1、设集合 A2，4，BxN|x30，则 AB（ ） A1，2，3，4 B0，1，2，3，4 C2 Dx|x4 2 （5 分）甲、乙、丙、四位同学各自对 x，y 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析 方法分别求得相关系数 r，如表： 相关系数 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 3（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 点， 将向量绕点 O 按逆时针方向旋转 后得到向量，则点 Q 的坐标是（ ） A B C D 4 （5 分） “a1 是“x0，a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充
2、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）函数 f（x）在，上的图象大致为（ ） A B C D 6 （5 分）玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型 玉器，1986 年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高 8.8cm，孔径 4.9cm、外径 第 2 页（共 27 页） 17.6cm琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁 矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该 神人纹玉琮王的体积约为（单位：cm3） （ ） A6250 B3050 C2850 D2350 7 （5 分）定义在
3、R 上的偶函数 f（x）2|x m|1，记 af（1n3） ，bf（log 25） ，cf （2m） ，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 8 （5 分）如图，已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点以 P 为圆心的圆与线段 PF 相交于点 Q，与过焦点 F 且垂直于对称 轴的直线交于点 A，B，|AB|PQ|，直线 PF 与抛物线 C 的另一交点为 M，若 ，则（ ） A1 B C2 D 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个
4、选项中， 只有多项符合题目要求，全部选对的得只有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知双曲线，则不因 改变而变化的是 （ ） A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 10 （5 分）如图是2018 年全国教育事业发展统计公报中 19492018 年我国高中阶段在 校生数条形图和毛入学率的折线图，根据如图可知在 19492018 年（ ） 第 3 页（共 27 页） A1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高 B从 1990 年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年
5、增高 C2010 年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰 D2018 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点 11 （5 分）已知函数 f（x）对xR，满足 f（x）f（6x） ，f（x+1）f（x+1） ，若 f （a） f （2020） ， a5， 9且 f （x） 在5， 9上为单调函数， 则下列结论正确的是 （ ） Af（3）0 Ba8 Cf（x）是周期为 4 的周期函数 Dyf（x）的图象关于点（1，0）对称 12 （5 分）如图，点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心，过点 O 的直线交 AC，BC 于点 M，N，
6、S 是棱 PC 上的点，平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q，与棱 PB 的延 长线相交于点 R，则（ ） A若 MN平面 PAB，则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN，使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 MN，使 第 4 页（共 27 页） D是常数 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知复数是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 的值为 14 （5 分）的展开式中 x2项的系数是 （用数字作答） 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）是偶函数，将 yf
7、 （x）的图象沿 x 轴向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 yg（x） 已知 yg（x）的图象相邻对称中心 之间的距离为 2，则 ；若 yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为 2，则 g（x）在0，上的最大值为 16 （5 分）定义函数 f（x）xx，其中x表示不超过 x 的最大整数，例如：1.31， 1.52，22当 x0，n） （nN*）时，f（x）的值域为 An记集合 An中元素的个 数为 an，则值为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，答
8、应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）ABC 的内角 A，B、C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 （ca，sinB） ， （ba，sinA+sinC）且 （1）求 C； （2）若，求 sinA 18 （12 分）在b2n2bn+1，a2b1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列的前 n 项和 Sn 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 19 （12 分）如图，在等腰直角三角形 ADP 中，A90，AD3，B，C
9、分别是 AP，DP 上的点，且 BCAD，E，F 分别是 AB，PC 的中点，现将PBC 沿 BC 折起，得到四棱 锥 PABCD，连接 EF 第 5 页（共 27 页） （1）证明：EF平面 PAD； （2）是否存在点 B，当将PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时，二面角 PCDE 的余弦值 等于？若存在，求出 AB 的长；若不存在，请说明理由 20 （12 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中 国成人的 BMI 数值标准为：BMI18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏 胖，为
10、了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽 样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本，测量了 他们的身高和体重数据，计算得到他们的 BMI 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BMI24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，求至少有 1 人偏胖的概率； （2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求
11、X 的分布列和数学期望； （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 第 6 页（共 27 页） 人次 8 12 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 21 （12 分）直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 C：的左右焦 点，A 为椭圆的右顶点，点 P 为椭圆 C 上的动点（点 P 与 C 的左右顶点不重合） ，当 PF1F2为等边三角形
12、时， （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，M 为 AP 的中点，直线 MO 交直线 x4 于点 D，过点 O 作 OEAP 交直 线 x4 于点 E，证明OEF1ODF1 22 （12 分）已知函数 （1）设函数 f（x）与 g（x）有相同的极值点 （i）求实数 a 的值； （ii）若对，不等式恒成立，求实数 k 的取 值范围 （2）a0 时，设函数 h（x）eg （x）sin（g（x） ）1，试判断 h（x）在（，0）上 零点的个数 第 7 页（共 27 页） 2020 年山东省潍坊市高考数学一模试卷年山东省潍坊市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本
13、大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有有一项是符合题目要求的有有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 A2，4，BxN|x30，则 AB（ ） A1，2，3，4 B0，1，2，3，4 C2 Dx|x4 【分析】可以求出集合 B，然后进行并集的运算即可 【解答】解：A2，4，B0，1，2，3， AB0，1，2，3，4 故选：B 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2 （5 分）甲、乙、丙、四位同学各自对 x，y 两变量的线性相关性作
14、试验，并用回归分析 方法分别求得相关系数 r，如表： 相关系数 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据相关系数|r|的值越大，其试验结果体现两变量有更强的线性相关性判断即 可 【解答】解：根据题意知，丁同学的相关系数|r|0.87 为最大， 所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性 故选：D 【点评】本题考查了利用相关系数|r|判断两变量有更强的线性相关性问题，是基础题 3（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 点， 将向量绕点 O 按逆时针方向旋转 后得到向量，则点
15、 Q 的坐标是（ ） A B C D 第 8 页（共 27 页） 【分析】设 Q（x，y） （x0，y0） ，根据题意建立方程 x2+y24，解出即 可 【解答】 解： 设 Q （x， y） （x0， y0） ， 依题意， 且， ，即， 由解得，即 故选：D 【点评】本题考查了任意角的三角函数以及两向量垂直的数量积运算，考查计算能力， 属于基础题 4 （5 分） “a1 是“x0，a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据基本不等式，求出 a 的范围，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条 件的定义进行判断即可 【解答】解：当 x0 时，
16、x+22， 若“x0，a” ，则 a2， 则 a1 是 a2 的充分不必要条件， 即“a1 是“x0，a”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合基本不等式的性质求出 a 的范 围是解决本题的关键比较基础 5 （5 分）函数 f（x）在，上的图象大致为（ ） A B 第 9 页（共 27 页） C D 【分析】易知当 x（0，）时，观察选项可知，只有选项 A 符合题意 【解答】解：当 x（0，）时，xsinx，故此时，只有选项 A 符合 题意 故选：A 【点评】本题考查利用函数解析式确定函数图象，解题的关键是掌握当 x（0，）时， xsinx，属于基础题
17、 6 （5 分）玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型 玉器，1986 年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高 8.8cm，孔径 4.9cm、外径 17.6cm琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁 矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该 神人纹玉琮王的体积约为（单位：cm3） （ ） A6250 B3050 C2850 D2350 【分析】由题意，利用棱柱体积减去内部圆柱体积，再结合实际情况得答案 【解答】解：由题意，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为 17.6cm，高为 8.8cm 的长方
18、体的体积减去底面直径为 4.9cm，高为 8.8cm 的圆柱的体积 则 V2560cm3 结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为 2350cm3 故选：D 【点评】本题考查棱柱与圆柱体积的求法，考查考生分析和解决实际问题的能力，是基 础题 第 10 页（共 27 页） 7 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）2|x m|1，记 af（1n3） ，bf（log 25） ，cf （2m） ，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】根据题意，由偶函数的定义可得 f（x）f（x） ，即 2|x m|12|xm|1，解 可得 m0，即可得函数
19、的解析式，分析可得 f（x）在（0，+）上为增函数，据此分析 可得答案 【解答】解：根据题意，定义在 R 上的偶函数 f（x）2|x m|1，则有 f（x）f（x） ， 即 2|x m|12|xm|1，解可得 m0， 则 f（x）2|x|1，则 f（x）在（0，+）上为增函数， af（1n3）f（ln3） ，bf（log25） ，cf（20）f（1） ， 又由 01ln32log25，则有 cab， 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意求出 m 的值，属于基础题 8 （5 分）如图，已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点以 P 为圆心的圆
20、与线段 PF 相交于点 Q，与过焦点 F 且垂直于对称 轴的直线交于点 A，B，|AB|PQ|，直线 PF 与抛物线 C 的另一交点为 M，若 ，则（ ） A1 B C2 D 【分析】设圆的半径为 r，易知PAB 为正三角形，从而求得 x0以及|PF|，由于 ，所以可得；再由 P 和 F 两点的坐标可表示出直线 PF 的方程， 将其与抛物线的方程联立，消去 y 可得关于 x 的一元二次方程，再结合韦达定理可求出 第 11 页（共 27 页） xM，然后利用抛物线的定义求出|FM|，于是，结合前面得出的结论 ，即可得解 【解答】解：设圆的半径为 r，则|AB|PQ|PB|PA|r，PAB 为正三
21、角形， ， 由抛物线的定义可知，|PF|， 又，化简得：， ， 直线 PF 的方程为， 联立，消去 y 可得， 由韦达定理可知， 由抛物线的定义可知，|FM|， ， 故选：B 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的定义、曲直联立，灵活运用 抛物线的定义是解题的关键，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有多项符合题目要求，全部选对的得只有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不
22、全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知双曲线，则不因 改变而变化的是 （ ） A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 【分析】双曲线，可化为 第 12 页（共 27 页） a24sin2，b22sin2即可逐一判定 【 解 答 】 解 ： 双 曲 线， 可 化 为 a24sin2，b22sin2 c26sin2， ， 渐近线 y， 故选：BD 【点评】本题考查了双曲线的标准方程、离心率、渐近线，属于中档题 10 （5 分）如图是2018 年全国教育事业发展统计公报中 19492018 年我国高中阶段在 校生数条形图和毛入学率的折线图，根据如图可知在 1949
23、2018 年（ ） A1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高 B从 1990 年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高 C2010 年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰 D2018 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点 【分析】根据图表判断选项 【解答】解：由图可知，1978 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度 提高，A 对； 2016 年我国高中阶段的在校生数和毛入学率降低，B 错； 第 13 页（共 27 页） 2015 年我国高中阶段在毛入学率均达到了最高峰，C 错； 2018
24、 年高中阶段在校生数比 2017 年下降了约 0.9%而毛入学率提高了 0.5 个百分点，D 对， 故选：AD 【点评】本题考查直方图，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）对xR，满足 f（x）f（6x） ，f（x+1）f（x+1） ，若 f （a） f （2020） ， a5， 9且 f （x） 在5， 9上为单调函数， 则下列结论正确的是 （ ） Af（3）0 Ba8 Cf（x）是周期为 4 的周期函数 Dyf（x）的图象关于点（1，0）对称 【分析】由条件求得可得 f（x）f（x+8） ，故周期时 8，再结合给的条件对各个选项进 行转化判断即可 【解答】解：f（x）对xR，满足
25、 f（x）f（6x） ，f（x+1）f（x+1） ， f（x）f（6x）f（x5）+1）f（x5+1）f（x4） ，f（x4） f（x） ，f（x8）f（x44）f（x4）f（x） ，故 f（x）的周期为 T8 因为 T8，故 C 错； f（a）f（2020）f（2528+4）f（4）f（3+1）f（2） f（6（2） ）f（8） ，又 a5，9且 f（x）在5，9上单调，易得 a8故 B 对 因为：f（x）f（6x）f（3）f（63）f（3）f（3）0，A 对， f（x+1）f（x+1） ，x1 为对称轴，故 D 错 故选：AB 【点评】本题主要考查抽象函数的性质，求得 f（x）f（x4）
26、，是解题的关键，属于 中档题目 12 （5 分）如图，点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心，过点 O 的直线交 AC，BC 于点 M，N，S 是棱 PC 上的点，平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q，与棱 PB 的延 长线相交于点 R，则（ ） 第 14 页（共 27 页） A若 MN平面 PAB，则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN，使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 MN，使 D是常数 【分析】 A 选项利用 MN 平行于平面 PAB 得到 MNAB， 再通过证明 MNQR 证明即可； B 选项我们可以先找到与 PC 垂直的面，然后找相应的点 S 满足相
27、应的条件； C 选项为向量问题，要想研究是否存在点 S 与 MN 满足条件只需找到最大角即可； D 选项可以考虑寻找合适的基向量进行证明，因为无法建系，只能引用向量的线性运算 进行 【解答】解：A 选项：因为 MN平面 PAB，面 ABC面 PABAB，所以 MNAB； 又面 SQR面 PABQR，所以 MNQR； 所以 ABQR； B 选项取 PC 中点 G，连接 AG，BG，则 AGPC，BGPC，所以 PC面 ABG， 过 AC 上一点 M，作 MSAG，SNBG，则面 ABG面 SMN，所以存在点 S 与直线 MN 满足条件； C 选项由最小角定理知，PC 与面 PAB 所成角的最小角
28、为CPD，PD 为APB 的角平分 线，最大角为CPD60，不可能为直角，所以 C 不成立； D 选项， ， ，设， 第 15 页（共 27 页） 所以， 因为 O，Q，R，S 四点共面，所以， 所以，所以，得证 故选：ABD 【点评】本题难度较大，考查了立体几何与向量之间的综合应用 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知复数是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 的值为 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 【解答】解：是纯虚数， ，解得 a 故答案为： 【点评
29、】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 14 （5 分）的展开式中 x2项的系数是 112 （用数字作答） 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 2，求得 r 的值，即可求 得含 x2项的系数 【解答】解：因为的展开式的通项公式为：Tr+1 2rx； 令2r2； 的展开式中 x2项的系数是：22112 故答案为：112 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）是偶函数，将 yf （x）的图象沿 x 轴向左平移个单位，再将图象上所
30、有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 yg（x） 已知 yg（x）的图象相邻对称中心 第 16 页（共 27 页） 之间的距离为 2，则 1 ；若 yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为 2，则 g（x）在0，上的最大值为 【分析】本题先通过平移得到 g（x）这里带有未知数，然后根据题中所给条件，相邻对 称中心之间的距离为半个周期，即可求出周期，进而求出 ，由对称轴处对应值即可知 道本函数最大值为 2，最小值为2，最终求的 g（x）解析式 【解答】解： （1）f（x）是偶函数且 0， f（x）Asin（x+）Acosx 由已知将 yf（x）的图象沿 x
31、 轴向左平移个单位，可得 f（x）Acos（x+） ，再 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，可得 g（x）Acos （x+） ， yg（x）的图象相邻对称中心之间的距离为 2， 2，T4， 4，1 故答案为 1 （2）yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为2，则 A2， g（x）2cos（x+） 0x，x+， g（x）在0，上的最大值为当x+即 x0 时，g（x）max2 故答案为 【点评】本题考查的是三角函数图象和性质中的平移问题，属中档题 16 （5 分）定义函数 f（x）xx，其中x表示不超过 x 的最大整数，例如：1.31， 1.52，22当 x0，n）
32、 （nN*）时，f（x）的值域为 An记集合 An中元素的个 数为 an，则值为 【分析】根据题意，由x的定义分析 xx的表达式，进而可得xx在各区间中的元素个 第 17 页（共 27 页） 数，相加即可得 an1+1+2+3+（n1）1+，结合数列求和的方法分析 可得答案 【解答】解：根据题意，x表示不超过 x 的最大整数，即x， 则有 xx， 则xx在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，n1； 故 an1+1+2+3+（n1）1+， （） + （） + （） + （）+（）+（） 2（1）； 故答案为： 【点评】本题考查数列与函数的关系，涉及数列的求和，注意分析an的通项，属于中 档题
33、四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）ABC 的内角 A，B、C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 （ca，sinB） ， （ba，sinA+sinC）且 （1）求 C； （2）若，求 sinA 【分析】 （1）利用向量平行的性质，正弦定理可得 a2+b2c2ab，由余弦定理可求 cosC ，结合范围 C（0，） ，可求 C 的值 第 18 页（共 27 页） （2）由（1）可得 BA，由题设及正弦定理可得 sin（A），可求范围 A，利用同角三角函数基本关系式可
34、求 cos（A），进而根 据两角和的正弦函数公式可求 sinA 的值 【解答】解： （1）向量 （ca，sinB） ， （ba，sinA+sinC）且 ， （ca） （sinA+sinC）（ba）sinB，由正弦定理可得（ca） （a+c）（ba）b， a2+b2c2ab，cosC， C（0，） ， C （2） 由 （1） 可得 BA， 由题设及正弦定理可得：sinC+3sin （A） 3sinA， 即+cosA+sinAsinA，可得 sin（A）， 由于 0，A， cos （A），sinAsin（A+） sin（A）cos+cos （A） sin 【点评】本题主要考查了向量平行的性质，正弦
35、定理，余弦定理，同角三角函数基本关 系式，两角和的正弦函数公式在解解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 18 （12 分）在b2n2bn+1，a2b1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列的前 n 项和 Sn 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 【分析】运用等比数列的通项公式可得 an3n 1选时，设数列b n的公差为 d， 由等差数列的通项公式可得 bn，再由错位相减法求和，可得 Sn； 选时，设数列bn的公差为 d，d
36、0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公 第 19 页（共 27 页） 式，解方程可得公差和首项，进而得到 bn，再由错位相减法求和，可得 Sn； 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公 式，解方程即可判断不成立 【解答】解：由 a11，an+13an，可得an为首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an 3n 1 选时，设数列bn的公差为 d，由 a23，所以 b1+b23，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时，b22b1+1，解得 b1，b2，所以 d， 因此 bn，（5n3） （）n， Sn2+7 （）2+（5n3） （）n， Sn2 （）2+7
37、 （）3+（5n3） （）n+1， 两式相减可得Sn+5（）2+（）3+（）n（5n3） （）n+1 +5（5n3） （）n+1， 所以 Sn 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 a23，可得 b1+b23，即 2b1+d3， 由 b1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4，即（b1+d）2b1（b1+3d） ，化为 b1d， 解得 db11，所以 bnn，nN*；， Sn1 （）0+2+3 （）2+n （）n 1， Sn+2 （）2+（n1） （）n 1+n （ ）n， 两式相减可得Sn1+（）2+（）3+（）n 1n （ ）n n （）n， 第 20 页（共 27 页） 化简可得
38、 Sn 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时，b22b1+1，即 db1+1，又因为 b1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4， 即（b1+d）2b1（b1+3d） ，化为 b1d，从而无解， 所以等差数列bn不存在，故不合题意 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减 法求和，考查化简运算能力，以及方程思想和推理能力，属于中档题 19 （12 分）如图，在等腰直角三角形 ADP 中，A90，AD3，B，C 分别是 AP，DP 上的点，且 BCAD，E，F 分别是 AB，PC 的中点，现将PBC 沿 BC 折起，
39、得到四棱 锥 PABCD，连接 EF （1）证明：EF平面 PAD； （2）是否存在点 B，当将PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时，二面角 PCDE 的余弦值 等于？若存在，求出 AB 的长；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）作 CMAB，交 AD 于点 M，连结 PM，取 PM 中点 N，连结 AN，PN，由 中位线定理得 FNCM，且 FNCM，推导出四边形 AEFN 是平行四边形，EFAN， 由此能证明 EF平面 PAD （2）推导出 BC平面 PAB，AD平面 PAB，PAAD，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
40、能求出存在点 B，当将 PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时，三面角 PCDE 的余弦值等于，AB 的长为 1 【解答】解： （1）证明：作 CMAB，交 AD 于点 M，连结 PM， 取 PM 中点 N，连结 AN，PN，由中位线定理得 FNCM，且 FNCM， E 是 AB 的中点，AECM，且 AECM， FNAE，且 FNAE，四边形 AEFN 是平行四边形，EFAN， 第 21 页（共 27 页） AN平面 PAD，EF平面 PAD，EF平面 PAD （2）解：存在点 B，当将PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时，二面角 PCDE 的余弦值 等于 理由如下： BCAB，BCPB，
41、且 ABPBB， BC平面 PAB，又 BCAD，AD平面 PAB， PAAD， ABAD，PAAB， 以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ABa，则 PBBC3a，由 PBAB，得 0a，PA， A（0，0，0） ，C（a，3a，0） ，P（0，0，） ，D（0，3，） ， 设平面 PCD 的一个法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （1，1，） ， 平面 CDE 的一个法向量 （0，0，1） ， 依题意得，解得 a1，即 AB1， 存在点 B，当将PBC 沿 BC 折起到 PAAB 时， 二面角 PCDE 的余弦值等于，A
42、B 的长为 1 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 第 22 页（共 27 页） 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中 国成人的 BMI 数值标准为：BMI18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏 胖，为了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽 样方法抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本，测量了 他们的身
43、高和体重数据，计算得到他们的 BMI 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BMI24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，求至少有 1 人偏胖的概率； （2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致
44、偏胖的原因，整 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 【分析】 （1）设 A，B，C 分别表示从样本中的老年人，中年人，青年人中任取一人，这 个人恰好偏胖的事件，根据题意，求出 P（A） ，P（B） ，P（C） ，由至少有 1 人偏胖的概 率为 1P（）求出即可； （2）根据题意，X 所有可能的取值为 0，1，2，3，求出分布列和数学期望； （3）根据题意，写出两个改进措施即可 第 23 页（共 27 页） 【解答】解： （1）设 A，B，C 分别表示从样本中的老年人，中年人，青年人中任取一人， 这个人恰好偏胖的事件， 根据题意，则 P（A），P（B），P（C）， 则 至 少 有1人 偏 胖 的 概 率 为1 P （） 1 ； （2）根据题意，X 所有可能的取值为 0，1，2，3， 由在该社区成年人中，随机选取 1 人，偏胖的概率为， P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）， 随机变量的分布列如下： X 0 1 2 3 P EX； （3）由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比约为 30%，因缺乏体育锻炼导致 人偏胖的人次占比约为 40%， 所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，可采取如下 2 种措施：
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