1、 专题专题 03 破解破解动态动态数学阅读理解等创新题型数学阅读理解等创新题型 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 实行新课标以来中考数学的题型越来越活， 阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点. 而此类题目不同以往， 不 是简单的告诉条件求解题目，往往是先给一个数学类的知识材料，或简要介绍一个知识（超纲的内容） ，又或者给出对 于某一种题目的解法，然后再给条件出题. 对于这种题来说，如果学生为求速度而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿 失. 所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键. 目前为止，阅读理解型试题在中考试卷中占的比例越来越大. 很多省份均有
2、涉及，这类题目对学生的数学意识、数学思 维能力和创新意识有较高要求，解数学阅读理解题存在较大的困难，要求学生具备一定的数学素养，懂得分析问题， 善于从题干中提取有用的条件. 下面我们从几个例题中展开论述，逐层拨开它的神秘面纱. 二、精品例题解析二、精品例题解析 例例 1.（2019台州）台州）砸“金蛋”游戏： 把 210 个金蛋连续编号为 1，2，3，4，210. 接着把编号是 3 的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩 下的“金蛋”重新编号为 1，2，3，4，接着把编号是 3 的整数倍的“金蛋”全部砸碎，按照这样的 方法操作，直至无编号是 3 的整数倍的“金蛋”为止. 操作过程中砸碎编号是“6
3、6”的“金蛋”共 个. 【答案】3. 【解析】 解：210 370，第一次砸碎 3 的倍数的金蛋个数为 70 个，剩下 21070140 个金蛋，重新编号为 1，2， 3，140； 140 3462， 第二次砸碎 3 的倍数的金蛋个数为 46 个， 剩下 1404694 个金蛋， 重新编号为 1， 2， 3， ， 94； 94 3311，第三次砸碎 3 的倍数的金蛋个数为 31 个，剩下 943163 个金蛋， 6366，砸三次后，就不再存在编号为 66 的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66“的“金蛋“共有 3 个 故答案为：3 例例 2.（2019重庆）重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中
4、一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数 时，我们研究了偶数、奇数、质数、合数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数“纯数”. 定义：对于自然数 n，在通过列竖式进行 n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自 然数 n 为“纯数”. 例如：32 是纯数，因为 32+33+34 在列竖式计算时各位都没有进位现象. 23 不是纯数，因为 23+24+25 在列竖式计算时个位有进位现象. （1）请直接写出 1949 至 2019 之间的“纯数”； （2）求出不大于 100 的纯数的个数，并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：设 n 的个位数字为 m， m+m+1+m+
5、29，可得：m2， 除个位外其余各个位上的数字均小于等于 3，否则会发生进位. （1）所以 1949 至 2019 之间符合要求的“纯数”有： 2000,2001,2002 三个数. （2）由上面分析可知：个位小于等于 2，且十位、百位小于等于 3 的数符合“纯数”特征， 经过筛选，不大于 100 的纯数有 13 个：具体如下： 0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100. 共 13 个. 例例 3.（2019重庆）重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性 质一一运用函数解决问题的学习过程在画函数图象时，我们通过描点或平移的方
6、法画出了所学的函数 图象同时，我们也学习了绝对值的意义 )0( )0( aa aa a 结合上面的学习过程，现在来解决下面的问题在函数bkxy3中，当2x时，；4y当0x时， . 1y （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函3 2 1 yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式3 2 1 3xbkx的解 集 【答案】见解析. 【解析】解: （1）由题意得： 234 31 kb b ， 解得： 3 2 4 k b ，即函数解析式为： 3 34 2 yx （2）图如下所示， 性质：函数图象
7、为轴对称图形，对称轴为 x=2；当 x2 时，y 随 x 增大而增大； x=2 时函数值取最小值，最小值为4；函数与 x 轴有两个交点，与 y 轴有一个交点（填写一条即可）. （3）1x4. 例例 4.（2019凉山州）凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知： 若 ab0（或0 a b ） ，则 00 00 aa bb 或 若 ab2，或 x2 或 x0，n 是正整数，请写出计算过程）. 【答案】 （1） 10 21； （2） 11 33 2 ； （3）见解析. 【解析】解： （1）设 29 1222S + 则 210 2222S + 得： 10 221SS 2910 1222 =21S +
8、（2）设 210 333S + 则 2311 3333S + 得： 11 331SS 11 210 33 333 = 2 S +. （3）设 2 1 n Saaa + 则 231n aSaaaa + 得： 1 1 n aSSa 1 2 1 1 1 n n a Saaa a +. 例例 7. （2019 衢州） 衢州） 定义： 在平面直角坐标系中， 对于任意两点( , )A a b，( , )B c d， 若点( , )T x y满足 3 ac x ， 3 bd y ，那么称点T是点A，B的融合点. 例如: ( 1,8)A ，(4, 2)B当点( , )T x y满足 14 1 3 x , 8(
9、 2) 2 3 y 时， 则点(1,2)T是点A，B的 融合点. （1）已知点( 1,5)A ，(7,7)B，(2,4)C，请说明其中一个点是另外两个点的融合点； （2）如图，点(3,0)D，点( ,23)E tt 是直线 l 上任意一点，点( , )T x y是点 D、E 的融合点. 试确定y与x的关系式； 若直线ET交x轴于点H，当DTH为直角三角形时，求点E的坐标. 【答案】见解析. 【解析】解： （1） 1757 24 22 ， ， 点 C 是点 A、B 的融合点； （2）由融合点定义知： 3 3 t x ， 得：33tx 而 230 3 t y ，得： 33 2 y t 33 33
10、2 y x ， 即：y=2x1； 由题意知：E 点在直线 l 上运动，T 点在直线 y=2x1 上运动， 若 DTH 为直角三角形，分三种情况讨论： （i）当DHT=90 时，即 ETx 轴，如下图所示， 设 H（n，0） ，则 T（n，2n1） ，E（n，2n+3） ， 由点 T 是点 D、E 的融合点可得： 3 3 n n ，解得：n= 3 2 x y OD x y OD T点运动轨迹 E点运动轨迹 E T H 即 E 点坐标为（ 3 2 ，6） ； （ii）当HDT=90 时，即 DTx 轴，如下图所示， 此时，T 点坐标为（3,5） ，设 E 点坐标为（n，2n+3） 由点 T 是点
11、D、E 的融合点可得： 3 3 3 n ，解得：n=6， 即 E 点坐标为（6,15） ； （iii）当HTD=90 时，此种情况不存在； 综上所述，E 点坐标为（ 3 2 ，6）或（6,15）. 例例 8.（2019青岛）青岛）问题提出：问题提出： 如图，图是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张 a b 的方格纸（a b 的方 格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a b 个边长为 1 的小正方形，其中 a2，b2，且 a，b 为正整 数） 把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 图 图 问题探究：问题探究： 为探究规律，我们采
12、用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的 x y OD T点运动轨迹 E点运动轨迹 E T H 结论 探究一： 把图放置在 2 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，对于 22 的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法 图 探究二： 把图放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，在 32 的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2 方格，依据探究一的结论可知，把图 放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 4
13、8 种不同的放置方法 图 探究三： 把图放置在 a 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，在 a 2 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 2 2 方格，依据探究一的结论可知， 把图放置在 a 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_种不同的放置方法 图 图 探究四： 把图放置在 a 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 如图，在 a 3 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 2 2 方格，依据探究一的结论可知， 把图放置在 a 3 的方格纸中， 使它恰好盖住其中的三个小正方形， 共有_种不同的放置
14、方法 问题解决： 把图放置在 a b 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿 照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图 ） 问题拓展：问题拓展： 如图， 图是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体， 图是一个长、 宽、 高分别为 a， b ， c （a2 ， b2 ， c2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了 a b c 个棱长为 1 的小立方体在图的 不同位置共可以找到_个图这样的几何体 图 图 【答案】见解析. 【解析】解： 探究三： 根据探究二，a 2 的方格纸中，共可以找到（a1）个位置不同的 2 2 方格， 根据探究一结论可知
15、，每个 2 2 方格中有 4 种放置方法，所以在 a 2 的方格纸中，共可以找到（a1） 4 （4a4）种不同的放置方法； 故答案为: a1，4a4； 探究四： 边长为 a，有（a1）条边长为 2 的线段， 同理，边长为 3，则有 312 条边长为 2 的线段， 所以在 a 3 的方格中，可以找到 2（a1）个位置不同的 2 2 方格， 根据探究一，在 a 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a2） 4（8a8）种不 同的放置方法 故答案为: 2（a2） ，8a8； 问题解决： 在 a b 的方格纸中，共可以找到（a1） （b1）个位置不同的 2 2 方格， 依照探究一的结
16、论可知，把图放置在 a b 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 4（a1） （b1）种不同的放置方法； 问题拓展： 发现图是棱长为 2 的正方体中的一部分，利用前面的思路， 这个长方体的长宽高分别为 a、b、c，则分别可以找到（a1） 、 （b1） 、 （c1）条边长为 2 的线段， 所以在 a b c 的长方体共可以找到（a1） （b1） （c1）位置不同的 2 2 2 的正方体， 再根据探究一类比发现，每个 2 2 2 的正方体有 8 种放置方法， 所以在 a b c 的长方体中共可以找到 8（a1） （b1） （c1）个图这样的几何体； 故答案为 8（a1） （b1） （c
17、1） 【点睛】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通 过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这 类问题 例例 9. （2019南京）南京） 【概念认识】【概念认识】 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行 走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2） ，用以下 方式定义两点间距离：d（A，B）|x1x2|+|y1y2| 【数学理解】 （1）已知点 A（2，1） ，则 d（O，A） 函数 y
18、2x+4 （0x2） 的图象如图所示， B 是图象上一点， d （O， B） 3， 则点 B 的坐标是 （2）函数 y 4 x （x0）的图象如图所示求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）函数 yx25x+7（x0）的图象如图所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D 的坐标 【问题解决】 （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一 次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简 要说明理由） 【答案】 （1）3， （1，2） ； （2） （3） （
19、4）见解析. 【解析】解： （1）由题意得：d（O，A）|0+2|+|01|2+13； 设 B（x，y） ，由定义两点间的距离可得：|0x|+|0y|3， 0x2， x+y3， 可得：x=1，y=2， 即 B（1，2） ， 故答案为：3， （1，2） ； （2）若函数 y 4 x （x0）的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）3， 根据题意，得 4 003x x ， x0， 4 x 0， 方程 4 003x x 可化为： 4 3x x ， 即 x2+43x，x23x+40， b24ac70， 方程 x23x+40 没有实数根， 故该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）3 （3）设
20、D（x，y） ， 根据题意得，d（O，D）|x0|+|x25x+70|x|+|x25x+7|， 2 2 53 570 24 xxx ，x0， d（O，D）|x|+|x25x+7|x+x25x+7x24x+7（x2）2+3， 当 x2 时，d（O，D）有最小值 3，此时点 D 的坐标是（2，1） （4） 如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 yx 的图象沿 y 轴正方向 平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止， 设交点为 E，过点 E 作 EHMN，垂足为 H，修建方案是：先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建 到 E 处 理由：设过点 E 的直线 l1与 x 轴相交于点 F在景观湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2l1， l2与 x 轴相交于点 G EFH45 ， EHHF，d（O，E）OH+EHOF， 同理 d（O，P）OG， OGOF， d（O，P）d（O，E） ， 上述方案修建的道路最短
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