1、设集合 A1，1，i3，BxC|x2+10（其中 i 为虚数单位， C 为复数集合） ， 则 AB（ ） A1 Bi Ci D1，1 2 （5 分）若 sin+cos1（0） ，则 3sincos（ ） A0 B1 C1 D3 3（5 分） 已知实数 a 满足： a210 命题 P： 函数 yx24ax1 在1， 1上单调递减 则 命题 P 为真命题的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单 位通常用毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续几天的暴雨天气中， 某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知
2、该正四棱柱的底面边长为 20cm，高 40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容 器中， 24 小时后， 测得容器中水深 10cm， 则该同学测得的降水量约为 （ 取 3.14） （ ） A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 5 （5 分）已知数列an满足 an+12an3，a11，bnan+3，则 b10（ ） A29 B310 C2048 D1024 6 （5 分）已知圆 C：x2+（y+2）22，则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线 有几条（ ） A3 条 B2 条 C1 条 D4 条 7 （5 分）已
3、知双曲线的方程为，右焦点为 F，直线 l：yx+1 与双曲线交于 A， B 两点，则（ ） A2 B1 C2 D42 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 Z|x3y2|的取值范围是（ ） A0，7 B （1，7） C0，4 D1，4 9 （5 分）棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P 为正方体表面上的一个动点，且总有 PCBD1，则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B4 C3 D4 10 （5 分）设函数 f（x）sin（x） （N*）在，上单调递减，则 的 值是（ ） A1 B1 或 2 C3 D2 11 （5 分）已知 F1（c，0）
4、 、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于 双曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线 y24cx 上，则双曲线的离心率为 （ ） A B2 C D 12 （5 分）已知函数 f（x），若存在 0abc，使得 f（a）f（b） f（c） ，则 Za+b+c 的最小值为（ ） A B1 C D无最小值 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上）横线上） 13 （5 分）已知一组关于（x，y）的数据具有线性相关性： （0，0.9） ， （1，1.9） ，
5、（3，3.2） ， （4，4.4） ，且 y 与 x 之间的回归方程为+1，则 b 14 （5 分）设 x 是函数 f（x）3sinxcosx 的一个极值点，则 sin2+2cos2 15 （5 分）在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 abcosC+ccosA，且 2，c2，则三角形 ABC 的面积为 16 （5 分） 在直角梯形 ABCD 中， ABCD， DAB90， 满足 DC2， AB1， AD， 第 3 页（共 21 页） 沿 BD 将三角形 BDC 折起，把 C 折到 P 点，使平面 PBD平面 ABD，则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 三、解答
6、题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社 会是我们党的庄严承诺在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得 尤其重要若某农村地区有 200 户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫” 的成效检查验收从这 200 户贫困户中随机抽出 50 户，对各户的人均年收入（单位：千 元）进行调查得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10） 10，12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年
7、收入在 4000 元以下的判定为贫困户，人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户，人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫； （2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽 10 户进行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？ 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一 户被选到的概率 18 （12 分）已知数列an，前 n 项和为 Snn2n（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）已知数列 bn+lg，求其前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图所示
8、，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，ABBC2AD2，四边 形 EDCF 为矩形，且平面 EDCF平面 ABCD （1）求证：DF平面 ABE； （2）若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45，求三棱锥 FABE 的体积 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）已知线段 AB 的长为 2，点 A 与点 B 关于原点对称，圆 M 经过点 A，B 且与直 线 x+10 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C，D（异于原点 O） ，若 kOC+kOD2，判断直 线 l 是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由 21 （12
9、分）已知函数 f（x）tex3x2，其中 tR （1）若函数 f（x）存在三个不同的零点，求 t 的取值范围； （2）若函数 f（x）存在三个不同的零点 a，b，c；且 abc求证：b+c4 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 是参数） ，在以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为： （1）写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程； （
10、2）直线 l 与 x、y 轴交于 A，B 两点；P 为曲线 C 上的一个动点，求三角形 PAB 的面积 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （5 分）已知 f（x）|x|+|2x1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）4； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立，求 a 的最大值 第 5 页（共 21 页） 2020 年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高年湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高 中等湘豫名校高考数学模拟试卷（文科） （中等湘豫名校高考数学模拟试卷（文科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
11、、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分） 设集合 A1，1，i3，BxC|x2+10（其中 i 为虚数单位， C 为复数集合） ， 则 AB（ ） A1 Bi Ci D1，1 【分析】先分别求出集合 A，B，然后结合交集的运算即可求解 【解答】解：因为 A1，1，i31，1，i，BxC|x2+10i，i， 故 ABi 故选：B 【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础试题 2 （5 分）若 sin+cos1（
12、0） ，则 3sincos（ ） A0 B1 C1 D3 【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求 2sincos0，结合 范围 0，即可求解 cos0，sin1，从而计算得解 【解答】解：sin+cos1， （sin+cos）21+2sincos1， 2sincos0， 0， cos0，sin1， 3sincos3 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查 了计算能力和转化思想，属于基础题 3（5 分） 已知实数 a 满足： a210 命题 P： 函数 yx24ax1 在1， 1上单调递减 则 命题 P 为真命题的概率为（ ）
13、第 6 页（共 21 页） A B C D 【分析】先求出 a 的范围，再求出 P 为真命题对应的 a 的范围，即可求解结论 【解答】解：因为 a2101a1； 若 P 为真命题：则有对称轴 2a1a； 命题 P 为真命题的概率为：； 故选：A 【点评】本题主要考查几何概型的应用问题，属于基础题目 4 （5 分）中国气象局规定：一天 24 小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单 位通常用毫米1 毫米的降水量是指单位面积上水深 1 毫米在连续几天的暴雨天气中， 某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量已知该正四棱柱的底面边长为 20cm，高 40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆
14、，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容 器中， 24 小时后， 测得容器中水深 10cm， 则该同学测得的降水量约为 （ 取 3.14） （ ） A12.7 毫米 B127 毫米 C509 毫米 D100 毫米 【分析】由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案 【解答】解：由题意，水的体积 V2020104000cm3， 容器口的面积 S102100cm2， 降雨量12.7cm127mm 故选：B 【点评】本题考查数学在实际生活中的应用，考查棱柱体积与圆面积的求法，是基础题 5 （5 分）已知数列an满足 an+12an3，a11，bnan+3，则 b10（ ） A29 B310 C2048
15、D1024 【分析】利用数列的递推关系式，推出bn是等比数列，然后转化求解即可 【解答】解：数列an满足 an+12an3， 可得 an+1+32（an+3） ， 即 bn+12bn， a11，b1a1+34， bn是等比数列，首项为 4，公比为 2， 所以 b104292048 第 7 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，是基本知识的考查，基 础题 6 （5 分）已知圆 C：x2+（y+2）22，则在 x 轴和 y 轴上的截距相等且与圆 C 相切的直线 有几条（ ） A3 条 B2 条 C1 条 D4 条 【分析】先看直线不过原点的情况，设出
16、直线的方程，斜率为1，则可知这样的直线有 2 条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有 2 条，最后验证以上 4 条中有一条是重复，最后综合得到结论 【解答】解：若直线不过原点，其斜率1，设其方程为 yx+m， 则 d，解得 m0 或4，当 m0 时，直线过原点； 若过原点，把（0，0）代入 02+（0+2）242， 即原点在圆外，所以过原点有 2 条切线， 综上，一共有 3 条， 故选：A 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系考查了学生数形结合的思想和对基本知 识的理解 7 （5 分）已知双曲线的方程为，右焦点为 F，直线 l：yx+1 与双曲线交于 A
17、， B 两点，则（ ） A2 B1 C2 D42 【分析】由双曲线的方程可得右焦点 F 的坐标，将直线与双曲线联立求出交点 A，B 的 坐标，进而求出数量积的值 【解答】解：由双曲线的方程可得右焦点 F（，0）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与双曲线的方程，整理可得 x22x30，解得 x3 或 x1， 代入直线的方程可得 y4 或 0， 即 A（3，4） ，B（1，0） ， 第 8 页（共 21 页） 所以（3，4） （1，0）（3） （1）33+3 2， 故选：C 【点评】本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的综合，和数量积的运算，属于中档题 8 （5 分）已知 x，y
18、 满足约束条件，则 Z|x3y2|的取值范围是（ ） A0，7 B （1，7） C0，4 D1，4 【分析】根据二元一次不等式组画出可行域，目标函数几何意义 zx3y2 的纵截 距相反数，平移目标函数观察 Z 取值范围 【解答】解：如图可行域： 令 zx3y2，平移直线 x3y20 可知当直线过 C（0，1） 时，z取得最大值， 1， 经过 B（2，1）时，z有最小值 z7，Z|x3y2|，所以 Z 的取值范围：0，7 故选：A 【点评】本题考查线性规划问题，属常规题较简单，解题的关键是画好可行域，弄清 z 所对应的几何意义 9 （5 分）棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中 P
19、为正方体表面上的一个动点，且总有 PCBD1，则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B4 C3 D4 【分析】画出正方体，利用已知条件，判断 P 的轨迹，然后求解轨迹长度 【解答】解：P 点的轨迹为过点 C 与直线 BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中 第 9 页（共 21 页） 点三角形 ACB1，它的周长为：3 故选：C 【点评】本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象 能力以及计算能力，是中档题 10 （5 分）设函数 f（x）sin（x） （N*）在，上单调递减，则 的 值是（ ） A1 B1 或 2 C3 D2 【分析】由题意利用正弦函数的单调性以及
20、周期性，可得 ，由此 求得 的范围，检验可得答案 【解答】解：函数 f（x）sin（x） （N*）在，上单调递减， ，1 或 2 当 1 时，f（x）在，上不单调，故只有 2， 故选：D 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性以及周期性，属于中档题 11 （5 分）已知 F1（c，0） 、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于 双曲线的一条渐近线的对称点为 P，且点 P 在抛物线 y24cx 上，则双曲线的离心率为 （ ） A B2 C D 【分析】利用已知条件画出图形，求出 P 的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲 线的离心率即可 【解答】解：如图：F1P 垂直直线 bxay0，交点
21、为 H，F1到双曲线的一条渐近线 bx 第 10 页（共 21 页） ay0 的距离为：db， F1PF2中，PF12d2b，抛物线 y24cx 的焦点坐标（c，0） ， PF22a，tanF1OH，cosF1OH，sinF1OH， 可得 cosOF1P，sinOF1P，P（，） ， 点 P 在抛物线 y24cx 上， 可得：8b24c2， e43e2+10，e1， e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及 计算能力，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x），若存在 0abc，使得 f（a）f（b） f（c） ，则 Za+b+c 的最小值为
22、（ ） A B1 C D无最小值 【分析】由函数 f（x），画出图象：根据 f（a）f（b）f（c） ， 可得：0a1beclnalnbc+e+1，a，clnb+e+1则 Za+b+c 第 11 页（共 21 页） +blnb+e+1 （1be） 设 g（x）+xlnx+e+1 （1xe） 利用导数研究函 数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解：由函数 f（x），画出图象： f（a）f（b）f（c） ， |lna|lnb|c+e+1， 由图可知：0a1bec lnalnbc+e+1， a，clnb+e+1 则 Za+b+c+blnb+e+1 （1be） 设 g（x）+xlnx+e+1 （1x
23、e） g（x）+1， 可得函数 g（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增 g（x）ming（）ln+e+1 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数 形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的分把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上）横线上） 13 （5 分）已知一组关于（x，y）的数据具有线性相关性： （0，0.9） ， （1，1.9） ， （3，3.2） ， （4，4.4） ，且 y 与
24、x 之间的回归方程为+1，则 b 0.8 【分析】求出样本中心，代入回归直线方程，求解即可 第 12 页（共 21 页） 【解答】解： 2； 2.6， （2，2，6）满足回归直线方程，可得：2.62b+1， 解得 b0.8 故答案为：0.8 【点评】本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查 14 （5 分）设 x 是函数 f（x）3sinxcosx 的一个极值点，则 sin2+2cos2 【分析】根据极值点处的导数为零，求出 tan 的值，然后再借助于三角恒等变换求出结 论 【解答】解：f（x）3cosx+sinx， f（）3cos+sin0，tan3 sin2+2cos2 故答案为： 【
25、点评】本题考查极值点处的性质、三角恒等变换等基础知识与方法属于中档题 15 （5 分）在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 abcosC+ccosA，且 2，c2，则三角形 ABC 的面积为 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinCcosBsinCcosA， 结合 sinC0，可求 cosBcosA，可得 ab，又根据平面向量数量积的运算，余弦定理 可求 a2+b28，进而解得 abc2，从而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解：abcosC+ccosA， 由正弦定理可得：sinAsinBcosC+sinCcosA， sin（B+C）s
26、inBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosA， sinCcosBsinCcosA， sinC0， cosBcosA， AB，可得 ab， abcosC2，又 c2a2+b22abcosC，可得 4a2+b222， 第 13 页（共 21 页） a2+b28，解得 abc2，可得 ABC， SABCabsinC 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算， 余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想， 属于基础题 16 （5 分） 在直角梯形 ABCD 中， ABCD， DAB90， 满足 DC
27、2， AB1， AD， 沿 BD 将三角形 BDC 折起，把 C 折到 P 点，使平面 PBD平面 ABD，则三棱锥 PABD 的外接球的表面积为 【分析】根据已知先得到BDC 为等边三角形；进而判断球心所在位置，求出半径即可 得到结论 【解答】解：在直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB90，满足 DC2，AB1，AD ， 所以：ADB30，BDC60； 可得：BDCD2； 即BDC 为等边三角形； 三棱锥 PABD 中，取 BD 的中点 E，连接 PE， 则 PEBD；且 PE； 因为平面 PBD平面 ABD， PE平面 ABD； 故球心 O 在 PE 上； OD2OE2+ED2R2（R
28、）2+12R； 三棱锥 PABD 的外接球的表面积为：4R2； 故答案为： 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能 力的培养 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社 会是我们党的庄严承诺在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得 尤其重要若某农村地区有 200 户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫” 的成效检查验收从这 200 户贫困户中
29、随机抽出 50 户，对各户的人均年收入（单位：千 元）进行调查得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） 2，4） 4，6） 6，8） 8，10） 10，12 频数 2 3 10 20 10 5 若人均年收入在 4000 元以下的判定为贫困户，人均年收入在 4000 元8000 元的判定为 脱贫户，人均年收入达到 8000 元的判定为小康户 （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫； （2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的 50 户中用分层抽样的方法抽 10 户进行调研 贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？ 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，求小康户中人均年收入最
30、高的一 户被选到的概率 【分析】 （1）用样本估计总体，能估计该地区还有多少户没有脱贫 （2）利用分层抽样能求出贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍，基本事件总数 n18，小 第 15 页（共 21 页） 康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m6，由此能求出小 康户中人均年收入最高的一户被选到的概率 【解答】解： （1）用样本估计总体，n， 该地区还有 20 户未脱贫 （2）贫困户抽到：101 人， 脱贫户抽到：106 人， 小康户 3 抽到：103 人 从被抽到的脱贫户和小康户中各选 1 人做经验介绍， 基本事件总数 n18，
31、 小康户中人均年收入最高的一户被选到包含的基本事件个数 m6， 小康户中人均年收入最高的一户被选到的概率 p 【点评】本题考查频数、概率的求法，考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 18 （12 分）已知数列an，前 n 项和为 Snn2n（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）已知数列 bn+lg，求其前 n 项和 Tn 【分析】 （1）利用 anSnSn1求出 an，再检验当 n1 时也适合，从而求得 an； （2）先求出 bn，再利用分组求和、裂项相消法求和求出 Tn 【解答】解： （1）当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1 ，又当 n
32、1 时也满足 an3n2， 数列an的通项公式为 an3n2； （2）由（1）知 an3n2，故 bn+lg2+（lganlgan+1） ， Tn（2+2+2）+（lga1lga2）+（lga2lga3）+（lganlgan+1） 第 16 页（共 21 页） +lga1lgan+1 【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及分组求和、裂项相消法求和，属于基础题 19 （12 分）如图所示，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADAB，ABBC2AD2，四边 形 EDCF 为矩形，且平面 EDCF平面 ABCD （1）求证：DF平面 ABE； （2）若直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 45
33、，求三棱锥 FABE 的体积 【分析】（1） 取 BC 中点 G， 连接 GA， GF， GD， 由已知可得四边形 ABGD 与四边形 AGCD 均为平行四边形，得到 AGDC，AGDC，又 DCEF，DCEF，可得四边形 AGEF 为平行四边形，得 GFAE，得到 GF平面 ABE；再证明 GD平面 ABE，由平面与平 面平行的判定可得平面 GDF平面 ABE，从而得到 DF平面 ABE； （2）由已知证得 ED平面 ABCD，可得EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角，得 EBD45，求得 EDDB，由（1）知 DF平面 ABE，再由等体积法求三棱锥 F ABE 的体积 【解答】
34、（1）证明：取 BC 中点 G，连接 GA，GF，GD， ADBC，ADBC，ADBG，ADBG，ADGC，ADGC 四边形 ABGD 与四边形 AGCD 均为平行四边形 AGDC，AGDC，又 DCEF，DCEF， AGEF，AGEF，则四边形 AGEF 为平行四边形，得 GFAE GF平面 ABE，AE平面 ABE，GF平面 ABE； GDAB，GD平面 ABE，AB平面 ABE，GD平面 ABE 又 GFGDG，平面 GDF平面 ABE， 而 DF平面 GDF，DF平面 ABE； （2）解：EDDC，平面 EDCF平面 ABCD， ED平面 EDCF，平面 EDCF平面 ABCDDC，
35、第 17 页（共 21 页） ED平面 ABCD， EBD 为直线 BE 与平面 ABCD 所成角，得EBD45， EDDB， 由（1）知 DF平面 ABE， VFABEVDABEVEABD 【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面平行的判定及性质，考查空间想象能 力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题 20 （12 分）已知线段 AB 的长为 2，点 A 与点 B 关于原点对称，圆 M 经过点 A，B 且与直 线 x+10 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）直线 l 与 M 的轨迹交于不同的两点 C，D（异于原点 O） ，若 kOC+kOD2，判断直 线 l
36、是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由 【分析】 （1）设点 M 的坐标，由半径相等可得 M 的轨迹方程； （2）由题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之 和及两根之积，求出直线 OC，OD 的斜率由斜率之和为 2 可得直线 l 恒过定点（0，1） 【解答】解： （1）设 M（x，y） ，由题意可得圆心 M 在 AB 的中垂线上，所以半径 r ， 因为圆 M 与直线 x+10 相切所以圆的半径 r|x+1|， 所以|x+1|，整理可得 y22x； （2）若直线 l 与 x 轴垂直，设 l 的方程 xt，则 C（t，） ，D（t，） ， 因为 kO
37、C+kOD2，02，显然不成立； 所以 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为 ykx+m（k0） ，设 C（，y1）D（， y2） ， 第 18 页（共 21 页） 联立直线与抛物线的方程：， 整理可得： ky22y+2m0， y1+y2， y1y2， kOC+kOD+2， 所以 y1+y2y1y2，所以，所以 m1， 所以直线 l 恒过定点（0，1） 【点评】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的求法，属于中 档题 21 （12 分）已知函数 f（x）tex3x2，其中 tR （1）若函数 f（x）存在三个不同的零点，求 t 的取值范围； （2）若函数 f（x）存在三
38、个不同的零点 a，b，c；且 abc求证：b+c4 【分析】 （1）由已知分离参数可得 t，已知函数的零点可转化为两函数的交点问 题，可构造函数 g（x），结合导数分析函数的特征性质，可求； （2）由题意可得 a0b2c，要证 b+c4，只要证 c4b2，结合 g（x）在（2， +）上单调性，故只要证 g（c）g（4b） ，结合 g（c）g（b） ，构造函数 h（x） g（x）g（4x） ，0x2，结合复合函数的单调性可证 【解答】解： （1）由 f（x）0 可得 t， 设 g（x），则， 当 x2 或 x0 时，g（x）0，g（x）单调递减，当 0x2 时，g（x）0，g（x） 单调递增，
39、故 g（0）0，g（2），且 g（x）0 恒成立，由题可知 yg（x）与 yt 有 3 个 不同的交点， 故 ， （2）由题意可得 a0b2c， 第 19 页（共 21 页） 要证 b+c4，只要证 c4b2， 又 g（x）在（2，+）上单调递减，故只要证 g（c）g（4b） ， 因为 g（c）g（b） ， 只要证 g（b）g（4b） ， 令 h（x）g（x）g（4x） ，0x2， 则由（1）可知，g（x）在（0，2）上单调递增，根据复合函数的单调性可知，h（x） g（x）g（4x）在（0，2）上单调递增， 所以 h（x）h（2）g（2）g（2）0，即 h（x）0， 所以 g（x）g（4x）
40、， 所以 g（b）g（4b） ，从而原不等式成立 故 b+c4 【点评】本题主要考查了利用导数与函数的性质求解函数的零点问题及不等式的证明， 体现了转化思想的应用 请考生在请考生在第第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 是参数） ，在以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为： （1）写出曲线 C 的普通方程、直线 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x、y 轴
41、交于 A，B 两点；P 为曲线 C 上的一个动点，求三角形 PAB 的面积 的最大值 第 20 页（共 21 页） 【分析】 （1）将曲线 C 的参数方程消去参数化为普通方程，将 cosx，siny 代入 极坐标方程，得到直线 l 的普通方程 （2）设曲线 C 上的动点 P（cos，sin） ，利用点线距公式以及三角函数的有界 性求出最值，代入三角形的面积公式中即可 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 消去参数可得曲线 C 的普通方程为1 由cos（+）8 可得 cossin8， 即直线 l 的直角坐标方程为 xy80 （2）设点 P（cos，sin） ， 则 P 到直
42、线 l 的距离 d（其中 tan ） 所以 d6， 当且仅当 sin（+）1，即 cossin，sincos时取等号， 又|AB|8， SPAB的最大值为|AB|d8648 【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程在最 值中的应用，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （5 分）已知 f（x）|x|+|2x1| （1）解关于 x 的不等式 f（x）4； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立，求 a 的最大值 【分析】 （1）由题意可得|x|+|2x1|4，由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值， 解不等式，求并集，可得所求
43、解集； （2）由题意可得 a（|x|+|2x1|+2x）min，设 g（x）|x|+|2x1|+2x，去绝对值，结合 一次函数的单调性，可得 g（x）的最小值，即可得到所求 a 的最大值 【解答】解： （1）f（x）4 即|x|+|2x1|4， 第 21 页（共 21 页） 等价为或或， 解得 x或 x或 x1， 综上可得，原不等式的解集为x|x1 或 x； （2）对任意的 xR 都有 f（x）+2xa0 恒成立， 即为 a（|x|+|2x1|+2x）min， 设 g（x）|x|+|2x1|+2x， 当 x0 时，g（x）x+12x+2xx+1，递减； 当 0x时，g（x）x+12x+2xx+1，递增， 当 x时，g（x）x+2x1+2x5x1，递增， 且 g（），可得 g（x）在（0，+）递增，可得 g（x）在 x0 处取得最小值 1， 则 a1，可得 a 的最大值为 1 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问 题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题
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