1、 专题专题 10 动点类综合题目探究动点类综合题目探究 题型一：题型一：二次函数中三角形面积最值二次函数中三角形面积最值存存及平行四边形存及平行四边形存在性问题在性问题 例例 1. （2019 巴中） 巴中） 如图， 抛物线 2 5yaxbx（a0） 经过 x 轴上的点 A(1,0)和点 B 及 y 轴上的点 C， 经过 B、C 两点的直线为yxn. （1）求抛物线解析式； （2）动点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，同时动点 E 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 2 个单位的速度向 C 运动. 当其中一个点到达终点时， 另一点也停止运动. 设运
2、动时间为 t 秒， 求 t 为何值时，PBE 的面积最大并求出最大值. （3） 过点 A 作 AMBC 于点 M， 过抛物线上一动点 N(不与 B、 C 重合)作直线 AM 的平行线交直线 BC 于 Q， 若点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的横坐标. 【分析】 （1）由 OB=OC，得 B 点坐标为(5,0)，将 A（1,0）及 B(5,0)代入 2 5yaxbx，可求得 a、b； （2） 过点 E 作 EH 垂直 x 轴于 H，用时间 t 表示出线段 BP、EH 的长，利用 SPBE= 1 2 BP EH求得面积最大值及 t 值； （3）由 AMNQ 可知，平行四边
3、形有两种情况，AMQN 和 AMNQ，即 A 点对点有可能是 N 或 Q，利 用平面直角坐标系中平行四边形对点横坐标和及纵坐标和相等求解. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）由题意知：C（0,5） ，由直线 y=x+n 过点 B、C，得：OB=OC=5， B(5,0)， 将 A(1,0)、B(5,0)代入 2 5yaxbx，得： 50 25550 ab ab ， 解得： 1 6 a b ， 即抛物线解析式为： 2 65yxx . （2）过点 E 作 EHx 轴于 H， 由 OC=OB 知，OBC=45， EH= 2 2 BE， 由题意知：AP=t，BP=4t，BE=2t，EH=2t，0t
4、5 2 2 ， 12 4 22 BEH SEH BPtt 22 222 2 t ， 当 t=2 时，BEH 的面积取最大值，最大值为2 2. （3）由（2）知：AM= 2 2 2 2 AB , M(3,2), 设 N（m，-m2+6m5） ，Q（x，x5） 当平行四边形为 AMNQ 时，得： 2 13 6525 mx mmx ， 解得：x= 541 2 或 x= 541 2 ； 当平行四边形为 AMQN 时，得： 2 13 6525 xm mmx ， 解得：x=1（舍去）或 x=4； 综上所述，N 点的横坐标为 541 2 、 541 2 或 4. 题型题型二二：一次函数与圆结合及特殊三角形存
5、一次函数与圆结合及特殊三角形存在性问题在性问题 例例 2.（2019湖州）湖州）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1分别交 x 轴和 y 轴于点 A(3,0)，B（3,0）. （1）如图 1，已知圆 P 经过点 O，且与直线 l1相切于点 B，求圆 P 的直径长； （2）如图 2，已知直线 l2：y=3x3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D，点 Q 是直线 l2上的一个动点，以 Q 为圆心，2 2为半径画圆. 当点 Q 与点 C 重合时，求证：直线 l1与圆 Q 相切； 设圆 Q 与直线 l1相交于 M、N 两点，连接 QM、QN，问：是否存在这样的点 Q，使得QMN 是等腰
6、直角 三角形，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【分析】 （1）连接 BP、OP，可得：OBP 是等腰直角三角形，进而求得圆 P 的半径 OP； （2）过 C 作 CEl1于 E，求出 CE 的长，利用切线定义证明；设直线 l1与 l2相交于点 F，根据 Q 的位置分两种情况讨 论：Q 在线段 BF 上或 Q 在线段 BF 的延长线上. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）连接 BP、OP， 由题意知：OB=OA=3， BAO=ABO=45， 又AB 与圆 P 相切于 B， PBA=90， OBP=45， 又 BP=OP， POB=45，BPO=90， 即OBP 是等腰直角三
7、角形， BP= 23 2 22 OB ， 故圆 P 的直径为3 2. （2）过 C 作 CEl1于 E，如下图所示， 由题意知：EAC=45，AC=4， CE= 2 2 2 2 AC , 点 Q 与点 C 重合时，圆 Q 的半径为2 2， x y OA B C D l1 l2 E 直线 l1与圆 Q 相切. 设直线 l1与 l2相交于点 F，当 Q 在线段 DF 上时，如下图所示， 由NMQ=NQM=MAC=45， 得：MQx 轴，NQy 轴， 设 Q(t，3t3)，则 M(3t6,3 t3)，N(t,t+3)， 由 MQ=2 2得：t（3t6）=2 2， 解得：t=32，3 t3=632 点
8、 Q 的坐标为： （32，632） ； 当点 Q 在线段 DF 延长线时，如下图所示， 设 Q(t，3t3)，则 N(3t6,3 t3)，M(t,t+3)， 由 MQ=2 2得：3t3（t+3）=2 2， x y OA B C D l1 l2 M N Q x y OA B C D l1 l2 Q M N F 解得：t=3+2，3 t3=6+32 点 Q 的坐标为： （3+2，6+32） ； 综上所述，当QMN 是等腰直角三角形时，点 Q 的坐标为： （32，632）或（3+2，6+32）. 题型题型三三：二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存二次函数中线段最值问题及特殊平行四边形存在性问题在
9、性问题 例例 3.（2019南充）南充）如图，抛物线cbxaxy 2 与x轴交于点 A（-1，0） ，点 B（-3,0） ，且 OB=OC. （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且POB=ACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4.点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点， 过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E. 求 DE 的最大值. 点 D 关于点 E 的对称点为 F. 当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形？ 【分析】 （1）由题意得 C(0,3)，将 A、B、C 点坐标代入 cbxaxy 2 求得
10、 a、b、c 值； （2）根据 P 点所处位置不同分类讨论，借助三角函数或相似三角形性质求解； （3）利用待定系数法求出直线 MN 的 解析式，进而根据 D、E 的位置关系求得 DE 的值为两点纵坐标的差；利用矩形的性质，得： 222 4MNDFDE 代入求解. 【答案】见解析. 【解析】 解： （1）OB=OC，B（-3,0） ， C（0，-3） 可得： 0 930 3 abc abc c 解得：3, 4, 1cba. 即抛物线解析式为： 34 2 xxy . （2）过点 A 作 AGBC 于点 G，如下图所示， 由题意知：BAG=ABG=45， BG=AG=ABsin45=2 BC=232
11、OB， CG=BC-BG=22， tanACG= 1 2 AG CG 设 P（34, 2 ttt） ，过点 P 作 PQx 轴于 Q，tanPOQ=tanACG= 2 1 . 当 P 在 x 轴上方时， 2 0,430ttt 则 PQ= 2 43,ttOQt ， tanPOQ= 2 431 , 2 PQtt OQt 即 0672 2 tt 解得 2 3 , 2 21 tt， 12 3 3 ( 2,1),(, ) 2 4 PP 当点 P 在第三象限时， 2 431 2 ty t ， 即0692 2 tt， 解得： 34 933933 , 44 tt ， 34 933933933933 (,),(
12、,) 4848 PP 当点 P 在第四象限时，POB90，而ACB90， 故点 P 不在第四象限； 综上所述，点 P 坐标为( 2,1)， 3 3 (, ) 2 4 ， 933933 (,) 48 ， 933933 (,) 48 . （3） 22 ( ,43),(4, (4)4(4)3)M mmmN mmm 即)3512, 4( 2 mmmN， 设直线 MN 解析式为nkxy ， 可得： 2 2 43 (4)1235 kmnmm k mnmm 解得： 2 28 43 km nmm 故 MN 解析式为： 2 (8)(43)ymxmm 设)34,( 2 tttD， 2 ( ,( 28)(43)E
13、tmtmm DE= 2 (43)tt 2 ( 28)(43)mtmm 22 2 2(2)(4 ) (2)4 tmtmm tm ， 即当2mt时，DE 最大值为 4. 当 DE 最大时，点 2 (2,819)E mmm为线段 MN 的中点. 点 E 为 DF 的中点， 当 DE 最大时，四边形 MDNF 为平行四边形. 如果MDNF 为矩形，则 222 4,MNDFDE 故 222 4(832)4 4m ， 化简得， 2 3 (4) 4 m， 解得： 3 4 2 m . 当 3 4 2 m 或 3 4 2 时，四边形 MDNF 为矩形 题型题型四四：二次函数中给定动线段平方和最值存二次函数中给定
14、动线段平方和最值存在性问题在性问题 例例 4.（2019安徽）安徽）一次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2） ，另一个交点是 该二次函数图像的顶点 （1）求 k，a，c 的值； （2）过点 A（0，m） （0m4）且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y=ax2+c 的图像相交于 B，C 两点，点 O 为坐标原点，记 W=OA2+BC2，求 W 关于 m 的函数解析式，并求 W 的最小值. 【答案】见解析. 【解析】 解：（1）由题意得，k+4=-2， 解得 k=-2， 二次函数顶点为（0,4）， c=4， 把（1,2）代入二次函数表达式得：a+c=2，
15、 解得 a=-2 （2）由（1）得二次函数解析式为 y=-2x2+4， 令 y=m，得 2x2+m-4=0 即 4-m x= 2 ， 设 B，C 两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则 12 4-m xx =2 2 ， W=OA2+BC2= 222 4-m m4=m -2m+8=m-17 2 （） 当 m=1 时，W 取得最小值 7. 题型题型五五：二次函数中给定动线段平方和最值存二次函数中给定动线段平方和最值存在性问题在性问题 例例 5.（2019金华）金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴 的正半轴上，把正方形 OABC
16、 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点. 点 P 为抛物线 2 2yxmm 的顶点. （1）当 m=0 时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数； （2）当 m=3 时，求该抛物线上好点坐标； （3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围. 【分析】 （1） （2）分别作出图形，可求得好点的个数及坐标； （3）根据抛物线顶点坐标，作出图形，分析 m 的取值范围. 【答案】见答案. 【解析】解： （1）当 m=0 时，二次函数的表达式为， 画出如下函数图象， 当 x=0 时，y=2; 当 x=1 时，y=1, 抛物线经过点（0
17、,2）和（1,1）. 2 2yx 好点有： （0,0） ， （0,1） ， （0,2） ， （1,0）和（1,1） ，共 5 个. （2）当 m=3 时，二次函数的表达式为， 画出函数图象, 当 x=1 时，y=1; 当 x=2 时，y=4; 当 x=4 时，y=4. 该抛物线上存在好点，坐标分别是（1,1） ， （2,4）和（4,4）. （3）抛物线顶点 P 的坐标为（m,m+2）, 故点 P 在直线 y=x+2 上. 由于点 P 在正方形内部，则 0m2. 由图知：点 E(2,1), F(2,2). 当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段 EF 有交点（
18、点 F 除外）. 当抛物线经过点 E（2,1）时，, 解得： ， （舍去）. 当抛物线经过点 F（2,2）时， , 解得：m3=1,m4=4(舍去). 当时，顶点 P 在正方形 OABC 内，恰好存在 8 个好点. 2 (3)5yx 2 (2)2=1mm 1 513 = 2 m 2 5+ 13 = 2 m 2 (2)2=2mm 513 1 2 m 题型题型六六：二次函数中二次函数中双动点及图形双动点及图形存存在性问题在性问题 例例 6.（2019连云港）连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：yx2+bx+c 过点 C（0，3） ，与抛物 线 L2：y 1 2 x2 3 2
19、x+2 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1、L2上的动点 （1）求抛物线 L1对应的函数表达式； （2）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标； （3）设点 R 为抛物线 L1上另一个动点，且 CA 平分PCR若 OQPR，求出点 Q 的坐标 【分析】 （1）先求出 A 点的坐标，用待定系数法求出函数解析式； （2）设点 P 的坐标为（x，x22x3） ， 分三种情况讨论：平行四边形为 ACPQ、ACQP 或 APCQ，列出方程求解； （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物 线 L1不存在点 R 使得 CA 平分PCR，
20、当点 P 在 y 轴右侧时，设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T，过点 P 作 PHTR 于点 H，设点 P 坐标为（x1，y1） ，点 R 坐标为（x2，y2） ，证明PSCRTC，由相似比得到 x1+x24，进而得 tanPRH 的值，过点 Q 作 QK x 轴于点 K，由 tanQOKtanPRH 求解 【答案】见解析. 【解答】解： （1）将 x2 代入 y 1 2 x2 1 2 x+2，得 y3，故点 A 的坐标为（2，3） ， 将 A（2，3） ，C（0，3）代入 yx2+bx+c，得 423 3 bc c
21、， 解得： 2 3 b c ， 抛物线 L1：yx22x3； （2）设点 P 的坐标为（x，x22x3） ，Q(n, 1 2 n2 3 2 n+2)， 当四边形 ACPQ 为平行四边形时，可得： 22 2 13 32332 22 xn xxnn ， 解得：x=0（舍去）或 x=1， 即 P 点坐标为（1,0）. 当四边形 ACQP 为平行四边形时，可得： 22 2 13 32323 22 nx nnxx ， 解得：x=3（舍去）或 x= 4 3 ， 即点 P 的坐标为（3，0）或（ 4 3 ， 13 9 ） ； 当四边形 AQCP 为平行四边形时，可得： 22 20 13 3 3232 22
22、nx xxnn ， 解得：x=0（舍去）或 x=3， 即点 P 的坐标为（3，12） ； 综上所述，点 P 的坐标为： （1,0）或（3，0）或（ 4 3 ， 13 9 ）或（3，12）. （3）当点 P 在 y 轴左侧时，抛物线 L1不存在点 R 使得 CA 平分PCR， 当点 P 在 y 轴右侧时，不妨设点 P 在 CA 的上方，点 R 在 CA 的下方， 过点 P、R 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 S、T， 过点 P 作 PHTR 于点 H，则有PSCRTC90， 由 CA 平分PCR，得PCARCA，则PCSRCT， PSCRTC， PSRT CSCT ， 设点 P 坐标为（x1， 2 11 23xx） ，点 R 坐标为（x2， 2 22 23xx） ， 2 2 22 11 12 323 233 xx xx xx 即 x1+x24， 在 RtPRH 中，tanPRH 22 1122 12 12 2323 22 xxxx xx xx 过点 Q 作 QKx 轴于点 K，设点 Q 坐标为（m， 1 2 m2 3 2 m+2） ， 若 OQPR，则QOKPRH， tanQOKtanPRH2， 2m 1 2 m2 3 2 m+2， 解得，m 765 2 ， 所以点 Q 坐标为（ 765 2 ，765）或（ 765 2 ，7+65）
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