立 已 知甲成绩优秀的概率为 P1（以频率估计概率） ， 乙成绩优秀的概率为 P2， 若 P2P10.5， 则此二人适合为学习上互帮互助的“对子” 在一次随堂测试中，记 X 为两人中获得优秀 的人数，已知 E（X）0.8，问二人是否适合结为“对子”？ 【分析】 （1）根据题意列出频率分布表，画出频率分布直方图即可； （2）由题意知随机变量 X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数 学期望值，求出 P2以及 P2P1的值，由此得出结论 【解答】解： （1）根据成绩分组，列出频率分布表如下， 分组 频数累计 频数 频率 频率/组距 30， 4
35、0） 3 0.1 0.01 40， 50） 3 0.1 0.01 50， 9 0.3 0.03 第 21 页（共 25 页） 60） 60， 70） 6 0.2 0.02 70， 80） 6 0.2 0.02 80， 90 3 0.1 0.01 合计 30 1 画出频率分布直方图如图所示； （2）由（1）知 P10.1，随机变量 X 的所有可能取值分别为 0，1，2； 当 X0 时，P（X0）0.9（1P2） ， 当 X1 时，P（X1）0.9P2+0.1（1P2）0.8P2+0.1， 当 X2 时，P（X2）0.1P2； 所以 X 的分布列为； X 0 1 2 P 0.9（1P2） 0.8P
36、2+0.1 0.1P2 所以 X 的数学期望为 E（X）0.8P2+0.1+20.1P2P2+0.10.8， 解得 P20.7； 所以 P2P10.70.10.60.5， 所以学生甲与学生乙适合结为“对子” 第 22 页（共 25 页） 【点评】 本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题， 是中档题 21 （12 分）已知 m0，函数 f（x）exmx，直线 l：ym （1）讨论 f（x）的图象与直线 l 的交点个数； （2）若函数 f（x）的图象与直线 l：ym 相交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点（x1 x2） ，证明： 【分析】 （1）根据函数与方
37、程的关系，设 g（x）exmx+m，求函数的导数，研究函数 的单调性和极值，结合极值与 0 的关系进行判断即可 （2）构造函数 （x） ，求函数的导数，结合 f（x）与 l 的交点坐标，进行证明即可 【解答】解： （1）由題意，令 g（x）exmx+m， （m0） 则 g（x）exm， 令 g（x）0，解得 xlnm 所以 g（x）在（lnm，+）上单调递增， 令 g（x）0，解得 xlnm，所以 g（x）在（，lnm）上单调递减， 则当 xlnm 时，函数取得极小值，同时也是最小值 g（x）ming（lnm）mmlnm+mm（2lnm） 当 m（2lnm）0，即 0me2时，f（x）的图象与
38、直线 l 无交点， 当 m（2lnm）0，即 me2时 f（x）的图象与直线 l 只有一个交点 当 m（2lnm）0，即 me2时 f（x）的图象与直线 l 有两个交点 综上所述，当 0me2时，f（x）的图象与直线 l 无交点 me2时 f（x）的图象与直线 l 只有一个交点，me2时 f（x）的图象与直线 l 有两个交 点 第 23 页（共 25 页） （2）证明：令 （x）g（lnm+x）g（lnmx）mexme x2mx， （x0） （x）m（ex+e x2） ex+e x2 2， （x）0，即 （x）在（0，+）上单调递增， （x）（0）0 x0 时，g（lnm+x）g（lnmx）恒
39、成立， 又 0x1lnmx2， lnmx10， g（lnm+lnmx1）g（lnmlnm+x1） 即 g（2lnmx1）g（x1） ， 又 g（x1）g（x2） g（x2）g（2lnmx1） 2lnmx1lnm，x2lnm， yg（x）在（lnm，+）上单调递增， x22lnmx1即 x1+x22lnm ， （mx1m） （mx2m）m2（x11） （x21） ， m2（x11） （x21）m2， 即（x11） （x21）1，则 x1x2（x1+x2）+11， x1x2（x1+x2）0， 即 x1x2x1+x2， 即成立 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数
40、的单 调性和极值是解决本题的关键综合性较强，难度较大 第 24 页（共 25 页） 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 曲线 C 的方程为 x22x+y20以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程； （2）直线与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，求AOB
41、 面积 的最大值 【分析】 （1）用代入法消去 t 可得直线 l 的普通方程；利用 xcos，ysin 代入可得 曲线 C 的极坐标方程； （2）先求得 A（2，2） ，再利用 B 的极径求出三角形的面积，再求最值 【解答】解： （1）由 x2+t 得 t（x2）代入 y2+整理得 x+4 0， 直线 l 的普通方程为 x+40， 又，2cos22cos+2sin20， 2cos， 曲线 C 的极坐标方程为 2cos， （2）由得，A（2，2） ， 设 B（，） ，则 2cos， AOB 的面积 S|OA|OB|sinAOB|4sin（）| |4cossin（）|2cos（2+）+|， Sma
42、c2+ 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 23已知函数 f（x）|x+1|m|x2|（mR） （1）当 m3 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）当 x1，2时，不等式 f（x）2x+1 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可； 第 25 页（共 25 页） （2）问题转化为 x+1m（2x）2x+1 恒成立，当 x1，2时，m1， 令 g（x）1，求出 g（x）的最大值，求出 m 的范围即可 【解答】解： （1）当 m3 时，f（x）|x+1|3|x2|， 由 f（x）1， 得或或， 解得：x2 或 2x3， 故不等式的解集是（，3） ； （2）当 x1，2时，f（x）x+1m（2x） ， f（x）2x+1 恒成立， 即 x+1m（2x）2x+1 恒成立， 整理得： （2x）mx， 当 x2 时，02 成立， 当 x1，2时，m1， 令 g（x）1， 1x2， 02x3， ， 1， 故 g（x）max， 故 m 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常 规题
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