1、已知集合 A1，2，3，4，5，6，7，集合 BxN|2x6，则 AB（ ） A1，2，3，5，6，7 B2，3，4，5 C2，3，5 D2，3 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（2i）z3+2i，则 z 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3（5 分）“结绳计数” 是远古时期人类智慧的结晶， 即人们通过在绳子上打结来记录数量 如 图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数 在从右向左依次排列的不同绳子上打结， 满四进一根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ） A493 B383 C183 D123 4 （5 分）调查机构对某高科技
2、行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从 事该行业岗位分布条形图，如图所示 给出下列三种说法：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；该高科技 行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 30%；该高科技行业中从事运营岗位的人员 主要是本科生其中正确的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（ ） 第 2 页（共 26 页） A7 B6 C5 D4 6 （5 分）在ABC 中，则（ ） A B C D 7 （5 分）已知数列an为等比数列，满足 a3a116a7；数列bn为等差数列，其前 n 项和 为 Sn，且
3、b7a7，则 S13（ ） A13 B48 C78 D156 8 （5 分）已知双曲线 C：，O 为坐标原点，过 C 的右顶点且垂 直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 A，B，过 C 的右焦点右侧的点且垂直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 M，N，若OAB 与OMN 的面积之比为 1：9，则双曲线 C 的渐近线方程 为（ ） Ay2x B C Dy8x 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧） ，则该 几何体的体积为（ ） 第 3 页（共 26 页） A B648 C6412 D6416 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，
4、|，xR）在一个周期内 的图象如图所示，则 yf（x）的解析式是（ ） A B C D 11 （5 分）若函数 f（x），af（2） ，bf（3） ，cf（5） ，则（ ） Abca Bbac Cacb Dcab 12 （5 分）已知函数，若方程 f（x）a（a 为常数）有两个不相 等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0） B C （，0 D （，0） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）部分与整体 以某种相似 的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出
5、具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边 第 4 页（共 26 页） 中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角 形重复上述过程逐次得到各个图形，如图现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点 取自阴影部分的概率为 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最小值为 15 （5 分）已知椭圆 C：的离心率为，A，B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6，则椭圆 C 的方程为 16 （5 分）在四棱锥
6、 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD面 ABCD，且 PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17 （12 分）在ABC 中，BC3，D 为线段 AC 上的一点，E 为 BC 的中点 （）求ACB； （）若BCD 的面积为 3，求 DE 的长度 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAD 为等边三角形， 平面 PAD平面 PCD （）证明：平面 PAD平面 ABCD； （）若 AB2，Q 为线段 PB 的中点，求三棱
7、锥 QPCD 的体积 第 5 页（共 26 页） 19 （12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水 线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克） ，质量值落在（175，225 的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线 样本的频率分布直方图 产品质量/毫克 频数 （165，175 3 （175，185 9 （185，195 19 （195，205 35 （205，215 22 （215，225 7 （225，235 5 （） 由以上统计数据完成下面 22 列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提
8、下 认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 附表： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 6 页（共 26 页） （参考公式：） （）按照以往经验，在每小时次品数超过 180 件时，产品的次品率会大幅度增加，为 检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产 的产品数据进行次品情况检查分析，在 x（单位：百件）产品中，得到次品数量 y（单位： 件）的情况汇总
9、如表所示： x（百件） 0.5 2 3.5 4 5 y（件） 2 14 24 35 40 根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过 180 件，请通过计算分析，按照公司的现 有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产 2000 件的任务？ （参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ；） 20 （12 分）已知抛物线 W：x22py（p0）的焦点为 F，点 A 在 W 上，AF 的中点坐标为 （2，2） （）求抛物线 W 的方程； （）若直线 l 与抛物线 W 相切于点 P（异于原点） ，与抛物线 W 的准线相交于点 Q， 证明：FPFQ 21 （12 分）已知函数，a1，e2.718为
10、自然对数的底数 第 7 页（共 26 页） （）当 a0 时，证明：函数 f（x）只有一个零点； （）若函数 f（x）存在两个不同的极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答,如果多做如果多做,则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.做答时做答时,用用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为其中 为参数） ； 以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴
11、为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1的普通方程和极坐标方程； （）已知直线 l 与曲线 C1和曲线 C2分别交于 M 和 N 两点（均异于点 O） ，求线段 MN 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x2|x+a|，aR （）若 a1，解不等式 f（x）+x0； （）对任意 xR，f（x）3 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 8 页（共 26 页） 2019 年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：每
12、题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，5，6，7，集合 BxN|2x6，则 AB（ ） A1，2，3，5，6，7 B2，3，4，5 C2，3，5 D2，3 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A1，2，3，4，5，6，7， 集合 BxN|2x62，3，4，5， AB2，3，4，5 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知 i 为虚
13、数单位，复数 z 满足（2i）z3+2i，则 z 在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 z 在复平 面内对应的点的坐标得答案 【解答】解：由（2i）z3+2i， 得 则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为： （，） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3（5 分）“结绳计数” 是远古时期人类智慧的结晶， 即人们通过在绳子上打结来记录数量 如 图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数 在从右向左依次排列的不
14、同绳子上打结， 满四进一根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ） 第 9 页（共 26 页） A493 B383 C183 D123 【分析】先阅读题意，再结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是 3 40+141+342+243183，得解 【解答】解：由题意有：农民采摘的果实的个数是 340+141+342+243183， 故选：C 【点评】本题考查了进位制及进行简单的合情推理，属中档题 4 （5 分）调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从 事该行业岗位分布条形图，如图所示 给出下列三种说法：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；该高
15、科技 行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 30%；该高科技行业中从事运营岗位的人员 主要是本科生其中正确的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求 解 【解答】解：在中，由该行业从业者学历分布饼状图得到： 该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故正确； 在中，由从事该行业岗位分布条形图得到： 该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 30%，故正确； 在中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图， 无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生故错误 故选：C 第 10
16、 页（共 26 页） 【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想，是基础题 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（ ） A7 B6 C5 D4 【分析】由流程线循环 4 次，输出 k 【解答】解：初始值 k9，s1，是， 第一次循环：s，k8，是， 第二次循环：s，k7，是， 第三次循环：s，k6，是， 第四次循环：s，k5，否，输出 k5 故选：C 【点评】本题考查程序框图的循环，属于简单题 6 （5 分）在ABC 中，则（ ） A B C D 第 11 页（共 26 页） 【分析】由平面向量的基本定理得： ：
17、（） ，得解 【解答】解：（）， 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题 7 （5 分）已知数列an为等比数列，满足 a3a116a7；数列bn为等差数列，其前 n 项和 为 Sn，且 b7a7，则 S13（ ） A13 B48 C78 D156 【分析】 利用等比数列通项公式求出 a76， 从而 b7a76， 再由 S13 13b7，能求出结果 【解答】解：数列an为等比数列，满足 a3a116a7， 6a7， 解得 a76 数列bn为等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a7， b7a76， S1313b713678 故选：C 【点评】本题考查等比数列的前 13 项和
18、的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 8 （5 分）已知双曲线 C：，O 为坐标原点，过 C 的右顶点且垂 直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 A，B，过 C 的右焦点右侧的点且垂直于 x 轴的直线交 C 的渐近线于 M，N，若OAB 与OMN 的面积之比为 1：9，则双曲线 C 的渐近线方程 为（ ） Ay2x B C Dy8x 【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得2，即可求出渐近线方程 【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方， 第 12 页（共 26 页） 则， 9， 2， C 的渐近线方程为 y2x， 故选：B 【点评】本题考查了
19、双曲线的简单性质，属于基础题 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧） ，则该 几何体的体积为（ ） A B648 C6412 D6416 【分析】根据三视图知该几何体是一正方体，截去两个相同的圆柱体，结合图中数据 第 13 页（共 26 页） 求出几何体的体积 【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为 4 的正方体，截去两个半径为 2 的圆 柱体，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的体积为 V43224648 故选：B 【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|
20、，xR）在一个周期内 的图象如图所示，则 yf（x）的解析式是（ ） A B C D 【分析】根据图象确定 A，同时确定函数的周期和 ，利用五点法求出 的值即可得到 结论 【解答】解：由图象知函数的最大值为 A4， （）即 T， 即 ， 即 f（x）4sin（x+） ， 第 14 页（共 26 页） 由五点对应法得（）+0， 得 ，得 f（x）4sin（x+） ， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的求解，利用图象确定 A， 和 的值是解决本题的关 键 11 （5 分）若函数 f（x），af（2） ，bf（3） ，cf（5） ，则（ ） Abca Bbac Cacb Dcab 【分析】可以
21、得出，从而得出 ca，同样的方法得出 ab， 从而得出 a，b，c 的大小关系 【 解 答 】 解 ：， ； ca，且 ab； cab 故选：D 【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性 12 （5 分）已知函数，若方程 f（x）a（a 为常数）有两个不相 等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0） B C （，0 D （，0） 【分析】求出当 x0 时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数 f（x）的图象， 由数形结合进行求解即可 【解答】解：当 x0 时，函数 f（x）2（lnx+1）1lnx， 由 f（x）0 得 1lnx0 得 lnx1，得 0xe， 由 f（x）
22、0 得 1lnx0 得 lnx1，得 xe， 即当 xe 时，函数 f（x）取得极大值， 第 15 页（共 26 页） 极大值为 f（e）2eelne2eee， 当 x0 时，f（x）x2x（x+）2+， 作出函数 f（x）的图象如图： 要使 f（x）a（a 为常数）有两个不相等的实根， 则 a0 或ae， 即实数 a 的取值范围是（，0）， 故选：D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利 用数形结合是解决本题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）部分与整体 以某种相
23、似 的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边 中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角 形重复上述过程逐次得到各个图形，如图现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点 取自阴影部分的概率为 【分析】由归纳推理得：设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，则图（3）中阴影部 分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为 16S， 第 16 页（共 26 页） 由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为，得解 【解答】解：设图（3）中 1 个小阴影三角形的
24、面积为 S， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S， 又图（3）中大三角形的面积为 16S， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题 14 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最小值为 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可求解 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： 由 zx+y，得 yx+z 表示，斜率为 1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线 yx+z，当直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最小，此时 z 最小， 由，
25、解得 A（1，） ， 此时 zmin+1 故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的 关键，注意利用数形结合来解决 第 17 页（共 26 页） 15 （5 分）已知椭圆 C：的离心率为，A，B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6，则椭圆 C 的方程为 【分析】利用已知条件列出方程，求解 a，b 即可得到椭圆方程 【解答】解：椭圆 C：的离心率为，可得 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，F 为椭圆 C
26、的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不 同的两点 P，Q， 当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6， 2a6，解得 b，a2b2+c2， 解得 a2， 则椭圆 C 的方程为： 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 16 （5 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD面 ABCD，且 PD1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为 【分析】分别计算出四棱锥 PABCD 的体积 V 和表面积 S，利用公式计算出该四 棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案 【解答】解：四棱锥 PAB
27、CD 的体积为， 如下图所示， 第 18 页（共 26 页） 易证 PDAD，PDCD，PAAB，PCBC， 所以，四棱锥 PABCD 的表面积为， 所以，四棱锥 PABCD 的内切球的半径为， 因此，此球的最大表面积为 【点评】本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于中等题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分，请写出解答的详细过程分，请写出解答的详细过程 17 （12 分）在ABC 中，BC3，D 为线段 AC 上的一点，E 为 BC 的中点 （）求ACB； （）若BCD 的面积为 3，求 DE 的长度 【分析】 （1）在ABC 中，由正弦定理，可求 sinACB，然后
28、结合大边对大角可求ACB； （2） 由 sBCD3， 结合三角形的面积公式可求 DC， 然后在CDE 中， 由余弦定理可得， DE2CE2+CD22CECDcosACB，即可解得答案 【解答】解： （1）在ABC 中，由正弦定理可得， sinACB， 0ACB，且 ABBC， ACBA， ACB； （2）BCD 中，由 sBCD3 可得，BCDCsinACB3， 3， 第 19 页（共 26 页） DC2， CDE 中，由余弦定理可得，DE2CE2+CD22CECDcosACB， ， DE 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中 档试题 18 （12 分）
29、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAD 为等边三角形， 平面 PAD平面 PCD （）证明：平面 PAD平面 ABCD； （）若 AB2，Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥 QPCD 的体积 【分析】 （）取 PD 的中点 O，连接 AO，由已知可得 AOPD，再由面面垂直的判定 可得 AO平面 PCD，得到 AOCD，由底面 ABCD 为正方形，得 CDAD，由线面垂 直的判定可得 CD平面 PAD，则平面 PAD平面 ABCD； （）由（）知，AO平面 PCD，求出 A 到平面 PCD 的距离 dAO，进一步求 得 Q 到平面 PCD 的距离 h，再由（）知，CD
30、平面 PAD，得 CDPD，然 后利用棱锥体积公式求解 【解答】 （）证明：取 PD 的中点 O，连接 AO， PAD 为等边三角形，AOPD， AO平面 PAD，平面 PAD平面 PCDPD，平面 PAD平面 PCD， AO平面 PCD， CD平面 PCD，AOCD， 底面 ABCD 为正方形，CDAD， AOADA，CD平面 PAD， 第 20 页（共 26 页） 又CD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD； （）解：由（）知，AO平面 PCD， A 到平面 PCD 的距离 dAO 底面 ABCD 为正方形，ABCD， 又AB平面 PCD，CD平面 PCD， AB平面 PCD， A，
31、B 两点到平面 PCD 的距离相等，均为 d， 又 Q 为线段 PB 的中点， Q 到平面 PCD 的距离 h 由（）知，CD平面 PAD， PD平面 PAD，CDPD， 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面 体体积的求法，是中档题 19 （12 分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水 线上各抽取 100 件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克） ，质量值落在（175，225 的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线 样本的频率分布直方图 产品质量/毫克 频数 （165，175 3 （
32、175，185 9 （185，195 19 （195，205 35 第 21 页（共 26 页） （205，215 22 （215，225 7 （225，235 5 （） 由以上统计数据完成下面 22 列联表， 能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下 认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 附表： P（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：） （）按照以往经验，在每小时次品数超
33、过 180 件时，产品的次品率会大幅度增加，为 检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产 的产品数据进行次品情况检查分析，在 x（单位：百件）产品中，得到次品数量 y（单位： 件）的情况汇总如表所示： x（百件） 0.5 2 3.5 4 5 y（件） 2 14 24 35 40 根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过 180 件，请通过计算分析，按照公司的现 有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产 2000 件的任务？ （参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式 ；） 第 22 页（共 26 页） 【分析】 （）根据直方图求出 22 列联表即可；
34、 （）求出相关系数，从而求出回归方程，代入 x 的值判断即可 【解答】解： （）由乙流水线样本的频率分布直方图可知： 合格品的个数为：100（10.04）96， 故 22 列联表是： 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 92 96 188 不合格品 8 4 12 总计 100 100 200 故 K21.4182.072， 故在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线 的选择有关； （）由已知可得： （0.5+2+3.5+4+5）3， （2+14+24+35+40）23， xiyi0.52+214+3.524+435+540453， 0.52+22+3.5
35、2+42+5257.5， 由回归直线的系数公式得： 第 23 页（共 26 页） 8.64， 故 238.6432.92， 故 x+a8.64x2.92， 当 x20 时，y169.88180，符合题意， 故按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产 2000 件的任务 【点评】本题考查了 22 列联表，考查求回归方程问题以及函数代入求值，是一道常规 题 20 （12 分）已知抛物线 W：x22py（p0）的焦点为 F，点 A 在 W 上，AF 的中点坐标为 （2，2） （）求抛物线 W 的方程； （）若直线 l 与抛物线 W 相切于点 P（异于原点） ，与抛物线 W 的准线相交于点
36、Q， 证明：FPFQ 【分析】 （） 求出抛物线的焦点坐标， 得到 A 的坐标， 然后求解 p 即可得到抛物线方程 （）先求导，可得直线 l 的方程，求点 Q 的坐标，根据向量的运算和向量的数量积即 可证明 【解答】解： （）抛物线 W：x22py（p0）的焦点为 F（0，） ，点 A 在 W 上，AF 的中点坐标为（2，2） ， 可得 A（4，4） ， 可得：162p（4） ， 解得：p4 则 C 的方程为：x28y 证明： （）由 yx2，可得 yx， 设点 P（x0，x02） ，则直线 l 的方程为 yx02x0（xx0） ，即 yx0xx02， 第 24 页（共 26 页） 令 y2，
37、得 Q（，2） （x0，x022） ，（，4） x04（x022）0， FPFQ 【点评】本题考查了抛物线的方程，直线方程，向量的运算等基础知识，考查了运算求 解能力，转化与化归能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数，a1，e2.718为自然对数的底数 （）当 a0 时，证明：函数 f（x）只有一个零点； （）若函数 f（x）存在两个不同的极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围 【分析】 （） 首先求解导函数， 然后利用导函数研究函数的单调性即可证得题中的结论； （）结合（）中的结论分类讨论研究函数的极值点确定实数 a 的取值范围即可 【解答】解： （）由题知：f （x）1ex+ax
38、令 g（x）1ex+ax，g （x）aex 当 a0，g （x）0，所以 f（x）在（，+）上单调递减 因为 f （0）0，所以 f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，所 以 f（x）f（0）0，故 f（x）只有一个零点 （）由（）知：a0 不合题意 当 0a1 时，因为 x（，lna） ，g（x）0；x（lna，+） ，g（x）0 又因为 f（0）0，所以 f （lna）0；又因为 因为函数 所以 （a）（1）10，即 所以存在，满足 f （x1）0 所以 第 25 页（共 26 页） 此时 f（x）存在两个极值点 x1，0，符合题意 当 a1 时，因为 x（，0） ，g （
39、x）0；x（0，+） ，g （x）0； 所以 g（x）g（0）0；所以 f（x）0，即 f（x）在（，+）上单调递减， 所以 f（x）无极值点，不合题意 综上可得：0a1 【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性与零点，分类讨论 的数学思想等知识，属于中等题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答,如果多做如果多做,则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分.做答时做答时,用用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分
40、）直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为其中 为参数） ； 以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C2：4sin （）求曲线 C1的普通方程和极坐标方程； （）已知直线 l 与曲线 C1和曲线 C2分别交于 M 和 N 两点（均异于点 O） ，求线段 MN 的长 【分析】 （）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程； （）设 M，N 的极坐标并分别代入 C1，C2可得 1，2，再利用|MN|1|+|2|可得 【解答】解： （）因为曲线 C1的参数方程为（ 为参数 ） ， 所以 C1的普通方程为（x2）2+（y1）25， 在极坐
41、标系中，将代入得 24cos2sin0， 化简得，C1的极坐标方程为：4cos+2sin （）因为直线 l 的极坐标方程为 （R） ， 且直线 l 与曲线 C1和和曲线 C2分别交于 M，N，可设 M（1，） ，N（2，） ， 将 M（1，）代入得 14cos+2sin4（）+2， 将 N（2，）代入曲线 C2：4sin 得 24sin42 所以|MN|1|+|2|+23 第 26 页（共 26 页） 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x2|x+a|，aR （）若 a1，解不等式 f（x）+x0；
42、 （）对任意 xR，f（x）3 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）a1 时函数 f（x）|x2|x+1|，去掉绝对值，分段讨论求不等式 f（x） +x0 的解集； （）利用绝对值不等式求得 f（x）的最大值 f（x）max，把 f（x）3 恒成立化为 f（x） max3，求出解集即可 【解答】解： （）a1 时，函数 f（x）|x2|x+a|x2|x+1|， 当 x1 时，f（x）（x2）+（x+1）3， 不等式 f（x）+x0 可化为 3+x0， 解得 x3，所以3x1； 当1x2 时，f（x）（x2）（x+1）2x+1， 不等式 f（x）+x0 可化为x+10， 解得 x1，所以1x1； 当 x2 时，f（x）（x2）（x+1）3， 不等式 f（x）+x0 可化为 x30， 解得 x3，所以 x1； 综上，不等式 f（x）+x0 的解集为x|3x1 或 x3； （）因为 f（x）|x2|x+a|（x2）（x+a）|a+2|， 所以 f（x）max|a+2|， 对任意 xR，f（x）3 恒成立， 所以|a+2|3， 所以3a+23，解得5a1， 所以实数 a 的取值范围是5，1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问 题，是中档题
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