1、 备战备战 20192019 年年中考中考数学数学压轴题压轴题之之二次函数二次函数 专题专题 01 01 二次函数基础上的数学建模类二次函数基础上的数学建模类 【方法【方法综述综述】 此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造此类问题以实际问题为背景，一般解答方法是先按照题目要求利用各种数学知识，构造 二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问二次函数的数学模型，再通过将临界点带入讨论或者通过考察二次函数最值讨论解决实际问 题。题。 【典例示范】【典例示范】 类型类型一一 临界点讨论临界点讨论 例例 1 1：（2018河北
2、）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x轴（水平）18 米，与 y轴交于点 B，与 滑道 y= （x1）交于点 A，且 AB=1米运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v米/秒后，从 A 处向右下 飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离 h（米）与飞出时间 t （秒）的平方成正比，且 t=1时 h=5，M，A的水平距离是 vt米 （1）求 k，并用t表示 h； （2）设 v=5用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y与 x 的关系式（不写 x 的取值范围） ，及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时
3、从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t的值及 v乙的范围 针对训练针对训练 1 （2017 内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处 发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式，已知球网 与 O 点的水平距离为 9m，高度为 3m，球场的边界距 O 点的水平距离为 14m. （1）当 h=4 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） （2）当 h=4 时，球能否越过球网？球会不会出界
4、？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围.来源:学科网 2 （2017.山东）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度 y（m）关于飞行时间 x（s）的函数图象（不考虑其它因素） ，已知足球飞出 1s 时，足球的飞行高度是 2.44m， 足球从飞出到落地共用 3s （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）足球的飞行高度能否达到 4.88 m？请说明理由； （3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不 计） 如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框
5、 12m 处的守门员至少要在几 s 内到球 门的左边框？ 3 （2019 盘锦双台子区）一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮筐。已知篮筐中心到地面距离为 3.05m. 求抛物线的解析式. 该运动员身高 1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25m 处出手，问：球出手时他跳离地面的高度是多 少？ 4 （2017 杭州月考）如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，路面OA宽 8m,P处有一照明灯，从O、A两处观测P处，仰角分别为、，且 13 tan,tan 22 。以O
6、为原点， OA所在直线为x轴建立直角坐标系。 （1）求P点坐标。 （2）现有一辆货车，宽为 4 m，高为 2.5m，它能否安全通过这个隧道？说明理由。 5 （2018 保定三模）如图，儿童游乐场有一项射击游戏从 O处发射小球，将球投入正方形篮筐 DABC正 方形篮筐三个顶点为 A（2，2） ，B（3，2） ，D（2，3） 小球按照抛物线 yx2+bx+c 飞行小球落地点 P 坐标（n，0） （1）点 C 坐标为 ； （2）求出小球飞行中最高点 N 的坐标（用含有 n 的代数式表示） ； （3）验证：随着 n的变化，抛物线的顶点在函数 yx2的图象上运动； （4）若小球发射之后能够直接入篮，球没
7、有接触篮筐，请直接写出 n的取值范围 6 （2018 河南周口期末）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为 20m，拱顶距水面 4m （1）在如图的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； （2）为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18m，求水面在正常水位基础上，最多涨多少米， 不会影响过往船只？ 7.（2017 扬州）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成 的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为 6dm，锅深 3dm，锅盖高 1dm（锅口直径与锅盖直径视为相 同） ，建立直角坐标系如图所示（图是备用图） ，如果把锅纵断面的抛物线记为 C1
8、，把锅盖纵断面的抛 物线记为 C2 （1）求 C1和 C2的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是 1dm，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为 3dm，高度为 3dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请 说明理由 8. （2019 盐城期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，把球看成点，其飞行的路线为抛物线的一部分如图建 立平面直角坐标系，甲在 O点正上方 1m的 P 处发球，羽毛球飞行的高度 y（m）与羽毛球距离甲站立位置 （点 O）的水平距离 x（m）之间满足函败表达式 ya（x4）2+h已知点 O与球网的水平距离为 5m，球 网的高度为 1.55m，球场边界距点
9、O的水平距离为 10m （1）当 a时，求 h的值，并通过计算判断此球能否过网 （2）若甲发球过网后，乙在另一侧距球网水平距离 lm 处起跳扣球没有成功，球在距球网水平距离 lm，离 地面高度 2.2m 处飞过，通过计算判断此球会不会出界？ 9 （2018 湘潭期末）小明为了检测自己实心球的训练情况，再一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如 图所示，其中出手点 A 的坐标为（0，） ，球在最高点 B 的坐标为（3，） （1）求抛物线的解析式； （2）已知某市男子实心球的得分标准如表： 得分 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 掷远（米） 8.6 8.3
10、 8 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.8 5.5 5.2 4.8 4.4 4.0 3.5 3.0 假 设小明是春谷中学九年级的男生，求小明在实心球训练中的得分； （3）在小明练习实心球的正前方距离投掷点 7 米处有一个身高 1.2 米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有 危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险） ，请说明理由 10. （2018 安徽阜阳期末）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所 站立的位置为原点 O 建立平面直角坐标系，篮球出手时在 O 点正上方 1m 处的点 P.已知篮球运动时的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满
11、足函数表达式 y=- 1 8 x2+x+c. （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）球在运动的过程中离地面的最大高度； （3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为 BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明 的最短距离 OB. 类型类型二二 实际问题为背景的二次函数最值问题实际问题为背景的二次函数最值问题 例 2 （2018 南京秦淮期末）问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养 鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图）和一边“包含”墙（如图） 特例分析: （1）当时，若按图的方案设计，则该方案
12、中养鸡场的最大面积是 ；若按图的方案 设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 （2）当时，解决“问题情境”中的问题 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案 针对训练针对训练 1. （2019 武汉市硚口期中）某小区业主委员会决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成健身广场，设 计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形） ，空白区域为活动区，且四周的 4 个出口 宽度相同，其宽度不小于 14m，不大于 26m，设绿化区较长边为 xm，活动区的面积为 ym2 （1）直接写出：用 x的式子表示出口的宽度为 ； y与 x的函数关系式及 x的取值范围 ； （2）求活动区的
13、面积 y的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，如果业主委员会投资不得超过 72000 元来参与 建造，当 x 为整数时，共有几种建造方案？ 2 （2015 湖北襄阳模拟）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米，上下底 相距 80 米， 在两腰中点连线 （虚线） 处有一条横向甬道， 上下底之间有两条纵向甬道， 各甬道的宽度相等 设 甬道的宽为 x 米 （1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积为 平方米； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不超过 6 米如果修建
14、甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系， 比例系数是 57，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 002 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建 花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 3 （2016 无锡模拟）动手实验：利用矩形纸片（如图 1）剪出一个正六边形纸片；再利用这个正六边形纸 片做一个无盖的正六棱柱（棱柱底面为正六边形） ，如图 2 （1）做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？来源:学*科*网 Z*X*X*K （2）在（1）的条件下，当矩形的长为 2a 时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求 此时矩形纸片的利用率为多少？（矩形纸片的利用率 ）
15、 4 （2018 自贡期末）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用现有的住房墙，另外三边用 25m 长 得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个小门 （1）如果住房墙长 12 米，门宽为 1 米，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？ （2）如果住房墙长 12 米，门宽为 1 米，当 AB 边长为多少时，猪舍的面积最大？最大面积是多少？ （3）如果住房墙足够长，门宽为 a 米，设 ABx 米，当 6.5x7 时，猪舍的面积 S 先增大，后减小， 直接写出 a 的范围 5 （2018 北京丰台二模）数学活动课上，老师提出问题：如图， 有一张长 4dm，宽 3
16、dm 的长方形纸板，在 纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为 多少时，盒子的体积最大 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为 xdm，体积为 ydm 3，根据长方体的体积公式得到 y 和 x 的关系式： ； （2）确定自变量 x 的取值范围是 ； （3）列出 y 与 x 的几组对应值 x/dm 1 y/dm 3 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8来源:学&科&网 2.5 1.5 0.9 （说明：表格中相关数值保留一位小数） （4）在下面的平 面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的
17、图象； （5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm 时，盒子的体积最大，最大值约为 dm 3 6.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木 栏围成， 建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD。 已知木栏总长为 120 米， 设 AB 边的长为 x 米， 长方形 ABCD 的面积为 S 平方米 (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)当 x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大 值还是最小值)?并求出这个最值； (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆， 其圆心分别
18、为和， 且到 AB、 BC、AD 的距离与到 CD、BC、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米 宽的平直路面，以方便同学们参观学习当(l)中 S 取得最值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的 半径；若不可行，清说明理由 8 （2018 湖州期末）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设 施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持 和 AB 平
19、行的伸缩横杆 （1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时EMN 的面积； （2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （3）请你探究EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由 9 （2017 郑州二模）问题发现：如图 1，在ABC 中，C=90，分别以 AC，BC 为边向外侧作正方形 ACDE 和正方形 BCFG （1）ABC 和DCF 面积的关系是_； （请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：若C90， （1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图 2 给出证明；
20、若不成立，请说明理 由； （3）解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，ACBD，且 AC 与 BD 的和为 10，分别以四边形 ABCD 的四条 边为边向外侧作正方形 ABFE、正方形 BCHG、正方形 CDJI，正方形 DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分 的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由 图 1 图 2 图 3来源:学科网 ZXXK 10 （2017 无锡模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD，如图 1，再 在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒， 底面为矩形 EFGH，如图 2设小正方形的边长为 x 厘米 （1）当矩形纸板 ABCD 的一边长为 90 厘米时，求纸盒的侧面积的最大值； （2）当 EH：EF7：2，且侧面积与底面积之比为 9：7 时，求 x 的值
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