1、已知集合 Ux|x5，Ax|3x27，则UA（ ） Ax|x3 Bx|x5 Cx|3x5 Dx|x0 或 3x5 2 （5 分）已知复数 z 满足 z 0，且 z 9，则 z（ ） A3 B3i C3 D3i 3 （5 分）已知两个力 F1（4，2） ，F2（2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上， 为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 F3，则 F3（ ） A （2，5） B （2，5） C （5，2） D （5，2） 4 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a42（a1+a3） ，且 a1a3a5512，则 S10（ ） A1022 B2046
2、C2048 D4094 5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 第 2 页（共 23 页） 一致 D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6 （5 分） 已知 f （x） x2+2xf （2） ， 则曲
3、线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为 （ ） A4xy+90 B6x+y10 C10xy10 D6x+y+10 7 （5 分）若（12x） （1+ax）4展开式中 x2的系数为 78，则整数 a 的值为（ ） A3 B2 C2 D3 8 （5 分）已知函数 f（x）e xex，若 a0.60.5，blog 0.50.6，clog0.65，则（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（a）f（b） 9 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为（ ） A
4、4 B C D16 10 （5 分）将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心 为（ ） A （2k，0） ，kZ B C D 11 （5 分）双曲线（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近 线平行的直线且与渐近线分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB（O 为坐标原点）的面积 为 bc，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D3 12 （5 分）半正多面体亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正多边形为面的多面 体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱 第 3 页（共 23 页） 锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的
5、半正多面体，它们的棱长都相等， 其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若棱长为 2 的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A16 B C8 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）已知，则 tan 14 （5 分）某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通 过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入 第四关的概率为 15 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为
6、Sn，且 a1+a310，S972数列bn的首项为 3，且 bnbn+13，则 a10b2020 16 （5 分）过点 M（1，0）的直线 l 与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点（A 在 M，B 之 间） ，F 是 C 的焦点，点 N 满足，则ABF 与AMN 的面积之和的最小值 是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须题为必考题，每个试题考生都必须作答第作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作
7、答 （一）必考题：共答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosB+bcosAac， sin2AsinA （1）求 A 及 a； （2）若 bc2，求 BC 边上的高 18（12 分） 如图， 四边形 ABCD 是梯形， 四边形 CDEF 是矩形， 且平面 ABCD平面 CDEF， BADCDA90，ABADDECD2，M 是 AE 的中点 第 4 页（共 23 页） （1）证明：AC平面 MDF； （2）求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 19 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计
8、局在庆祝中华人民共和国成立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年2018 年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元， 实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人民， 砥砺奋进， 顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展 如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y（万亿元）的折线图注：年份代码 19 分别对应年份 20102018 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与年份代码 t 的关系，请用相关系数加以 说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.
9、01） ，并预测 2021 年全国 GDP 的总量 附注： 参考数据： 参考公式：相关系数 r； 回 归 方 程中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 ， 第 5 页（共 23 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 P（2，1） ，且离心率为 （1）求 C 的方程； （2） 已知直线 l 不经过点 P， 且斜率为， 若 l 与 C 交于两个不同点 A， B， 且直线 PA PB 的倾斜角分别为 ，试判断 + 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx+2sinx，证明： （1）f（x）在区
10、间（0，）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有 2 个零点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
11、C 的方程为 4cos+6sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于点 M，N，点 A 的坐标为（3，1） ，求|AM|+|AN| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x1|ax+1|，aR （1）当 a2 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）当 x（1，2）时，不等式 f（x）1x 成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市福清市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解
12、析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要合题目要求的求的 1 （5 分）已知集合 Ux|x5，Ax|3x27，则UA（ ） Ax|x3 Bx|x5 Cx|3x5 Dx|x0 或 3x5 【分析】化简集合 A，根据补集的定义即可求出 【解答】解：集合 Ux|x5，Ax|3x27x|x3，则UAx|3x5， 故选：C 【点评】本题考查集合的补集运算，关键是解不等式求出集合 A 2 （5 分）已知复数 z 满足 z 0，且 z 9，则 z（ ） A3 B3i C3
13、D3i 【分析】设 za+bi（a，bR） ，由题意列关于 a，b 的方程组求解 【解答】解：设 za+bi（a，bR） ， 由 z 0，且 z 9，得，即 a3，b0 z3 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知两个力 F1（4，2） ，F2（2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上， 为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力 F3，则 F3（ ） A （2，5） B （2，5） C （5，2） D （5，2） 【分析】由题意即可得出，代入的坐标即可得出力的坐标 【解答】解：根据题意知， 故选：A 【点评】本题考查了物
14、理的力的合成，向量坐标的加法运算，相反向量的定义，考查了 计算能力，属于基础题 第 7 页（共 23 页） 4 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a42（a1+a3） ，且 a1a3a5512，则 S10（ ） A1022 B2046 C2048 D4094 【分析】由已知结合等比数列的性质可求 a3，然后结合等比数列的通项公式可求公比 q， 代入求和公式即可求解 【解答】解：由等比数列的性质可知，a1a3a5512， 所以 a38， 因为 a2+a42（a1+a3） ， 所以， 整理可得，q3+q2（1+q2） 所以 q2，a12， S102046 故选：B 【点评
15、】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，求和公式的应用，属于基础试题 5 （5 分）如图 1 为某省 2018 年 14 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ） A2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B2018 年 14 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 第 8 页（共 23 页） C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全 一致 D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长 【分析】根据统计
16、图，结合对应数据分别进行判断即可 【解答】解：选项 A，B 显然正确； 对于选项 C，2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是 正确的 ；对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不 是逐月增长，D 错误 故选：D 【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键比 较基础 6 （5 分） 已知 f （x） x2+2xf （2） ， 则曲线 yf （x） 在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为 （ ） A4xy+90 B6x+y10 C10xy10 D6x+y+10 【分析】本题
17、先将 x2 代入 f（x）的表达式，可计算出 f（2）的值，即可得到 f（x） 的完整表达式及 f（x）的表达式，分别求出 f（1）与 f（1）值，即可计算出曲线 y f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 【解答】解：由题意，f（x）2x+2f（2） ， 当 x2 时，f（2）4+2f（2） ，解得 f（2）4 故 f（x）x28x，f（x）2x8 f（1）187，f（1）286 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y+76（x1） ， 即 6x+y+10 故选：D 【点评】本题主要考查函数的导数计算，以及利用导数的几何意义计算出曲线在一点处 的切线方程考查了方程思想，
18、转化思想，定义法，逻辑推理能力和数学运算能力本 题属中档题 7 （5 分）若（12x） （1+ax）4展开式中 x2的系数为 78，则整数 a 的值为（ ） A3 B2 C2 D3 【分析】把（1+ax）4按照二项式定理展开，即可求得（12x） （1+ax）4的展开式中 x2 第 9 页（共 23 页） 的系数，再根据展开式中 x2的系数为 78 得实数 a 的值 【解答】解：（12x） （1+ax）4（12x） （1+4ax+6 （ax）2+4（ax）3+（ax）4 ） ， 展开式中 x2的系数为 6a2+（2）4a78 得 a3 或 a， 整数 a 的值为3 故选：A 【点评】本题主要考查
19、二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 8 （5 分）已知函数 f（x）e xex，若 a0.60.5，blog 0.50.6，clog0.65，则（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（a）f（b） 【分析】利用指数函数对数函数单调性可得 a，b，c 的大小关系，再利用函数 f（x）的 单调性即可得出结论 【解答】解：函数 f（x）e xex，在 R 上单调递减 a0.6 0.51，blog 0.50.6（0，1） ，clog0.650， 则 abc， f（a）f（b）f（c） 故选：A 【点评
20、】本题考查了指数函数对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 9 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为（ ） A4 B C D16 【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图中数据计算它的体积 【解答】解：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥，且侧棱 PD底面 ABCD， 第 10 页（共 23 页） PD2，AD1，BC3，CD4； 所以该四棱锥的体积为 VSh（1+3）42 故选：B 【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积问题，也考查了转化与运算求解能力， 是基础题 10 （5 分）将曲线向左
21、平移个单位长度，得到曲线的对称中心 为（ ） A （2k，0） ，kZ B C D 【分析】根据函数平移关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可 【解答】解：将曲线向左平移个单位长度， 得到 ysin（x+）+1sin（x）+1， 由xk 得 x2k+， 即函数 ysin（x）对称中心为（2k+，0） ，kZ 则sin（x）+1 的对称中心为（2k+，1） ，kZ 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式，结合 对称性进行求解是解决本题的关键难度不大 11 （5 分）双曲线（a0，b0）的右焦点为 F，过 F 作与双曲线的两条渐近 线平行的直线
22、且与渐近线分别交于 A，B 两点，若四边形 OAFB（O 为坐标原点）的面积 第 11 页（共 23 页） 为 bc，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D3 【分析】设出双曲线的右焦点 F，直线 OA，OB 的方程，过 F 平行于渐近线的方程，求 得平行线的距离，和 A 的坐标，运用平行四边形的面积公式，化简可得 a，b 的关系，进 而得到所求离心率 【解答】解：双曲线（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ， 设 OA 的方程为 bxay0，OB 的方程为 bx+ay0， 过 F 平行于 OA 的直线 FB 的方程为 y（xc） ，平行于 OB 的直线 FA 的方程为 y （xc） ，
23、 可得平行线 OA 和 BF 的距离为b， 由可得 xc，y，即 A（c，） ， 则平行四边形 OAFB 的面积为 Sbbc， 化为 b23a2， 则 e2 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查平行 四边形的性质和面积求法，化简运算能力，属于中档题 12 （5 分）半正多面体亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正多边形为面的多面 体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱 锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等， 其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十
24、四等边体若棱长为 2 的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） 第 12 页（共 23 页） A16 B C8 D4 【分析】由题意可知：该球的半径 R 满足：2R4，可得 R利用表面积计算公式即可得 出 【解答】解：由正方体的性质及其题意可知：该球的半径 R 满足：2R4，可得 R2 该球的表面积 S4R216 故选：A 【点评】本题考查了正方体的性质、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横分把答案填在题中的横线上线上 13 （5
25、分）已知，则 tan 2 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系可求得 3cos28cos30， 解方程得 cos， 利用同角三角函数基本关系即可求解 【解答】解：， +80，整理可得 3cos28cos30，解得 cos，或 3（舍 去） ， sin则 tan2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于基础题 14 （5 分）某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，只有通 过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立某选手参加该节目，则该选手能进入 第四关的概率为 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式
26、直接求解 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为， 只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立 某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为： P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 15 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a310，S972数列bn的首项为 3，且 bnbn+13，则 a10b2020 13 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求公差 d 及 a1，然后结合递推公 式可求 b2020，代入即可求解 【解答
27、】解：因为 a1+a310，S972， 所以， 解可得，d1，a14， 故 a1013， 因为数列bn的首项为 3，且 bnbn+13， 所以数列bn的奇数项为 3，偶数项为1，即 b20201， 所以 a10b202013 故答案为：13 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应属于基础试题用， 16 （5 分）过点 M（1，0）的直线 l 与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点（A 在 M，B 之 间） ， F 是 C 的焦点， 点 N 满足， 则ABF 与AMN 的面积之和的最小值是 8 【分析】不妨设直线 l 的斜率大于 0，即点 A，B，N 都在 x 轴上方，由
28、图形可知 SABF+S AMNSBMF+SNMF2SAMFyB+yN2yA，由可得 yN6yA，所以 SABF+S AMNyB+4yA，设直线 l 的方程为：yk（x+1） ，与椭圆方程联立，由韦达定理得 xAxB 1，所以 yAyB4，再利用基本不等式即求出ABF 与AMN 的面积之和的最小值 【解答】解：不妨设直线 l 的斜率大于 0，即点 A，B，N 都在 x 轴上方，如图所示： 第 14 页（共 23 页） ， 易知 F（1，0） ， SABFSBMFSAMF，SAMNSNMFSAMF， SABF+SAMNSBMF+SNMF2SAMF yB+yN2yA， ，（1xN，yN）6（1xA，
29、yA） ，yN6yA， SABF+SAMNyB+4yA， 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：yk（x+1） ， 联立方程，消去 y 得：k2x2+（2k24）x+k20， xAxB1， ，yAyB4， SABF+SAMNyB+4yA，当且仅当 yB4yA，即 yA1，yB 4 时等号成立， ABF 与AMN 的面积之和的最小值是 8， 故答案为：8 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的综合，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个
30、试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答 （一）必考题：共答 （一）必考题：共 60 分分 第 15 页（共 23 页） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosB+bcosAac， sin2AsinA （1）求 A 及 a； （2）若 bc2，求 BC 边上的高 【分析】 （1）利用正弦定理，结合 A+BC，求出 a，再求出角 A； （2）利用余弦定理求出 b，c，再用正弦定理求出 sinC，由 hbsinC 求出即可 【解答】解： （1）， 由正弦定理得， ，
31、又A+BC，由 sinC0， ； sin2AsinA，2sinAcosAsinA，由 sinA0， 又A（0，） ，； （2）由余弦定理得 a2b2+c22bccosA，又， b2+c2bc7， 又bc+2，代入 b2+c2bc7，得 c2+2c30， 解得 c1 或3（舍去） ，b3， ， 设 BC 边上的高为 h， 【点评】考查正余弦定理的应用，关键是利用灵活的应用边角关系的转化，中档题 18（12 分） 如图， 四边形 ABCD 是梯形， 四边形 CDEF 是矩形， 且平面 ABCD平面 CDEF， BADCDA90，ABADDECD2，M 是 AE 的中点 （1）证明：AC平面 MDF
32、； （2）求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （1）连结 CE，交 DF 于 N，连结 MN，先证明 MNAC，再利用线面平行的判 定定理得出结论； （2）根据题意，以点 D 为原点，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向，建立空间直角坐标系 Oxyz，求出平面 DMF 的法向量，利用夹角公式求出即可 【解答】解： （1）连结 CE，交 DF 于 N，连结 MN，如图所示， 因为四边形 CDEF 是矩形，所以 N 是 CE 的中点， ） 由于 M 是 AE 的中点， 所以 MNAC， 由于 MN平面 MDF，AC平面 MDF
33、， 所以 AC平面 MDF； （2）因为平面 ABCD平面 CDEF， 平面 ABCD平面 CDEFCD，DECD， 所以 DE平面 ABCD， 可知 AD，CD，DE 两两垂直， 以点 D 为原点，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直 角坐标系 Oxyz 因为 AB2，则 M（1，0，1） ，F（0，4，2） ， 设平面 MDF 的法向量为， 第 17 页（共 23 页） 则，所以 取 y1，则， 依题意，得平面 ABCD 的一个法向量为， ， 故平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知
34、识，意在 考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，中档题 19 （12 分） 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立 70 周年活动新闻中心 举办新闻发布会指出，1952 年2018 年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元， 实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍全国各族人民， 砥砺奋进， 顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展 如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y（万亿元）的折线图注：年份代码 19 分别对应年份 20102018 （1）由折线图看出，可用线
35、性回归模型拟合 y 与年份代码 t 的关系，请用相关系数加以 说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，并预测 2021 年全国 GDP 的总量 附注： 参考数据： 参考公式：相关系数 r； 回 归 方 程中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 第 18 页（共 23 页） ， 【分析】 （1）由折线图中的数据和附注中参考数据及计算公式即可得解； （2）由公式分别算出，即可得到线性回归方程 【解答】 解： （1） 由折线图中的数据和附注中参考数据得， ， 3254.805582.01344.75， 所以， 因为 y 与 t 的相
36、关系数近似为 0.997，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 （2）由已知及（1）得， ， 所以 y 关于 t 的回归方程为 将 2021 年对应的年份代码 t12 代入回归方程， 得， 第 19 页（共 23 页） 所以预测 2021 年全国 GDP 总量约为 104.94 万亿元 【点评】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、 数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点 P（2，1） ，且离心率为 （1）求 C 的方程； （2） 已知直线 l 不经过点
37、 P， 且斜率为， 若 l 与 C 交于两个不同点 A， B， 且直线 PA PB 的倾斜角分别为 ，试判断 + 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由 【分析】 （1）根据题意，求出 k，代入即可； （2）设直线 l：y，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立解方程，设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1，k2，判断 k1，k2的和为 0，得出结论 【解答】解： （1）离心率为 e，a2k，c，bk， （k0） 由，得 k22， 故椭圆的方程为； （2）设直线 l：y，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消去 y 得，x2+2mx+2m240， 由4824（164m
38、2）0，故 m（2，0）（0，2） ， ， 根据题意，PA 与 PB 的斜率存在，所以 ， 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， ， 故 第 20 页（共 23 页） 0， 由 tan+tan0，故 + 【点评】考查椭圆的性质和求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，斜率问题，中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxx+2sinx，证明： （1）f（x）在区间（0，）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有 2 个零点 【分析】 （1）先求出导函数 f（x） ，二次求导得到 f（x）在（0，）上单调递减，又当 x 0 时，g（x）+，而 g（）10，存在唯一，使得 g（
39、x0） 0，从而函数 f（x）在区间（0，）存在唯一极大值点 x0； （2）利用第一问的结论，且 f（x0）0，当 x0 时，f（x），f（）0，所以 在区间（0，x0）内存在一个零点，在区间（x0，+）上存在一个零点，即函数 f（x）有 且仅有 2 个零点 【解答】证明： （1）函数 f（x）lnxx+2sinx，x（0，） ， f（x）， 令 g（x），x（0，） ， g（x）0，函数 g（x）在（0，）上单调递减， 又当 x0 时，g（x）+，而 g（）10， 存在唯一，使得 g（x0）0， 当 x（0，x0）时，g（x）0，即 f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（x0，） 时，
40、g（x）0，即 f（x）0，函数 f（x）单调递减， 函数 f（x）在区间（0，）存在唯一极大值点 x0； （2）由（1）可知，函数 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 第 21 页（共 23 页） x0是函数 f（x）的极大值点，且， f（x0）f（）ln+2， 又当 x0 时，f（x）；f（）ln0， 在区间（0，x0）内存在一个零点，在区间（x0，）上存在一个零点， 当 x（，+）时，设 h（x）lnxx，则 h（x）0， h（x）在（，+）上单调递减，h（x）h（）ln0， 当 x（，2）时，sinx0，当 x（，2）时，f（x）0，无零点， x（2，+）时，h
41、（x）h（2）ln（2）2lne322，又22sinx 2，当 x（2，+）时，f（x）0，无零点， 当 x（，+）时，f（x）lnxx+2sinx0，函数 f（x）在区间（，+）内无 零点， 函数 f（x）有且仅有 2 个零点 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值和零点，属于中档题 （二（二）选考题：共）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：
42、坐 标系与参数方程标系与参数方程（共（共 1 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos+6sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于点 M，N，点 A 的坐标为（3，1） ，求|AM|+|AN| 【分析】 （1）由曲线 C 的方程的极坐标方程能求出曲线 C 的直角坐标方程 （2）把直线代入曲线 C 得由此能求出|AM|+|AN| 【解答】解： （1）曲线 C 的方程 4cos+6sin， 24co
43、s+6sin，x2+y24x+6y， 即曲线 C 的直角坐标方程为： （x2）2+（y3）213 第 22 页（共 23 页） （2）把直线代入曲线 C 得， 整理得， ， 设 t1，t2为方程的两个实数根，则，t1t28，t1，t2为异号， 又点 A（3，1）在直线 l 上， 【点评】本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标 方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（共（共 1 小题，满分小题，满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2x1|ax+1|，aR （1）当 a2 时，求不等式 f（x）1
44、的解集； （2）当 x（1，2）时，不等式 f（x）1x 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a2 代入，运用零点分段讨论法求解即可； （2）问题可转化为在（1，2）上恒成立，构造函数即可得解 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）1 即为|2x1|2x+1|1， 当时，f（x）2x12x121，不成立； 当时，f（x）12x2x14x1，； 当时，f（x）12x+2x+121，成立； 综上，不等式的解集为； （2）当 x（1，2）时，不等式 f（x）1x 可化为 2x1|ax+1|1x， 3x2|ax+1|， 23xax+13x2， ， 在（1，2）上是减函数， 第 23 页（共 23 页） ； 在（1，2）上是增函数， ， 2a0，即实数 a 的取值范围为2，0 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时也涉及了不等式的恒成立问题，考查转化 思想及函数思想，属于基础题
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