1、 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 04 二次函数背景下的图形面积的探究二次函数背景下的图形面积的探究 【方法综述】【方法综述】 面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下：面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下： 方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积；方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积； 方法二：方法二： 同底等高类的三角形面积：同底等高类的三角形面积： 当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个当两个三
2、角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个 三角形面积之比等于高（底）之比三角形面积之比等于高（底）之比 方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决； 坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法 例如：求抛物线在直线例如：求抛物线在直线 AC 上方一点，使得上方一点，使得 PAC 面积最大，当把直线面积最大，当把直线 AC 向上平移时，与抛物线的向上平移时，与抛物线的 切点即为满足条件的切点即为满足条件的 P 点，因此，若直线点
3、，因此，若直线 AC 斜率为斜率为 k，则可以设一条直线解析式为，则可以设一条直线解析式为 y=kx+b，该直线与抛，该直线与抛 物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得 b，进而求得，进而求得 P 点坐标。点坐标。 另外，用铅垂高法解决面积最另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本值问题基本模型如下：模型如下： S PAB 1 2 PQ |xBxA.根据二次函数解析式设出点根据二次函数解析式设出点 P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点的坐标，结合一次函数解析式从而得到点 Q 的坐的坐 标，从而转化为标，从而转化为 S 与点与点 P横坐标之间的二次函数解
4、析式，再根据二次函数增减性求最值横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅一般情况下，当铅 P 垂线段垂线段 PQ 最大时，最大时，S PAB 取得最大值，此时点取得最大值，此时点 Q 为线段为线段 AB 的中点的中点. 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 实实际问题的面积探究际问题的面积探究 例例 1：用一段长 32m 的篱笆和长 8m 的墙，围成一个矩形的菜园 （1）如图 1，如果矩形菜园的一边靠墙 AB，另三边由篱笆 CDEF 围成 设 DE 等于 xm，直接写出菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 菜园的面积能不能等于 11
5、0m2？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由； （2）如图 2，如果矩形菜园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成，另三边由篱笆 ADEF 围成，求菜园面积 的最大值 针对训练针对训练 1.如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园 ABCD，设与墙平行的篱 笆 AB 的长为 xm，菜园的面积为 ym2 （1）试写出 y 与 x 之间的关系式； （2）当 AB 的长为 10m，菜园的面积是多少？ 2.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最 大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如
6、图）和一边“包含”墙（如图） 特例分析: （1）当时，若按图的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图的方案 设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 （2）当时，解决“问题情境”中的问题 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案 3晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园， 其中一边靠墙， 另外三边用长为30米的篱笆围成 已 知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米 (1)若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围； (2)设这个苗圃园的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系 4.2018
7、 年，汶上县县委、县政府启动创建全国卫生县城和全国文明县城工作，各单位都积极投身创城工作 某单位为进一步美化我县环境，在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花圃一边靠墙，墙长 18m， 外围用 40m 的栅栏围成，如图所示，若设花圃的 BC 边长为 x(m)，花圃的面积为 y(m2) (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)利用所学知识试着求出花圃的最大面积 5某小区业主委员会决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域 为绿化区 （四块绿化区为全等的矩形） ， 空白区域为活动区， 且四周的 4 个出口宽度相同，
8、 其宽度不小于 14m， 不大于 26m，设绿化区较长边为 xm，活动区的面积为 ym2 （1）直接写出：用 x 的式子表示出口的宽度为 ； y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围 ； （2）求活动区的面积 y 的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，如果业主委员会投资不得超过 72000 元来参与 建造，当 x 为整数时，共有几种建造方案？ 类型二类型二 面积计算面积计算 例 2已知直线 l：ykx1 与抛物线 yx24x. (1)求证：直线 l 与该抛物线总有两个交点； (2)设直线 l 与该抛物线的两交点为 A，B，O 为原点，当 k2 时
9、，求OAB 的面积 针对训练针对训练 1.如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线 经过点. (1)求抛物线的解析式， (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点 作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过 作轴于点 ，交抛物线于两点(点 位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 2.如图，已知抛物线与 轴、 轴分别相交于点 A（1，0）和 B（0，3） ，其顶点为 D （1）求这条抛物线的解析式； （2）若抛物线与 轴的另一个交点为 E，求ODE 的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P
10、使得PAB 的周长最短若存在请求出点 P 的坐标，若不存在说明理 由 3.如图 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 W 的函数表达式为 y=x2+x+4 抛物线 W 与 x 轴交于 A， B 两点（点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W， 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F， 当ACF 为直角三 角形时，求点 F 的坐标，并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2，连接 AC，CB，将ACD
11、 沿 x 轴向右平移 m 个单位（0m5） ，得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M，CD交 CB 于点 N，连接 CC，MN求四边形 CMNC的面积（用含 m 的代数式表示） 4.抛物线经过点 A(3,0) 和点 B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AB、AC、BC，求ABC 的面积. 5.如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存
12、在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物 线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积 6已知：m，n 是方程 x26x+50 的两个实数根，且 mn，抛物线 yx2+bx+c 的图象经过点 A（m，0） ， B（0，n） （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面 积 7.已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 均为常数）
13、的图象经过两点 A（2，0） ，B（0，6） （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点 C（m，0） （m2）在这个二次函数的图象上，连接 AB，BC，求ABC 的面积 9.如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与 轴交于点 . （1）求二次函数和一次函数的解析式； （2） 轴上存在点 使的面积为 9，求点 的坐标. 类型三类型三 三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题 例 3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90 得到平行四边形 ABOC抛物线 yx2+2x+3 经过点 A、C、A三点 （1）求 A、A、C 三点的坐
14、标； （2）求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分COD 的面积； （3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并 写出此时 M 的坐标 针针对训练对训练1.如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） 、C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D来源:学,科,网 Z,X,X,K （1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出
15、M 点的坐标和ANM 周长的最 小值；若不存在，请说明理由 2.如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与x 轴交于 A（-1，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，2） ， 点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQx 轴，垂足为 Q，交直线 BC 于点 D （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若以 P、D、O、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标； （3）如图 2，当点 P 位于直线 BC 上方的抛物线上时，过点 P 作 PEBC 于点 E，设PDE 的面积为 S，求 当 S 取得最大值时点 P 的坐标，并求 S 的最大值 3.已知：抛物线 ya
16、x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，直线 yx+3 经过 B、C 两点 （1）填空：b （用含有 a 的代数式表示） ； （2）若 a1 点 P 为抛物线上一动点，过点 P 作 PMy 轴交直线 yx+3 于点 M，当点 P 在第一象限内时，是否存 在一点 P ，使PCB 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 当 mxm+3 时，y 的取值范围是 2my4，求 m 的值 4如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A(0，3)，B(5，9)，已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 2 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标；来源
17、:学科网 (2)在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角 形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由； (3)在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求出这个最大值 来源:学科网 ZXXK 5.如图，已知，二次函数的图像交 轴正半轴于点 ，顶点为 ，一次函数的图像交 轴于 点 ，交 轴于点 ，的正切值为 . （1）求二次函数的解析式与顶点 坐标； （2）将二次函数图像向下平移 个单位，设平移后抛物线顶点为 ，若，求 的值. 6.如图， 已知抛物线的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧） 与
18、 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，则是否存在一点 P，使PBC 的面 积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐 标 7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（-1，0） ，C（0，3） (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物
19、线于点 D，当BCD 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)如图 2，抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴上一动点，若 MNC=90 ，直接写出实数 m 的取值范围 8.已知抛物线 yx22mx+m23（m 是常数） （1）证明：无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点； （2）设抛物线的顶点为 A，与 x 轴两个交点分别为 B，D，B 在 D 的右侧，与 y 轴的交点为 C 求证：当 m 取不同值时，ABD 都是等边三角形； 当|m|，m0 时，ABC 的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由 9.如图
20、，抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点. 求该抛物线的解析式； 设中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在， 求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 在抛物线上 BC 段是否存在点 P，使得PBC 面积最大，若存在，求 P 点坐标；若不存在，说明理由. 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(4，0)、B(1，0)两点，与 y 轴交 于点 C，点 D 是第三象限的抛物线上一动点 (1)求抛物线的表达式； (2)设点 D 的横坐标为 m，ACD 的面积为 S，求出 S 与 m
21、的函数关系式，并确定 m 为何值时 S 有最大值， 最大值是多少？ 11如图，已知抛物线过点 A（4，0） ，B（2，0） ，C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 M 是抛物线 AC 段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 M 的坐标 类型四类型四 以面积为条件的问题计算以面积为条件的问题计算 例 4：如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与直线 yx3 交于点 A（3，0）和点 B（2，n） ， 与 y 轴交于点 C （1）求出抛物线的函数表达式； （2）在图 1 中，平移线段 AC，点 A、C 的对应点分别为 M、N，当 N 点落在线段 A
22、B 上时，M 点也恰好在 抛物线上，求此时点 M的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 P（不与点 A 重合） ，使PMC 的面积与AMC 的 面积相等？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 针对训练针对训练 1.如图，抛物线与 轴交于点、点 ，与 轴交于点 ，顶点为 ，求： 抛物线的解析式； 若抛物线上有一点 ，使得直线将的面积分成相等的两部分，求点 的坐标 2.如图， 在直角坐标系中， O 是坐标原点， 直线 AB 交 x 轴于点 A （4， 0） ， 交 y 轴于点 B， 抛物线 y=ax2+2ax+3 （a0）经过 A，B 两点P 是线段 AO
23、 上的一动点， 过点 P 作 PCx 轴交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 D （1）求 a 及 AB 的长 （2）连结 PB，若 tanABP= ，求点 P 的坐标 （3）连结 BD，以 BD 为边作正方形 BDEF，是否存在点 P 使点 E 恰好落在抛物线的对称轴上？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 （4）连结 OC，若 S BDC ：S OBC =1：2，将线段 BD 绕点 D 按顺时针方向旋转，得到 DB则在旋转的过程 中，当点 A，B 到直线 DB的距离和最大时，请直接写出点 B的坐标 3.如图，对称轴为直线 x1 的抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴
24、相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为 （3，0） （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a1，C 为抛物线与 y 轴的交点，若点 P 在抛物线上，且 S POC 4SBOC求点 P 的坐标 4在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的两个交点分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ，与 y 轴交于点 D(0，3)，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合） ，当ADE 与ACD 面积相等时， 求点 E 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，
25、过点 P 向 CD 所在的直线作垂线，垂足为点 Q， 以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACH 相似时，求点 P 的坐标. 来源:学科网 ZXXK 5.如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A，D 两点，并经过 B 点，对称轴交 x 轴于点 C，连接 BD， BC，已知 A 点坐标是（2，0） ，B 点的坐标是（8，6） （1）求二次函数的解析式 （2）求该函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标 （3）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP，是否存在 S ADP = SBCD？若存在，直接写出所有 符合条件的点 P 的坐标；若不存在请说明理由 6.如图，已知二次函数的
26、图象经过点 A(4,0)，与 y 轴交于点 B在 x 轴上有一动点 C(m,0)(0m4)，过点 C 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 E，交该二次函数图象于点 D来源:Zxxk.Com （1）求 a 的值和直线 AB 的解析式； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，设ACE，DEF 的面积分别为 S1，S2，若 S1=4S2，求 m 的值； （3）点 H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 G 是线段 AB 上的动点，当四边形 DEGH 是平行 四边形，且周长取最大值时，求点 G 的坐标 7.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴为 x= ，图象交 x 轴于 A，B，交
27、 y 轴于 C（0，-3） ，且 AB=5， 直线 y=kx+b（k0）与二次函数图象交于 M，N（M 在 N 的右边） ，交 y 轴于 P （1）求二次函数图象的解析式； （2）若 b=-5，且CMN 的面积为 3，求 k 的值； （3）若 b=-3k，直线 AN 交 y 轴于 Q，求的值或取值范围 8.已知抛物线 y x2（m+3）x+m212 与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，且 x10，x20，抛 物线与 y 轴交于点 C，OB2OA （1）求抛物线解析式； （2）已知直线 y x+2 与抛物线相交于 M、N 两点，分别过 M、N 作 x 轴的垂线，垂足为 M1、N
28、1，是否 存在点 P，同时满足如下两个条件： P 为抛物线上的点，且在直线 MN 上方； :6：35 若存在，则求点 P 横坐标 t，若不存在，说明理由 9.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）该抛物线有一点 D（x，y） ，使得 S ABC S DBC ，求点 D 的坐标 10.如图 1，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（2，0） ，B（0，2） ，与 x 轴交于另一点 C （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）点 P 是抛物线 yx2+bx+c 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为 D，E， 求四边形 ODPE 的周长的最大值； （3）如图 2，点 P 是抛物线 yx2+bx+c 在第一象限上的点，过点 P 作 PNx 轴，垂足为 N，交 AB 于 M， 连接 PB，PA设点 P 的横坐标为 t，当ABP 的面积等于ABC 面积的 时，求 t 的值
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