1、若复数 z，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数为1i 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 a 的值为1，则输出的 S 的值是（ ） A B C D 4 （5 分）若变量 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值是（ ） A B1 C2 D 5 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（1+x）f（1x） ，若 f（1）9，则 f （2019）（ ） A9 B9 C3 D0 6 （5 分）已知直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 2 页（共
2、 25 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）若 sinx3sin（x） ，则 cosxcos（x+）（ ） A B C D 8 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线 图对这 7 天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：日成交量的 中位数是 16；日成交量超过日平均成交量的有 2 天；认购量与日期正相关；10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅则上述判断正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 9 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” 已知某“堑堵” 的三视图
3、如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（ ） A B C6 D8 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的零点构成一个公差为的等差数 列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g （x） ，下列说法正确的是（ ） 第 3 页（共 25 页） A在上是增函数 B其图象关于直线 x对称 C函数 g（x）是偶函数 D在区间上的值域为，2 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，实轴 长为 4，渐近线方程为 y，|MF1|MF2|4，点 N 在圆 x2+y24y0 上，则 |MN|+|MF1|的最小
4、值为（ ） A2 B5 C6 D7 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程 xlnx+（3a）x+a0 有唯一实数解， 则 a 所在的区间是（ ） A （3，4） B （4，5） C （5，6） D （6，7） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）某学校从编号依次为 01，02，90 的 90 个学生中用系统抽样（等间距抽样） 的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 14，23，则该样本中来自 第四组的学生的编号为 14 （5 分） （2x+y） （x2y）5的展开式中，x2y4
5、的系数为 （用数字作答） 15 （5 分）如图所示，在正方形 OABC 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率 为 16 （5 分）在ABC 中，记 3， ，若 ，则 sinA 的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤第骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据题为选考题，考生根据 要求作答要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 第 4 页（共 25 页） 17 （12 分
6、）等差数列an的公差为正数，a11，其前 n 项和为 Sn；数列bn为等比数列， b12，且 b2S212，b2+S310 （）求数列an与bn的通项公式； （）设 cnbn+，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面 ABCD， ABC60，AB，AD2，AP3 （）求证：平面 PCA平面 PCD； （） 设 E 为侧棱 PC 上的一点， 若直线 BE 与底面 ABCD 所成的角为 45， 求二面角 E ABD 的余弦值 19 （12 分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 100 人的体重
7、 数据， 结果这 100 人的体重全部介于 45 公斤到 75 公斤之间， 现将结果按如下方式分为 6 组：第一组45，50） ，第二组50，55） ，第六组70，75） ，得到如图（1）所示的频率 分布直方图，并发现这 100 人中，其体重低于 55 公斤的有 15 人，这 15 人体重数据的茎 叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率 （）求频率分布直方图中 a，b，c 的值； （）从全校学生中随机抽取 3 名学生，记 X 为体重在55，65）的人数，求 X 的概率分 布列和数学期望； （）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 近似服从正态分布 N（，2） ， 其中 60，225
8、若 P（2+2）0.9545，则认为该校学生的体重是 正常的试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且椭圆 C 过点 P（1， ） （）求椭圆 C 的方程； （）设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，与直线 x3 相交于点 B， 求证：AFB 的大小为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）xalnx+a1（aR） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 xea，+）时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22
9、、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐标为（1，0） ，直线 l 的参数方 程为（t 为参数） ； 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+b|（a0，b0）
10、 （）当 ab1 时，解不等式 f（x）x+2； 第 6 页（共 25 页） （）若 f（x）的值域为2，+） ，求1 第 7 页（共 25 页） 2019 年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|x22x30，Bx|yln（x1），则 AB（ ） A1，3 B （1，3 C2，3 D1，
11、+） 【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|yln（x1）x|x1， ABx|1x3（1，3 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）若复数 z，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz 的共轭复数为1i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【解答】解：z， z 的虚部为1，|z|，z2（1i）22i 为纯虚数，z 的共轭复数为 1+i 正确的选项为 C 故选：C 【点评】本题
12、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 a 的值为1，则输出的 S 的值是（ ） 第 8 页（共 25 页） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a1，S0，k1 满足条件 k5，执行循环体，S1，a1，k2 满足条件 k5，执行循环体，S，a3，k3 满足条件 k5，执行循环体，S，a5，k4 满足条件 k5，执行循环体，S，a7，k5 此时，不满足条件 k5，退出循环，
13、输出 S 的值为 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 4 （5 分）若变量 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值是（ ） A B1 C2 D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的 第 9 页（共 25 页） 距离，求解即可 【解答】解：由变量 x，y 满足作出可行域如图， 化 z2x+y 为 2x+yz0， 由图可知，当直线 y2x+z 与圆相切于 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大，此时z 故选：D 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，
14、是中档题 5 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（1+x）f（1x） ，若 f（1）9，则 f （2019）（ ） A9 B9 C3 D0 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可 f（x）f（x） ，将 f（1+x）f（1x）变形 可得 f（x）f（2+x） ，综合分析可得 f（x+2）f（x） ，则有 f（x+4）f（x+2） f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，据此可得 f（2019）f（1+5054） f（1）f（1） ，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则 f（x）f（x） ， 又由 f（1+x）f（1x） ，
15、则 f（x）f（2+x） ， 则有 f（x+2）f（x） ，变形可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期 为 4 的周期函数， 则 f（2019）f（1+5054）f（1）f（1）9； 故选：A 【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的周期性，关键是分析函数 f（x）的周期 性 第 10 页（共 25 页） 6 （5 分）已知直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行的判定与性质定理可得：直线 m，n 和平面 ，n，则“mn” 与“m”相互推不出即可判断出关系 【
16、解答】解：直线 m，n 和平面 ，n，则“mn”与“m”相互推不出 “mn”是“m”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 7 （5 分）若 sinx3sin（x） ，则 cosxcos（x+）（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果 【解答】解：sinx3sin（x）3cosx， 解得：tanx3， 所以：cosxcos（x+）sinxcosx， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的 应用，主要考
17、查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 8 （5 分）如图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线 图对这 7 天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：日成交量的 中位数是 16；日成交量超过日平均成交量的有 2 天；认购量与日期正相关；10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅则上述判断正确的个数为（ ） 第 11 页（共 25 页） A0 B1 C2 D3 【分析】先结合图象，再根据频率分布折线图逐一检验即可 【解答】解：对于日成交量的中位数是 26，故错误， 对于因为日平均成交量为，日成交量超过日平均成 交量的只有 10
18、 月 7 日 1 天，故错误， 对于认购量与日期不是正相关，故错误， 对于10 月 7 日认购量的增幅为 164 套，10 月 7 日成交量的增幅为 128 套，即 10 月 7 日认购量的增幅大于 10 月 7 日成交量的增幅故正确， 综合得： 正确个数为 1， 故选：B 【点评】本题考查了识图能力及频率分布折线图，属中档题 9 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” 已知某“堑堵” 的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（ ） A B C6 D8 第 12 页（共 25 页） 【分析】首项被几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求
19、出体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为， 高为 2 的直三棱柱，故外接球的半径 R， 满足， 解得：R， 所以：V 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 10 （5 分）已知函数 f（x）sinx+cosx（0）的零点构成一个公差为的等差数 列，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象关于函数 g （x） ，下列说法正确的是（ ） A在上是增函数 B其图象关于直线 x对称 C函数 g（x）是偶函数 D在区间上的值域为，2 【分析
20、】由三角函数图象的平移得：g（x）2sin2（x）+2sin2x， 由三角函数图象的性质得：yg（x）是在，为减函数，其图象关于直线 x （kZ）对称的奇函数， 由三角函数的值域得：当 x时，2x，函数 g（x）值域为 ，2，得解 【解答】解：f（x）sinx+cosx2sin（x+） ， 由函数 f（x）的零点构成一个公差为的等差数列， 则周期 T，即 2， 第 13 页（共 25 页） 即 f（x）2sin（2x+） ， 把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）2sin2（x）+2sin2x， 易得：yg（x）是在，为减函数，其图象关于直线
21、x（kZ）对称 的奇函数， 故选项 A，B，C 错误， 当 x时，2x，函数 g（x）的值域为，2， 故选项 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属 中档题 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，实轴 长为 4，渐近线方程为 y，|MF1|MF2|4，点 N 在圆 x2+y24y0 上，则 |MN|+|MF1|的最小值为（ ） A2 B5 C6 D7 【分析】求得双曲线的 a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三 点共线取得最小值，连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N，计算
22、可得所求最小值 【解答】解：由题意可得 2a4，即 a2， 渐近线方程为 yx，即有， 即 b1，可得双曲线方程为y21， 焦点为 F1（，0） ，F2， （，0） ， 由双曲线的定义可得|MF1|2a+|MF2|4+|MF2|， 由圆 x2+y24y0 可得圆心 C（0，2） ，半径 r2， |MN|+|MF1|4+|MN|+|MF2|， 连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N， 可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|3， 第 14 页（共 25 页） 则则|MN|+|MF1|的最小值为 4+325 故选：B 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点
23、共线取 得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程 xlnx+（3a）x+a0 有唯一实数解， 则 a 所在的区间是（ ） A （3，4） B （4，5） C （5，6） D （6，7） 【分析】把方程 xlnx+（3a）x+a0 有唯一实数解转化为有唯一解，令 f （x）（x1） ，利用导数研究其最小值所在区间得答案 【解答】解：由 xlnx+（3a）x+a0，得， 令 f（x）（x1） ，则 f（x） 令 g（x）xlnx4，则 g（x）10， g（x）在（1，+）上为增函数， g（5）1ln50，g（6）2ln60， 存在唯一
24、 x0（5，6） ，使得 g（x0）0， 当 x（1，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x）0 则 f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增 f（x）minf（x0） x0lnx040， 第 15 页（共 25 页） 则（5，6） a 所在的区间是（5，6） 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思 想方法，属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）某学校从编号依次为 01，02，90 的 90 个学生中用系统抽样（等间距抽样） 的
25、方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 14，23，则该样本中来自 第四组的学生的编号为 32 【分析】根据条件求出样本间隔，即可得到结论 【解答】解：样本间隔为 23149，则第四个编号为 14+2914+1832， 故答案为：32 【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键比较基础 14 （5 分） （2x+y） （x2y）5的展开式中，x2y4的系数为 80 （用数字作答） 【分析】把（x2y）5按照二项式定理展开，可得（2x+y） （x2y）5的展开式中，x2y4 的系数 【解答】解：（2x+y） （x2y）5（2x+y） （x510x4y+40x3
26、y280x2y3+80xy432y5） ， x2y4的系数为 2808080， 故答案为：80 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 15 （5 分）如图所示，在正方形 OABC 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为 第 16 页（共 25 页） 【分析】结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求 解 【解答】解：正方形的面积为 e2， 由lnxdx（xlnxx）| 1， 由lnydy1， 故 S阴影2， 故此点取自黑色部分的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键
27、是正确计算出 阴影部分的面积 16 （5 分）在ABC 中，记 3， ，若 ，则 sinA 的最大值为 【分析】 把给定的 ， 用基础向量，来表示， 借助余弦定理和基本不等式求出 cosA 的最小值，从而得 sinA 的最大值 【解答】解：在ABC 中，记 334， ， ， 5+40 cosA， 当且仅当时取到等号又因为 sin2A+cos2A1， 所以 sinA 的最大值为 故答案为 【点评】本题考查向量的拆分，余弦定理，基本不等式的应用属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证
28、明过程或演算步 骤第骤第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个试题考生都必须作答第试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据题为选考题，考生根据 要求作答要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）等差数列an的公差为正数，a11，其前 n 项和为 Sn；数列bn为等比数列， 第 17 页（共 25 页） b12，且 b2S212，b2+S310 （）求数列an与bn的通项公式； （）设 cnbn+，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）等差数列an的公差 d 为正数，数列bn为等比数列，设公比为 q，运用 等差数列和等比数列的通项公式和求和公
29、式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通 项公式； （）求得 cnbn+2n+2n+2（） ，数列的分组求和和裂项相消求 和，化简整理即可得到所求和 【解答】解： （）等差数列an的公差 d 为正数，a11， 数列bn为等比数列，设公比为 q， b12，且 b2S212，b2+S310， 可得 2q（2+d）12，2q+3+3d10， 解得 q2，d1， 则 an1+n1n，bn2n； （）cnbn+2n+2n+2（） ， 则前 n 项和 Tn（2+4+2n）+2（1+） +2（1） 2n+1 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组 求和和裂项相消求和，考
30、查化简整理的运算能力，属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面 ABCD， ABC60，AB，AD2，AP3 （）求证：平面 PCA平面 PCD； （） 设 E 为侧棱 PC 上的一点， 若直线 BE 与底面 ABCD 所成的角为 45， 求二面角 E ABD 的余弦值 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （）推导出 CDAC，PACD，从而 CD平面 PCA，由此能证明平面 PCA 平面 PCD （）以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出二面角 EABD 的余弦值 【
31、解答】证明： （）在平行四边形 ABCD 中，ADC60，CD，AD2， 由余弦定理得 AC2AD2+CD22ADCDcosADC12+32 9， AC2+CD2AD2，ACD90，CDAC， PA底面 ABCD，CD底面 ABCD，PACD， 又 ACCDC，CD平面 PCA， 又 CD平面 PCD，平面 PCA平面 PCD 解： （）E 为侧棱 PC 上的一点，若直线 BE 与底面 ABCD 所成的角为 45， 如图，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（，0，0） ，C（0，3，0） ，D（，3，0） ，P（0，0
32、，3） ， 设 E（x，y，z） ， （01） ，则（x，y，z3）（0，3，3） ， E（0，3，33） ， 平面 ABCD 的一个法向量 （0，0，1） ， sin45|cos|， 解得 ， 点 E 的坐标为（0，1，2） ，（0，1，2） ，（） ， 设平面 EAB 的法向量 （x，y，z） ， 第 19 页（共 25 页） 则，取 z1，得 （0，2，1） ， 设二面角 EABD 的平面角为 ， 则 cos， 二面角 EABD 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是
33、中档题 19 （12 分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 100 人的体重 数据， 结果这 100 人的体重全部介于 45 公斤到 75 公斤之间， 现将结果按如下方式分为 6 组：第一组45，50） ，第二组50，55） ，第六组70，75） ，得到如图（1）所示的频率 分布直方图，并发现这 100 人中，其体重低于 55 公斤的有 15 人，这 15 人体重数据的茎 叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率 （）求频率分布直方图中 a，b，c 的值； （）从全校学生中随机抽取 3 名学生，记 X 为体重在55，65）的人数，求 X 的概率分 布列和数学期望；
34、 （）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重 近似服从正态分布 N（，2） ， 其中 60，225若 P（2+2）0.9545，则认为该校学生的体重是 正常的试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （）由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值， 再计算 a、b、c 的值； （）用由题意知随机变量 X 服从二项分布 B（3，0.7） ，计算对应的概率值，写出分布 列，求出数学期望值； （）由题意知 服从正态分布 N（60，25） ，计算 P（2+2）的值，再判 断学生的体重是否正常 【解答】解： （）由图（2）知，100 名样本中
35、体重低于 50 公斤的有 2 人， 用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于 50 公斤的概率为0.02； 所以 a0.004； 在50，55上有 13 人，该组的频率为 0.13， 则 b0.026， 所以 2c0.14， 即 c0.07； （）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取 1 人，体重在55，65） 的概率为 0.07100.7， 随机抽取 3 人，相当于 3 次独立重复实验，随机变量 X 服从二项分布 B（3，0.7） ， 则 P（X0）0.700.330.027， P（X1）0.70.320.189， P（X2）0.720.30.441， 第 21 页（共 25
36、 页） P（X3）0.730.300.343； 所以 X 的概率分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望为 E（X）30.72.1； （）由题意知 服从正态分布 N（60，25） ，其中5； 则 P（2+2）P（5070）0.960.9545， 所以可以认为该校学生的体重是正常的 【点评】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了概率分布与数学期 望的计算问题，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且椭圆 C 过点 P（1， ） （）求椭圆 C 的方程； （）设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 l 与椭圆
37、C 相切于点 A，与直线 x3 相交于点 B， 求证：AFB 的大小为定值 【分析】 （）由题意可知，解得 a23，b22，即可求出椭圆 C 的方程， （）显然直线 l 的斜率存在，设 l：ykx+m，联立，根据直线 l 与椭圆相 切，利用判别式可得 m23k2+2，求出点 A，B 的坐标，根据向量的运算可得可得 0，即AFB90，故AFB 的大小为定值 【解答】解： （）由题意可知，解得 a23，b22，c21， 第 22 页（共 25 页） 椭圆 C 的方程为+1 证明（）显然直线 l 的斜率存在， 设 l：ykx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m260 36k2m212（3
38、k2+2） （m22）0，得 m23k2+2， 设 A（x1，y1） ， 则 x1， y1kx1+m+m， A（，） ， 点 B 为（3，3k+m） ，右焦点 F（1，0） ， （1，） ，（2，3k+m） ， 2+20， AFB90，即AFB 的大小为定值 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档 题 21 （12 分）已知函数 f（x）xalnx+a1（aR） （）讨论 f（x）的单调性； （）若 xea，+）时，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）通过讨论 a 的
39、范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定 a 的范围即 可 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）1， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增， 当 a0 时，由 f（x）0，解得：xa， 故 f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增， 第 23 页（共 25 页） 综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）递增， 当 a0 时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增； （）当 a0 时，x1，f（x）x10 恒成立， 故 a0 符合题意， 当 a0 时，ea0，f（1）a0，故 f（x）0 不恒成立，舍， 当 a0 时，由（）知 f（x）在
40、（0，a）递减，在（a，+）递增， 下面先证明：eaa（a0） ， 设 p（a）eaa，p（a）ea10， p（a）在（0，+）递增，p（a）p（0）10，故 eaa， 故 f（x）在ea，+）递增， 故 f（x）minf（ea）eaa2+a1， 设 q（a）eaa2+a1（a0） ，则 q（a）ea2a+1，q（a）ea2， 由 q（a）0，解得：aln2，由 q（a）0，解得：0aln2， 故 q（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+）递增， 故 q（a）q（ln2）32ln20， 故 q（a）在（0，+）递增， 故 q（a）q（0）0，故 f（x）min0， 故 f（x）0 恒成立，
41、 故 a0 符合题意， 综上，a 的范围是0，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐标为（1，0） ，直线 l 的参数方 程为（t 为参数） ； 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 si
42、n22cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 第 24 页（共 25 页） （）直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求的值 【分析】 （）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ； 转换为直角坐标方程为：xy10， 曲线 C 的极坐标方程为 sin22cos 转换为直角坐标方程为：y22x （）将直线 l 的参数方程为（t 为参数） ；代入 y22x， 得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数） 所以：，t1t24， 则：1 【点评】
43、本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+b|（a0，b0） （）当 ab1 时，解不等式 f（x）x+2； （）若 f（x）的值域为2，+） ，求1 【分析】 （）代入 a，b 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （）求出 a+b2，根据绝对值不等式的性质证明即可 【解答】解： （）当 ab1 时，f（x）|x1|+|x+1|x+2， （i）当 x1 时，不等式可化为：2xx+2，即 x，故 x1， （ii）当1x1 时，不等式可化为：2x+2，即 x0，故1x0， （iii）当 x1 时，不等式可化为 2xx+2，即 x2，故 x2， 第 25 页（共 25 页） 综上，不等式的解集是x|x2 或 x0； （）证明 f（x）|xa|+|x+b|a+b|， f（x）的值域是2，+） ， 故 a+b2， 故 a+1+b+14， 故 （+） （2+） 当且仅当，即 ab1 时取“” ， 即1 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想， 转化思想，是一道中档题
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