1、函数的定义域为 6 （5 分）某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 7 （5 分）若关于 x 的不等式 x2mx+30 的解集是（1，3） ，则实数 m 的值为 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线 y22px 上，则实数 p 的值为 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a98，S55，则 S15的值为 10 （5 分）已知函数的图象与函数 ycos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A， B，C，则ABC 的面积为 11 （5 分）
2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：x2+y24x8y+120，圆 N 与圆 M 外 切于点（0，m） ，且过点（0，2） ，则圆 N 的标准方程为 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x1 对称，当 x（0， 1时，f（x）eax（其中 e 是自然对数的底数） ，若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值 为 13 （5 分）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点，则 cos 第 2 页（共 26 页） ADE 的最小值为 14 （5 分）设函数 f（x）|x3axb|，x1，1，其中 a，bR若 f（x）M 恒成立， 则当 M
3、 取得最小值时，a+b 的值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，APAB，M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，平面 PAB平面 PBC （1）求证：BC平面 AMN； （2）求证：平面 AMN平面 PBC 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 a5，求 b 的值； （2）若，求 tan2C 的值 17 （14 分）如图，在
4、圆锥 SO 中，底面半径 R 为 3，母线长 l 为 5用一个平行于底面的平 面去截圆锥，截面圆的圆心为 O1，半径为 r现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心 O 为 顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为 V （1）将 V 表示成 r 的函数； （2）求小圆锥的体积 V 的最大值 第 3 页（共 26 页） 18 （16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆的右顶点为 A， 过点 A 作直线 l 与圆 O： x2+y2b2相切， 与椭圆 C 交于另一点 P， 与右准线交于点 Q 设 直线 l 的斜率为 k （1）用 k 表示椭圆 C 的离心率； （2）若，求椭圆 C 的离心率 19
5、 （16 分）已知函数（aR） （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y10，求 a 的值； （2）若 f（x）的导函数 f（x）存在两个不相等的零点，求实数 a 的取值范围； （3）当 a2 时，是否存在整数 ，使得关于 x 的不等式 f（x） 恒成立？若存在，求 出 的最大值；若不存在，说明理由 20 （16 分）已知数列an的首项 a13，对任意的 nN*，都有 an+1kan1（k0） ，数列 an1是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数 k 的值； （2）设数列bn的前 n 项和为 Sn，求所有正整数 m 的值，使 得恰好为数列bn中的项 第 4 页（共
6、 26 页） 数学（附加题） 【选做题】本题包括数学（附加题） 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答三小题，请选定其中两题，并在相应的答 题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21 （10 分）已知矩阵 M的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
7、立极坐 标系， 直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin） 12， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，R） ，在曲线 C 上求点 M，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知正数 x，y，z 满足 x+y+z1，求+的最小值 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分） 如图， 在三棱柱 ABCA1
8、B1C1中， AA1B1B 为正方形， BB1C1C 为菱形， BB1C1 60，平面 AA1B1B平面 BB1C1C （1）求直线 AC1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值； （2）求二面角 BAC1C 的余弦值 25 （10 分）已知 n 为给定的正整数，设，xR （1）若 n4，求 a0，a1的值； （2）若，求的值 第 5 页（共 26 页） 2020 年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市）年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市） 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每
9、小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案直接填写在答分请把答案直接填写在答题卡相应题卡相应 位置上位置上 1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|1x1，则 AB （1，2） 【分析】进行并集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|1x1， ABx|1x2（1，2） 故答案为： （1，2） 【点评】考查描述法、区间的定义，以及并集的运算 2 （5 分）已知复数 z 满足 z24，且 z 的虚部小于 0，则 z 2i 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出 a，b 【解答】解：设 za+bi， （a，bR） 复数 z 满足 z24，a2b2+2abi4， a2b24，2
10、ab0，且 z 的虚部小于 0， a0，b2 则 z2i 故答案为：2i 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 3 （5 分）若一组数据 7，x，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的方差是 【分析】由平均数的定义列方程求出 n 的值，再计算这组数据的方差 【解答】解：由题意知，（7+x+6+8+8）7， 解得 x6， 计算该组数据的方差为 S2（77）2+（67）2+（67）2+（87）2+（87）2 第 6 页（共 26 页） 故答案为： 【点评】本题考查了平均数和方差的计算问题，属于基础题 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，则输出的结果为
11、 21 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S1，I1 满足条件 I6，执行循环体，I2，S3 满足条件 I6，执行循环体，I3，S6 满足条件 I6，执行循环体，I4，S10 满足条件 I6，执行循环体，I5，S15 满足条件 I6，执行循环体，I6，S21 此时，不满足条件 I6，退出循环，输出 S 的值为 21 故答案为：21 【点评】本题考查的知识点是伪代码（算法语句）的应用，当循环的次数不多，或有规 律时，常采用模拟循环的方法解答 5 （5 分）函数的定义域为 4，+）
12、【分析】函数 f（x）有意义，只需 log2x20，且 x0，解不等式即可得 到所求定义域 【解答】解：函数 f（x）有意义， 只需 log2x20，且 x0， 解得 x4 则定义域为4，+） 第 7 页（共 26 页） 故答案为：4，+） 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数 大于 0，考查运算能力，属于基础题 6 （5 分）某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中 一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 【分析】基本事件总数 n238，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 m4，由此能求出
13、甲、乙两人不在同一教室上自习的概率 【解答】解：某学校高三年级有 A，B 两个自习教室， 甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习， 基本事件总数 n238， 甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 m4， 甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 7 （5 分）若关于 x 的不等式 x2mx+30 的解集是（1，3） ，则实数 m 的值为 4 【分析】利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得 m 的值 【解答】解：不等式 x2mx+30 的解集是（1，3） ， 所以方
14、程 x2mx+30 的解 1 和 3， 由根与系数的关系知， m1+34 故答案为：4 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线 y22px 上，则实数 p 的值为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即 可 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：双曲线的右准线 x，渐近线 yx， 双曲线的右准线与渐近线的交点（，） ， 交点在抛物线 y22px 上， 可得：3p， 解得 p 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，
15、是基本知识的考查， 基础题 9 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a2+a98，S55，则 S15的值为 135 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式解答 【解答】解：由于 a2+a98，S55， 所以 则 所以 S1515（5）+15142135 故答案是：135 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题 10 （5 分）已知函数的图象与函数 ycos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A， B，C，则ABC 的面积为 【分析】根据函数相等，建立方程关系求出 x 的值，求出点的坐标，结合三角形的面积 公式进行计算即可 【解答】解：由cos
16、2x 得 tan2x，则 2xk+， 得 x+，kZ， 取相邻的三个 k， 第 9 页（共 26 页） k1 时，x，2x，此时 ycos2x，即 A（，） ， k0 时，x，2x，此时 ycos2x，即 B（，） ， k1 时，x，2x，此时 ycos2x，即 C（，） ， 则|AC|（），B 到线段 AC 的距离 h（）， 则ABC 的面积 S， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，结合三角函数的关系求出交点坐标是解决 本题的关键，难度中等 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：x2+y24x8y+120，圆 N 与圆 M 外 切于点（0，m） ，且过点
17、（0，2） ，则圆 N 的标准方程为 （x+2）2+y28 【分析】直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程 【解答】解：已知圆 M：x2+y24x8y+120，整理得： （x2）2+（y4）28， 令 y0，圆的方程转换为：y28y+120，解得 y2 或 6 由于圆 N 与圆 M 相切于（0，m）且过点（0，2） 所以 m2 即圆 N 经过点 A（0，2） ，B（0，2） 所以圆心在这两点连线的中垂线 x 轴上， x 轴与 MA 的交点为圆心 N 所以 MA：yx+2 令 y0，则 x2 第 10 页（共 26 页） 即 N（2，0） ， R|NA2 所以圆 N 的标
18、准方程为： （x+2）2+y28 故答案为： （x+2）2+y28 【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于中档题型 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x1 对称，当 x（0， 1时，f（x）eax（其中 e 是自然对数的底数） ，若 f（2020ln2）8，则实数 a 的值 为 3 【分析】根据题意，分析可得 f（x）是周期为 4 的周期函数，进而结合函数的奇偶性与 周期性可得 f（2020ln2）f（ln2）f（ln2）（ex ln2）8，计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）的图象关于
19、x1 对称，所以 f（1+x）f（1x） 又由 f（x）是 R 上的奇函数，所以 f（x+1）f（x1） ，则有 f（x+2）f（x） ，f（x+4） f（x+2）f（x） 则 f（x）是周期为 4 的函数， 故 f（2020ln2）f（ln2）f（ln2）（ex ln2）8， 变形可得：2x8，解可得 x3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期性， 13 （5 分）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点，则 cos ADE 的最小值为 【分析】由 D，E 为三等分点可得相等的向量，分别写出， ，用与ADE 的边有关系的向量表示，再
20、由均值不等式求出最小值 【解答】解：由 D，E 是 BC 上的两个三等分点可得， 第 11 页（共 26 页） 由图形可得，2， 又因为即（）2（2）， 整理可得：7+4 2，即 7| |cosADE|2+4|2， 由基本不等式可得 cosADE， 故 cosADE 的最小值为： 故答案为： 【点评】考查平面向量的数量积的运算及其性质，属于中档题 14 （5 分）设函数 f（x）|x3axb|，x1，1，其中 a，bR若 f（x）M 恒成立， 则当 M 取得最小值时，a+b 的值为 【分析】构造函数 g（x）x3axb，可知该函数关于点（0，b）对称，然后分 a0、 a3、0a3 三种情况讨论
21、，分析函数 yg（x）在区间1，1上的单调性，得出函 数 f（x）|g（x）|在区间1，1上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当 M 取得最小值时 a+b 的值 【解答】解：构造函数 g（x）x3axb，则 f（x）|g（x）|， 由于 g（x）+g（x）（x3axb）+（x3+axb）2b， ，函数 yg（x）的图象关于点（0，b）对称，且 g（x）3x2a 当 a0 时，g（x）0，函数 yg（x）在区间1，1上单调递增， 则， ， 此时，当 a0，1b1 时，M 取最小值 1； 当 a3 时，对任意的 x1，1，g（x）0，函数 yg（x）在区间1，1上单调 递减， 第 12 页
22、（共 26 页） 则， ， 此时，当 a3，2b2 时，M 取最小值 2； 当 0a3 时，令 g（x）0，得，令，列表如下： x 1，t） t （t，t） t （t，1 g（x） + 0 0 + g（x） 极大值 极小值 不妨设 g（0）b0，则 b0，则， Mmaxf（1） ，f（t） ，f（t） ，f（1）， g（t）+g（t）2g（0）0，且 g（t）g（t） ，g（t）|g（t）|f（t） ， g（1）+g（1）2g（0）0，若 g（1）g（1） ，则 g（1）|g（1）|f（1） ， 若 g（1）g（1） ，则 g（1）0，但 g（t）g（1） ， g（t）g（1）（2t3b）（1
23、ab）2t3+a12t3+3t21（2t1） （t+1） 2， 当时， 当且仅当 b0，时，即当，b0 时，M 取得最小值； 当时，Mg（t）2t3b2t32 综上所述，当，b0 时，M 取得最小值，此时 故答案为： 【点评】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函 数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来 第 13 页（共 26 页） 求解，考查分类讨论思想，转化思想和函数思想，属难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解
24、答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，APAB，M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，平面 PAB平面 PBC （1）求证：BC平面 AMN； （2）求证：平面 AMN平面 PBC 【分析】 （1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明； （2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用 【解答】证明：如图所示： （1）M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， MNBC， MNAMN，BCAMN， 所以 BC面 AMN； （2）PAAB，点 M 为棱 PB 的中点， AMPB，又平面 PAB平面 PBC， 平面 P
25、AB平面 PBCPB，AMPAB，AM面 PBC，又 AMAMN， 平面 AMN平面 PBC 【点评】考查线面平行定理的应用及面面垂直的判定定理及性质定理的应用，属于基础 题 第 14 页（共 26 页） 16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 （1）若 a5，求 b 的值； （2）若，求 tan2C 的值 【分析】 （1）结合已知，可利用余弦定理求出 b； （2）由已知结合同角平方关系可求 sinA，然后结合诱导公式及和差角公式可求 cosC， sinC，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求 【解答】解： （1）在ABC 中，由余弦定理 b2+c22b
26、ccosAa2， 得，即 b24b50， 解得 b5 或 b1（舍） ，所以 b5 （2）由及 0A 得， 所以， 又因为 0C，所以， 从而， 所以 【点评】本题综合考查了余弦定理，同角基本关系，和差角公式及二倍角公式在求解三 角形中的应用，属于中档试题 17 （14 分）如图，在圆锥 SO 中，底面半径 R 为 3，母线长 l 为 5用一个平行于底面的平 面去截圆锥，截面圆的圆心为 O1，半径为 r现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心 O 为 顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为 V （1）将 V 表示成 r 的函数； （2）求小圆锥的体积 V 的最大值 第 15 页（共 26 页） 【
27、分析】 （1）在SAO 中，由SNO1SAO 可知， ，从而，由此能将 V 表示成 r 的函数 （2）由，得，令 V（r） 0，得 r2，由此能求出小圆锥的体积 V 的最大值 【解答】解： （1）在SAO 中， 由SNO1SAO 可知，所以， 所以，所以 （2）由（1）得， 所以，令 V（r）0，得 r2， 当 r（0，2）时，V（r）0， 所以 V（r）在（0，2）上单调递增； 当 r（2，3）时，V（r）0， 所以 V（r）在（2，3）上单调递减 所以当 r2 时，V（r）取得最大值 答：小圆锥的体积 V 的最大值为 【点评】本题考查圆锥体积最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
28、关系 第 16 页（共 26 页） 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18 （16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆的右顶点为 A， 过点 A 作直线 l 与圆 O： x2+y2b2相切， 与椭圆 C 交于另一点 P， 与右准线交于点 Q 设 直线 l 的斜率为 k （1）用 k 表示椭圆 C 的离心率； （2）若，求椭圆 C 的离心率 【分析】 （1）写出直线 l 的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得由此 求得椭圆的离心率； （2）设椭圆 C 的焦距为 2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方 程求得 Q 与 P 的坐标，结合，得 a（a2k2b2）2b2k
29、2（ac） ，由（1）知， ，由此列等式求解椭圆 C 的离心率 【解答】解： （1）直线 l 的方程为 yk（xa） ，即 kxyak0， 直线 l 与圆 O：x2+y2b2相切， 故 椭圆 C 的离心率； （2）设椭圆 C 的焦距为 2c，则右准线方程为， 第 17 页（共 26 页） 由，得， 由，得（b2+a2k2）x22a3k2x+a4k2a2b20， 解得，则， ， ， 即 a（a2k2b2）2b2k2（ac） ， 由（1）知， ， 整理得 a2a2c，即 a2c， 故椭圆 C 的离心率为 【点评】本题是圆与椭圆的综合题，考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的 应用，考查计算能
30、力，是中档题 19 （16 分）已知函数（aR） （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y10，求 a 的值； （2）若 f（x）的导函数 f（x）存在两个不相等的零点，求实数 a 的取值范围； 第 18 页（共 26 页） （3）当 a2 时，是否存在整数 ，使得关于 x 的不等式 f（x） 恒成立？若存在，求 出 的最大值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）求导，利用导数的几何意义即可求解； （2）因为存在两个不相等的零点，所以 g（x）ax1+lnx 存在两 个不相等的零点，则，再对 a 分情况讨论求出 a 的取值范围； （3）当 a2 时，设 g （x）2
31、x1+lnx，则所以 g（x）单调递增，且， g（1）10，所以存在使得 g（x0）0，所以 xx0时，f（x）取得 极小值，也是最小值，此时 ，因为， 所以 f（x0）（1，0） ，因为 f（x），且 为整数，所以 1，即 的最大值为 1 【解答】解： （1）， 因为曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y10， 所以 f（1）a11，得 a0； （2）因为存在两个不相等的零点， 所以 g（x）ax1+lnx 存在两个不相等的零点，则， 当 a0 时，g（x）0，所以 g（x）单调递增，至多有一个零点， 当 a0 时，因为当时，g（x）0，g（x）单调递增， 当时，g（x
32、）0，g（x）单调递减， 所以时， 因为 g（x）存在两个零点，所以，解得e 2a0， 因为e 2a0，所以 ， 因为 g（1）a10，所以 g（x）在上存在一个零点， 第 19 页（共 26 页） 因为e 2a0，所以 ， 因为，设，则 y2lntt1（te2） ， 因为，所以 y2lntt1（te2）单调递减， 所以 y2ln（e2）e213e20，所以， 所以 g（x）在上存在一个零点， 综上可知，实数 a 的取值范围为（e 2，0） ； （3）当 a2 时， 设 g（x）2x1+lnx，则所以 g（x）单调递增， 且，g（1）10，所以存在使得 g（x0）0， 因为当 x（0，x0）时
33、，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递增， 所以 xx0时，f（x）取得极小值，也是最小值， 此时， 因为，所以 f（x0）（1，0） ， 因为 f（x），且 为整数，所以 1，即 的最大值为1 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函 数的最值，是中档题 20 （16 分）已知数列an的首项 a13，对任意的 nN*，都有 an+1kan1（k0） ，数列 an1是公比不为 1 的等比数列 （1）求实数 k 的值； （2）设数列bn的前 n 项和为 Sn，求所有正整数
34、m 的值，使 得恰好为数列bn中的项 【分析】 （1）利用递推关系 an+1kan1，取特殊值 n1，2，3，从而得到 a13，a2 3k1，因为数列an1是等比数列，利用等比中项公式，可得 第 20 页（共 26 页） ，进而算出 k2 或，然后检验即可得解； （2）由（1）可得，结合分组求和法算得 S2m，S2m1，并得知 S2m10，S2m0于是假设，则 t1，3 或 t 为偶数，然后分 类讨论每种情形是否符合题意即可得解 【解答】解： （1）由 an+1kan1，a13，可知 a23k1， an1为等比数列， ， 即（3k2）22（3k2k2） ， 整理，得 3k210k+80，解得
35、k2 或 当时，此时 an3，则 an12， 数列an1的公比为 1，不符合题意； 当 k2 时，an+112（an1） ，所以数列an1的公比， 综上所述，实数 k 的值为 2 （2）由（1）知， 则 （41）+（43）+4（2m1）+4+42+4m ， ， ， b2+b350，b130， 第 21 页（共 26 页） S2m10，S2m0 设，则 t1，3 或 t 为偶数， 因为 S2mS2m1，所以 t3（即 b31）不可能，所以 t1 或 t 为偶数， 当时，化简得 6m224m+84m4，即 m2 4m+20，所以 m 可取值为 1，2，3， 验证得，当 m2 时，成立 当 t 为偶
36、数时， 设，则， 由知 m3，当 m4 时，； 当 m4 时，cm+1cm0，所以 c4c5c6，所以 cm的最小值为， 所以， 令， 则， 即3m2+12m40， 而此方程无整数解 综上，正整数 m 的值为 2 【点评】本题考查数列的综合运用，涉及递推关系、等比中项公式、分组求和法和分类 讨论等知识和方法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题 数学（附加题） 【选做题】本题包括数学（附加题） 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答三小题，请选定其中两题，并在相应的答 题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演题区域内作答若多
37、做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 第 22 页（共 26 页） 21 （10 分）已知矩阵 M的一个特征值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 【分析】写出矩阵 M 的特征多项式 f（） ，根据题意知 f（4）0 求出 t 的值，写出矩阵 M，再求它的逆矩阵 【解答】解：矩阵 M 的特征多项式为 f（）（2） （1）3t； 因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以方程 f（）0 有一根为 4； 即 f（4）233t0，解得 t2； 所以 M， 设 M 1 ， 则 MM 1 ， 由，解得； 由，解得； 所以 M 1 【
38、点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系， 直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin） 12， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，R） ，在曲线 C 上求点 M，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直 线的距离公式的应用求出结果 【解答】解：直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin）12，转换为直角坐标方程 x+y12 0 第
39、23 页（共 26 页） 曲线 C 的参数方程为（ 为参数，R） ， 设点 P（） ， 所 以 点P （） 到 直 线x+y 12 0的 距 离d ， 当时，即 M（3，1）到直线的距离的最小值为 4 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知正数 x，y，z 满足 x+y+z1，求+的最小值 【分析】根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2z）+（z+2x）3（x+
40、y）3，结合柯西不 等式分析可得答案 【解答】解：根据题意，x+y+z1，则（x+2y）+（y+2z）+（z+2x）3（x+y）3； 则有（x+2y）+（y+2z）+（z+2x）（+）（）+ （）+（）29； 当且仅当 xyz时等号成立； 变形可得：+3，即+的最小值为 3 【点评】本题考查柯西不等式的应用，注意柯西不等式的形式，属于基础题 【必做题】第【必做题】第 22、23 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24 （10 分） 如图，
41、 在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1B1B 为正方形， BB1C1C 为菱形， BB1C1 60，平面 AA1B1B平面 BB1C1C （1）求直线 AC1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值； （2）求二面角 BAC1C 的余弦值 第 24 页（共 26 页） 【分析】 （1）在平面 BB1C1C 内过点 B 作 BzBB1，以点 B 为坐标原点，分别以 BA，BB1 所在的直线为 x，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，用向量法求出即可； （2）求出平面 BAC1的一个法向量和平面 ACC1的一个法向量，利用向量的夹角公式求 出即可 【解答】解： （1）在正方形 ABB1
42、A1中，ABBB1， 因为 平面 AA1B1B平面 BB1C1C， 平面 AA1B1B平面 BB1C1CBB1， AB平面 ABB1A1， 所以 AB平面 BB1C1C，在平面 BB1C1C 内过点 B 作 BzBB1，以点 B 为坐标原点，分 别以 BA，BB1所在的直线为 x，y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz， 设 A（2，0，0） ，则 B1（0，2，0） 在菱形 BB1C1C 中，BB1C160，C（0，1，） ， C1（0，1，） ， ，平面 AA1B1B 的一个法向量为， 则由 cos， 故线 AC1与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为； （2）设平面BAC1的一
43、个法向量为， ， 由，得，故， 设平面 ACC1的一个法向量， 由，得，故， 由 cos， 第 25 页（共 26 页） 故二面角 BAC1C 的余弦值为 【点评】考查了空间面面垂直性质，向量法求线面角、面面角，属于中档题 25 （10 分）已知 n 为给定的正整数，设，xR （1）若 n4，求 a0，a1的值； （2）若，求的值 【分析】 （1）利用二项式展开式公式计算 n4 时 a0和 a1的值； （2）由 x写出 akxk，利用 kn， 讨论 n1 和 n2 时，计算（nk） akxk的值即可 【解答】解： （1）因为 n4，所以 a0， a1； （2）当 x时，akxk， 又因为 kknn， 当 n1 时，（nk）akxk； 当 n2 时，（nk） akxk（nk） nk 第 26 页（共 26 页） nn nn nn n，当 n1 时，也符合 所以（nk）akxk的值为n 【点评】本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，也考查了推理与计算能力， 是中档题
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