1、 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 07 二次函数背景下的三角形相似（全等）二次函数背景下的三角形相似（全等） 【方法综述】【方法综述】 三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用 全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“”与全等表述、与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和和相似表述的区别。全等和 相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解
2、答时，对于确定的对应边角可以相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以 直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进直接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分行对应边的分 类讨论。类讨论。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 确定的全等三角形条件的判定应用确定的全等三角形条件的判定应用 例例 1 1： （陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A、B 两 点，其中点 A 的坐标为，抛物线的顶点为 P 求 b 的值，并求出点 P、
3、B 的坐标； 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，使？如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不 存在，试说明理由 【答案】存在， 【解析】抛物线经过， ，解得：， 抛物线的表达式为 ， 点 P 的坐标为 令得：，解得或， 的坐标为 存在，点 如图：过点 P 作轴，垂足为 C，连接 AP、BP，作的平分线，交 PB 与点 N，交抛物线与点 M，连 接 PM、BM ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， 存在这样的点 M，使得 ，点 N 是 PB 的中点， 设直线 AM 的解析式为，将点 A 和点 N 的坐标代入得：，解得：， 直线 AM 的解析式为 将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去
4、 ， 当时， 点 M 的坐标为 针对训练针对训练 1 （2018 年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax 2 bx8 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物 线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8) (1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理 由 【答案】(1) y 1 2 x 23x8； （2）点 F的坐标为(317，4)或(317，4) 【解析】 （1
5、）抛物线 y=ax 2+bx-8 经过点 A（-2，0） ，D（6，-8） ， 428 0 36688 ab ab 解得 1 2 3 a b 抛物线的函数表达式为y 1 2 x 2 3 x8； y 1 2 x 2 3 x8 1 2 (x3) 225 2 ， 抛物线的对称轴为直线 x=3 又抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（-2，0） 点 B 的坐标为（8，0） ， 设直线 L 的函数表达式为 y=kx 点 D（6，-8）在直线 L 上， 6k=-8，解得 k=- 4 3 ， 直线 L 的函数表达式为 y=- 4 3 x， 点 E 为直线 L 和抛物线对称轴的交点， 点 E
6、的横坐标为 3，纵坐标为- 4 3 3=-4， 点 E 的坐标为（3，-4） ； （2）抛物线上存在点 F，使FOEFCE OE=CE=5， FO=FC， 点 F 在 OC 的垂直平分线上，此时点 F 的纵坐标为-4， 1 2 x 2-3x-8=-4，解得 x=3 17 ， 点 F 的坐标为（3-17，-4）或（3+17，-4） 2 （河南省濮阳市 2018 届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B 两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线BA运动， 点Q从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t
7、秒 求此抛物线的表达式； 求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值； 点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一 点T，使得？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)； （2）当为等腰三角形时，t的值为、 或或 4； （3） 点T的坐标为 【解析】把代入中，得 把代入中，得 ， 把，分别代入中，得， 抛物线的表达式为 ，由勾股定理，得， 运动t秒后， 为等腰三角形，有，三种情况， 当时，过点Q作于点D 在中， ， 解得； 当时， 若点P在x轴上方的直线AB上， ， 解得； 若点P在x轴下方的直线AB上， ， ， 解得：； 当
8、时，过点P作于点E 则，在中， ， 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、 或或 4 过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T 为底边AQ上的高 ， 当时，的面积最大 此时点P为AB的中点，且 连接OP，则， 点， 点T的横坐标为， 将代入抛物线的解析式得： 在中，由勾股定理可知：， 点T的坐标为 类型二类型二 全等三角形的存在性探究全等三角形的存在性探究 例 2 （四川省眉山市洪雅县 2018 届九年级中考适应性考）如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点分别为 A （6，0）和点 B（4，0） ，与 y 轴的交点为 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P
9、是线段 OA 上一动点（不与点 A 重合） ，过 P 作平行于 y 轴的直线与 AC 交于点 Q，点 D、M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 上 是否同时存在点 D 和点 P，使得APQ 和CDO 全等，若存在，求点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； 若DCB=CDB，CD 是 MN 的垂直平分线，求点 M 的坐标 【答案】 （1）y= x 2 x+3； （2）点 D 坐标为（ ，0） ；点 M（ ，0）. 【解析】 （1）将点（-6，0） ，C（0，3） ，B（4，0）代入 y=ax 2+bx+c，得 ， 解得： ， 抛物线解析式为：y=- x 2- x+3； （2）存在点 D，使
10、得APQ 和CDO 全等， 当 D 在线段 OA 上，QAP=DCO，AP=OC=3 时，APQ 和CDO 全等， tanQAP=tanDCO， ， ， OD= ， 点 D 坐标为（- ，0）. 由对称性，当点 D 坐标为（ ，0）时， 由点 B 坐标为（4，0） ， 此时点 D（ ，0）在线段 OB 上满足条件 OC=3，OB=4， BC=5， DCB=CDB， BD=BC=5， OD=BD-OB=1， 则点 D 坐标为（-1，0）且 AD=BD=5， 连 DN，CM， 则 DN=DM，NDC=MDC， NDC=DCB， DNBC， ， 则点 N 为 AC 中点 DN 时ABC 的中位线，
11、DN=DM= BC= ， OM=DM-OD= 点 M（ ，0） 针对训练针对训练 1如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的M与y轴相切于原点O，过点B（2，0）作 M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M （1）求这条抛物线解析式； （2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上； （3） 动点P从原点O出发， 沿y轴负半轴以每秒 1 个单位长的速度向下运动， 当运动t秒时到达点Q处 此 时BOQ与MCB全等，求t的值 【答案】 （1）yx 2+ ； （2）点 C 在（1）的抛物线上； （3）t2 【解析】 （1）将点M（2，0） 、B（2，0）代入 yx 2+bx+c 中，
12、得： 解得： 抛物线的解析式：yx 2 （2）连接MC，则MCBC；过点C作CDx轴于D，如图，在 RtBCM中，CDBM，CM2，BM4，则： DM1，CD，ODOMDM1，C（1，） 当x1 时，yx 2 ，所以点C在（1）的抛物线上 （3）BCM和BOQ中，OBCM2，BOQBCM90，若两三角形全等，则： OQBC，当t2时，MCB和BOQ全等 2 （广西田阳县实验中学 2019 届九年级中考一）如图所示，抛物线（m0）的顶点为 A， 直线与 轴的交点为点 B. （1）求出抛物线的对称轴及顶点 A 的坐标（用含 的代数式表示） ； （2）证明点 A 在直线 上，并求OAB 的度数； （
13、3）动点 Q 在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点 P，使以点 P、Q、A 为顶点的三角形与OAB 全 等？若存在，求出 的值，并写出所有符合上述条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）抛物线的对称轴为直线，顶点 A 的坐标为（，0） ； （2）OAB=30； （3）存在， = 时， P （0，- ） ，P （，- ） ；=时，P （，-3） ，P （3+，-3） ；=2 时， P （， -3） ，P （，-3） ；= 时， P （，- ） ，P （，- ）. 【解析】 （1）对称轴：x=m； 顶点：A（m，0） （2）将 x=m 代入函数 y=x-m， 得 y=m-
14、m=0 点 A（m，0）在直线 l 上 当 x=0 时，y=-m， B（0，-m） tanOAB=， OAB=30 度 （3）以点 P、Q、A 为顶点的三角形与OAB 全等共有以下四种情况： 当AQP=90，PQ=m，AQ=m 时， 如图 1，此时点 P 在 y 轴上，与点 B 重合，其坐标为（0，-m） ， 代入抛物线 y=-（x-m） 2 得-m=-3m 2， m0， m= 这时有 P1（0，- ） 其关于对称轴的对称点 P2（，- ）也满足条件 当AQP=90，PQ=m，AQ=m时 点 P 坐标为（m-m，-m） ， 代入抛物线 y=-（x-m） 2 得m=m 2， m0， m= 这时有
15、 P3（3-，-3） 还有关于对称轴的对称点 P4（3+，-3） 当APQ=90，AP=m，PQ=m 时 点 P 坐标为（m，m） ，代入抛物线 y=-（x-m） 2 得 m= m 2， m0， m=2 这时有 P5（，-3） 还有关于对称轴的对称点 P6（3，-3） 当APQ=90，AP=m，PQ=m时 点 P 坐标为（m，m） ， 代入抛物线 y=-（x-m） 2 得 m= m 2， m0， m= 这时有 P7（，- ） 还有关于对称轴对称的点 P8（，- ） 所以当 m= 时，有点 P1（0，- ） ，P2（，- ） ； 当 m=时，有点 P3（3-，-3） ，P4（3+，-3） ； 当
16、 m=2 时，有点 P5（，-3） ，P6（3，-3） ； 当 m= 时，有点 P7（，- ） ，P8（，- ） 3如图 1，抛物线 y1=ax 2 x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0， ） ，抛物线 y 1的顶 点为 G，GMx 轴于点 M将抛物线 y1平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的抛物线 y2 （1）求抛物线 y2的解析式； （2）如图 2，在直线 l 上是否存在点 T，使TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T 的坐标；若不存 在，请说明理由； （3）点 P 为抛物线 y1上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 y2于
17、点 Q，点 Q 关于直线 l 的对称点为 R， 若以 P，Q，R 为顶点的三角形与AMG 全等，求直线 PR 的解析式 【答案】 （1）y2=- x 2+ x- ； （2）存在； （3）y= x+ 或 y= . 【解析】 （1）由已知，c= ， 将 B（1，0）代入，得：a=0， 解得 a= ， 抛物线解析式为 y1= x 2- x+ ， 抛物线 y1平移后得到 y2，且顶点为 B（1，0） ， y2= （x1） 2， 即 y2=- x 2+ x- ； （2）存在， 如图 1： 抛物线 y2的对称轴 l 为 x=1，设 T（1，t） ， 已知 A（3，0） ，C（0， ） ， 过点 T 作 T
18、Ey 轴于 E，则 TC 2=TE2+CE2=12+（ ）2=t2 t+ ， TA 2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16， AC 2= ， 当 TC=AC 时，t 2 t+ =， 解得：t1=，t2=； 当 TA=AC 时，t 2+16= ，无解； 当 TA=TC 时，t 2 t+ =t 2+16， 解得 t3=； 当点 T 坐标分别为（1，） ， （1，） ， （1，）时，TAC 为等腰三角形； （3）如图 2： 设 P（m，） ，则 Q（m，） ， Q、R 关于 x=1 对称 R（2m，） ， 当点 P 在直线 l 左侧时， PQ=1m，QR=22m， PQR 与AMG 全等
19、， 当 PQ=GM 且 QR=AM 时，m=0， P（0， ） ，即点 P、C 重合， R（2， ） ， 由此求直线 PR 解析式为 y= x+ ， 当 PQ=AM 且 QR=GM 时，无解； 当点 P 在直线 l 右侧时， 同理：PQ=m1，QR=2m2， 则 P（2， ） ，R（0， ） ， PQ 解析式为：y=； PR 解析式为：y= x+ 或 y=. 类型三类型三 确定的相似三角形条件的判定应用确定的相似三角形条件的判定应用 例 3： （重庆市九龙坡区西彭三中 2019 届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点 A（1，0） ，B（4， 0） ，C（0，2）三点，点 D 与点 C 关
20、于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过 点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q，交直线 BD 于点 M （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点 P 在线段 AB 上运动的过程中，是否存在点 Q，使得BODQBM？若存在，求出点 Q 的坐标；若不 存在，请说明理由 （3）已知点 F（0， ） ，点 P 在 x 轴上运动，试求当 m 为何值时以 D、M、Q、F 为顶点的四边形是平行四边 形 【答案】 （1）y x 2+ x+2； （2）存在，点 Q 的坐标为（3，2） ； （3）m1 或 m3 或 m1+ 或 1 时，四边形 DMQF 是
21、平行四边形 【解析】 （1）由抛物线过点 A（1，0） 、B（4，0）可设解析式为 ya（x+1） （x4） ， 将点 C（0，2）代入，得：4a2， 解得：a ， 则抛物线解析式为 y （x+1） （x4） x 2+ x+2； （2）如图所示： 当BODQBM 时， 则， MBQ90， MBP+PBQ90， MPBBPQ90， MBP+BMP90， BMPPBQ， MBQBPQ， ， ， 解得：m13、m24， 当 m4 时，点 P、Q、M 均与点 B 重合，不能构成三角形，舍去， m3，点 Q 的坐标为（3，2） ； （3）由题意知点 D 坐标为（0，2） ， 设直线 BD 解析式为 yk
22、x+b， 将 B（4，0） 、D（0，2）代入，得：， 解得：， 直线 BD 解析式为 y x2， QMx 轴，P（m，0） ， Q（m， m 2+ m+2） 、M（m， m2） ， 则 QM m 2+ m+2（ m2） m2+m+4， F（0， ） 、D（0，2） ， DF ， QMDF， 当| m 2+m+4| 时，四边形 DMQF 是平行四边形， 解得：m1 或 m3 或 m1+或 1 即 m1 或 m3 或 m1+或 1时，四边形 DMQF 是平行四边形 针对训练针对训练 1 （湖南省长沙一中 2018 届九年级（下)段考）如图 1，一次函数 yx+3 的图象交 x 轴于点 A，交 y
23、 轴 于点 D，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的顶点为 C，其图象过 A、D 两点，并与 x 轴交于另一个点 B（B 点在 A 点左侧） ，若； （1）求此抛物线的解析式； （2）连结 AC、BD，问在 x 轴上是否存在一个动点 Q，使 A、C、Q 三点构成的三角形与ABD 相似如果存 在，求出 Q 点坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若点 P 是抛物线上一动点，且在直线 AD 下方， （点 P 不与点 A、点 D 重合） ，过点 P 作 y 轴的 平行线 l 与直线 AD 交于点 M，点 N 在直线 AD 上，且满足MPNABD，求MPN 面积的最大值 【答案】 （1）yx
24、 24x+3； （2）见解析;（3）MPN 的面积的最大值为: 【解析】 （1）当 x0 时，yx+33，则 D（3，0） ； 当 y0 时，x+30，解得 x3，则 A（3，0） ， ODOA， OAD 为等腰直角三角形， AD3， ， AB2， B（1，0） ， 设抛物线解析式为 ya（x1） （x3） ， 把 D（0，3）代入得 a（1）（3）3，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x1） （x3） ，即 yx 24x+3； （2）作 CHx 轴，如图 1， yx 24x+3（x2）21， C（2，1） AHCH1， ACH 为等腰直角三角形， CAH45，AC， OAD 为等腰直角三角形
25、， DAO45， CAQDAB， 当时，AQCADB，即，解得 AQ3，此时 Q（0，0） ； 当时，AQCABD，即，解得 AQ ，此时 Q（ ，0） ； 综上所述，Q 点的坐标为（0，0）或（ ，0） ； （3）作 PEAD 于 E，如图 2， MPNABD， ， MNMP， 设 P（x，x 24x+3） ，则 M（x，x+3） ， MPx+3（x 24x+3）x2+3x（x ）2+ ， 当 x 时，MP 有最大值 ， MN 的最大值为， PME45， PEPM， PE 的最大值为 ， MPN 的面积的最大值为 2 （浙江省嘉兴市海宁新仓中学 2019 届九年级上学期数学第一次月考） 如图
26、， 抛物线 y=ax 2+bx+c 过原点 O、 点 A （2，4） 、点 B （3，3） ，与 x 轴交于点 C，直线 AB 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 E （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）直线 AFx 轴，垂足为点 F，AF 上取一点 G，使GBAAOD，求此时点 G 的坐标； （3）过直线 AF 左侧的抛物线上点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为点 N，若BMN=OAF，求直线 BM 的函数表 达式 【答案】 （1）y=x 2-4x； （2，-4） ； （2）G（2， ） ； （3）y=或 y=-3x+6 【解析】 （1）解：将原点 O（0,0） 、点 A （2，4
27、） 、点 B （3，3） ，分别代入 y=ax 2+bx+c， 得 ，解得 ， y=x 2-4x= ， 顶点为（2，-4）. （2）解：设直线 AB 为 y=kx+b， 由点 A（2，-4） ，B（3，-3） ，得 解得 ， 直线 AB 为 y=x-6. 当 y=0 时，x=6，点 D（6，0）. 点 A（2，-4） ，D（6,0） ，B（3，-3） ， OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ， DF=AF，又AFx 轴， AD0=DAF=45， GBAAOD， ， ， 解得 ， FG=AF-AG=4- ， 点 G（2， ）. （3）解：如图 1， BMN=OAF
28、， ， MBN=AOF， 设直线 BM 与 AF 交于点 H， ABH=AOD，HAB=ADO， ， 则 ，解得 AH= ， H（2， ）. 设直线 BM 为 y=kx+b，将点 B、G 的坐标代入得 ，解得 直线 BM 的解析式为 y= ； 如图 2， BD=AD-AB= BMN=OAF，GDB=ODA， HBDAOD ，即 ，解得 DH=4 点 H 的坐标为（2，0） 设直线 BM 的解析式为 y=kx+b 将点 B 和点 G 的坐标代入得： ，解得 k=-3，b=6 直线 BM 的解析式为 y=-3x+6 综上所述，直线 MB 的解析式为 y= 或 y=-3x+6 3 （江西省景德镇市
29、2018 届九年级第二次质检）如果一条抛物线yax 2bxc（a0）与 x轴有两个交 点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， a，b，c 称为“抛物线系数” （1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是_（填“真”或“假”）命题； （2）若一条抛物线系数为1，0，2 ，则其“抛物线三角形”的面积为_； （3）若一条抛物线系数为1，2b，0 ，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式； （4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P 作PQx轴于点Q，使得BPQOAB，如果存在，求出P点坐标，如果
30、不存在，请说明理由 【答案】 （1）假； （2）； （3）yx 22x 或 yx 22x； （4）P（1，1）或 P（1，3）或 P（1， 3）或（1，1） 【解析】 （1）当0 时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命 题； （2）由题意得：，令y=0，得：x=， S=； （3）依题意：yx 22bx，它与 x轴交于点（0，0）和（2b，0） ； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形 yx 22bx= ，顶点为（b，b 2） ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到： ，解得：b0（舍去）或b1， yx 22x 或 yx 2
31、2x （4）当抛物线为yx 22x 时 AOB为等腰直角三角形，且BPQOAB， BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a 22a） ，Q（ （a，0） ， 则a 22a2a，即 a20，a=1，P（1，1）或（1， 3） 当抛物线为yx 22x 时 AOB为等腰直角三角形，且BPQOAB， BPQ为等腰直角三角形，设P（a，a 22a） ，Q（ （a，0） ， 则a 22a2+a，即 a+20，a=1，P（1，3， ）或（1，1） 综上所述：P（1，1）或P（1，3）或P（1，3， ）或（1，1） 类型四类型四 相似三角形存在性探究相似三角形存在性探究 例 4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直
32、线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线 经过点. (1)求抛物线的解析式， (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点 作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过 作轴于点 ，交抛物线于两点(点位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 【答案】(1) ；(2) 点 的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为 ； 【解析】(1)把代入得， 由，得， (2) 由题意可知，四边形是矩形，所以. 由(1)可知， 当时，最短，即最短， 此时点 是的中点， 所以， 点 的坐标为， 将代入得， 点 的坐标为， 将代入得， 解
33、得， 点的坐标为，点 的坐标为 当时(如图 2)，则 、 关于抛物线的对称轴对称， 的坐标为，点 的坐标为， 当时(如图 3)，则是等腰直角三角形， 过点 作于点 ，设点 的坐标为， ，解得， . 针对训练针对训练 1 （贵州黔东南州锦屏县敦寨中学 2018-2019 学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系 中，直线 y- x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A、B点 P 是 x 轴上一个动 点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线分别交抛物线和直线 AB 于点 E 和点 F设点 P 的横坐标为 m （1）点 A 的坐标为 （2）求这条抛
34、物线所对应的函数表达式 （3）点 P 在线段 OA 上时，若以 B、E、F 为顶点的三角形与FPA 相似，求 m 的值 （4）若 E、F、P 三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，称 E、F、P 三点为“共 谐点”直接写出 E、F、P 三点成为“共谐点”时 m 的值 【答案】 （1） （4，0） （2）yx 2+ x+2（3） ， （4）1 或 或 【解析】 （1）在 y- x+2 中，令 y0，则 x4， A（4，0） ； 故答案为： （4，0） ； （2）在 y- x+2 中，令 x0，则 y2， B（0，2） ， 把 A（4，0） ，B（0，2）代入 yx 2+bx
35、+c，得 b ， 这条抛物线所对应的函数表达式为 yx 2+ x+2； （3）P（m，0） ，E（m，m 2+ m+2） ，F（m， m+2） ， 且BFEAEP， BEPAPF90或EBFAPF90， 则有 BEPE， E 点的纵坐标为 2， 解得 m0（舍去）或 m ， 如图 1，过点 E 作 ECy 轴于点 C， 则EBC+BEC90，ECm，BCm 2+ m+22m2+ m， EBF90， EBC+ABO90， ABOBEC， RtECBRtBOA， , ,解得 m0（舍去）或 m ， 解得，m ， 综上所述，以 B、E、F 为顶点的三角形与FPA 相似，m 的值 ， （4）由（1）知
36、，P（m，0） ，E（m，m 2+ m+2） ，F（m， m+2） ， E、F、P 三点为“共谐点”， 有 F 为线段 PE 的中点、P 为线段 FE 的中点或 E 为线段 PF 的中点， 当 F 为线段 PE 的中点时，则有 2（ m+2）m 2+ m+2，解得 m4（三点重合，舍去）或 m ； 当 P 为线段 FE 的中点时，则有 m+2+（m 2+ m+2）0，解得 m4（舍去）或 m1； 当 E 为线段 FP 的中点时，则有 m+22（m 2+ m+2） ，解得 m4（舍去）或 m ； 综上可知当 E、F、P 三点成为“共谐点”时 m 的值为1 或 或 2 （广东省汕头市龙湖区 201
37、9 届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过 A(4，0)，B(1，0)，C(0， 2)三点 (1)求出抛物线的解析式； (2)P 是抛物线上一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与 OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1) y x 2 x2;(2)点 P 为(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2). 【解析】解：(1)该抛物线过点 C(0，2)， 可设该抛物线的解析式为 yax 2bx2. 将 A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ， 此抛物线的解析式为. (2)存在
38、， 设 P 点的横坐标为 m，则 P 点的纵坐标为 m 2 m2， 当 1m4 时，AM4m，PM m 2 m2.又COAPMA90， 当 时，APMACO，即 4m2( m 2 m2) 解得 m12，m24(舍去)，P(2，1) 当 时，APMCAO，即 2(4m) m 2 m2. 解得 m14，m25(均不合题意，舍去)，当 1m4 时，P(2，1) 类似地可求出当 m4 时，P(5，2) 当 m1 时，P(3，14)或 P(0，2)， 综上所述，符合条件的点 P 为(2，1)或(5，2)或(3，14)或(0，2). 3（2018 年四川省绵阳市中考数学试卷） 如图， 已知抛物线过点 A(
39、,-3) 和 B(3,0)， 过点 A 作直线 AC/x 轴，交 y 轴与点 C. （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D，连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三角形 与AOC 相似，求出对应点 P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 Q，使得?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）； （2）P 点坐标为（4 ,6）或（,- ） ； （3）Q 点坐标（3，0）或（-2， 15） 【解析】 （1）把，和点，代入抛物线得：， 解得：， 则抛物线解析式为； （2）当 在直线上方时， 设 坐标为，则有， 当时，
40、即， 整理得：，即， 解得：，即或（舍去） ， 此时，； 当时，即， 整理得：，即， 解得：，即或（舍去） ， 此时，； 当点时，也满足； 当 在直线下方时，同理可得： 的坐标为， 综上， 的坐标为，或，或，或； （3）在中， 根据勾股定理得：， ， ， ， 边上的高为 ， 过 作，截取，过作，交 轴于点 ，如图所示： 在中，即， 过作轴， 在中，即， 设直线解析式为， 把坐标代入得：，即，即， 联立得：， 解得：或，即，或， 则抛物线上存在点 ，使得，此时点 的坐标为，或， 4 （湖南省衡阳市 2019 届中考数学试卷）如图，已知直线分别交 轴、 轴于点 A、B，抛物线 过 A，B 两点，点
41、 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PC 轴于点 C，交抛物线于点 D （1）若抛物线的解析式为，设其顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N 求点 M、N 的坐标； 是否存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形？并说明理由； （2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为顶点的三角形与AOB 相似？若 存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 答案见解析 （2）存在，或 【解析】 （1）如图 1， ， 顶点为 的坐标为， 当时，则点 坐标为，； 不存在 理由如下： ， 设 点坐标为，则， ， ， 当时，四边形为平行四边形
42、，即，解得（舍去） ，此时 点坐 标为， ， ， 平行四边形不为菱形， 不存在点 ，使四边形为菱形； （2）存在 如图 2，则， 当时，则， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 抛物线的解析式为， 当时，则， ， ， ， 当时，即，解得，此时抛物线解析式为； 当时，即，解得，此时抛物线解析式为； 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或 5 （湖北省襄州区 2018 届九年级上学期） 如图， 已知抛物线 yax 2+ x+c 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴 交于 C 点，且 A（2，0） 、C（0，4） ，直线 l：yx4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 yax 2+
43、 x+c 上的一动点，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F （1）试求该抛物线表达式； （2）如图 1，若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标； （3）如图 2，过点 P 作 PHy 轴，垂足为 H，连接 AC 求证：ACD 是直角三角形； 试问是否存在这样的点 P，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y； （2）P 的坐标为（8，4）或（2.5， ） ； （3）详见解析；点 P 的横坐标为 2 或5.5 或10.5 或18 时，使得以点 P、C、H为
44、顶点的三角形与ACD 相似 【解析】 解： （1）把 A（2，0） 、C（0，4）代入 yax 2+ x+c 中得：，解得：， 该抛物线表达式为：yx 2+ x4； （2）如图 1，设点 P 的坐标为（x，x 2+ x4） ，则 F（x，x4） ， 点P在第三象限， PF（x4）（x 2+ x4） x， C（0，4） ， OC4， 四边形 PCOF 是平行四边形，且 PFOC， PFOC4，即 x4， 2x 2+21x+400， （x+8） （2x+5）0， x18，x22.5， 当 y0 时，x 2+ x40， 解得：x110，x22， P 的坐标为（8，4）或（2.5，） ； （3）当 y
45、0 时，x40， x8， D（8，0） ， 由勾股定理得：DC 282+4280， AC 222+4220，AD2102100， AD 2AC2+DC2， ACD90， ACD 是直角三角形； 设点 P 的坐标为（x， x 2+ x4） ， 由知：ACD90，PHC90，AC 2 ，CD 4， 如图 3，点 P 在第一象限，当ACDPHC 时， 则 ， CH2PH， x 2+ x4（4）2x， 解得：x10（P 与 C 重合，舍去） ，x22， 此时点 P 的横坐标为 2； 如图 4，点 P 在第一象限，当ACDCHP 时， 则 ， PH2CH， x24（x 2+ x4）， 解得：x10（舍去） ，x25.5， 此时点 P 的横坐标为5.5； 如图 5，点 P 在第二象限，当ACDCHP 时， 则 ， PH2CH， x2（x 2+ x4）（4）， 解得：x10（舍） ，x210.5， 此时点 P 的横坐标为10.5（P 在直线 l 上） ； 如图 6，点 P 在第二象限，当ACDPHC 时， 则 ， CH2PH， （x 2+ x4）（4）2x， 解得：x10（舍） ，x218， 此时点 P 的横坐标为18；
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