1、若集合 Ax|2x0，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A2，1 B2，0 C1，0 D2，1，0 2 （5 分）若复数（2i） （a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A3 B C D3 3 （5 分）某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两 个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成 绩的中位数为 73，则 xy 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 4（5 分） 从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线， 垂足为 M， 从且|PM| 4，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF
2、 的斜率为（ ） A B C D2 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范 围是（ ） 第 2 页（共 24 页） A9a10 B9a10 C10a11 D8a9 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值是（ ） A0 B1 C5 D6 7 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” 已知某“堑堵” 的三视图如图所示， 俯视图中间的实线平分矩形的面积， 则该 “堑堵” 的表面积为 （ ） A4+2 B2 C4+4 D6+4 8 （5 分）等比数列an的首项 a14，前 n 项和
3、为 Sn，若 S69S3，则数列log2an的前 10 项和为（ ） A65 B75 C90 D110 9 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，为 了得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 10 （5 分）已知函数等于（ ） A2 Blog26 Clog27 D3 11 （5 分）设 alog36，blog520，则 log215（ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 12 （5 分）若函数 f（x）恰有三个极值点，则 m 的取值范围是 （ ） A （
4、） B （，0） C （1，） D （1，） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 已知在ABC 和点 M 满足 ， 若存在实数 m 使得成 立，则 m 14 （5 分）若数列an满足：a11，an+12Sn，则 a4+a5+a6 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为 16，AB1，若ABC 外接圆 的圆心 O1在 AC 上，半径 r11，则直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 16 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F，A，B 分别是 C 的左、 右顶点，P 为 C 上一点，且 PFx 轴
5、，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交 于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若（O 为坐标原点） ，则双曲线 C 的离心率 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答第必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第题第 23 题为选考题考生根据要求作答题为选考题考生根据要求作答 17 （12 分）已知函数cos2x （1）求函数 f（x）的单调递减区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a，
6、D 为边 AB 上一点， CD2，AD，ADC 为锐角，且 f（B）0，求 b 的值 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E、F 分别为 A1C1和 BC 的中点 （1）求证：平面 ABE平面 B1BCC1； （2）求证：C1F平面 ABE 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从 实验班中随机抽取 30 次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂测试成 绩如下（满分为 100 分） ： （1）把学生甲的成绩按30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，
7、70） ，70，80） ，80，90 分成 6 组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）为更好的分析学生甲存在的问题，从随堂测试成绩 50 分以下（不包括 50 分）的试 卷中随机抽取 3 份进行分析，求恰有 2 份成绩在30，40）内的概率 20（12 分） 已知椭圆的离心率， 且经过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（2，0）且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，过右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N，设， 的取值范围 21 （12 分）已知 m0，函数 f（x）exmx，直线 l：
8、ym （1）讨论 f（x）的图象与直线 l 的交点个数； （2）若函数 f（x）的图象与直线 l：ym 相交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点（x1 x2） ，证明： 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 24 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 曲线 C 的方程为 x22x+y20以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1
9、）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程； （2）直线与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，求AOB 面积 的最大值 23已知函数 f（x）|x+1|m|x2|（mR） （1）当 m3 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）当 x1，2时，不等式 f（x）2x+1 恒成立，求 m 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019 年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只分在
10、每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要有一项是符合题目要求的求的 1 （5 分）若集合 Ax|2x0，B2，1，0，1，2，则 AB（ ） A2，1 B2，0 C1，0 D2，1，0 【分析】直接利用交集运算得答案 【解答】解：集合 A 表示2 到 0 的所有实数， 集合 B 表示 5 个整数的集合， AB1，0， 故选：C 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题 2 （5 分）若复数（2i） （a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数 a（ ） A3 B C D3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部的和为 0 求解 【解答】解：（2i） （a+i）（2a+1）+
11、（2a）i 的实部与虚部互为相反数， 2a+1+2a0，即 a3 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两 个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成 绩的中位数为 73，则 xy 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出 x、y 的值 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲班 5 名同学成绩的平均数为 （72+77+80+x+86+90
12、）81，解得 x0； 又乙班 5 名同学的中位数为 73，则 y3； xy033 故选：D 【点评】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题 4（5 分） 从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线， 垂足为 M， 从且|PM| 4，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为（ ） A B C D2 【分析】先设处 P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得 P 点横坐标，代入抛 物线方程求得 P 的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案 【解答】解：设 P（x0，y0） ， 依题意可知抛物线准线 x1， x0413，y02， P（3，2） ，F（1，0） 直线
13、PF 的斜率为 k， 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的 定义 5 （5 分）如图是一个算法流程图，若输入 n 的值是 13，输出 S 的值是 46，则 a 的取值范 围是（ ） 第 8 页（共 24 页） A9a10 B9a10 C10a11 D8a9 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：依次运行流程图，结果如下： n13，S0 满足判断框内的条件 na，S13，n12 满足判断框内的条件 na，S25，n11 满足判断框
14、内的条件 na，S36，n10 满足判断框内的条件 na，S46，n9 此时，不满足判断框内的条件 na，退出循环， 所以 a 的取值范围是 9a10 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值是（ ） A0 B1 C5 D6 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 第 9 页（共 24 页） 由 zx+2y，得 yx+z， 平移直线 yx+z，由图象可知当直线， yx+
15、z 经过点 A 时， 直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大 由，得 A（0，3） ， 此时 z 的最大值为 z0+236， 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 7 （5 分） 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” 已知某“堑堵” 的三视图如图所示， 俯视图中间的实线平分矩形的面积， 则该 “堑堵” 的表面积为 （ ） A4+2 B2 C4+4 D6+4 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的 长度，由面积公式求出几何体的表面积 【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱
16、柱 ABCABC， 第 10 页（共 24 页） 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是 2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2， 几何体的表面积 S2+22+26+4， 故选：D 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键， 考查空间想象能力 8 （5 分）等比数列an的首项 a14，前 n 项和为 Sn，若 S69S3，则数列log2an的前 10 项和为（ ） A65 B75 C90 D110 【分析】设an公比为 q，运用等比数列的求和公式，解方程可得 q，求得数列log2an 是以 log2a12 为首项， 公差为 1 的等差数列， 由等差数列的
17、求和公式， 计算可得所求和 【解答】解：设an公比为 q，由 S69S3，知 q1， 且，即 1q69（1q3） ，即 1+q39， 所以 q2，an42n 12n+1， 数列log2an是以 log2a12 为首项， 公差为的等差数列， 于是数列log2an的前 10 项和为：， 故选：A 【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和 运算能力，属于中档题 9 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示，为 了得到 ysin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 第 11 页（共 24
18、页） C向左平移个单位 D向左平移个单位 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的 f（x）的解析式再根据函数 yAsin（x+）的图象的变换规律，可得结论 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） ，的图象可得 A1，T2，2 再由五点法作图可得 2+0， 故函数的 f（x）的解析式为 f（x）sin（2x+）sin2（x+） 故把 f（x）sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得 g（x）sin2x 的图象， 故选：B 【点评】 本题主要考查由函数 yAsin （x+） 的部分图象求解析式， 函数 yAsin （x+） 的图象的变换规律，属于
19、中档题 10 （5 分）已知函数等于（ ） A2 Blog26 Clog27 D3 【分析】推导出 f（2019）f（4） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（2019）f（4）log242 故选：A 【点评】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 11 （5 分）设 alog36，blog520，则 log215（ ） A B C D 【分析】根据 alog36，blog520，则可求出，从而得出 ，通分即可得出答案 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：； ； ； ； 故选：D 【点评】考查对数的运算性质，对数的换底公式 12 （5
20、 分）若函数 f（x）恰有三个极值点，则 m 的取值范围是 （ ） A （） B （，0） C （1，） D （1，） 【分析】求出函数的导数，x0 时，问题转化为2m，当 x0 时，令 f（x） 0，得到 x0，求出 m 的范围即可 【解答】解：由题意知 f（x）， 当 x0 时，令 f（x）0， 可化为：2m， 令 g（x），则 g（x）， 则函数 g（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， g（x）的图象如图所示： 故 02m1 即m0 时， f（x）0 有 2 个不同的解， 当 x0 时，令 f（x）0，x0， 第 13 页（共 24 页） 解得：m， 综上，m（，） ， 故选：A
21、【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，数形结 合思想，是一道常规题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 已知在ABC 和点 M 满足 ， 若存在实数 m 使得成 立，则 m 3 【分析】确定点 M 为ABC 的重心，利用向量的加法法则，即可求得 m 的值 【解答】解：由点 M 满足，知点 M 为ABC 的重心， 设点 D 为底边 BC 的中点，则 m3 故答案为：3 【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加法法则，解题的关键是确定点 M 为ABC 的重心 14 （5 分）若数
22、列an满足：a11，an+12Sn，则 a4+a5+a6 234 【分析】根据题意，将 an+12Sn变形可得 Sn+1Sn2Sn，则有 Sn+13Sn，据此分析可 得数列Sn为首项为 1，公比为 3 的等比数列，可得 Sn13n 13n1，又由 a 4+a5+a6 S6S3，计算可得答案 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：根据题意，数列an满足：an+12Sn，即 Sn+1Sn2Sn， 则有 Sn+13Sn， 又由 S1a11，则数列Sn为首项为 1，公比为 3 的等比数列， 则 Sn13n 13n1， 则 a4+a5+a6S6S33532234； 故答案为：234 【点评】本题考查
23、数列的递推公式，注意分析数列Sn的性质，属于基础题 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为 16，AB1，若ABC 外接圆 的圆心 O1在 AC 上，半径 r11，则直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 3 【分析】由题意可得，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，由其外接球的表面 积求得侧棱长，代入体积公式得答案 【解答】解：如图，ABC 外接圆的圆心 O1在 AC 上， O1 为 AC 的中点，且ABC 是以ABC 为直角的直角三角形， 由半径 r11，得 AC2，又 AB1，BC 把直三棱柱 ABCA1B1C1补形为长方体，设 BB1x， 则其外接球的
24、半径 R 又直三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为 16， 4R216，即 R2 ，解得 x 直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 故答案为：3 【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 第 15 页（共 24 页） 16 （5 分）已知双曲线的左焦点为 F，A，B 分别是 C 的左、 右顶点，P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交 于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若（O 为坐标原点） ，则双曲线 C 的离心率 为 3 【分析】根据条件分别求出直线 AE 和 BN 的方程，求出 N，
25、E 的坐标，利用|OE|2|ON| 的关系建立方程进行求解即可 【解答】解：因为 PFx 轴，所以设 M（c，t） ， 则 A（a，0） ，B（a，0） ， AE 的斜率 k， 则 AE 的方程为 y（x+a） ，令 x0，则 y， 即 E（0，） ， BN 的斜率为，则 BN 的方程为 y（xa） ， 令 x0，则 y，即 N（0，） ， 因为|OE|2|ON|，所以 2|， 即 2（ca）c+a，即 c3a，则离心率 e3 故答案为：3 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点 N，E 的坐标 是解决本题的关键 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字
26、说明证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17 题第题第 21 题为题为 必考题，每必考题，每个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第 22 题第题第 23 题为选考题考生根据要求作答题为选考题考生根据要求作答 第 16 页（共 24 页） 17 （12 分）已知函数cos2x （1）求函数 f（x）的单调递减区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a，D 为边 AB 上一点， CD2，AD，ADC 为锐角，且 f（B）0，求 b 的值 【分析】 （1）直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数， 进一步求出函数
27、的单调区间 （2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果 【解答】解： （1）函数cos2x ， ， 令（kZ） ， 解得：（kZ） ， 所以函数的单调递减区间为：（kZ） （2）由于：f（B）0， 即：， 解得：B 当时， 在BCD 中， 由于ADC 为锐角， 则：， 所以：b2AD2+CD22ADCDcosADC， 第 17 页（共 24 页） 解得：b25 则：b 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应 用，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属 于基础题型 18 （12 分）如图，在三棱柱 A
28、BCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E、F 分别为 A1C1和 BC 的中点 （1）求证：平面 ABE平面 B1BCC1； （2）求证：C1F平面 ABE 【分析】 （1） 通过证明 AB平面 B1BCC1， 利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABE 平面 B1BCC1； （2）取 AC 的中点 G，连结 C1G、FG，通过证明平面 C1GF平面 EAB，利用平面与平 面平行的性质定理证明 C1F平面 ABE 【解答】证明： （1）BB1平面 ABC，AB平面 ABC， ABBB1 又 ABBC，BB1BCB， AB平面 B1BCC1 而 AB平面 ABE， 平面 ABE平面 B
29、1BCC1 （2）取 AC 的中点 G，连结 C1G、FG， F 为 BC 的中点， FGAB 又 E 为 A1C1的中点C1EAG，且 C1EAG 四边形 AEC1G 为平行四边形， AEC1G 平面 C1GF平面 EAB， 第 18 页（共 24 页） 而 C1F平面 C1GF， C1F平面 EAB 【点评】本题考查仔细与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的 性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力 19 （12 分）某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从 实验班中随机抽取 30 次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的 30 次随堂
30、测试成 绩如下（满分为 100 分） ： （1）把学生甲的成绩按30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90 分成 6 组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图； （2）为更好的分析学生甲存在的问题，从随堂测试成绩 50 分以下（不包括 50 分）的试 卷中随机抽取 3 份进行分析，求恰有 2 份成绩在30，40）内的概率 【分析】 （1）先作出频率分布表，由此能画出频率分布直方图 （2）成绩在30，40）内的有 3 个数据，记为 A，B，C，成绩在40，50）内的有 3 个数 据，记为 a，b，c，从30，40） ，40，50）共 6 个数据中任
31、意抽取 3 个，利用列举法能 求出恰有 2 份成绩在30，40）内的概率 【解答】解： （1）频率分布表为： 分组 频数累计 频率 30，40） 3 0.1 40，50） 3 0.1 50，60） 9 0.3 第 19 页（共 24 页） 60，70） 6 0.2 70，80） 6 0.2 80，90） 3 0.1 合计 30 1 画出频率分布直方图如下： （2）成绩在30，40）内的有 3 个数据，记为 A，B，C， 成绩在40，50）内的有 3 个数据，记为 a，b，c， 则从30，40） ，40，50）共 6 个数据中任意抽取 3 个，基本事件有 20 个，分别为： （A，B，C） ，
32、（A，B，a） ， （A，B，b） ， （A，B，c） ， （A，C，a） ， （A，C，b） ， （A，C， c） ， （B，C，a） ， （B，C，b） ， （B，C，c） ， （A，a，b） ， （A，a，c） ， （A，b，c） ， （B，a，b） ， （B，a，c） ， （B，b，c） ， （C，a，b） ， （C，a，c） ， （C，b，c） ， （a，b，c） ， 其中恰好有两份成绩在30，40）内共有 9 个， 恰有 2 份成绩在30，40）内的概率 P 【点评】本题考查频率分布表、频率分布图的作法，考查概率的求法，考查列举法等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 20（12
33、 分） 已知椭圆的离心率， 且经过点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P（2，0）且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A（x1，y1） ， 第 20 页（共 24 页） B（x2，y2） ，过右焦点 F 的直线 AF，BF 分别交椭圆 C 于点 M、N，设， 的取值范围 【分析】 （1）由题意可得，解得 a22，b21，即可求出椭圆方程， （2）设直线 l 的斜率为 k，A（x1，y2） ，B（x2，y2） ，M（x3，y3） ，则（1x1， y1） ，（x31，y3） ，分“两种情况，求出直线 AG 的方程，联立直线与椭圆的方程， 由根与系数的关系的分析可得 +
34、 范围，即可得答案 【解答】解： （1）由题意可得，解得 a22，b21，则椭圆方程为+y2 1， （2）设直线 l 的斜率为 k，A（x1，y2） ，B（x2，y2） ，M（x3，y3） ， 则（1x1，y1） ，（x31，y3） ， 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，由，可得y1ay3，则 ， 当 AM 与 x 轴不垂直时，直线 AM 的方程为 y（x1） ，即 x， 代入曲线 C 的方程又x12+y121，整理可得（32x1）y2+2y1（x11）y120， y1y3， 32x1， 当 AM 与 x 轴垂直时，A 点横坐标为 x11，1，显然 a32x 也成立， 32x， 同理
35、可得 32x， 第 21 页（共 24 页） 设直线 l 的方程为 yk（x+2） ， （k0） ，联立， 消去 y 整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k220， 由（8k2）24（2k2+1） （8k22）0，解得 0k2， 又 x1+x2， +32x1+32x262（x1+x2）14（6，10） 即 + 的取值范围是（6，10） 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据椭圆的性质， 求出椭圆的标准方程 21 （12 分）已知 m0，函数 f（x）exmx，直线 l：ym （1）讨论 f（x）的图象与直线 l 的交点个数； （2）若函数 f（x）的图象与直线 l
36、：ym 相交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点（x1 x2） ，证明： 【分析】 （1）根据函数与方程的关系，设 g（x）exmx+m，求函数的导数，研究函数 的单调性和极值，结合极值与 0 的关系进行判断即可 （2）构造函数 （x） ，求函数的导数，结合 f（x）与 l 的交点坐标，进行证明即可 【解答】解： （1）由題意，令 g（x）exmx+m， （m0） 则 g（x）exm， 令 g（x）0，解得 xlnm 所以 g（x）在（lnm，+）上单调递增， 令 g（x）0，解得 xlnm，所以 g（x）在（，lnm）上单调递减， 则当 xlnm 时，函数取得极小值，同时也是最小值
37、g（x）ming（lnm）mmlnm+mm（2lnm） 当 m（2lnm）0，即 0me2时，f（x）的图象与直线 l 无交点， 当 m（2lnm）0，即 me2时 f（x）的图象与直线 l 只有一个交点 当 m（2lnm）0，即 me2时 f（x）的图象与直线 l 有两个交点 综上所述，当 0me2时，f（x）的图象与直线 l 无交点； 第 22 页（共 24 页） me2时 f（x）的图象与直线 l 只有一个交点，me2时 f（x）的图象与直线 l 有两个交 点 （2）证明：令 （x）g（lnm+x）g（lnmx）mexme x2mx， （x0） （x）m（ex+e x2） ex+e x2
38、 2， （x）0，即 （x）在（0，+）上单调递增， （x）（0）0 x0 时，g（lnm+x）g（lnmx）恒成立， 又 0x1lnmx2， lnmx10， g（lnm+lnmx1）g（lnmlnm+x1） 即 g（2lnmx1）g（x1） ， 又 g（x1）g（x2） g（x2）g（2lnmx1） 2lnmx2lnm，x2lnm， yg（x）在（lnm，+）上单调递增， x22lnmx1即 x1+x22lnm 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单 调性和极值是解决本题的关键综合性较强，难度较大 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多
39、做，则按所做的第一题计分作答时请写清题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清 题号题号选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 曲线 C 的方程为 x22x+y20以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程； （2）直线与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，求AOB 面积 的最大值 第 23 页（共 24 页） 【分析】 （1）用代入法消去 t 可得直线 l 的普通方程；利用 xcos，ysin 代入可
40、得 曲线 C 的极坐标方程； （2）先求得 A（2，2） ，再利用 B 的极径求出三角形的面积，再求最值 【解答】解： （1）由 x2+t 得 t（x2）代入 y2+整理得 x+4 0， 直线 l 的普通方程为 x+40， 又，2cos22cos+2sin20， 2cos， 曲线 C 的极坐标方程为 2cos， （2）由得，A（2，2） ， 设 B（，） ，则 2cos， AOB 的面积 S|OA|OB|sinAOB|4sin（）| |4cossin（）|2cos（2+）+|， Smac2+ 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 23已知函数 f（x）|x+1|m|x2|（mR）
41、（1）当 m3 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）当 x1，2时，不等式 f（x）2x+1 恒成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （2）问题转化为 x+1m（2x）2x+1 恒成立，当 x1，2时，m1， 令 g（x）1，求出 g（x）的最大值，求出 m 的范围即可 【解答】解： （1）当 m3 时，f（x）|x+1|3|x2|， 由 f（x）1， 得或或， 解得：x2 或 2x3， 第 24 页（共 24 页） 故不等式的解集是（，3） ； （2）当 x1，2时，f（x）x+1m（2x） ， f（x）2x+1 恒成立， 即 x+1m（2x）2x+1 恒成立， 整理得： （2x）mx， 当 x2 时，02 成立， 当 x1，2时，m1， 令 g（x）1， 1x2， 02x3， ， 1， 故 g（x）max， 故 m 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常 规题
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