1、若 z+iz（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B2 C D3 3 （5 分）函数 f（x）log8x的一个零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 4 （5 分）已知向量 （1，1） ， （2，3） ，且 （ +m ） ，则 m（ ） A B C0 D 5 （5 分） “”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）在区间上随机取一个数 x，则 sin2x 的值介于 0 到之间的概率为 （ ） A B C D 7 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） 第 2
2、页（共 24 页） A （12+4） B （6+2） C （9+2） D （15+4） 8 （5 分）已知单调递增的等比数列an其前 n 项和为 Sn，若 a22，S37，则 a6（ ） A26 B28 C30 D32 9 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若目标函数 z3xy 的最大值为 2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D2 10 （5 分）已知点 P 是直线 l：3x+4y70 上的动点，过点 P 引圆 C： （x+1）2+y2r2（r 0） 的两条切线 PM， PN， M， N 为切点， 当MPN 的最大值为时， 则 r 的值为 （ ） A4 B3 C2 D1 11 （
3、5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原 点，A 为椭圆上一点，且0，直线 AF2交 y 轴于点 M，若|F1F2|6|OM|，则 该椭圆的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知圆锥的母线长为 2r，底面圆半径长为 r，圆心为 O，点 M 是母线 PA 的中点， AB 是底面圆的直径若点 C 是底面圆周上一点，且 OC 与母线 PB 所成的角等于 60， 则 MC 与底面所成的角的正弦值为（ ） 第 3 页（共 24 页） A B或 C D或 二、填空题：本题二、填空题：本题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。
4、13 （5 分）已知锐角 满足 cos（），则 sin 14 （5 分）二项式（）6展开式中的常数项为 15 （5 分）已知等差数列an的公差为 d（d0） ，前 n 项和为 Sn，且数列也为 公差为 d 的等差数列，则 d 16（5 分） 已知函数 f （x） log2x， g （x） +（a0） ， 若对x1x|g （x） +， x24，16，使 g（x1）f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每
5、个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 已知锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 sinA2sinBsinC， bc4，a2 （1）求角 A 的大小； （2）求ABC 的周长 18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，ADDC， ABDC，DC2AB，PD1，BC，BCBD，设 Q 为棱 PC 上一点， （1）求证：当 时，AQPC； （2）试确定 的值使得二面角 QBDP 为 45 19
6、 （12 分）从 1000 名 310 岁儿童中随机抽取 100 名，他们的身高都在 90150cm 之间， 第 4 页（共 24 页） 将他们的身高（单位：cm）分成六组90，100） ，100，110） ，140，150后得到如 图部分频率分布直方图，已知第二组100，110）与第三组110，120）的频数之和等于第 四组120，130）的频数，观察图形的信息回答下列问题： （1）求所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和； （2）估计身高处于120，130）之间与11，120）之间的频率之差； （3）用分层抽样的方法从这 100 人中身高不小于 130cm 的儿童中抽取一个容量为 1
7、2 的 样本，将该样本看成一个总体，从中任取 3 人，记这 3 人中身高小于 140cm 的人数为 X， 求随机变量 X 的分布列及数学期望 20 （12 分）已知抛物线 E：x22py（0p2）的焦点为 F，圆 C：x2+（y1）21，点 P（x0，y0）为抛物线上一动点当|PF|时，PFC 的面积为 （1）求抛物线 E 的方程； （2）若 y0，过点 P 作圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M，N 两点，求PMN 面积的 最小值，并求出此时点 P 的坐标 21 （12 分）已知函数 g（x）（1+）lnx，h（x）x （1）求证：函数 g（x）与 h（x）在 x1 处的切线关于 x 轴对
8、称 （2）若 f（x）g（x）+h（x） 第 5 页（共 24 页） （i）试讨论函数 f（x）的单调性； （ii）求证：ln1+（n2，nN*） (二）选考题：共二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以直角坐标系原点为极 点，x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程并说明其表示什么轨迹； （2）若直线 l 的极
9、坐标方程为 sin2cos，求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|2 （1）求 f（x）5 的解集； （2）若xR，f（x）|x+3|t2+1 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019 年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科）年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题：本题共：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分,，共，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项
10、是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|4x80，Bx|9x3，则 AB（ ） A （） B （） C （，+） D （，+） 【分析】可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：； 故选：A 【点评】考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算 2 （5 分）若 z+iz（i 是虚数单位） ，则|z|（ ） A B2 C D3 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的商 求解 【解答】解：z+iz，z（1i）， 则 z， |z| 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 3 （5 分
11、）函数 f（x）log8x的一个零点所在的区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可 【解答】解：函数 f（x）log8x的连线增函数，f（1）00，f（2） 第 7 页（共 24 页） log820， 可得 f（1）f（2）0， 函数 f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2） ， 故选：B 【点评】本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题 4 （5 分）已知向量 （1，1） ， （2，3） ，且 （ +m ） ，则 m（ ） A B C0 D 【分析】可求出，根据即可得出， 进行数量积的坐标运算即可求出 m
12、【解答】解：； ； ； 解得 故选：A 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算 5 （5 分） “”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】结合不等式的性质，根据充分必要条件的定义即可判断 【解答】解：由不等式的性质可得，反之则不然，如 x20，y2， 显然满足，但不满足， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题考查不等式的性质和充分必要条件，属于基础题 6 （5 分）在区间上随机取一个数 x，则 sin2x 的值介于 0 到之间的概率为 （ ） A B C D 【
13、分析】求出 sin2x 的值介于 0 到之间的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得 到结论 【解答】 解： 所有的基本事件构成的区间长度为 （） ， 由 0sin2x， 解得 02x， 则 0x， 所以由几何概型公式可得 sin2x 的值介于 0 到之间的概率为 P， 故选：D 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据三角函数的图象和性质求出的 等价范围是解决本题的关键 7 （5 分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A （12+4） B （6+2） C （9+2） D （15+4） 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可 第 9 页（
14、共 24 页） 【解答】解：由题意可知几何体是一个圆锥挖去一个小圆锥两个圆锥的底面相同，半径 为：， 大圆锥的母线长为：2，小圆锥的母线长为 2， 所以几何体的表面积为：（6+2） 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 8 （5 分）已知单调递增的等比数列an其前 n 项和为 Sn，若 a22，S37，则 a6（ ） A26 B28 C30 D32 【分析】根据题意，设等比数列an的公比为 q，结合等比数列的通项可得+2+2q7， 解可得 q 的值，又由则 a6a2q4，计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 a22，S
15、37，则+2+2q7， 解可得 q2 或， 又由数列an为单调递增的数列，则 q2， 则 a6a2q432； 故选：D 【点评】本题考查等比数列的性质以及等比数列的前 n 项和公式，关键是求出等比数列 an的公比，属于基础题 9 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，若目标函数 z3xy 的最大值为 2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D2 第 10 页（共 24 页） 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，A（a1，a） ，B（，a） ，C（0，1） ， 由 z3xy，得 y3xz， 由图象可
16、知当直线 y3xz，经过点 B 时，直线 y3xz 的截距最大，此时 z 最大为 2， 即 3xy2，3a2， 得 a1， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方 法，要熟练掌握目标函数的几何意义 10 （5 分）已知点 P 是直线 l：3x+4y70 上的动点，过点 P 引圆 C： （x+1）2+y2r2（r 0） 的两条切线 PM， PN， M， N 为切点， 当MPN 的最大值为时， 则 r 的值为 （ ） A4 B3 C2 D1 【分析】因为点 P 在直线 l：3x+4y70 上，连接 PC，当 PCl 时，MPN 最大，再 利用点到直线
17、的距离公式可得 【解答】解：因为点 P 在直线 l：3x+4y70 上，连接 PC，当 PCl 时，MPN 最大， 由题意知，此时MPN，所以CPM，所以|PC|2r，又因为 C 到 l 的距离 d 2，所以 r1， 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 11 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原 第 11 页（共 24 页） 点，A 为椭圆上一点，且0，直线 AF2交 y 轴于点 M，若|F1F2|6|OM|，则 该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】说明AF1F2OMF2，可得，转化求解椭圆的离心率 即可得出结果 【解
18、答】解：0，可得F1AF290，由题意可得F2OMF2AF1，则： ，因为|F1F2|6|OM|，所以，所以， 因为|AF1|+|AF2|2a，所以|AF1|，|AF2|，所以|AF1|2+|AF2|24c2，可得 ，解得 e 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、相似三角形的判定与性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题， 12 （5 分）已知圆锥的母线长为 2r，底面圆半径长为 r，圆心为 O，点 M 是母线 PA 的中点， AB 是底面圆的直径若点 C 是底面圆周上一点，且 OC 与母线 PB 所成的角等于 60， 则 MC 与底面所成的角的正弦值为（ ）
19、A B或 C D或 【分析】连结 MO，则 MOPB，过 M 作 MDAO，交 AO 与点 D，连结 DC，则 MD 底面 AOC，MCD 是直线 MC 与底面所成角，由 MOPB，得MOC 是异面直线 OC 与 PB 所成角（或其补角） ，由此能求出 MC 与底面所成的角的正弦值 【解答】解：连结 MO，则 MOPB，过 M 作 MDAO，交 AO 与点 D， 第 12 页（共 24 页） 连结 DC，则 MD底面 AOC， MCD 是直线 MC 与底面所成角， 又 PO，MD， MOPB，MOC 是异面直线 OC 与 PB 所成角（或其补角） ， MOC60或MOC120， OCr，OM2
20、，MC， 解得 MCr，或 MC， sinMCD或 sinMCD 故 MC 与底面所成的角的正弦值为或 故选：D 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知锐角 满足 cos（），则 sin 【分析】由已知求得 sin（） ，再由 sinsin（），展开两角差的正 弦求解 【解答】解： 为锐角，（） ， 又 cos（），sin（）， sinsin（）sin（）coscos（）sin
21、 第 13 页（共 24 页） 故答案为： 【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是 中档题 14 （5 分）二项式（）6展开式中的常数项为 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 【解答】解：二项式（）6展开式中的通项公式为 Tr+126 rx3r6， 令 3r60，求得 r2，可得展开式中的常数项为24， 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 15 （5 分）已知等差数列an的公差为 d（d0） ，前 n 项和为 Sn，且数列也为 公差
22、为 d 的等差数列，则 d 【 分 析 】 推 导 出，成 等 差 数 列 ， 从 而 2+，由此能求出 d 【解答】解：等差数列an的公差为 d（d0） ，前 n 项和为 Sn， 且数列也为公差为 d 的等差数列， ， 即 S1a1，S22a1+d，S33a1+3d， ，成等差数列， 2+， 8（a1+1）+4d4（a1+1）+3d+2， 整理，得：d2（a1+1） d， 第 14 页（共 24 页） 解得 d 故答案为： 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是中档题 16（5 分） 已知函数 f （x） log2x， g （x） +（a0）
23、 ， 若对x1x|g （x） +， x24，16，使 g（x1）f（x2）成立，则实数 a 的取值范围是 4，8 【分析】由函数单调性求函数的值域得：f（x）在4，16上的值域为2，4， 由根式函数值域的求法得：t+（a0） ，则 t2a+2，因为 0x（a x），所以 at22a，又 t0，所以t，即函数 g（x）的值域为， ，由方程有解问题得：，2，4，即，解得：4a8，得解 【解答】解：因为函数 f（x）log2x 为单调增函数， 所以 f（x）在4，16上的值域为2，4， 因为 g（x）+（a0） ， 令 t+（a0） ， 则 t2a+2， 因为 0x（ax）， 所以 at22a， 又
24、 t0， 所以t， 即函数 g（x）的值域为， 因为对x1x|g（x）+，x24，16，使 g（x1）f（x2）成立， 所以，2，4， 即，解得：4a8， 所以实数 a 的取值范围是 4a8， 故答案为：4，8 【点评】本题考查了利用函数单调性求函数的值域、根式函数值域的求法及有解、恒成 第 15 页（共 24 页） 立问题，属难度较大的题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要
25、求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 已知锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 sinA2sinBsinC， bc4，a2 （1）求角 A 的大小； （2）求ABC 的周长 【分析】 （1）由已知可得 sin2A2sinAsinBsinC，由正弦定理可得 a22bcsinA，解 得：sinA，结合范围 A，可求 A 的值 （2）由（1）可得 cosA，利用余弦定理可求 b+c2，即可得解ABC 的周长的 值 【解答】解： （1）sinA2sinBsinC，显然 sinA0， sin2A2sinA
26、sinBsinC， 由正弦定理可得：a22bcsinA， 又bc4，a2， 128sinA，解得：sinA， A， A， （2）由（1）可知 A，可得：cosA， 由余弦定理可得：cosA， b2+c216， （b+c）2b2+c2+2bc24，解得 b+c2， ABC 的周长 a+b+c2+2 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能 力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，ADDC， 第 16 页（共 24 页） ABDC，DC2AB，PD1，BC，BCBD，设 Q 为棱 PC
27、 上一点， （1）求证：当 时，AQPC； （2）试确定 的值使得二面角 QBDP 为 45 【分析】 （1）过 B 作 BEDC 于 E，则 E 为 DC 的中点，推导出 PDDC，PDAD， PCDQ，PDAD，从而 AD平面 PDC，进而 ADPC，由此能证明 PC平面 ADQ， 从而 AQPC （2）以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出 的值为，使得二面角 QBDP 为 45 【解答】证明： （1）DC2AB，BC，过 B 作 BEDC 于 E，则 E 为 DC 的中点， BDBC，又 BCBD，DC2， ADAB1，PD
28、平面 ABCD，PDDC，PDAD， 在 RtPDC 中，由勾股定理得 PC， 当 5 时，则 PQ， PD1， DPQCPD，DPQCPD， DQPCDP90，PCDQ， PDAD，又 ADDCD，AD平面 PDC，ADPC， 又 ADDQD，PC平面 ADQ，AQPC 解： （2）以 D 为原点，DA，DC，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 由（1）得 ADAB1，DC2， 则点 P（0，0，1） ，C（0，2，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，D（0，0，0） ， 令 Q（x0，y0，z0） ，（0，2，1） ，（0，2，1） ，（1，1，0） ， （
29、x0，y0，z0） ， ，（x0，y0，z01）（0，2，1） ，Q（0，2，1） ， 第 17 页（共 24 页） 由题目条件得 BC平面 PBD，平面 PBD 的法向量 （1，1，0） ， 设平面 QBD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （1，1，） ， 二面角 QBDP 为 45 |cos|， 解得，或（舍） ， 的值为，使得二面角 QBDP 为 45 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）从 1000 名 310 岁儿童中随机抽取 10
30、0 名，他们的身高都在 90150cm 之间， 将他们的身高（单位：cm）分成六组90，100） ，100，110） ，140，150后得到如 图部分频率分布直方图，已知第二组100，110）与第三组110，120）的频数之和等于第 四组120，130）的频数，观察图形的信息回答下列问题： （1）求所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和； （2）估计身高处于120，130）之间与11，120）之间的频率之差； （3）用分层抽样的方法从这 100 人中身高不小于 130cm 的儿童中抽取一个容量为 12 的 样本，将该样本看成一个总体，从中任取 3 人，记这 3 人中身高小于 140cm
31、的人数为 X， 求随机变量 X 的分布列及数学期望 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （1）根据频率和为 1 求出频率分布直方图中未画出的小矩形的频率和，即为面 积和； （2）分别求出身高处于120，130）与11，120）内的频率值，再求它们的差； （3）用分层抽样法抽取样本，由题意知随机变量 X 的可能取值，在计算概率分布及数学 期望值 【解答】解： （1）因为身高在110，130）内的频率为 1（0.010+0.015+0.025+0.005）100.45； 求小矩形的面积等于组距频率， 所以所给频率分布直方图中未画出的小矩形的面积之和为 0.45； （2）设第 3 组110，12
32、0）与第 4 组120，130）的频率分别为 a、b， 由第 2 组100，110）与第 3 组110，120）的频数之和等于第 4 组120，130）的频数， 所以第 2 组与第 3 组的频率之和等于第 4 组的频率， 列方程组得， 化简得，解得 a0.15，b0.30； 所以成绩处在第 3 组110，120）的频率为 0.15，处在第 4 组120，130）的频率为 0.30； 成绩处在第 3 组110，120）与第 4 组120，130）之间的频率之差为 0.30.150.15； （3）由题意得，身高在130，140）的人数为 1000.2525 人，在140，150）内的人 数为 10
33、00.055 人； 用分层抽样的方法从这 100 人中身高不小于 130cm 的儿童中抽取一个容量为 12 的样本， 所以需要在130，140）内抽取 1210 人，在140，150）内抽取 2 人， 设“从样本中任取 3 人，3 人中身高小于 140cm”的人数为 X，则 X 的所有可能取值为 1， 2，3； 第 19 页（共 24 页） X1 表示在130，140）身高段内抽取 1 人，在140，150身高段内抽取 2 人，所以 P（X 1）； X2 表示在130，140）身高段内抽取 2 人，在140，150身高段内抽取 1 人，所以 P（X 2）； X3 表示在130，140）身高段内
34、抽取 3 人，在140，150身高段内抽取 0 人，所以 P（X 3）； 所以随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望为 E（X）1+2+3 【点评】本题考查了频率分布直方图以及离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问 题，是中档题 20 （12 分）已知抛物线 E：x22py（0p2）的焦点为 F，圆 C：x2+（y1）21，点 P（x0，y0）为抛物线上一动点当|PF|时，PFC 的面积为 （1）求抛物线 E 的方程； （2）若 y0，过点 P 作圆 C 的两条切线分别交 y 轴于 M，N 两点，求PMN 面积的 最小值，并求出此时点 P 的坐标 【分析】 （1）根据题意可
35、得 x02+（y0）2，|1|x0|，x02 第 20 页（共 24 页） 2py0，由解得 p1 （2）设 P（x0，y0） ，M（0，b） ，N（0，c） ，且 bc，则直线 PM 的方程可得，由题设 知，圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1，把 x0，y0代入化简整理可得（2y01）b22y0b y020，同理可得（2y01）c22y0cy020，进而可知 b，c 为（2y01）x22y0x y020 的两根，根据求根公式，可求得 bc，进而可得PMN 的面积的表达式，根据 均值不等式可得 【解答】解： （1）抛物线 E：x22py（0p2）的焦点为 F（0，） ，圆 C：x2+（y
36、1） 21 的圆心 C 为（0，1） ， |PF|， x02+（y0）2， PFC 的面积为， |1|x0|， 又 x022py0， 由解得 p1， 抛物线方程为 x22y， （2）设 M（0，b） ，N（0，c） ，且 bc， 故直线 PM 的方程为（y0b）xx0y+x0b0，即（y0b）xx0y+x0b0， 由题设知，圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1， 即1，注意到 x02，化简上式，得（2y01）b22y0by020， 同理可得（2y01）c22y0cy020， 由上可知，b，c 为（2y01）x22y0xy020 的两根，根据求根公式，可得 bc ， 故PMN 的面积为 S（
37、 bc ）x0 第 21 页（共 24 页） y0+y0+12+12， 当且仅当 y01 等号成立此时点 P 的坐标为 （ ，1）或 （，1） ， 综上所述，当点 P 的坐标为 （ ，1）或 （，1） ，时，PMN 的面积取最小值 2 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系直线与圆锥曲线的 问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦 中点问题，垂直问题，对称问题与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题 的新趋向 21 （12 分）已知函数 g（x）（1+）lnx，h（x）x （1）求证：函数 g（x）与 h（x）在 x1 处的切线关于
38、 x 轴对称 （2）若 f（x）g（x）+h（x） （i）试讨论函数 f（x）的单调性； （ii）求证：ln1+（n2，nN*） 【分析】 （1）求出函数的导数，求出切线斜率，证明即可； （2） （i）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ii） 根据lnx， 令 x， 得到 ln1 （n2 且 nN*） ， 故 ln1，ln1，ln1，ln1，累加即可 【解答】解： （1）证明：g（x），h（x）1， 则函数 g（x）与 h（x）在 x1 处的切线的斜率之和为 g（1）+h（1）0， 又 g（1）h（1）0， 故函数 g（x）与 h（x）在 x1 处的切线关于 x
39、 轴对称； （2） （i）解：函数 f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）， 令 m（x）lnx+xx2（x0） ， 则 m（x）1（2x+）120， 第 22 页（共 24 页） 故 m（x）在（0，+）递减， 又 m（1）0，故 x（0，1）时，m（x）0， x（1，+）时，m（x）0， 故 f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减； （ii）证明：由（i）知，函数 f（x）的定义域是（0，+） ， 在 x1 处取极大值，也是最大值， 故对x（0，+） ，f（x）f（1）0， 则（1+）lnx+x0， 则lnx， 0，则不等式两边同除以，可得 lnxx1（当且仅当 x1 时“”成立）
40、 ， 令 x，则 ln1（n2 且 nN*） ， 故 ln1，ln1，ln1，ln1， 以上 n1 个式子相加得： ln+ln+ln+ln 1+1+1+1， 得 ln+（n1） ， 得 nlnn1+， 故 ln1+， （n2，且 nN*） ，命题成立 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分 类讨论思想，是一道综合题 (二）选考题：共二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22
41、（10 分）已知曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以直角坐标系原点为极 点，x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程并说明其表示什么轨迹； 第 23 页（共 24 页） （2）若直线 l 的极坐标方程为 sin2cos，求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 转换为直角坐标方程为： （x3）2+（y1）24 所以：该曲线是以（3，1）为圆心，2 为半径的
42、圆 转换为极坐标方程为：26cos2sin+60 （2）直线 l 的极坐标方程为 sin2cos， 转换为直角坐标方程为：2xy+10 则：圆心（3，1）到直线的距离 d， 所以：曲线 C 上的点到直线的距最大距离 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|2 （1）求 f（x）5 的解集； （2）若xR，f（x）|x+3|t2+1 恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）把不等式化为|2x1|25，利
43、用绝对值的定义求出不等式的解集； （2）不等式可化为|x+3|2x1|t2+t+3； 求出函数 g（x）|x+3|2x1|的最大值，令 g（x）maxt2+t+3，解不等式即可 【解答】解： （1）函数 f（x）|2x1|2， 不等式 f（x）5 可化为|2x1|25， 即|2x1|3， 所以32x13， 解得1x2， 第 24 页（共 24 页） 所以不等式的解集为x|1x2； （2）不等式 f（x）|x+3|t2+1， 可化为|x+3|2x1|t2+t+3； 对xR，f（x）|x+3|t2+1 恒成立， 等价于（|x+3|2x1|）maxt2+t+3； 设 g（x）|x+3|2x1|， 则 g（x）， 画出 g（x）的图象如图所示， 由图象知 g（x）max， 则t2+t+3， 即 2t23t+10，解得t1， 所以实数 t 的取值范围是，1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问 题，是中档题
浙公网安备33030202001339号