1、已知复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 3 （5 分）某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分 依次为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 4 （5 分）根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 5（5 分） 已知等差数列an的公差 d 不为 0， 且 a1， a2， a4成等比数列， 则的值为 6（5 分） 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次， 则恰好出现 2 次正面向上的概率为 7（5 分） 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1AB2， 则三棱锥 A1BB1C1的体积为 8 （5
2、分）已知函数（0） ，若当时，函数 f（x）取得最大值， 则 的最小值为 9 （5 分）已知函数 f（x）（m2）x2+（m8）x（mR）是奇函数，若对于任意的 xR， 关于 x 的不等式 f（x2+1）f（a）恒成立，则实数 a 的取值范围是 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 分别在双曲线 C：x2y21 的两条渐 近线上， 且双曲线C经过线段AB的中点 若点A的横坐标为2， 则点B的横坐标为 11 （5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4
3、.8+1.5M.2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震， 它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长 宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 倍 12 （5 分）已知ABC 的面积为 3，且 ABAC，若，则 BD 的最小值为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y28 与圆 C2：x2+y2+2x+ya0 相 第 2 页（共 26 页） 交于 A、B 两点若圆 C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组 成的集合为 14 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f2（x）+2af（x）+1 a20 有五个不相等的
4、实数根，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PCAB，D，E 分别为 BC，AC 的中点求证： （1）AB平面 PDE； （2）平面 PAB平面 PAC 16 （14 分）在ABC 中，已知 AC4，BC3，cosB （1）求 sinA 的值 （2）求的值 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：1（ab0）
5、的焦距为 4，两条准线间的距离为 8，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点 （1）求椭圆 E 的标准方程： （2）已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P 若 M，N 分别是 BC，CD 的中点，证明：点 P 在椭圆 E 上； 若点 P 在椭圆 E 上，证明：为定值，并求出该定值 18 （16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形 第 3 页（共 26 页） 的旋转， 如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标， 他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转
6、 到三角形 A1B1C1， 且顺次连结 A， A1， B， B1， C，C1，A，得到六边形徽标 AA1BB1CC1 （1）当 时，求六边形徽标的面积； （2）求六边形微标的周长的最大值 19 （16 分）已知数列an满足：a11，且当 n2 时，anan1+（R） （1）若 1，证明：数列a2n1是等差数列； （2）若 2 设 bna2n+，求数列bn的通项公式； 设n，证明：对于任意的 p，mN*，当 pm，都有pm 20 （16 分）设函数（aR） ，其中 e 为自然对数的底数 （1）当 a0 时，求函数 f（x）的单调减区间； （2）已知函数 f（x）的导函数 f（x）有三个零点 x1
7、，x2，x3（x1x2x3） 求 a 的取值范围； 若 m1，m2（m1m2）是函数 f（x）的两个零点，证明：x1m1x1+1 【选做题】本题包含【选做题】本题包含 21、22、23 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作 答答.若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）已知 a，bR，向量是矩阵 A的属于特征值 3 的一个特
8、征向量 （1）求矩阵 A； （2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（2，2） ，求点 P 的坐标 第 4 页（共 26 页） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程（t 为参数） ， 椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，求椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最 大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知 a，b，c 都是正实数，且1证明： （1）abc27； （2）1 第第 24 题、第题、第
9、 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ABAD，ABADAA1 2BC2 （1）求二面角 C1B1CD1的余弦值； （2）若点 P 为棱 AD 的中点，点 Q 在棱 AB 上，且直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角的正弦 值为，求 AQ 的长 25 （10 分）一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、 白球各 1 只现从口袋中先后
10、有放回地取球 2n 次（nN*） ，且每次取 1 只球 （1）当 n3 时，求恰好取到 3 次红球的概率； （2）随机变量 X 表示 2n 次取球中取到红球的次数，随机变量，求 Y 的数学期望（用 n 表示） 第 5 页（共 26 页） 2020 年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位分请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 （5 分）已知集合 A1，0，2，B1，1，2，则 AB 1，
11、2 【分析】利用交集定义直接求解 【解答】解：集合 A1，0，2，B1，1，2， AB1，2 故答案为：1，2 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式 计算得答案 【解答】解：由（1+i）z2i， 得 则复数 z 的模为： 故答案为： 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习
12、积分 依次为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 40 【分析】根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，5 名党员教师的学习积分依次为 35，35，41，38，51， 则这 5 名党员教师学习积分的平均值 （35+35+41+38+51）40， 故答案为：40 【点评】本题考查平均数的计算，注意平均数的计算公式即可，属于基础题 4 （5 分）根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 11 第 6 页（共 26 页） 【分析】模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出 a 的值 【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是
13、计算并输出 a1+1+2+3+4 11 故答案为：11 【点评】本题考查了利用程序计算并几个连续自然数和的应用问题，是基础题 5 （5 分） 已知等差数列an的公差 d 不为 0， 且 a1， a2， a4成等比数列， 则的值为 1 【分析】本题根据等比中项有a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得 a1 与 d 的关系式，即可得到的值 【解答】解：由题意，可知 a1a4， （a1+d）2a1（a1+3d） ， 即+2a1d+d2+3a1d 化简，得 a1d 1 故答案为：1 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学 运算能力本题属中档题 6 （5
14、分） 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次， 则恰好出现 2 次正面向上的概率为 【分析】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，利用 n 次独立试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出恰好出现 2 次正面向上的概率 【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次， 则恰好出现 2 次正面向上的概率为： 第 7 页（共 26 页） P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次独立试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1AB2，则三棱锥 A1BB1C1的体积为 【分析】由
15、正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1AB2，可得：棱锥 A1BB1C1的体积 B1B，代入即可得出 【解答】解：如图所示， 由正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1AB2，则 三棱锥 A1BB1C1的体积B1B 故答案为： 【点评】本题考查了正三棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的面积计算 公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8 （5 分）已知函数（0） ，若当时，函数 f（x）取得最大值， 则 的最小值为 5 【分析】由已知可得 sin（）1，利用正弦函数的性质可得 +2k，kZ，结合 0，可求 的最小值 【解答】解：当 x时，f（x）取得最大值， 第 8 页（
16、共 26 页） 即 f（）sin（）1， 即+2k，kZ， 即 12k+5，kZ， 由于 0， 所以当 k0 时， 的最小值为 5 故答案为：5 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）（m2）x2+（m8）x（mR）是奇函数，若对于任意的 xR， 关于 x 的不等式 f（x2+1）f（a）恒成立，则实数 a 的取值范围是 （，1） 【分析】由已知结合奇函数的定义可求 m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系 及二次函数的性质可求 【解答】解：由奇函数的性质可得，f（x）f（x）恒成立， 即（m2）x2（m8）x（m2）x2（
17、m8）x， 故 m20 即 m2，此时 f（x）6x 单调递减的奇函数， 由不等式 f（x2+1）f（a）恒成立，可得 x2+1a 恒成立， 结合二次函数的性质可知，x2+11， 所以 a1 故答案为： （，1） 【点评】本题主要考查了 奇函数的定义及单调性奇偶性在不等式恒成立问题中的应用， 属于基础试题 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 分别在双曲线 C：x2y21 的两条渐 近线上， 且双曲线C经过线段AB的中点 若点A的横坐标为2， 则点B的横坐标为 【分析】写出双曲线的渐近线方程，从而得到 A 和 B 两点的坐标，再利用中点坐标中式 求得线段 AB 的中点，
18、将其代入双曲线的标准方程，即可得解 【解答】解：设点 B 的横坐标为 m， 因为双曲线 C：x2y21，所以双曲线的渐近线方程为 yx， 不妨设点 A 在直线 yx 上，点 B 在直线 yx 上 则点 A 坐标为（2，2） ，点 B 坐标为（m，m） ， 第 9 页（共 26 页） 所以线段 AB 的中点坐标为， 因为双曲线 C 经过线段 AB 的中点，所以，解得， 故答案为： 【点评】本题主要考查了双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，属于简单题 11 （5 分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解， 例如地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之
19、间的关系为 lgE 4.8+1.5M.2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震， 它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长 宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的 1000 倍 【分析】根据地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4.8+1.5M分别计算出：2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量 E1， 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量 E2，利用对数运算性质即可得出 【解答】解：地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE 4.8+1.5M 200
20、8 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量满足：lgE14.8+1.58.0， 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量满足：lgE24.8+1.56.0 lgE1lgE23，解得：1031000 故答案为：1000 【点评】本题考查了对数运算性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 12 （5 分）已知ABC 的面积为 3，且 ABAC，若，则 BD 的最小值为 【分析】由题意画出图形，设 ABACx，由，得 AD，设BAC（0 ） ， 由 余 弦 定 理 及 ABC 的 面 积 为 3 得， 则 ，令 y，再由三角函数求最值，即可求得
21、 BD 的最小值 【解答】解：如图， 第 10 页（共 26 页） 设 ABACx，由，得 AD， 设BAC（0） ， 由余弦定理可得：cos，得， 由ABC 的面积为 3，得，即， 联立，得， ， 令 y，则 ysin53cos， ysin+3cos5，即（+）5，得 sin（+）， 由，解得 y4 或 y4（舍） 即，得 BD， BD 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，训练了利用三角函数求 最值，是中档题 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y28 与圆 C2：x2+y2+2x+ya0 相 交于 A、B 两点若圆
22、C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组 成的集合为 8，82，8+2 第 11 页（共 26 页） 【分析】根据题意，求出 AB 所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出 a 的值，综合即可得答案 【解答】解：已知圆 C1：x2+y28 与圆 C2：x2+y2+2x+ya0 相交于 A、B 两点， 则 AB 所在直线的方程为 2x+ya+80， 若圆 C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，分 2 种情况讨论： ，P 为直角顶点，则 AB 为圆 C1的直径， 即直线 2x+ya+80 经过圆 C1的圆心 C1，必有a+80，解可得 a8； ，A 或
23、B 为直角顶点，则点 C1到直线 AB 的距离 dr22， 则有 d2，解可得 a82或 8+2， 综合可得：a 的取值的集合为8，82，8+2； 故答案为：8，82，8+2 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的基本性质，属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f2（x）+2af（x）+1 a20 有五个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 【分析】令 f（x）t，则 g（t）t2+2at+1a2，作 f（x）的图象，观察图象可知，函数 g（t）在（0，1）及（1，+）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解 【解答】解：令 f（x）t，则 g（t）
24、t2+2at+1a2，作 f（x）的图象如下， 设 g（t）的零点为 t1，t2，由图可知，要满足题意，则需， 故，解得 故答案为： 第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PCAB，D，E 分别为 BC，AC 的中点求证： （1）AB平面 PDE； （2）平面 P
25、AB平面 PAC 【分析】 （1）由中位线的性质可知 DEAB，由此即可得证； （2） 先由 PA平面 ABC， 可证 PAAB， 再结合已知 PCAB， 即可证得 AB平面 PAC， 进而得证 【解答】证明： （1）D，E 分别为 BC，AC 的中点， DE 是三角形 ABC 的一条中位线， DEAB， AB 不在平面 PDE 内，DE 在平面 PDE 内， AB平面 PDE； （2）PA平面 ABC，AB 在平面 ABC 内， PAAB， 又 PCAB，PAPCP，且 PA，PC 都在平面 PAC 内， AB平面 PAC， AB 在平面 PAB 内， 平面 PAB平面 PAC 第 13 页
26、（共 26 页） 【点评】本题考查线面平行及面面垂直的判定，掌握基本的判定定理是解题的关键，属 于基础题 16 （14 分）在ABC 中，已知 AC4，BC3，cosB （1）求 sinA 的值 （2）求的值 【分析】 （1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出； （2）可以求出，然后根据 cosCcos（A+B）即可求出 cosC，从而 由进行数量积的运算即可求出答案 【解答】解： （1）如图， ， 又 AC4，BC3， 根据正弦定理得，解得； （2）， ， cosCcos（A+B）cos（A+B）sinAsinBcosAcosB， 第 14 页（共 26 页） 【点评】本题考查了正弦定
27、理，sin2x+cos2x1，三角函数的诱导公式，以及向量数量积 的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题 17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：1（ab0）的焦距为 4，两条准线间的距离为 8，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点 （1）求椭圆 E 的标准方程： （2）已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P 若 M，N 分别是 BC，CD 的中点，证明：点 P 在椭圆 E 上； 若点 P 在椭圆 E 上，证明：为定值，并求出该定值 【分析】 （1）根据椭圆的性质列方程组即可求得
28、 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2）求得直线 AM 和 BN 的方程，联立，求得 P 点坐标，由 P 满足椭圆方程，即可判 断 P 在椭圆 E 上； 解法一： 根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线 AP 和 BP 的方程，求得 M 和 N 点坐标，表示出，利用 P 在椭圆上，即可证明为定值； 解法二：设直线 AP 和 BP 的方程，同理求得 M 和 N 点坐标，根据直线斜率公式即可证 第 15 页（共 26 页） 明为定值 【解答】解： （1）设椭圆的 E 的焦距为 2c， 则由题意，得，解得， 所以 b2a2c24， 所以椭圆 E 的标准方程为； （2）证明：由已知，得 M（
29、2，2） ，N（0，4） ，B（2，0） ， 直线 AM 的方程为，直线 BN 的方程为， 联立，解得，即 P（，） ， 因为， 所以点 P 在椭圆上； 解法一：设 P（x0，y0） ， （x00，y00） ， 则， 直线 AP 的方程为， 令，得， 直线 BP 的方程， 令 y4，得， 所以 第 16 页（共 26 页） 解法二：设直线 AP 的方程为（k10） ， 令，得， 设直线 BP 的方程为（k20） ， 令 y4，得， 所以|k1k2|， 设 P（x0，y0） ， （x00，y00） ，则， 所以 k1k2， 所以 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的方
30、程及斜率公 式的应用，考查定点的证明，考查计算能力，属于中档题 18 （16 分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形 的旋转， 如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标， 他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转 到三角形 A1B1C1， 且顺次连结 A， A1， B， B1， C，C1，A，得到六边形徽标 AA1BB1CC1 （1）当 时，求六边形徽标的面积； （2）求六边形微标的周长的最大值 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算 以及三角形的正弦面积公式，即可
31、求出六边形徽标的面积； （2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于 3（AA1+BA1） ，再结合余弦定理 和基本不等式的性质，即可得最大值 【解答】解： （1）因为正三角形 ABC 的边长为 a，所以AOB120，且 OAOA1 OBOB1OCOC1， 由旋转图形的性质可知，A1AC1AA1BB1BA1BB1CC1CB1CC1A， 所以AA1BA1BB1BB1CB1CC1CC1AC1AA1120， 在等腰AOA1中，因为AOA1，所以AA1O， 所以BA1O，因此A1OB， 依此类推可得，BOB1COC1，B1OCC1OA， 所以六边形徽标的面积 S+ 3（） 3， 故六边形徽标的面
32、积为 （2）由（1）可知，A1AB1BC1C，A1BB1CC1A， 不妨设 A1Ax，A1By，则六边形徽标的周长 L3（x+y） 在AA1B 中，由余弦定理得，cosAA1Bcos120 所以 xx2+y2+xya2，变形得（x+y）2xya2 第 18 页（共 26 页） 由基本不等式可知， 由解得，x+y，当且仅当 xy时取等号 所以六边形徽标的周长 L3（x+y）3 故六边形徽标的周长的最大值为 【点评】本题考查了解三角形中的正弦定理和余弦定理的应用，以及利用基本不等式求 最值，突破口是找出图形在旋转过程中存在的规律，考查了学生的观察能力和直观想象 能力，属于中档题 19 （16 分）
33、已知数列an满足：a11，且当 n2 时，anan1+（R） （1）若 1，证明：数列a2n1是等差数列； （2）若 2 设 bna2n+，求数列bn的通项公式； 设n，证明：对于任意的 p，mN*，当 pm，都有pm 【分析】 （1）将 1 代入，则可得到，故 a2n+1a2n11 为常数，进 而判断为等差数列； （2）2 时，a11，且当 n2 时，an2an1+， 有 bna2n+4（a2n2+） ，所以4 是常数，所以数列bn时首项为，公 比为 4 的等比数列，即可求出其通项公式； n（nN+） ，当 n1 时，C2C10，则 C2 C1；当 n2 时，C3C20，则 C3C2；当 n
34、3 时，Cn+1n0，则 Cn+1n，故对 于任意的 p，mN*，当 pm，都有pm 【解答】解： （1）当 1 时，则根据 a11，anan1+（n2） ，得 ， 第 19 页（共 26 页） 所以 a2n+1a2n1+1，即 a2n+1a2n11 为常数， 即数列a2n1是首项为 1，公差为 1 的等差数列； （2）2 时，a11，且当 n2 时，an2an1+， 当 n2 时，所以 a2n4a2n2+2，则 a2n+4（a2n2+） ， 又因为 bna2n+，即有 bna2n+4（a2n2+） ， 而 b1a2+2a1+0，所以4 是常数， 所以数列bn时首项为， 公比为 4 的等比数列
35、， 则 bn的通项公式为 bn4n 1 4n （nN+） ； 由知，a2nbn（4n1） ，a2n1a2n（4n1） ， 则（）n， 所以n（nN+） ， 则 Cn+1n， 当 n1 时，C2C10，则 C2C1； 当 n2 时，C3C20，则 C3C2； 当 n3 时，Cn+1n0，则 Cn+1n， 故对于任意的 p，mN*，当 pm，都有pm 【点评】本题考查等差等比数列的证明，考查数列通项公式的求法，属于难题 20 （16 分）设函数（aR） ，其中 e 为自然对数的底数 （1）当 a0 时，求函数 f（x）的单调减区间； （2）已知函数 f（x）的导函数 f（x）有三个零点 x1，x2
36、，x3（x1x2x3） 求 a 的取值范围； 若 m1，m2（m1m2）是函数 f（x）的两个零点，证明：x1m1x1+1 【分析】 （1）将 a0 代入 f（x）中，然后求导，再由 f（x）0 得到 f（x）的单调递减 第 20 页（共 26 页） 区间； （2）对 f（x）求导，然后构造函数 g（x）ax3x+1，再根据 f（x）有三个零点 x1， x2，x3（x1x2x3） ，得到函数 g（x）有三个非零的零点，进一步求出 a 的范围； 根据 m1，m2（m1m2）是函数 f（x）的两个零点，得到 f（m1）f（m2）0，然后 p（x）ax2ax1（a0） ，进一步证明 x1m1x1+1
37、 【解答】解： （1）当 a0 时，其定义域为（，0）（0，+） ， 令 f（x）0，则 x1，f（x）的单调递减区间为（1，+） （2）由，得， 设 g（x）ax3x+1，则导函数 f（x）有三个零点，即函数 g（x）有三个非零的零点 又 g（x）3ax21，若 a0，则 g（x）3ax210， g（x）在（，+）上是减函数，g（x）至多有 1 个零点，不符合题意，a0 令 g（x）0，则 当 x时，g（x）0；当 x，g（x） 0， g（x）在上单调递减，在和上单调递 增， ，即， 又 g（0）10，g（x）在上有且只有 1 个非零的零点 当时， 且， 又函数 g（x）的图象是连续不间断的
38、， g（x）在和上各有且只有 1 个非零的零点， 第 21 页（共 26 页） 实数 a 的取值范围是 由 f（m1）f（m2）0，得， 设 p（x）ax2ax1（a0） ，且 p（m1）p（m2）0， 又m1m2，m10m2 xm1或 xm2时，p（x）0；m1xm2时，p（x）0 由知 a0，x10x2x3 ， ， ， x1m1x1+1 成立 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的证明，考查了转化思 想和函数思想，属难题 【选做题】本题包含【选做题】本题包含 21、22、23 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区
39、域内作 答答.若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤若多做， 则按作答的前两题评分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 选修选修 4-2： 矩阵与变换矩阵与变换（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 21 （10 分）已知 a，bR，向量是矩阵 A的属于特征值 3 的一个特征向量 （1）求矩阵 A； （2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（2，2） ，求点 P 的坐标 【分析】 （1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得 （2）直接由矩阵变换，代入等式可求 【解答】解： （1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：
40、 A3， 带入可知： 3，即，解得 a2，b1， 故矩阵 A （2）设 P 为（x，y） ， 第 22 页（共 26 页） 因为点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（2，2） ， 所以， 解得 x1，y0， 故 P（1，0） 【点评】本题考察矩阵与特征值，特征向量的关系，以及点的变换，属于基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程（t 为参数） ， 椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，求椭圆 C 上的点 P 到直线 l 的距离的最 大值 【分析】首先把
41、参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直 线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结 果 【解答】解：已知直线 l 的参数方程（t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x+2y+30， 椭圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，设椭圆上的点 P（2cos，sin）到直线 l 的距离 d， 当 sin（）1 时， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲
42、：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知 a，b，c 都是正实数，且1证明： （1）abc27； （2）1 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）利用，即可得证； （2）利用基本不等式直接证明即可 【解答】证明： （1）a，b，c 都是正实数， ， 又1， ，即 abc27，得证； （2）a，b，c 都是正实数， ， 由+得， ，得证 【点评】本题考查利用基本不等式证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题 第第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出
43、文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ABAD，ABADAA1 2BC2 （1）求二面角 C1B1CD1的余弦值； （2）若点 P 为棱 AD 的中点，点 Q 在棱 AB 上，且直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角的正弦 值为，求 AQ 的长 【分析】 （1）推导出 ABAA1，ADAA1，ABAD，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 C1B1CD1的余弦 值 第 24 页（共 26 页） （2）设 AQ（02） ，则 Q
44、（，0，0） ，求出平面 B1PQ 的法向量，利用向向量能 求出 AQ 【解答】解： （1）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1平面 ABCD，AB，AD平面 ABCD，ABAA1，ADAA1， ABAD，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， ABADAA12BC2 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，1，0） ，D（0，2，0） ，A1（0，0，2） ，B1（2，0， 2） ， C1（2，1，2） ，D1（0，2，2） ， （2，2，0） ，（0，1，2） ， 设平面 B1CD1的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 x2，则 （2，2，1） ， AB平面 B1C1C，平面 B1CC1的一个法向量（2，0，0） ， 设二面角 C1B1CD1的的平面角为 ，由图形得锐角， 二面角 C1B1CD1的余弦值为： cos （2）设 AQ（02） ，则 Q（，0，0） ， 点 P 是 AD 中点，则 P（0，1，0） ，（，1，0） ，（2，0，2） ， 设平面 B1PQ 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x2，得 （2，2，2） ， 设直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角大小为 ， 直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角的正弦值为， sin， 第 25 页（共 26 页） 解得 1 或
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