1、 专题专题 05 动点折叠类问题中函数及其综合题型动点折叠类问题中函数及其综合题型 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、 弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求 静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的 压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数
2、形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. （1）函数中的折叠问题 主要考查对函数性质的把握及综合运用知识的能力. （2）综合题型 此类题目困难重重，以 2019 年安徽省中考第 10 题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的 有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求. 通过研究历年中考真题并结合 2019 年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及 同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养. 二、精品例题解析二、精品例题解析 题型一：题型一：折叠综合题型折叠综合题型 例例 1.（2019安徽）安徽）如图，在正方
3、形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12，点 P 在正方 形的边上，则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是（ ） A.0 B.4 C.6 D.8 【分析】当 P 在边 AD 上运动时，根据轴对称知识，求出 PE+PF 的最小值及其变化规律，进而与 9 进 行比较，得出结论. 【答案】D. 【解析】 解：作点 E 关于 AD 的对称点 E，连接 EF，交 AD 于 P，此时 PE+PF 的值为最小，最小值为 EF 的 长， 如下图所示，过 F 作 FHEE于 H，EE交 AD 于点 G， 由题意知：AE=EF=FC=4， 四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线
4、， FFH=ACB=45， FH=EH=EG=EG= 2 2 EF=2 2， 在 RtHFE中，由勾股定理得： EF= 22 4 59E HHF, 当点 P 在点 A 处时，PE+PF=129， 当点 P 在 D 点时，连接 BD 交 AC 于点 O，如下图所示， OD=6，OE=2， 在 RtPEO 中，由勾股定理得：PE= 22 2 10OEOD, A D CB E F P E H G A D CB E F （P） O PE+PF=4 109， 综上所述， 当点 P 在 AD 上运动时， PE+PF 的值的变化规律为从 12 逐渐减小至4 5， 后增大至4 10， 在这个变化过程中，有两个
5、 P 点使得 PE+PF=9， 在正方形 ABCD 边上有 8 个点符合要求， 故答案为：D. 题型题型二二：折叠与相似折叠与相似 例例 2.（2019济宁）济宁）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩 形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G （1）求线段 CE 的长； （2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合） ，且DMNDAM，设 AMx， DNy 写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； 是否存在这样的点 M，使DMN
6、是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由翻折并利用勾股定理构建方程即可解决问题 （2）由ADMGMN，可得，由此即可解决问题 有两种情形：当 MNMD 时，当 MNDN 时. 分别求解即可解决问题 【答案】见解析. 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10，ABCD8， BBCD90， 由翻折可知：ADAF10DEEF，设 ECm，则 DEEF8m 在 RtABF 中，由勾股定理得：BF6， CFBCBF1064， 在 RtEFC 中，由勾股定理得： （8m）2m2+42， 解得：m3， EC3 （2）如下图中， AD
7、CG， ADDE CGEC ， CG6， BGBC+CG16， 在 RtABG 中，由勾股定理得：AG85， 在 RtDCG 中，由勾股定理得：DG10， ADDG10， DAGAGD， DMGDMN+NMGDAM+ADM，DMNDAM， ADMNMG， ADMGMN， ADAM HMNG ， 10 108 5 x yx ， 整理得： 2 2 14 51 104 52 10510 yxxx 当 x45时，y 有最小值，最小值为 2 存在当 MNMD 时， MDNGMD，DMNDGM， DMNDGM， MDMN DGMG ， MNDM， DGGM10， xAM8510 当 MNDN 时，过 M
8、作 MHDG 于 H MNDN， MDNDMN， DMNDGM， MDGMGD， MDMG， BHDG， DHGH5， 由GHMGBA，可得 GHMG GBAG ， MG 5 5 2 , xAM 11 5 2 综上所述，满足条件的 x 的值为 8510 或 11 5 2 题型题型三三：折叠与全等折叠与全等 例例 3.（2019临沂）临沂）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上一点， （与 D、C 不重合） ，连接 AE，将 ADE 沿 AE 所在的直线折叠得到AFE，延长 EF 交 BC 于 G,连接 AG，作 GHAG，与 AE 的延长线交于 点 H，连接 CH，显然 AE 是DA
9、F 的平分线，EA 是DEF 的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的 角平分线（仅限于小于 180的角平分线） ，并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】 解： 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB，D=B=90， 由折叠知：ADEAFE， AD=AF=AB，AFG=90， 在 RtAGB 和 RtAGF 中， AG=AG，AF=AB， A D C B E F G H M 1 2 3 4 5 N 6 7 RtAGBRtAGF， 6=7，3=4， 即 AG 是BAF 的平分线，GA 是BGF 的平分线； AGH=90， 6+HGC=90，7+EGH=90， HGC= EGH， 即 GH 是
10、EGC 的平分线； 过 H 作 HNBM 于 N， 1=2，3=4，1+2+3+4=90， GAH=2+3=45， AG=GH， ABGGNH， NH=BG，GN=AB=BC， GNGC= BCGC, 即 BG=CN=NH， HCN=45，DCH=45， 即 CH 是DCM 的平分线. 题型题型四四：折叠与反比例函数折叠与反比例函数 例例 4 4.（2019衢州）衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴 上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点 B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若(0) k yk
11、x 图象经过点C，且=1 BEF S，则k的值 为 . 【答案】24. 【解析】解： 由题意知：AB=CD=3BE，SBEF= SOBF=1 ABCD 为平行四边形，即 ABCD， BF：FC=BE：CD=1:3， 连接 OC，OF，如下图所示， 则 SOBF：SOFC=BF：FC=1：3, SOBC=4， SOBC：SODC=OB：CD=1：3, SODC=12， k=24，故答案为：24. 题型五：几何图形中动点折叠问题题型五：几何图形中动点折叠问题 例例 5.（2019衡阳）衡阳）如图，在等边ABC 中，AB6cm，动点 P 从点 A 出发以 lcm/s 的速度沿 AB 匀速 运动动点
12、Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动设运动时间为以 t（s） 过点 P 作 PEAC 于 E，连接 PQ 交 AC 边于 D以 CQ、CE 为边 作平行四边形 CQFE （1）当 t 为何值时，BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t，使点 F 在ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理 由； （3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将BPM 沿直线 PM 翻折，得BPM，连接 AB，当 t 为何 值时，AB的值最小？并求出最小值 【答案】见解析. 【解析
13、】解： （1）ABC 是等边三角形， B60， 当 BQ2BP 时，BPQ90， 即 6+t2（6t） ， 解得：t3， 故 t3 时，BPQ 是直角三角形 （2）存在 理由：如下图，连接 BF 交 AC 于 M BF 平分ABC，BABC， BFAC，AMCM3cm， EFBQ， EFMFBC 1 2 ABC30， EF2EM， t2 （3 1 2 t） ， 解得 t3 （3）如下图，作 PKBC 交 AC 于 K ABC 是等边三角形， BA60， PKBC， APKB60， AAPKAKP60， APK 是等边三角形， PAPK， PEAK， AEEK， APCQPK，PKDDCQ，PD
14、KQDC， PKDQCD（AAS） ， DKDC， DEEK+DK 1 2 （AK+CK） 1 2 AC3（cm） （4）如下图，连接 AM，AB BMCM3，ABAC， AMBC， 由勾股定理得：AM3 3， 根据两点之间线段最短，得：ABAMMB， 即 AB3 33， 故 AB的最小值为3 33 题型六：函数图象中动点折叠问题题型六：函数图象中动点折叠问题 例例 6.（2019湖州）湖州）如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，连接 AC，OA=3，tanOAC= 3 3 ，D 是 BC 的中点. （1）求 OC
15、 的长和点 D 的坐标； （2）如图 2，M 是线段 OC 上的点，OM= 2 3 OC，点 P 是线段 OM 上的一个动点，经过 P、D、B 三点 的抛物线交 x 轴的正半轴于点 E，连接 DE 交 AB 于点 F. 将DBF 沿 DE 所在的直线翻折，若点 B 恰好落在 AC 上，求此时 BF 的长和点 E 的坐标； 以线段 DF 为边，在 DF 所在直线的右上方作等边DFG，当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，点 G 也 随之运动，请直接写出点 G 运动路径的长. 【答案】见解析 【解析】解： （1）OA=3，tanOAC= 3 3 ， 在 RtAOC 中，tanOAC= 3 = 3
16、 OC OA ， OC=3， ABCD 是矩形， BC=OA=3， 又 D 是 BC 的中点， CD= 3 2 , 即 D 的坐标为（ 3 2 ，3） （2） 由 tanOAC= 3 3 ， 知：OAC=30， ACB=OAC=30， 若DBF 折叠后，B 的落点为 B 由折叠性质，知： DB=DB=DC，BDF=BDF， DBC=ACB=30， BDB=60，BDF=30， 在 RtBDF 中，BF=BDtan30= 3 2 ， AB=3， AF=BF= 3 2 , 在BFD 和AFE 中，BFD=EFA，B=FAE=90，AF=BF， BFDAFE， AE=BD= 3 2 即 OE=OA+
17、AE= 9 2 ， 故 E 点坐标为（ 9 2 ，0） 由题意知：F 点横坐标不变为 3，而DFB=60，即 G 点与 F 点的连线与 y 轴平行，即 G 点横坐标 不变，所以 G 点运动轨迹为一条线段，求出 P 点从 O 点至 M 点运动过程中，G 点的纵坐标的差即为 G 点 运动路径的长. 当 P 点在 O 点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx， 将点 D（ 3 2 ，3）, B（3，3）代入解析式，可得： 93 3 42 933 ab ab ， 解得： 2 3 9 3 a b ，即抛物线解析式为： 2 2 3 3 9 yxx 令 y=0，得 12 9 0 2 xx， 即 E
18、（ 9 2 ，0） ， 设直线 DE 的解析式为：y=kx+b，将 D（ 3 2 ，3） 、E（ 9 2 ，0）代入得： 33 3 32 yx ， x y OA C D B G F E 令 x=3，得 y= 3 2 ， 即 F(3, 3 2 ),由 BF=BG 得，G（3， 3 3 2 ）. 当 P 点在 M 点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c， 将点 D（ 3 2 ，3）, B（3，3） ，M（0， 2 3 3 ）代入解析式，可得： 93 3 42 933 2 3 3 abc abc c ， 抛物线解析式为： 2 2 332 3 2733 yxx 令 y=0，得 12 3 6 2 xx ， 即 E（6，0） ， 设直线 DE 的解析式为：y=kx+b，将 D（ 3 2 ，3） 、E（6，0）代入得： 2 34 3 93 yx ， 令 x=3，得 y= 2 3 3 ， x y OA C D B G F E P(M) 即 F(3, 2 3 3 ),由 BF=BG 得，G（3， 4 3 3 ） 即 G 点由（3， 3 3 2 ）运动至（3， 4 3 3 ） ，运动路径长为： 3 3 2 4 3 3 = 3 6 .
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