1、设全集 UR，集合 Ax|2x1，Bx|1x5，则（UA）B 等于（ ） A1，0） B （0，5 C1，0 D0，5 2 （5 分）若复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 3 （5 分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（ ） A不存在 x0R，+10 B存在 x0R，+10 Cx0R， D对任意的 xR，x3x2+10 4 （5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 4+a5a6+a4，则 S9（ ） A72 B36 C18 D9 5 （5 分）已知直线 l 和两个不同的平面 ，则下列结论正确的是（ ） A若 l，l，则 B若 ，
2、l，则 l C若 l，l，则 D若 ，l，则 l 6 （5 分）在某项测量中，测得变量 N（1，2） （0） 若 在（0，2）内取值的概 率为 0.8，则 在（1，2）内取值的概率为（ ） A0.2 B0.1 C0.8 D0.4 7 （5 分）一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示若该三棱 柱的外接球的表面积为 124，则侧视图中的 x 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A B9 C3 D3 8 （5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率 为（ ） A
3、B C2 D 9 （5 分）已知 M（4，0） ，N （0，4） ，点 P（x，y）的坐标 x，y 满足， 则的最小值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知 f（x）（sin）x，（0，） ，设，bf（log43） ，c f（log165） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bacb Cbac Dcba 11 （5 分）已知直线 l：y2xm（m0）与圆 C：x2+y22x2y230，直线 l 与圆 C 相交于不同两点 M，N若|，则 m 的取值范围是（ ） A，5） B2，53） C （ 5，5） D （，2） 12 （5 分）函数 f（x）sin（2x+）+cos2x
4、，若 f（x）最大值为 G（） ，最小值为 g（） ， 则（ ） A0R，使 G（0）+g（0） B0R，使 G（0）g（0） C0R，使|G（0） g（0）| 第 3 页（共 24 页） D0R，使 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）展开式的常数项是 14 （5 分）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它 分数都要写成若干个单分数和的形式例如，可以这样理解：假定有两个面 包，要平均分给 5 个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成 5 份，每人得 ，这样每人分得+形如（n2，3，
5、4，）的分数的分解： ，按此规律， （n2，3，4，） 15 （5 分）如图所示，平面 BCC1B1平面 ABC，ABC120，四边形 BCC1B1为正方 形，且 ABBC2，则异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 16 （5 分）已知抛物线 C：y2x 上一点 M （1，1） ，点 A，B 是抛物线 C 上的两动点， 且 0，则点 M 到直线 AB 的距离的最大值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题
6、为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2bc）cosAacosC （）求角 A； （）若 a，ABC 的面积为 3，求ABC 的周长 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （）求证：平面 PAB平面 PCD； （）若直线 PA平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）已知点 A
7、，B 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） 三角形 ABM 的两条边 AM， BM 所在直线的斜率之积是 （）求点 M 的轨迹方程； （）设直线 AM 方程为 xmy2（m0） ，直线 l 方程为 x2，直线 AM 交 l 于 P，点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 MQ 与 x 轴相交于点 D若APD 面积为 2，求 m 的值 20 （12 分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在11，12， 30范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在11，12，30范围内取值（每天进 1 次 货） ，商店每销售 1 盒礼盒可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 盒礼
8、盒亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 盒礼盒可获利 30 元设该礼盒 每天的需求量为 x 盒，进货量为 a 盒，商店的日利润为 y 元， （）求商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式 （）试计算进货量 a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最 大值 21 （12 分）已知函数 f（x）exa（x2+x+1） （）若 x0 是 f（x）的极大值点，求 a 的值； （）若 f（x）在（0，+）上只有一个零点，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选
9、一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为（t 为参数， 0） 以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C的极坐标方程为 244cos 2sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的长度为 2，求直线 l 的普通方程 选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲 第 5 页（共 24 页） 23已知 f（x）|x+1|+|2x+m| （）当 m3 时，求不等式 f（x）6 的解集； （）设关于
10、 x 的不等式 f（x）|2x4|的解集为 M，且，求实数 m 的取 值范围 第 6 页（共 24 页） 2019 年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|2x1，Bx|1x5，则（UA）B 等于（ ） A1，0） B （0，5 C1，0 D0，5 【分析】求出 A 中不等式的
11、解集确定出 A，根据全集 UR 求出 A 的补集，找出 A 补集 与 B 的交集即可 【解答】解：由 A 中的不等式变形得：2x120，得到 x0， A（0，+） ， 全集 UR， UA（，0， B1，5， （UA）B1，0 故选：C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （5 分）若复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出 【解答】解：iz1+2i，iizi（1+2i） ，zi+2 则 z 的共轭复数 2+i 的虚部为 1 故选：D 【点评】
12、本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 3 （5 分）命题“xR，x3x2+10”的否定是（ ） A不存在 x0R，+10 B存在 x0R，+10 第 7 页（共 24 页） Cx0R， D对任意的 xR，x3x2+10 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意的 xR，x3x2+10”的否定是：存在 x0R，+10 故选：C 【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查 4 （5 分）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 4+a5a6+a4，
13、则 S9（ ） A72 B36 C18 D9 【分析】推导出 4+a52a5，从而 a54，再由 S9（a1+a9） ，能求出结果 【解答】解：Sn为等差数列an的前 n 项和，且 4+a5a6+a4， 4+a52a5， 解得 a54， S9（a1+a9）9a536 故选：B 【点评】本题考查等差数列的前 9 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 5 （5 分）已知直线 l 和两个不同的平面 ，则下列结论正确的是（ ） A若 l，l，则 B若 ，l，则 l C若 l，l，则 D若 ，l，则 l 【分析】由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设 m，且 ml
14、，由 l，则 m，则 ，得解 【解答】解：设 m，且 ml， 由 l，则 m， 由面面垂直的判定定理可得：， 即选项 A 正确， 故选：A 【点评】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题 第 8 页（共 24 页） 6 （5 分）在某项测量中，测得变量 N（1，2） （0） 若 在（0，2）内取值的概 率为 0.8，则 在（1，2）内取值的概率为（ ） A0.2 B0.1 C0.8 D0.4 【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得答案 【解答】解：变量 N（1，2） ，则对称轴为 X1， 在（0，2）内取值的概率为 0.8， 在（1，2）内取值的概率为 故选：D 【点评】本题考查正
15、态分布的对称性，是基础的计算题 7 （5 分）一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示若该三棱 柱的外接球的表面积为 124，则侧视图中的 x 的值为（ ） A B9 C3 D3 【分析】求出球的半径，然后通过棱柱的高，转化求解棱柱的底面边长即可 【解答】解：一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为 124， 4r2124，可得球的半径 r 为： 棱锥的底面三角形的高为：x， 可得（）2+2231， 解得 x 故选：A 第 9 页（共 24 页） 【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断球的球心的位置是解题的 关键 8 （5 分）已知直线 y
16、kx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF 的面积为 4a2，则双曲线的离心率 为（ ） A B C2 D 【分析】根据以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，得到以 AB 为直径的圆的方 程为 x2+y2c2，根据三角形的面积求出 B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可 【解答】解：以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F， 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2c2， 由对称性知ABF 的面积 S2SOBF2hch4a2， 即 h，即 B 点的纵坐标为 y， 则由 x2+（）2c2，得 x2c2（）2c2， B 在双曲线
17、上， 则1， 即1， 即（1+）1， 第 10 页（共 24 页） 即1， 即1， 即1， 得 16a4（c2a2）2， 即 4a2c2a2，得 5a2c2，得 ca， 则离心率 e， 方法 2：设双曲线的左焦点为 F，由图象的对称性得，圆 O 经过点 F， 且|BF|AF|， 设|BF|AF|m，|BF|n， BFAF SABFmn4a2，m2+n24c2， 则 mn8a2， |BF|BF|2a， mn2a 则 m22mn+n24a2， 4c216a24a2， 即 c25a2， 则 ca， 第 11 页（共 24 页） 即离心率 e， 故选：D 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条
18、件求出 B 的坐标，代入双曲线方程 是解决本题的关键考查学生的运算能力，运算量较大 9 （5 分）已知 M（4，0） ，N （0，4） ，点 P（x，y）的坐标 x，y 满足， 则的最小值为（ ） A B C D 【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即 A（2，2）到直线 3x+4y 120 的距离的平方求得答案 【解答】解：由点 P（x，y）的坐标 x，y 满足作出可行域如图，则 （x+2）2+（y2）28 的几何意义为 A（2，2） 到直线 3x+4y120 的距离的平方再减 8 由 d，可得（x2）2+（y2）28 最小值为： 故选：C 第 12 页（共 24 页） 【点评】本
19、题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思 想方法，是中档题 10 （5 分）已知 f（x）（sin）x，（0，） ，设，bf（log43） ，c f（log165） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acab Bacb Cbac Dcba 【分析】根据题意，分析可得 f（x）（sin）x为减函数，由对数的运算性质分析可得 log165log2log43，结合函数的单调性分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）（sin）x，（0，） ，则 0sin1，则函数 f（x） （sin）x为减函数， 又由log2log4log167，log43log169，则有 log
20、165log2log43， 则 cab， 故选：A 【点评】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及指数函数的性质，注意分析函数 f （x）（sin）x，的单调性，属于基础题 11 （5 分）已知直线 l：y2xm（m0）与圆 C：x2+y22x2y230，直线 l 与圆 C 相交于不同两点 M，N若|，则 m 的取值范围是（ ） A，5） B2，53） C （ 5，5） D （，2） 【分析】取 MN 的中点 P 后，将不等式化为 5|225，然后用点到直线的距离公式 求出|代入不等式解得 【解答】解：取 MN 的中点 P，则 2|（+）|2|2|4|， |4|216|24|PN|216|22
21、5|24|2， 第 13 页（共 24 页） 5|225，5（）225， 解得 2m3 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 12 （5 分）函数 f（x）sin（2x+）+cos2x，若 f（x）最大值为 G（） ，最小值为 g（） ， 则（ ） A0R，使 G（0）+g（0） B0R，使 G（0）g（0） C0R，使|G（0） g（0）| D0R，使 【分析】 由三角函数的辅助角公式得： f （x） sin （2x+） +cos2xcossin2x+ （sin） cos2xsin（2x+）+，所以 G（），g（） ，由方程有解问题，分别求四个选项的值域判断即可得解 【解
22、答】 解： f （x） sin （2x+） +cos2xcossin2x+ （sin） cos2xsin （2x+）+， 所以 G（），g（）， 对于选项 A，G（0）+g（0）1，显然不满足 题意，即 A 错误， 第 14 页（共 24 页） 对于选项 B， G （0） g （0） +21， 3，显然不满足题意，即 B 错误， 对于选项 C，G（0） g（0）（） （）1+sin0， 2，显然不满足题意，即 C 错误， 对于选项 D，|2，+） ， 即0R，使，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及方程有解问题，属难度较大的题型 二、填空题：本大题共二、填空题：本
23、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）展开式的常数项是 8 【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式的常数项 【解答】解：（x22） （+1）的展开式的常 数项为10+28， 故答案为：8 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它 分数都要写成若干个单分数和的形式例如，可以这样理解：假定有两个面 包，要平均分给 5 个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成 5 份，每人得 ，这样每人分得+形如（n2，3，4，）的分
24、数的分解： ，按此规律， + （n 2，3，4，） 【分析】由前面有限项规律可归纳推理出：+，即可求出 第 15 页（共 24 页） 【解答】解：由+， + +， 故+， 故答案为：+ 【点评】本题考查了归纳推理能力及分式的运算，属简单题 15 （5 分）如图所示，平面 BCC1B1平面 ABC，ABC120，四边形 BCC1B1为正方 形，且 ABBC2，则异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 【分析】以 B 为原点，BC 为 x 轴，在平面 ABC 内过 B 作 BC 的垂线为 y 轴，以 BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值
25、 【解答】解：平面 BCC1B1平面 ABC，ABC120，四边形 BCC1B1为正方形，且 ABBC2， 以 B 为原点，BC 为 x 轴，在平面 ABC 内过 B 作 BC 的垂线为 y 轴，以 BB1为 z 轴，建立 空间直角坐标系， 则 B（0，0，0） ，C1（2，0，2） ，A（1，0） ，C（2，0，0） ， （2，0，2） ，（3，0） ， 设异面直线 BC1与 AC 所成角为 ， 则 cos 异面直线 BC1与 AC 所成角的余弦值为 故答案为： 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考
26、查运算求解能力，是中档题 16 （5 分）已知抛物线 C：y2x 上一点 M （1，1） ，点 A，B 是抛物线 C 上的两动点， 且 0，则点 M 到直线 AB 的距离的最大值是 【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立，利用0，结合韦达定理，即可证 明直线 AB 过定点，并可求出定点的坐标，再由当 MC 垂直于直线 AB 时，点 M 到直线 AB 距离取得最大值，求出即可 【解答】解：设直线 AB 的方程为设 A（y12，y1） ，B（y22，y2） ， 设直线方程为 xmy+n，将直线方程代入抛物线方程，消 x 得 y2myn0， 由0，得 m2+4n0，y1+y2m，y1y2n，
27、M （1，1） ， （y121） （y221）+（y1+1） （y2+1）0， （y1+1） （y2+1）（y11） （y21）+10， （y1+1） （y2+1）0 或（y11） （y21）+10， y1y2+y1+y2+10 或 y1y2y1y2+20 mn+10 或 m+n2， 0 恒成立，nm+2， 直线 AB 的方程为 x2m（y1） ， 直线 AB 过定点 C（2，1） ， 当 MC 垂直于直线 AB 时，点 M 到直线 AB 距离取得最大值，且为 故答案为： 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题解决的巧妙之处在于直线方程的设 法当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线
28、方程为 xmy+n 的形式，同时 第 17 页（共 24 页） 考查点到直线的距离的最值的求法，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2bc）cosAacosC （）求角 A； （）若 a，ABC 的面积为 3，求ABC
29、的周长 【分析】 （） （2bc）cosAacosC，由正弦定理得： （2sinBsinC）cosAsinAcosC， 再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得 cosA，结合范围 A（0，） 解得 A （）利用余弦定理，三角形的面积公式可求 b+c 的值，即可计算得解三角形的周长 【解答】解： （）在三角形 ABC 中，（2bc）cosAacosC， 由正弦定理得： （2sinBsinC）cosAsinAcosC， 可得：2sinBcosAsinCcosA+sinAcosCsin（A+C）sinB， sinB0， 解得：cosA A（0，） 可得：A （）A，a， 由余弦定理：a2b2
30、+c22bccosA，可得：13b2+c2bc（b+c）23bc， 又ABC 的面积为 3bcsinAbc，解得：bc12， 13（b+c）236，解得：b+c7， ABC 的周长 a+b+c7+ 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化 思想，考查了计算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，AB1，CD3，AP2，DP2， PAD60，AB平面 PAD，点 M 在棱 PC 上 （）求证：平面 PAB平面 PCD； 第 18 页（共 24 页） （）若直线 PA平面 MBD，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正
31、弦值 【分析】 （）推导出 ABDP，DPAP，从而 DP平面 PAB，由此能证明平面 PAB 平面 PCD （）以 A 为原点，在平面 APD 中过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AB 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值 【解答】证明： （）AB平面 PAD，ABDP， DP2，AP2，PAD60， 由，可得 sin，PDA30， APD90，DPAP， ABAPA，DP平面 PAB， DP平面 PCD，平面 PAB平面 PCD 解： （）以 A 为原点，在平面 APD 中过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD
32、为 y 轴，AB 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，C（0，4，3） ，D（0，4，0） ，P（，1，0） ，B（0，0，1） ， 连结 AC，与 BD 交于点 N，连结 MN， PA平面 MBD，MN 为平面 PAC 与平面 MBD 的交线， PAMN， 在四边形 ABCD 中，ABCD，ABNCDN， 3，PM， M（，） ， （，1，1） ，（0，4，1） ，（，） ， 第 19 页（共 24 页） 设平面 MBD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （，1，4） ， 设直线 BP 与平面 MBD 所成角为 ， 则 sin 直线 BP 与平面 MBD
33、 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想， 是中档题 19 （12 分）已知点 A，B 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） 三角形 ABM 的两条边 AM， BM 所在直线的斜率之积是 （）求点 M 的轨迹方程； （）设直线 AM 方程为 xmy2（m0） ，直线 l 方程为 x2，直线 AM 交 l 于 P，点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 MQ 与 x 轴相交于点 D若APD 面积为 2，求 m 的值 【分析】 （）设 M（x，y） ，由题意得 kAMk
34、BM（x2） ，由此能 求出点 M 的轨迹的方程 （）先求出点 Q 的坐标，再求出点 M 的坐标，求出直线 MQ 的方程，即可求出点 D 的坐标，可得|AD|，即可表示出面积，再根据APD 面积为 2，即可求出 m 的值 【解答】解： （）设 M（x，y） ，点 A，B 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） 由题意得：kAMkBM（x2） ， 第 20 页（共 24 页） 化简，得点 M 的轨迹的方程为+1， （x2） （） 直线 AM 的方程为 xmy2， （m0） ， 直线直线 l 方程为 x2， 联立可得点 P （2， ） ， Q（2，） ， 由消 x 可得（3m2+4）y212my0
35、，解得 y0 或 y， 由题设可得点 M（，） ， 可得直线 MQ 的方程为（+） （x2）（2） （y+）0， 令 y0，可得 x， 故 D（，0） ， |AD|2+， APD 面积 S2， 解得 m 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程、椭圆、三角形的面积公式等基 础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 20 （12 分）春节期间某商店出售某种海鲜礼盒，假设每天该礼盒的需求量在11，12， 30范围内等可能取值，该礼盒的进货量也在11，12，30范围内取值（每天进 1 次 货） ，商店每销售 1 盒礼盒可获利 50 元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理 1 盒
36、礼 盒亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售 1 盒礼盒可获利 30 元设该礼盒 每天的需求量为 x 盒，进货量为 a 盒，商店的日利润为 y 元， （）求商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式 第 21 页（共 24 页） （）试计算进货量 a 为多少时，商店日利润的期望值最大？并求出日利润期望值的最 大值 【分析】 （）根据题意分段求解得出当 11xa 时，y利润，当 ax30 时，y利润， （）期望利润是根据概率论中的期望求出，根据需求量的概率密度即可求出，即可得 到期望利润为 E（y）ydx，整理化简，结合二次函数的性质即可求出 【解答】解： （）当日需求量 xa
37、时，利润为 y50a+（xa）3030x+20a； 当需求量 xa 时，利润 y50x（ax）1060x10a 所以利润 y 与日需求量 x 的函数关系式为：y， （）因为需求量 x（x）， 所以期望利润为 E（y）ydx（60x10a）dx+（30x+20a）dx （30x210ax）|+（15x2+20ax）|）a2+a+， 其对称轴为 a23， 故当 a24 时，商店日利润的期望值最大，其最大值为 913.5 元 【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，数学期望在实际生活中的应用，考查了 分析问题，解决问题的能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exa（x2+x+1）
38、（）若 x0 是 f（x）的极大值点，求 a 的值； （）若 f（x）在（0，+）上只有一个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （）首先求得导函数，然后由 f （0）0 求得实数 a 的值，最后验证所得的 结果符合题意即可； （）令，原问题等价于 g（x）在（0，+）上只有一个零点，据此 分类讨论确定 a 的取值范围即可 【解答】解： （）f （x）eXa（2x+1） 因为 x0 是 f（x）的极大值点，所以 f （0）1a0，解得 a1 当 a1 时，f （x）eX（2x+1） ，f“ （x）ex2 第 22 页（共 24 页） 令 f （x）0，解得 xln2 当 x（，ln2）时，f“
39、（x）0，f （x）在（，ln2）上单调递减，又 f（0） 0， 所以当 x（，0）时，f（x）f（0）0，当 x（0，ln2）时，f（x）f（0） 0， 故 x0 是 f（x）的极大值点 （）令 ，f（x）在（0，+）上只有一个零点 当且仅当 g（x）在（0，+）上只有一个零点.， 当 x（0，1）时，g （x）0，g（x）单调递减； 当 x（1，+）时，g （x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）的最小值为 （1）当 g（x）的最小值为 g（1）0，即 时，g（x）在（0，+）上只有一个零 点， 即 f（x）在（0，+）上只有一个零点 （2）当 g（x）的最小值 g（1）0，即 时 取
40、 xn（nN，n18a1） ， 若 g（0）1a0，即 a1 时，g（x）在（0，1）和（1，n）上各有一个零点， 即 f（x）在（0，+）上有 2 个零点，不符合题意； 当 g（0）1a0 即 a1 时，g（x）只有在（1，+）上有一个零点， 即 f（x）在（0，+）上只有一个零点 综上得，当 时，f（x）在（0，+）上只有一个零点 【点评】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的零点，分类讨论的数 第 23 页（共 24 页） 学思想等知识，属于中等题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题
41、作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系中， 直线 l 的参数方程为（t 为参数， 0） 以 坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C的极坐标方程为 244cos 2sin （）写出曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的长度为 2，求直线 l 的普通方程 【分析】 （） 直接利用转换关系， 把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （）利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函 数的关系式，进一步
42、求出直线的方程 【解答】解： （）曲线 C 的极坐标方程为 244cos2sin 转换为直角坐标方程为： （x2）2+（y+1）29 （）把直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） 代入（x2）2+（y+1）29， 得到：t24tcos+2tsin40， （t1和 t2为 A、B 对应的参数） 故：t1+t24cos2sin，t1t24， 所以：|AB|t1t2|2， 解得：3cos24sincos， 所以：， 故直线的方程为：x0 或 yx 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应
43、用， 主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型 选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x+1|+|2x+m| （）当 m3 时，求不等式 f（x）6 的解集； 第 24 页（共 24 页） （）设关于 x 的不等式 f（x）|2x4|的解集为 M，且，求实数 m 的取 值范围 【分析】 （）代入 m 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （）问题转化为 x3m35x 在1，上恒成立，结合 x 的范围，求出 m 的范 围即可 【解答】解： （）当 m3 时，f（x）|x+1|+|2x3|， 原不等式等价于|x+1|+|2x3|6， 故或或， 解得：x1 或1x或x， 综上，原不等式的解集是x|x； （2）由题意知 f（x）|2x4|在1，上恒成立， 故 x+1+|2x+m|42x， 即|2x+m|33x 想1，上恒成立， 故 3x32x+m33x， 则 x3m35x 在1，上恒成立， 由于4x3，35x8， 故m， 即 m 的范围是， 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综 合题
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