1、 专题专题 04 动点折叠类问题中有关计算题型动点折叠类问题中有关计算题型 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运 动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题， 更能体现其解题核心动中求静， 灵活运用相关数学 知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分， 题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合
2、思想；分类讨论思想；转化思想等等. 通过研究历年中考真题并结合 2019 年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习 教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养. 下面我们从几个例题中展开论述，逐层拨开它的神秘面纱. 二、精品例题解析二、精品例题解析 题型一：图形折叠中的计算题型一：图形折叠中的计算 例例 1.（2019青岛）青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中， E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落 在线段 AE 上的点 G 处，折痕为 AF 若 AD4 cm，则 CF 的长为 cm 【答案】62 5. 【分析】要求 CF 的长，观察图形，发现
3、CF 在 Rt CEF 中，想到用勾股定理求解，然而 EF 的长度是 未知的，求解难度较大；再观察图形，发现 CF=BCBF，只要求出 BF 长度即可，而 BF=GF，进而想到利 用面积法来求解，设 CF=x，BF=GF=4x，列方程求解 x 即可. 【解析】解： 四边形 ABCD 是正方形， AD=CD=BC=4，C=D=90 ， 设 CF=x，由折叠知：BF=GF=4x， E 是 CD 中点， DE=2， 在 Rt ADE 中，由勾股定理得：AE=2 5, ADEABFAEFCEFABCD SSSSS 正方形 即： 1111 1642442 542 2222 xxx 解得：x=62 5，
4、故答案为：62 5. 例例 2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=3 6，BC=12，E 为 AD 的中点，F 为 AB 上一点，将 AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落在 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 【分析】EF 在 Rt AEF 中，求出 AF 的长即可利用勾股定理求解折痕 EF 的长度； 连接 CE，可证 CEGCED，得 EFCE，设 AF=x，利用 CF2=BF2+BC2，CF2=EF2+CE2，列出方程 求解 AF 的长. 【答案】2 15. 【解析】解：E 是 AD 的中点， AE=ED，由折叠知：AE=EG， EG=DE, 连接 CE， 在 Rt CDE 和
5、 Rt CDG 中，CE=CE，EG=AE=DE Rt CDERt CDG GEC=DEC， FEC=90 ， 设 AF=x，则 BF=3 6x，BC=AD=12， 在 RtEFC 和 RtBFC 中，由勾股定理得： 222222 AEAFDECDBFBC 即： 22 2222 663 63 612xx， 解得：x=2 6， EF= 2 2 62 62 15 故：答案为2 15. 例例 3.（2019连云港）连云港）如图，在矩形 ABCD 中，AD2 2AB将矩形 ABCD 对折，得到折痕 MN； 沿着 CM 折叠，点 D 的对应点为 E，ME 与 BC 的交点为 F；再沿着 MP 折叠，使得
6、 AM 与 EM 重合，折痕 为 MP，此时点 B 的对应点为 G下列结论： CMP 是直角三角形；点 C、E、G 不在同一条直线上； PC 6 2 MP；BP 2 2 AB；点 F 是 CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】B. 【解析】解： 由折叠性质知：DMCEMC，AMPEMP， AMD180 ， PME+CME 1 2 180 90 ， CMP 是直角三角形；故正确； 由折叠知：DMEC90 ，MEGA90 ， GEC180 ， 即点 C、E、G 在同一条直线上，故错误； AD2 2AB， 设 ABx，则 AD2 2x， 由折叠
7、知：DM 1 2 AD2x， 由勾股定理得：CM3x， PMC90 ，MNPC， CMNCPM， CM2CNCP， CP 2 33 2 22 x x x ， PNCPCN 2 2 x， 由勾股定理得：PM 6 2 x， 3 PC PM ， 即 PC3MP，故错误； PB 2 2 x，2 AB PB ， PB 2 2 AB，故正确， 由折叠知：CDCE，EGAB，ABCD， CEEG， CEMG90 ， FEPG， CFPF， PMC90 ， CFPFMF， 点 F 是 CMP 外接圆的圆心，故正确； 故答案为：B 例例 4.（2019潍坊）潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2，将A 向内
8、折叠，点 A 落在 BC 上，记为 A， 折痕为 DE. 若将B 沿 EA向内折叠，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，则 AB= 【答案】 2 32 33 . 【解析】解： 由折叠知：AED=DEA=BEA， 而AED+DEA+BEA=180， AED=DEA=BEA=60， EDA=EDA=CDA=30, AD=2， AE=AE= 32 3 33 AD ， BE= 32 33 A E , 即 AB=AE+BE= 2 32 33 . 例例 5. （2019 天津） 天津） 如图， 正方形纸片 ABCD 的边长为 12， E 是边 CD 上一点， 连接 AE,折叠该纸片， 使点 A 落在 A
9、E 上的 G 点，并使折痕经过点 B，得到折痕 BF，点 F 在 AD 上. 若 DE=5，则 GE 的长为 【答案】 49 13 . 【解析】解： 四边形 ABCD 是正方形， D=DAB=90，AD=AB， 由折叠性质知：AEBF， DAE+BAE=ABF+BAE=90， 即DAE=ABF， ADEBAF， AF=DE=5， 由勾股定理得：AE=BF=13， AG=2 5 12 13 = 120 13 ， GE=AEAG= 49 13 . 故答案为： 49 13 . 例例 6. （2019 南充） 南充） 如图， 正方形 MNCB 在宽为 2 的矩形纸片一端， 对折正方形 MNCB 得到折
10、痕 AE， 再翻折纸片，使 AB 与 AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.5210 2 AH B. 2 15 BC CD C.EHCDBC 2 D. 5 15 sin AHD 【答案】D. 【解析】解： 由折叠知：四边形 BADH 为菱形， EH=BE+BH 在 RtABE 中，由勾股定理得：AB= 22 5BEAE; AD=AB=BH=5，EH=5+1， 在 RtAEH 中，由勾股定理，得：AH2= 2 222 512 =102 5EHAE， 故 A 正确； CD=ADAC=51，BC=2， 51 2 CD BC ，故 B 正确； BC2=4，CDEH=（51）（5+1）=4， 故 C
11、正确； AHD=AHE， 5 15 sinsin AH AE AHEAHD 故 D 错误，即答案为 D. 例例 7.（2019金华）金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线减去一个角， 展开铺平后得到图，其中 FM，GN 是折痕，若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等，则 FM GF 的值是 （ ） A. 52 2 B. 21 C. 1 2 D. 2 2 【答案】A. 【解析】解： 设正方形 ABCD 的边长为 a，连接 HF，GE 交于点 O，则 GEHF，GFH=45， FO= 2 2 GF, 由题意知：正方形 EFGH、与其它四个五边形的面积均相等，
12、正方形 EFGE 面积为： 2 5 a ， 即 GF= 5 5 a， FO= 22510 22510 GFaa FM=OMFO= 10 210 a a 10 52 210 25 5 a a FM GF a ， 故答案为 A. 例例 8.（2019重庆）重庆）如图，在ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把BDC 沿 BD 翻折，得到 BDC，DC与 AB 交于点 A，连结AC，若 AD=AC=2，BD=3，则点 D 到 BC 的距离为（ ） A 2 33 B 7 213 C7 D13 【答案】B. 【解析】解： 如图，连接 CC，交 BD 于 M，过 D 作 DHBC于 H， AD
13、=AC=2，AD=CD=2， 由翻折知：CD=DC=2，DBC=BDC， ADC为等边三角形，DH 即为所求， ACC=DCC=30， DM=1，CM= 3 BD=3， BM=BDDM=2， 在 RtBMC中，由勾股定理得： BC= 22 7C MBM, 11 22 BC D SBD MCBC DF DH= 3 21 7 ， 故答案为：B. 例例 9.（2019重庆）重庆）如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 于点 E， AE=1. 连接 DE，将ADE 沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面内，得AEF，连接 DF，过点 D 作 DG DE 交 BE 于点
14、 G. 则四边形 DFEG 的周长为（ ） A. 8 B. 4 2 C. 2 24 D. 3 22 【答案】B. 【解析】解： ABC45，ADBC 于点 D， BAD90ABC45， ABD 是等腰直角三角形， ADBD， BEAC， GBD+C90， EAD+C90， GBDEAD， ADBEDG90， ADBADGEDGADG， 即BDGADE， BDGADE， BGAE1，DGDE， EDG90， EDG 为等腰直角三角形， AEDAEB+DEG90+45135， AED 沿直线 AE 翻折得AEF， AEDAEF， AEDAEF135，EDEF， DEF360AEDAEF90， DE
15、F 为等腰直角三角形， EFDEDG， 在 RtAEB 中，由勾股定理得：BE22， GEBEBG221， 在 RtDGE 中，DGDE= 2 2 GE2 2 2 ， EFDE2 2 2 ， 在 RtDEF 中， DF2DE221， 四边形 DFEG 的周长为： GD+EF+GE+DF2（2 2 2 ）+2（221）32+2， 故答案为：D 题型题型二二：图形折叠中：图形折叠中证明、计算题证明、计算题 例例 10.（2019滨州）滨州）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边 上的点 F 处，过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G，
16、连接 CG. （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB=6，AD=10，求四边形 CEFG 的面积. 【分析】 （1）由翻折性质并借助全等三角形的性质和菱形的判定方法证明结论成立； （2）由勾股定理，可以求得 AF 的长，并求得 EF 和 DF 的值，从而可以得到四边形 CEFG 的面积 【答案】见解析. 【解析】 （1）证明：由题意可得：BCEBFE， BECBEF，FECE， FGCE， FGECEB， FGEFEG， FGFE，专题 04 动点折叠类问题中有关计算题型 FGEC， 四边形 CEFG 是平行四边形， 又CEFE， 四边形 CEFG 是菱形； （2）矩形 ABCD 中，AB6，AD10，BCBF， BAF90，ADBCBF10， AF8， DF2， 设 EFx，则 CEx，DE6x， 在 RtFDE 中，由勾股定理得： 22+（6x）2x2， 解得，x 10 3 ， 即 CE 10 3 ， 四边形 CEFG 的面积是：CEDF 10 3 2 20 3
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