1、已知集合 Ax|x2x20，BxZ|x|2，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C1，2 D1，2 2 （5 分）复数（ai） （2i）的实部与虚部相等，其中 i 为虚数单位，则实数 a（ ） A3 B C D1 3 （5 分）设 mR，命题“存在 m0，使方程 x2+xm0 有实根”的否定是（ ） A任意 m0，使方程 x2+xm0 无实根 B任意 m0，使方程 x2+xm0 有实根 C存在 m0，使方程 x2+xm0 无实根 D存在 m0，使方程 x2+xm0 有实根 4 （5 分）的展开式中 x5的系数是10，则实数 m（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）函数 f（x）sin（
2、x+）在0，上为增函数，则 的值可以是（ ） A0 B C D 6 （5 分）若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为 60，则体积为（ ） A B C D 7 （5 分）2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日” ，某医院开展扶贫日“送医下乡”医 疗义诊活动， 现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中， 医生甲被指定分配到医院A， 医生乙只能分配到医院 A 或医院 B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两 名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 （ ） A18 种 B20 种 C22 种 D24 种 8（5 分） 在ABC 中， 若
3、， 则实数 （ ） A B C D 第 2 页（共 24 页） 二、多项选择题：本二、多项选择题：本题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 3 和， 则 p 的值可以是（ ） A2 B6 C4 D8 10 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 C
4、C1的中点，则下列说 法正确的是（ ） ABC1平面 AQP B平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 CA1D平面 AQP D异面直线 QP 与 A1C1所成的角为 60 11 （5 分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称 CPI） ，是度量居民生活消费品 和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水 平的变动情况如图为国家统计局于 2020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月 CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（ ） （注：同比，同比涨跌幅，环比 ，环比涨跌幅100%） A2019
5、年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 相等 B2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3% C2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长 D2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 持续下降 12 （5 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，对于任意 xR，都有 f（x+4）f（x）+f 第 3 页（共 24 页） （2）成立，当 x0，2）时，f（x）2x1，给出下列结论，其中正确的是（ ） Af（2）0 B点（4，0）是函数 yf（x）的图象的一个对称中心 C函数 yf（x）在6，2上单调递增 D函数 yf（x）在6
6、，6上有 3 个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）+在点（1，f（1） ）处的切线方程是 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，若，则 S7 15 （5 分）如图，A1，A2分别是双曲线 C：x2的左、右顶点，以实轴为直 径的半圆交其中一条渐近线于点 M，直线 MA2交另一条渐近线于点 N，若， 则 a ，若 F2为双曲线右焦点，则MF2O 的周长为 16 （5 分）某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满
7、意度评分 分组 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分70 分 70评分90 评分90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 第 4 页（共 24 页） 件发生的概率现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A： “高一家长的满意 度高于高二家长的满意度等级” ，则事件 A 发生的概率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题
8、，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）等差数列中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一 个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的a1，a2，a3组合，并求数列an的通项公式； （2）记（1）中您选择的an的前 n 项和为 Sn，判断是否存在正整数 k，使得 a1，ak，Sk+2 成等比数列，若有，请求出 k 的值；若没有，请说明理由 18 （12 分）如图，在ACB 中，ACB，CAB，AC2，
9、点 M 在线段 AB 上 （1）若 sinCMA，求 CM 的长； （2）点 N 是线段 CB 上一点，MN，且，求 BM+BN 的值 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAAB，PA6， AB8，PD10，N 为 PC 的中点，F 为棱 BC 上的一点 （1）证明：面 PAF面 ABCD； （2）当 F 为 BC 中点时，求二面角 ANFC 余弦值 20 （12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 第 5 页（共 24 页） 90 万亿元，实际增长了 242 倍多，综合国力大幅提升将年
10、份 1978，1988，1998，2008， 2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为 t；y 表示全国 GDP 总量，表中 zilnyi（i 1，2，3，4，5） ， （ti ）2 （ti ）（yi ） （ti ）（zi ） 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中 e2.718为自然对数的底 数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必 说明理由） ，并求出 y 关于 t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量 线 性 回 归 方 程中 斜
11、 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ： 参考数据： n 4 5 6 7 8 en的近似值 55 148 403 1097 2981 21 （12 分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为 F1， F2，点 B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时， （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 6 页（共 24 页） （2）若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 连接 AD 并延长交 C 于另一点 M，交 y 轴于点 N （i）求ODN 面积最大值； （ii）证明：直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 22 （
12、12 分）已知函数 （1）当 x1 时，不等式 f（x）0 恒成立，求 的最小值； （2）设数列，其前 n 项和为 Sn，证明： 第 7 页（共 24 页） 2020 年山东省淄博市高考数学一模试卷年山东省淄博市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x20，BxZ|x|2，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C1，2 D1，2 【分析】先
13、求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2x201，2， BxZ|x|22，1，0，1，2， AB1，2 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）复数（ai） （2i）的实部与虚部相等，其中 i 为虚数单位，则实数 a（ ） A3 B C D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得 a 值 【解答】解：（ai） （2i）（2a1）（a+2）i 的实部与虚部相等， 2a1a2，解得 a 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）
14、设 mR，命题“存在 m0，使方程 x2+xm0 有实根”的否定是（ ） A任意 m0，使方程 x2+xm0 无实根 B任意 m0，使方程 x2+xm0 有实根 C存在 m0，使方程 x2+xm0 无实根 D存在 m0，使方程 x2+xm0 有实根 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可 【解答】 】解：命题是特称命题， 则命题的否定是：任意 m0，使方程 x2+xm0 无实根 第 8 页（共 24 页） 故选：A 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决 本题的关键比较基础 4 （5 分）的展开式中 x5的系数是10，则实数 m（ ） A2 B1
15、 C1 D2 【分析】根据写出展开式中含 x5项，构造方程即可 【解答】解：由题意得 令得，k3 ，m1 故选：C 【点评】本题考查二项式定理应用，利用通项研究与展开式系数有关的问题是通法注 意化简计算需细心属于基础题 5 （5 分）函数 f（x）sin（x+）在0，上为增函数，则 的值可以是（ ） A0 B C D 【分析】求出角的范围，结合函数的单调性进行求解即可 【解答】解：当 0x 时，x+， 要使 f（x）为增函数，则满足， 当 k1 时，得 ， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，求出角的范围，结合三角函数的单调性 是解决本题的关键难度不大 6 （5 分）若圆锥轴截
16、面面积为，母线与底面所成角为 60，则体积为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，与高，然后求解体积即可 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为 60，则圆锥的轴截面是正 三角形，设底面半径为 r， 可得，解得 r，圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为： 故选：D 【点评】本题考查了圆锥的简单性质，轴截面的应用，圆锥体积的求法，是中档题 7 （5 分）2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日” ，某医院开展扶贫日“送医下乡”医 疗义诊活动， 现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中， 医生甲被指定分配到医院A， 医生乙
17、只能分配到医院 A 或医院 B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两 名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 （ ） A18 种 B20 种 C22 种 D24 种 【分析】根据题意，分 4 种情况讨论：甲乙都分到 A 医院，甲分配到医院 A，乙分 配到医院 B，甲和一名医生一起分到 A 医院，乙在 B 医院，甲单独分到 A 医院，乙 和一名医生一起分到 B 医院，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 4 种情况讨论： 甲乙都分到 A 医院，剩下 3 人全排列，分配到其三个医院，有 A336 种分派方案； 甲分配到医院 A，乙分配到医院
18、 B，剩下 3 人分成 2 组，安排到 C、D 医院，有 C32A22 6 种分派方案； 甲和一名医生一起分到 A 医院，乙在 B 医院，剩下 2 人全排列，安排到 C、D 医院， 有 C21A224 种分派方案； 甲单独分到 A 医院，乙和一名医生一起分到 B 医院，剩下 2 人全排列，安排到 C、D 医院，有 C21A224 种分派方案； 则一共有 6+6+4+420 种分配方案； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意分类讨论不重不 漏 8（5 分） 在ABC 中， 若， 则实数 （ ） 第 10 页（共 24 页） A B C D 【分析】由于，所以点
19、 O 为ABC 的重心，于是可用和表示出， 根 据 向 量 的 减 法 运 算 和 数 乘 运 算 可 用和表 示 出， 再 将 其 均 代 入 ，化简整理后可得，从而得解 【 解 答 】 解 ： ， 点O为 ABC的 重 心 ， ， ， ， ， 即 故选：D 【点评】本题考查平面向量的混合运算，涉及三角形重心的性质，平面向量的模长、加 减运算和数量积运算等基础知识点，考查学生综合运用知识的能力和运算能力，属于基 础题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题
20、目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 3 和， 则 p 的值可以是（ ） A2 B6 C4 D8 【分析】设 P 的坐标，由 P 在抛物线上，代入抛物线的方程可得横纵坐标直径的关系， 再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离及 P 到坐标轴的距离可得 p 的值 【解答】解：设 P 点（x0，y0） ，由 P 在抛物线上，所以 y022px0， 由抛物线的方程可得准线的方程为 x， 由题意可得 x0+3，|y0|2，解
21、得：p2 或 4， 第 11 页（共 24 页） 故选：AC 【点评】本题考查抛物线的标准方程及其性质，属于基础题 10 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则下列说 法正确的是（ ） ABC1平面 AQP B平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 CA1D平面 AQP D异面直线 QP 与 A1C1所成的角为 60 【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用，线面垂直的 判定的应用，共面的判定的应用求出结果 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点， 如图所示：
22、 对于选项 A：P，Q 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点， 所以 PQBC1，由于 PQ平面 APQ，BC1不在平面 APQ 内，所以 BC1平面 APQ，故 选项 A 正确 对于选项 B：连接 AP，AD1，D1Q，由于 AD1PQ，D1QAP，所以：平面 APQ 截 正方体所得截面为等腰梯形，故正确 对于选项 C：由于 A1D平面 ABC1D1，平面 ABC1D1和平面 APQD1为相交平面，所 以 A1D平面 AQP，错误 对于选项 D：PQBC1，A1BC1为等边三角形，所以A1C1B60，即异面直线 QP 与 A1C1所成的角为 60故正确 故选：ABD 第 12 页（共 24 页
23、） 【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，异面直线的夹角的应用， 线面垂直的判定的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 11 （5 分）居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称 CPI） ，是度量居民生活消费品 和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水 平的变动情况如图为国家统计局于 2020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月 CPI 数据同比和环比涨跌幅折线图，则下列说法正确的是（ ） （注：同比，同比涨跌幅，环比 ，环比涨跌幅100%） A2019 年 12
24、月与 2018 年 12 月 CPI 相等 B2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3% C2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长 D2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 持续下降 【分析】根据题意并观察图象上的数据即可判断出 B，C 都正确，A，D 错误 【解答】解：在 A 中，2019 年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 不相等，故 A 不正确； 在 B 中，2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3%，故 B 正确； 在 C 中，2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI
25、持续增长，故 C 正确； 在 D 中，2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 跌幅持续下降，故 D 不正确 故选：BC 【点评】本题考查命题真假的求法，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 12 （5 分）已知函数 yf（x）是 R 上的奇函数，对于任意 xR，都有 f（x+4）f（x）+f 第 13 页（共 24 页） （2）成立，当 x0，2）时，f（x）2x1，给出下列结论，其中正确的是（ ） Af（2）0 B点（4，0）是函数 yf（x）的图象的一个对称中心 C函数 yf（x）在6，2上单调递增 D函数 yf（x）在6，6上有 3 个零点 【分析】在等
26、式中令 x2 及奇函数性质可求得 f（2）0，进而可推得函数的周期， 运用周期性及当 x0，2）时，f（x）2x1，可得答案 【解答】解：令 x2，则 f（2+4）f（2）+f（2） ，即 f（2）f（2）+f（2） ， 又 f（x）为奇函数，f（2）f（2） ，则 f（2）0， f（x+4）f（x） ，故 4 为 f（x）的周期，则 A 正确； 对于 B，可得 f（x）是以 4 为周期的函数， 又由函数 yf（x）是 R 上奇函数，即 f（x）的一一个中心为（0，0） ，即 x0， 则点（4，0）是函数 yf（x）的图象的一个对称中心，B 正确； 对于 C，当 x0，2）时，f（x）2x1
27、单调递增，由奇函数可得当 x（2，0时，f （x）单调递增函数 yf（x）在（6，2）上单调递增，又得 f（6）f（2） f（2）0，即在 2 处不连续，故 C 不正确 对于 D，可得 f（2）f（2）0， 又由 f（x）是以 4 为周期的函数，则 f（6）f（2）0，f（4）f（2）0， 即函数 yf（x）在区间6，6上至少有四个零点，故 D 错； 故选：AB 【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性，单调性的判断与应用；关键是根 据题意，运用特殊值法，分析得到 f（x）的周期性、单调性以及 f（2）的值 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
28、，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）+在点（1，f（1） ）处的切线方程是 2x+y30 【分析】先对曲线 f（x）求导，然后分别求出 f（1） 、f（1） ，再利用点斜式写出方程 即可 【解答】解：， 故 f（1）1，f（1）2， 所以切线为：y12（x1） ， 第 14 页（共 24 页） 即 2x+y30 故答案为：2x+y30 【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数求切线方程的基本步骤，同时考查学生的 运算能力属于基础题 14 （5 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，若，则 S7 254 【分析】根据数列的递推关系，整理得到sn2是以4 为首项，2 为公比的等比数列
29、， 进而求得结论 【解答】解：因为 Sn为数列an的前 n 项和， ， a12； 且 2ansn2； 故 2（snsn1）sn2sn2sn12sn22（sn12） ； s124， sn2是以4 为首项，2 为公比的等比数列； s72（4）27 1s 7426+2254 故答案为：254 【点评】本题主要考察数列递推关系式的应用，以及等比数列的推导，属于中档题 15 （5 分）如图，A1，A2分别是双曲线 C：x2的左、右顶点，以实轴为直 径的半圆交其中一条渐近线于点 M，直线 MA2交另一条渐近线于点 N，若， 则 a 3 ，若 F2为双曲线右焦点，则MF2O 的周长为 3+ 【分析】利用已知
30、条件推出渐近线的斜率，求解 a，求出 M 的坐标，然后求解MF2O 第 15 页（共 24 页） 的周长 【解答】解： ，A1，A2分别是双曲线 C：x2的左、右顶点，以实轴为直径 的半圆交其中一条渐近线于点 M，直线 MA2交另一条渐近线于点 N，若，所 以MA1O 是正三角形， 所以，可得 a3； 则 M（，） ， 则MF2O 的周长为：1+2+3+ 故答案为：3；3+ 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 16 （5 分）某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 位家长的满意度评分，其频数分布表如表： 满意度评分 分组
31、 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分70 分 70评分90 评分90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A： “高一家长的满意 度高于高二家长的满意度等级” ，则事件 A 发生的概率为 0.42 第 16 页（共 24 页） 【分析】由频数分布表得：高一学生家长不满意的人数为：1+
32、34，满意的人数为 6+6 12，非常满意的人数为 4，高二学生家长不满意的人数为：2+68，满意的人数为 5+5 10， 非常满意的人数为 2， 记事件 A： “高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级” ， 由此能求出事件 A 发生的概率 【解答】解：由频数分布表得： 从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长， 高一学生家长不满意的人数为：1+34，满意的人数为 6+612，非常满意的人数为 4， 高二学生家长不满意的人数为：2+68，满意的人数为 5+510，非常满意的人数为 2， 记事件 A： “高一家长的满意度高于高二家长的满意度等级” ， 则事件 A 发生的概率为 P（A）0.42
33、故答案为：0.42 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）等差数列中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一 个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的a1，a2，a3组合，并求数列an的通项公式； （2）记（1）中您选择的an的前 n 项和为 Sn，判断
34、是否存在正整数 k，使得 a1，ak，Sk+2 成等比数列，若有，请求出 k 的值；若没有，请说明理由 【分析】 （1）由题意利用等差数列的定义和性质，写出它的通项公式 （2）由题意利用等比数列的定义和性质，求出 k 的值，从而得出结论 【解答】解： （1）由题意可知：有两种组合满足条件： a18，a212，a316，此时等差数列an，a18，d4， 所以其通项公式为 an8+（n1）44n+4 第 17 页（共 24 页） a12，a24，a36，此时等差数列an，a12，d2， 所以其通项公式为 an2n （2）若选择，Sn2n2+6n 则 若 a1，ak，Sk+2成等比数列，则， 即（4
35、k+4）28（2k2+14k+20） ，整理，得 5k9， 此方程无正整数解，故不存在正整数 k，使 a1，ak，Sk+2成等比数列 若选择，Snn2+n， 则， 若 a1，ak，Sk+2成等比数列，则， 即（2k）22（k2+5k+6） ，整理得 k25k60，因为 k 为正整数，所以，k6 故存在正整数 k6，使 a1，ak，Sk+2成等比数列 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式，等差数列、等比数列的性质，属于中 档题 18 （12 分）如图，在ACB 中，ACB，CAB，AC2，点 M 在线段 AB 上 （1）若 sinCMA，求 CM 的长； （2）点 N 是线段 CB 上
36、一点，MN，且，求 BM+BN 的值 【分析】 （1）在CAM 中利用正弦定理求得 CM 的值； （2）利用三角形的面积和余弦定理，即可求得 BM+BN 的值 【解答】解： （1）在CAM 中，已知， 由正弦定理，得； 第 18 页（共 24 页） 于是，解得 （2）因为，所以， 解得； 在BMN 中，由余弦定理得， ， 即（BM+BN）224（1+） ， 所以， 即 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PAAB，PA6， AB8，PD10，N 为 PC 的中点，F 为棱 B
37、C 上的一点 （1）证明：面 PAF面 ABCD； （2）当 F 为 BC 中点时，求二面角 ANFC 余弦值 【分析】 （1）由勾股定理可得 PAAD，又 PAAB，进而得到 PA面 ABCD，由此得证 面 PAF面 ABCD； （2）以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平 面 ANF 及平面 NFC 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解 【解答】证明： （1）因为底面 ABCD 为正方形，所以 ADAB8， 又因为 PA6，PD10，满足 PA2+AD2PD2， 所以 PAAD， 又 PAAB，AD面 ABCD，AB面 ABCD，ABA
38、DA， 所以 PA面 ABCD， 又因为 PA面 PAF， 第 19 页（共 24 页） 所以面 PAF面 ABCD； （2）由（1）知 AB，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AP 分别为 x， y，z 轴建系如图所示， 则 A（0，0，0） ，P（0，0，6） ，B（8，0，0） ，C（8，8，0） ，D（0，8，0）则 N（4， 4，3） ，F（8，4，0） ， 所以， 设面 ANF 法向量为，则由， 令， 同理可得，面 PBC 的法向量为， 所以， 又二面角 ANFC 的平面角为钝角，故二面角 ANFC 余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求
39、解二面角问题，考查推理能力及 计算能力，属于中档题 20 （12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元，实际增长了 242 倍多，综合国力大幅提升将年份 1978，1988，1998，2008， 2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为 t；y 表示全国 GDP 总量，表中 zilnyi（i 1，2，3，4，5） ， 第 20 页（共 24 页） （ti ）2 （ti ）（yi ） （ti ）（zi ） 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中 e2
40、.718为自然对数的底 数）哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必 说明理由） ，并求出 y 关于 t 的回归方程； （2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量 线 性 回 归 方 程中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ： 参考数据： n 4 5 6 7 8 en的近似值 55 148 403 1097 2981 【分析】 （1）根据数据及图表可以判断，ycedt更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回 归方程， 对 ycedt两边取自然对数得 lnylnc+dt， 令 zlny，
41、alnc， bd， 得 za+bt 利 用已知条件求出 a，b，得到回归直线方程，求出回归方程即可 （2）将 t5.2 代入，即可求解 2020 年的全国 GDP 总量 【解答】解： （1）根据数据及图表可以判断，ycedt更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程， 对 ycedt两边取自然对数得 lnylnc+dt，令 zlny，alnc，bd， 得 za+bt 第 21 页（共 24 页） 因为， 所以， 所以 z 关于 t 的线性回归方程为， 所以 y 关于 t 的回归方程为 （2）将 t5.2 代入，其中 1.4055.22.3124.994， 于是 2020 年的全国
42、GDP 总量约为：万亿元 【点评】本题考查实际问题的处理方法，回归直线方程以及回归方程的求法与应用，是 基本知识的考查 21 （12 分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为 F1， F2，点 B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D， 连接 AD 并延长交 C 于另一点 M，交 y 轴于点 N （i）求ODN 面积最大值； （ii）证明：直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 【分析】 （1）根据将 xc 代入，进而可得|， 则可求出 a 的值； （ 2 ）
43、（ i ） 易 知ON为 ABD的 中 位 线 ， 所 以， 又 ，则有，故； （ii）记直线 AB 斜率为，则直线 AD 斜率为，所以直线 第 22 页（共 24 页） AD方程为与抛物线方程联立，则可得 ，结合根与系数关系可得，则可得到 MB 斜率为，与 AB 斜率相乘即可 【解答】解： （1）设 F2（c，0） ，由，得 BF2F1F2 将 xc 代入，得， 由，解得 a2， 所以椭圆 C 的标准方程为 （2）设 B（x1，y1） ，M（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，D（x1，0） （i）易知 ON 为ABD 的中位线，所以， 所以， 又 B （x1，y1） 满足，所以，得，
44、故，当且仅当，即时取等号， 所以ODN 面积最大值为 （ii）记直线 AB 斜率为，则直线 AD 斜率为，所以直线 AD 方程为 由，得， 由韦达定理得，所以，代入直线 第 23 页（共 24 页） AD 方程，得， 于是，直线 BM 斜率， 所以直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率乘积为定值的证明，解题时要认真 审题，属于中档偏难题 22 （12 分）已知函数 （1）当 x1 时，不等式 f（x）0 恒成立，求 的最小值； （2）设数列，其前 n 项和为 Sn，证明： 【分析】 （1）求导可得，分，及 0 三种情 况讨论，结合 f（x）0 恒成
45、立，得出 的最小值； （ 2 ） 利 用 （ 1 ） 可 得成 立 ， 进 而 得 到 ，再类推，累加即可得证 【解答】解： （1）由，得， 当时，方程x2+x0 的1420，因式x2+x 在区间（1，+ ）上恒为负数， 所以 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在区间（1，+）上单调递减， 又 f（1）0，所以函数 f（x）0 在区间（1，+）上恒成立； 当时 ， 方 程 x2+x 0有 两 个 不 等 实 根 ， 且 满 足 ， 第 24 页（共 24 页） 所以函数 f（x）的导函数 f（x）在区间上大于零，函数 f（x）在区 间上单增， 又 f（1）0，所以函数 f（x）在区间上恒大于零，不满足题意； 当 0 时， 在区间， 函数 ylnx 在区间 （1， +）上恒为正数， 所以在区间（1，+）上 f（x）恒为正数，不满足题意； 综上可知：若 x1 时，不等式 f（x）0 恒成立， 的最小值为 （2）由第（1）知：若 x1 时， 若nN*，则，即 成立， 将 n 换 成 n+1 ， 得成 立 ， 即 ， 以 此 类 推 ， 得， ， 上述各式相加，得， 又， 所以 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，以及不等式的恒成立问题，考查不等式的 证明，考查分类讨论的数学思想以及推理论证、运算求解能力，属于中档题
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